2021届安徽省江南十校高三下学期3月一模联考数学(理)试题(解析版)

2021届安徽省江南十校高三下学期3月一模联考数学（理）试题一、单选题1．设集合A ={x |x 2-5x -6>0}，集合B ={x |4<x ≤7}，则A ∪B =（ ） A ．(6，7]B ．(4，7]C ．(-∞，-1)∪(4，+∞)D ．(-∞，2)∪(3，+∞)【答案】C【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用并集运算求解. 【详解】因为()(),16,,A ∞∞=--⋃+ B ={x |4<x ≤7}， 所以()(),14,,A B ⋃=-∞-⋃+∞ 故选：C2．已知复数1z i =+，z 是z 的共轭复数，若z ·a =2+bi ，其中a ，b 均为实数，则b 的值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】A【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可. 【详解】因为1z i =+，所以1z i =-， 因此221bi bz i i a a a+==+=-， 所以21a且1,ba=-则2,2a b ==-. 故选：A 3．已知3sin 5α=，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．247-B ．2425-C ．2425D ．247【答案】A【分析】首先利用同角三角函数基本关系求出tan α得值，再利用正切的二倍角公式即可求解.【详解】因为3sin5α=且322παπ<<，所以223cos1sin1545αα⎛⎫=--=--=-⎪⎝⎭，所以sin3tancos4ααα==-，故2322tan244tan291tan7116ααα-⨯===---，故选：A.4．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO，2OO，3OO，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】由五角星的内角为36，可知318BAO∠=，又3OO平分第三颗小星的一个角，过3O作x轴平行线3O E，则316OO E∠α=≈，即可求出直线AB的倾斜角.【详解】3,O O 都为五角星的中心点，3OO ∴平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36，可知318BAO ∠=，过3O 作x 轴平行线3O E ，则316OO E ∠α=≈，所以直线AB 的倾斜角为18162-=，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查直线的倾斜角，解题的关键是通过做辅助线找到直线AB 的倾斜角，通过几何关系求出倾斜角，考查学生的数形结合思想，属于基础题. 5．函数||cos ()2x x xf x =的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数()f x 为奇函数，排除C 、D ，根据0,024f f ππ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数||cos ()2x x xf x =的定义域为R ，关于原点对称，又由()()()()cos cos 22xxx x x x f x fx ----==-=-，所以函数()f x 为奇函数，排除C 、D ；又因为0,024f f ππ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合选项，可得选项A 适合. 故选：.A6．已知F 为椭圆C ：2222x y a b+=1(a >b >0)的右焦点，O 为坐标原点，P 为椭圆C 上一点，若|OP |=|OF |，∠POF =120°，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C -1D -1【答案】D【分析】记椭圆C 的左焦点为E ，在POF 中，通过余弦定理得出PF ，PE ，根据椭圆的定义可得12c a ，进而可得结果.【详解】记椭圆C 的左焦点为E ，在POF 中，可得3PF c ==，在POE △中，可得PE c =，故)12PE PF c a +==，故1c e a ==， 故选：D.7．现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为（ ） A ．120 B ．150C ．240D ．300【答案】B【分析】分两种情况讨论，利用分步计数原理以及分类计数原理得到结果． 【详解】有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动， 要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人， 包括两种情况：一是按照2，2，1分配，有2235331902C C A =种结果， 二是按照3，1，1分配，有1135431602C C A =种结果．不同分配方案的总数为9060150+=， 故选：B.8．将数列{3n -1}与{2n +1}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的第10项为（ ） A ．210-1 B ．210+1C ．220-1D ．220+1【答案】D【分析】首先设31n b n =-，21nn c =+，令m n b c =，得到223n m +=，根据*,m n ∈N 得到12a c =，24a c =，36a c =，……，再计算10a 即可。

【详解】设31n b n =-，21nn c =+，令m n b c =，*,m n ∈N ，则3121nm -=+，解得223n m +=。

