乘法原理与加法原理教案
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乘法原理与加法原理教案
第十一讲 乘法原理与加法原理
知识提要
理解和初步掌握:加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。
加法原理:N= m 1+m 2+……+m n 。
乘法原理: N= m 1×m 2×……×m n 。
经典例题
例1 小刚从家到学校要经过一座桥,从家到桥时有3条路可以走,过了桥再到学校时有4条路可以走(如下图)。小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法?
分析与解:
把从小刚家到学校的路分为两步。
第一步从家到桥,第二步从桥到学校。这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路,只有两步合在一起,才能完成。
从图中看出从家到学校共有12种不同的走法:
AD AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG
家 桥 学校 B C D
E F
根据此题,得出如下结论:
乘法原理 要完成一项任务,由几个步骤实现,第一步有m 1种不同的方法;第二步有m 2种不同的方法;……第n 步有m n 种不同的方法;那
么要完成任务共有:N= m 1×m 2×……×m n 。
例2 有四张数字卡片,
用这四张数字卡片组成三位数,可以组成多少个?
分析与解:
用卡片组成三位数要分成三步,第一步选取百位上的数字,可以有4种选择;第二步选取十位上的数字,可以有3种选择;第三步选取个位上的数字,可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有:
4×3×2=24(个)
例3:由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数?
分析与解:要求奇数,所以个位数字只能取1、3、5中的一个,有3种取法;十位数字可以5 8 7 6
从余下的五个数字中任取一个,有5种不同取法;百位数字还有4种取法;千位数字只有3种取法。由乘法原理,共可组成:
3×5×4×3=180(个)没有重复数字的四位奇数。
例4:下图为4×4的棋盘,要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中,并使每行每列只能出现一个棋子。问:共有多少种不同的放法?
分析与解:四个棋子要一个一个地放,故可看做分四步完成任务,第一步放棋子A,A可以放在16个方格中的任意一个中,故有16种不同方法;第二步放棋子B,放A棋子的一行和一列
都不能放B,还剩下9个方格可以放B,所以B 有9种方法;第三步放C,再去掉放B的行和列,还有4个方格可以放C,故C有4种放法;最后放D,再去掉C所在的行和列,只剩下一个方格放D了,D只有一种方法,由乘法原理,共有
16×9×4×1=576(种)不同放法。
在解题时应注意加法原理和乘法原理的区别,往往是要综合使用的。
例 5 从北京到郑州可以坐飞机,乘火车,还可以乘汽车。一天中有飞机2班,火车有3趟,汽车有5趟。同一天中从北京到郑州乘坐以上三种交通工具,共有几种不同的走法?
分析与解:
三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地,那么每类交通工具中有几中不同的方法。(飞机2班,火车3趟,汽车5趟)因此,要到达目的地应有2+3+5=10不同的方法。
根据此题,得出如下结论:
加法原理要完成一种任务有几类办法,在第一类办法中有m
1
中不同方法;在第二类办法中有
m
2中不同方法;……在第n类办法中有m
n
中不同
方法。在这些不同的方法中,每一种方法都能独立完成任务,那么完成这一任务共有:
N= m
1+m
2
+……+m
n
。
例6:如图:从甲地到乙地有4条路可走,从乙地到丙地有2条路可走,从甲地到丙地有3条路可走。那么,从甲地到丙地共有多少种不同走法?
乙
甲丙
解:从甲地到丙地共有两类不同走法。
第一类:由甲地途径乙地到丙地。这时要分二步走。第一步,从甲地到乙地有4种走法;第二步从乙地到丙地有2种走法。据乘法原理,从甲地经乙地到丙地共有: 4×2=8
种不同走法。
第二类:从甲地直接到丙地,有3种走法。由加法原理,从甲地到丙地若有
8+3=11 种不同的走
法。
例7:有两个相同的正方体,每个正方体的六个面上标有数字1、2、3、4、5、6,将两个正方体任意放到桌面上,向上一面的两个数字之和为偶数的有多少种情形?
解:两个数字之和为偶数,这两个数字的奇偶性必相同,所以分两大类。
第一类:两个数字同奇,第一个正方体有3种可能,第二个正方体也有3种可能,由乘法原理,共有3×3=9种不同的情形。
第二类:是两个数字同偶。也有9种不同的情况。
据加法原理:两个正方体向上一面数字之和为偶数。共有:
9+9=18
种不同的情况。
基本训练
1.某校六一班有35人,六二班有40人,六三班有37人。从中选1人去人民大会堂开会,有
多少种选法?
2.某校六一班第一小队有12人,第二小队有11人,第三小队有13人。从每个小队中各选1人去人民大会堂开会,有多少种选法?
3. 某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择,那么他共有几种不同的由小学读完高中的不同选择方式?
4.如图所示,三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点,且不在同一直线上的三个点一定不共线,在每条直线上各取一点可以画一个三角形,如三角形BEH,问可以画多少个不同的三角形?
A B
C D E F
G H M
5. 由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多