又因为*,m n ∈N ，所以2,4,6,n =……， 即12a c =，24a c =，36a c =，……， 所以10102021a c ==+。

故选：D9．已知函数f (x )=e |ln x |，(1)a f =，b =f (log )，c =f (21.2)，则（ ） A ．b >c >a B ．c >b >a C ．c >a >b D ．b >a >c【答案】B【分析】将自变量代入函数化简后分别和1和2比较大小即可.【详解】()()3lnlog|lnlog 01.211,=1,2,22,a f e b eec ====∈=>所以,c b a >> 故选：B10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =c sin B ，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．54C ．43D ．32【答案】C【分析】由正弦定理得sin sin sin A C B =，可得sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，进而111tan tan C B+=，利用基本不等式可得tan tan 4B C ≥，化简可得1tan 11tan tan A B C=-，则可求出最值. 【详解】在ABC 中，由sin a c B =及正弦定理得：sin sin sin A C B =.()sin sin sin B C B C ∴+=，即sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=， 两边除以sin sin B C 可得111tan tan C B+=，1∴≥tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==等号成立，则()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--tan tan 11tan tan 11tan tan B CB C B C==--， 则当tan tan 4B C =时，tan A 取得最大值为43. 故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的应用，解题的关键是利用已知条件得出111tan tan C B+=，利用基本不等式求出tan tan 4B C ≥.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形1111D C B A 的中心，P ，M ，N 分别为1DD ，AB ，BC 的中点，则四面体OPMN 的体积为（ ）A ．512B ．56C．12D．6【答案】B【分析】连接BD 交MN 于点Q ，连接PQ ，利用13O PMN M OPQ N OPQ OPQV V V SMN ---=+=⋅来求解.【详解】如图所示，连接BD 交MN 于点Q ，连接PQ ，连接1OD ,由正方体的特点可知，MN BD ⊥，1MN DD ⊥,则格据线面垂直的判定定理可知MN ⊥平面1BDD O ，则13O PMN M OPQ N OPQ OPQV V V S MN ---=+=⋅，1113211325222121222224OPQ OD P ODPD OQD S S S S ∆∆∆=--=⨯-⨯⨯⨯=⎭梯,故115252336O PMN M OPQ N OPQ OPQV V V S MN ---=+=⋅==. 故选：B.【点睛】计算空间多面积的体积时，注意合理切割，将原几何体转化为若干个小三棱锥的体积之和，解答时注意几何体高的判断与计算. 12．已知函数f (x )=e log a x -x ea (a >1)没有零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(e ，+∞)B ．e ，+∞)C ．(1，+∞)D ．(1e e ，+∞)【答案】A【分析】先通过令1(1),eb a b =>将()log x eaf x e x a =-没有零点转化为()log (1)x b g x x b b =->没有零点，进一步转化为()(1)x h x b x b =->没有零点，利用导数求出最小值，令最小值大于零解不等式可得答案.【详解】()11log log ,e xxee a af x e x a x a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1(1),e b a b =>因为log b y x =与xy b =关于y x =对称，所以()log x eaf x e x a =-没有零点等价于()log (1)xb g x x b b =->没有零点，等价于()(1)xh x b x b =->没有零点.()ln 1,x h x b b '=-令()0h x '=得1log ln b x b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()h x 在1,log ln b b ⎛⎫⎛⎫-∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在1log ,ln b b ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，()1log ln 11log log 0,ln ln b b b b h x h b b b ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1,e b e >故a e >.故选：A.【点睛】关键点点睛：将复杂函数f (x )=e log a x -xea (a >1)没有零点的问题通过换元法，转化为相对简单的函数()(1)xh x b x b =->没有零点的问题是本题的关键.二、填空题13．设f (x )是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈(-1，1]时，22,10()1x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，其中m ∈R .若f (116)=f (32)，则m 的值是___________.【答案】1 【分析】分别计算f (116)和f (32)，解方程求出m .【详解】1133113,21,16422244f f f f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-=-+=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由f (116)=f (32)可得：3144m -=，解得： 1.m =故答案为：114．已知非零向量,a b 满足a b a b +=-，且a b =，则a 和a b +的夹角为___________. 【答案】4π【分析】利用非零向量,a b 满足a b a b +=-，可推出a b ⊥，当a b =时，根据平行四边形法则可知a 和a b +的夹角为4π. 【详解】因为,a b 为非零向量，且a b a b +=-，则22a b a b +=-，展开整理得0a b ⋅=，即a b ⊥，又a b =，则a b +所在直线为以,a b 为临边构成的正方形的对角线，故a 和a b +的夹角为4π. 故答案为：4π. 【点睛】本题考查向量夹角的计算问题，解答本题的关键在于根据a b a b +=-，两边平方得到0a b ⋅=，然后根据平行四边形法则得出答案. 一般地，已知向量a ，b 及a b λμ+计算a 与b 的夹角，都采用平方法.15．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA PB AB ==，若PBC 和PCD 的面积分别为1P -ABCD 的外接球的表面积为___________. 【答案】6π【分析】根据题意，可得PA PB ⊥，根据题意及面面垂直的性质定理，可得BC ⊥平面PAB ，进而可得.BC PB ⊥设,PA PB a BC b ===，则可表示出各个边长，根据PBC 和PCD 的面积分别为1a ，b 的值，根据直角PAB △和矩形ABCD 的几何性质，可确定四棱锥外接球球心位置，进而可求得半径R ，代入公式，即可求得答案.【详解】在四棱锥P ABCD -中，因为2PA PB AB ==， 所以222PA PB AB +=，即PA PB ⊥， 所以PAB △是等腰直角三角形.因为底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以.BC PB ⊥ 设,PA PB a BC b ===， 则2AB CD a ==，22PC PD a b ==+，取CD 中点E ，连接PE ，AC ，BD ，且ACBD O =，则222222222a a PE PC CE ab b =-=+-=+，因为直角PBC 和等腰PCD 的面积分别为1和3，所以112ab =且2212322a ab ⋅⋅+=，解得2a b ==.因为PA PB ⊥，所以PAB △的外接圆圆心为1O （如图所示）， 又底面ABCD 为矩形，所以ABCD 的外接圆圆心为对角线交点O ， 所以四棱锥P ABCD -的外接球球心即为O ，所以四棱锥P ABCD -的外接球的半径221622R AB AD =⨯+=， 所以四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为246S R ππ==. 故答案为：6π【点睛】关键点点睛：解题的关键是根据题意及面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理，推理证明，求得各个边长，再根据图形的几何性质，确定球心位置，再求解，考查分析推理，计算求值的能力，属中档题.16．已知F 1､F 2为双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左､右焦点，过F 2作倾斜角为60°的直线l 交双曲线右支于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，则12AF F △的内切圆半径r 1与12BF F △的内切圆半径r 2之比12r r 为___________. 【答案】3【分析】连接12O O 交AB 于D 点，由题意可得1122122O D r r r r ==++，即求. 【详解】由内切圆的性质可知，12AF F △的内切圆1O 和12BF F △的内切圆2O 都与x 轴相切于双曲线的右顶点C ，可知12,,O C O 三点共线. 连接12O O 交AB 于D 点， 如图：直线l 的倾斜角为60°，所以1160CO T ∠=，2260DO T ∠=，在11Rt DO T 与22Rt DO T 中，则1122122O D r r r r ==++，则12r r 为3. 故答案为：3三、解答题17．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =a n +1-1. （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足2b n +1+S n +1=2b n +2a n ，证明数列{a n +b n }为等差数列，并求其公差. 【答案】（1）12n na ；（2）证明见解析，公差为12. 【分析】（1）根据S n =a n +1-1，利用数列通项与前n 项和的关系求解.（2）由S n =a n +1-1，得121121n n n S a a +++=-=-.与2b n +1+S n +1=2b n +2a n ，化简得到1112n n n n b a b a +++=++求解.【详解】（1）当2n 时，由S n =a n +1-1，得11n n S a -=-， 两式相减得()1111,n n n n S S a a -+-=---即()122,n n a a n +=又因为121,S a =-所以2122a a ==.综上{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n na .（2）由S n =a n +1-1，得121121n n n S a a +++=-=-， 又2b n +1+S n +1=2b n +2a n ，所以1122122,n n n n b a b a +++-=+即1112n n n n b a b a +++=++， 所以{}n n a b +是以12为公差的等差数列. 【点睛】方法点睛：证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =CD ，且BC ⊥CD ，以BD 为折痕把ABD 和CBD 向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置(E ，F 不重合).（1）求证：EF ⊥BD ；（2）若平面EBD ⊥平面FBD ，点E 在平面ABCD 内的正投影G 为ABD 的重心，且直线EF 与平面FBD 所成角为60°，求二面角A -BE -D 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【分析】（1）取BD 的中点O ，连接FO 和EO ，利用线面垂直的判定定理，证得BD ⊥平面EFO ，即可得到EF BD ⊥；（2）由（1）得到以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，分别求得平面ABE 和平面BED 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）如图所示，取BD 的中点O ，连接FO 和EO ， 由题意知FBD 和BED 均为等腰三角形，且,BF DF BE ED ==， 故,.FO BD EO BD ⊥⊥又因为,FO EO O ⋂=所以BD ⊥平面EFO ， 又因为EF ⊂平面,EFO 所以.EF BD ⊥（2）由（1）知，EO BD ⊥，又因为平面EBD ⊥平面FBD ， 平面,EBD FBD BD EO ⋂=⊂平面平面,EBD 所以EO ⊥平面FBD ，直线EF 与平面FBD 所成角为EFO ∠，可得60EFO ∠=，因为2,FB FD FB FD ==⊥，O 为BD 中点，所以112FO BD ==，所以EO =，所以2BE ED BD ===，即EBD △为等边三角形，G 为等边ABD △的中心，以O 为坐标原点，OD 的方向为x 轴正方向，OG 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可得(),(1,0,0),(1,0,0),0,33A B D E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则3(1,3,0),(2,0,0),1,33AB BD BE ⎛=--== ⎝⎭，设()1,,n x y z =为平面ABE 的法向量，则1100n ABn BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得0033xx y z ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩，令1z =，可得x y == 即平面ABE 的一个法向量为1(6,n =-， 设()2,,n x y z =为平面BED的法向量，则2200n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =-，可得0,x y == 即平面BED 的一个法向量为21)n =-，则1212121cos ,36n n n n n n ⋅===⋅，所以二面角A BE D --的余弦值为13.【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.19．为了调查某地区全体高中生的身高信息(单位：cm)，从该地区随机抽取高中学生100人，其中男生60人，女生40人.调查得到样本数据x i (i =1，2，···60)和y j (j =1，2，···40)，x i 和y j 分别表示第i 个男生和第j 个女生的身高.经计算得601i i x =∑=10500，6021ii x=∑=1838400，401jj y=∑=6600，4021jj y=∑=1090200.（1）请根据以上信息，估算出该地区高中学生身高的平均数z 和方差s 2；（2）根据以往经验，可以认为该地区高中学生身高X 服从正态分布N (μ，σ2)，用z 作为μ的估计值，用s 2作为σ2的估计值.若从该地区高中学生中随机抽取4人，记ξ表示抽取的4人中身高在(171，184.4)的人数，求ξ的数学期望.附：①数据t 1，t 2，…t n 的方差22222111()()m i i i s t t t nt n n ==-=-∑，②若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ-σ<X <μ+σ)=0.6827；P (μ-2σ<X <μ+2σ)=0.9545；P (μ-3σ<X <μ+3σ)=0.997345 【答案】（1）2171,45z s ==；（2）1.909.【分析】（1）由题设中的数据，根据平均数和方差的计算公式，即可求解；（2）由（1）得到该地区高中学生身高()171,45X N ~，求得(171184.4)0.47725P X <<=，得出随机变量()4,0.47725B ξ~，结合二项分布的期望计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，根据平均数的计算公式，可得该地区高中学生身高的平均数604011105006600171()100100iji j x yz cm ==++===∑∑， 由方差的计算公式，可得6040222211110045444100i j i j s x y z ==⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦∑∑.（2）由（1）知171z =，245s =，即171μ=，245σ=， 可得该地区高中学生身高()171,45X N ~，又由0.9545(171184.4)(2)0.477252P X P X μμσ<<=<<+==， 根据题意，可得随机变量()4,0.47725B ξ~，根据二项分布的期望计算公式，可得数学期望为()40.47725 1.909.E ξ=⨯= 20．已知动圆P 与x 轴相切且与圆()2224x y +-=相外切，圆心P 在x 轴的上方，P 点的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）已知2(4)E ，，过点(0)4，作直线交曲线C 于,A B 两点，分别以,A B 为切点作曲线C 的切线相交于D ，当ABE △的面积1S 与ABD △的面积2S 之比12S S 取最大值时，求直线AB 的方程.【答案】（1）()280x y x =≠；（2）40x y -+=.【分析】（1）由题可知P 到点(0，2)的距离等于它到直线2y =-的距离，故根据抛物线的定义求解即可；（2）由题知直线AB 的斜率存在且12k ≠-，故设AB 方程为4y kx =+，设()()1122,,,,A x y B x y 与抛物线联立方程得12128,32,x x k x x +=⋅=-再结合已知切点求切线的问题求出以,A B 为切点切线方程，并联立解得()4,4D k -，进而得112222124k S d S d k +==+，再利用换元法求最值即可得答案. 【详解】（1）由题意知，P 到点(0，2)的距离等于它到直线2y =-的距离，由抛物线的定义知，圆心P 的轨迹是以(0，2)为焦点， 2y =-为准线的抛物线(除去坐标原点)，则C 的方程为：()280x y x =≠.（2）由题意知，()4,2E 在曲线C 上，直线AB 的斜率存在，设AB 方程为4y kx =+，因为直线AB 不经过E 点，所以12k ≠-. 由24,8y kx x y=+⎧⎨=⎩可得28320x kx --=， 设()()1122,,,,A x y B x y 则12128,32,x x k x x +=⋅=-以A 为切点的切线方程为()111,4x y y x x -=-即21148x x y x =-，同理以B 为切点的切线为22248x x y x =-，由2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故两式做差整理得：2212124488x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1242x x x k +==，两式求和整理得：()22212121121222284848x x x x x x x xx x x xy +-=-=-++=+，故4y =，所以交点()4,4D k -，设E 到AB 的距离为1,d D 到AB 的距离为2d ，则112222124k S d S d k +===+ 设()210,k t t +=≠则122,92S S t t=+-当3t =，即1k =时，12S S 取最大值， 直线AB 的方程为40.x y -+=【点睛】本题考查抛物线的定义，面积最值问题，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助切线方程联立求点D 的坐标，进而将问题转化为E 到AB 的距离1d 和D 到AB 的距离2d 的比值问题. 21．已知函数f (x )=2e x +a ln(x +1)-2. （1）当a =-2时，讨论f (x )的单调性；（2）当x ∈[0，π]时，f (x )≥sin x 恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 在(-1，0)单调递减，在()0,∞+单调递增；（2）[)1,-+∞. 【分析】（1）将2a =-代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）令()()()[]sin 2ln 12sin ,0,xg x f x x e a x x x π=-=++--∈，等价于()()00g x g ≥=恒成立，求出()g x '，讨论0a ≥或0a <，判断函数的单调性，其中0a <时，可得()0211g a a '=+-=+，讨论10a +≥或10+<a ，证明函数的单调性即可证明.【详解】（1）当2a =-时()(),22ln 12,1xf x e x x =-+->-.()()22,1x f x e f x x '+'=-在()1,-+∞单调递增，且()00.f '= 当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时(),0f x '>.所以函数()f x 在(-1，0)单调递减，在()0,∞+单调递增.（2）令()()()[]sin 2ln 12sin ,0,xg x f x x e a x x x π=-=++--∈当[]0,x π∈时，()sin f x x ≥恒成立等价于()()00g x g ≥=恒成立.由于()()[]cos 2cos ,0,1xag x f x x e x x x π=-=+-∈+''， 所以（i ）当0a ≥时，()210,xg x e '≥->函数()y g x =在[]0,π单调递增，所以()()00g x g ≥=，在区间[]0,π恒成立，符合题意.（ii ）当0a <时，()2cos 1xag x e x x =+-+'在[]0,π单调递增，()0211g a a '=+-=+.①当10a +即10a -≤<时，()()010,g x g a ≥=+≥''函数()y g x =在[]0,π单调递增，所以()()00g x g =在[]0,π恒成立，符合题意.②当10+<a 即1a <-时()(),010,211ag a g e πππ=+<=++'+'， 若()0g π'≤，即()()121a e ππ≤-++时(),g x '在()0,π恒小于0则()g x 在()0,π单调递减，()()00g x g <=，不符合题意.若()0,g π'>即()()1211e a ππ-++<<-时，存在()00,x π∈使得()00.g x '=所以当()00,x x ∈时，()0,g x '<则()g x 在()00,x 单调递减，()()00,g x g <=不符合题意.综上所述，a 的取值范围是[)1,.∞-+【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是构造函数()()[]2ln 12sin ,0,xg x e a x x x π=++--∈，不等式等价转化为()()00g x g ≥=恒成立，考查了分析能力、计算能力以及分类讨论的思想.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为121x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为13sin ()44k k k k πθρ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦. （1）当1k =时，求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）当2k =时，1C 与2C 交于A ，B 两点，设P 的直角坐标为(0，1)，求11||||PA PB +的值.【答案】（1）110C y +-=，2:330C x y +-=；（2. 【分析】（1）由曲线1C 的参数方程消去参数，求得曲线1C 的直角坐标方程，当1k =时，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线C 2的直角坐标方程；（2）当2k =时，求得2C 的直角坐标方程为2244x y +=，将1C 的参数方程代入曲线2C 的方程，利用根与系数的关系，得到1212,t t t t +⋅，代入化简，即可求解.【详解】（1）由曲线1C的参数方程为1212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，消去参数，可得10y +-=，即曲线110C y +-=， 当1k =时，曲线C 2为3sin()44πρθ+=，可得3)4ρθθ=， 因为cos ,sin x y ρθρθ==4x y =， 即曲线C 2的直角坐标方程330x y +-=.（2）当2k =时，曲线C 2为2213sin ()42πθρ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，可得2223cos 4ρρθ+=， 又由cos ,sin x y ρθρθ==，可得2C 的直角坐标方程为2244x y +=，将1C的参数方程代入整理得27120,Δ0t +-=>，设,A B 对应的参数分别为12,t t，可得121212,77t t t t +=-⋅=- 所以1212121211117t t t t PA PB t t t t +-+=+==⋅7==23．已知函数f (x )=|x -2|+|x +1|. （1）解不等式f (x )>x +2；（2）记f (x )的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a +b +c =m ，证明：222.3a b c ++≥【答案】（1）()(),13,-∞⋃+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）利用“零点分段法”，分为2x ，12x -<<，1x -三种情形，解不等式即可；（2）根据绝对值三角不等式求出m 的值，可得()333333()3a b c a b c a b c ++++++=，由柯西不等式可得结果.【详解】（1）当2x 时，()21212f x x x x x =-++=->+，解得3x >，所以3x >；当12x -<<时，()2132,f x x x x =-++=>+解得1,x <所以11;x -<<当1x -时，()21122,f x x x x x =---=->+解得1,3x <-所以 1.x -综上，1x <或3,x >故不等式的解集是()(),13,-∞⋃+∞.（2）因为()21213,x x x x -++--+=当且仅当()()210x x -+时等号成立，所以 3.m =()222222333111222222333333()33a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦++==()2313131222222222233a ab bc c a b c ⎛⎫⋅+⋅+⋅ ⎪++⎝⎭=当且仅当333222111222,a b c abc==即a b c ==时等号成立，2223a b c ++.【点睛】关键点点睛：（1）利用“零点分段法”解三角不等式；（2）通过()222222333111222222333()33a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=构造柯西不等式.。