高考数学古典概型与几何概型

第十二章概率与统计

专题1古典概型的概率

■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,古典概型的概率,填空题,理15)从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率

是.

答案:

解析:第一次位置调换之后有乙甲丙、甲丙乙、丙乙甲三种情况,第二次位置调换之后各有甲乙丙、

丙甲乙、乙丙甲这三种情况,而甲在乙左边的情况有甲乙丙、丙甲乙两种情况,所以甲在乙左边的概

率是.

■(2015辽宁大连高三双基测试,古典概型的概率,填空题,理14)5人随机站成一排,甲、乙两人不相邻

的概率是.

答案:

解析:依题意,所求的概率等于1-=1-.

■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,古典概型的概率,填空题,理14)有一名同学在书写英文单词“error”时,只是记不清字母的顺序,那么他写错这个单词的概率是.

答案:

解析:将此问题转化为插空问题;先将3个r排好,此时产生4个空位,当e和o分别插不同的2个空位时,共有=12种方法;当e和o插入同一个空位时,共有4=8种方法;因为正确的写法只有1种,故所求

概率P=1-.

■(2015银川二中高三一模,古典概型的概率,选择题,理6)将三封信件投入两个邮箱,每个邮箱都有信

件的概率是()

A.1

B.

C.

D.

答案:B

解析:依题意,所求概率P=1-,故选B.

■(2015银川一中高三二模,古典概型的概率,填空题,理14)从某地高中男生中随机抽取100名同学,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知体重的平均值为

kg;若要从身高在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动,

再从这12人中选两人当正副队长,则这两人体重不在同一组内的概率为.

答案:64.5

解析:依题意,由图中数据可知体重的平均值为

45×0.05+55×0.35+65×0.30+75×0.20+85×0.10=64.5kg;若要从身高在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的

男生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动,其中应从这三组中分别抽取6,4,2人,再从这12

人选两人当正副队长,则这两人体重不在同一组内的概率为1-.

专题2古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等)

■(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等),选择题,理5)已知a∈{-2,0,1,3,4},b∈{1,2},则函数f(x)=(a2-2)x+b在R上为增函数的概率是()

A. B. C. D.

答案:B

解析:利用概率公式求解.(a,b)的所有可能取值有5×2=10种,其中满足函数f(x)在R上单调递增,即

a2>2的a=-2,3,4,则(a,b)的取值有3×2=6种,所求概率为,故选B.

专题3几何概型在不同测度中的概率

■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,几何概型在不同测度中的概率,填空题,理15)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是.

答案:1-

解析:依题意,题中的三角形(其三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(5,1),C(1,1),三边长分别是3,4,5)区域

的面积是×3×4=6,分别以点A,B,C为圆心,1为半径的圆形区域与△ABC区域的公共区域的面积等于π×12=π,因此所求的概率等于1-÷6=1-.

■(2015东北三省三校高三第一次联考,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理9)不等式组表示的点集记为A,不等式组表示的点集记为B,在A中任取一点P,则P∈B的概率为()

A. B. C. D.

答案:A

解析:联立解得x=-1或x=2.由几何概型知识可知所求概率P=,故选A.

■(2015银川一中高三二模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理3)在边长为1的正方形OABC

中任取一点P,则点P恰好落在正方形与曲线y=围成的区域内(阴影部分)的概率为()

A.B.C.D.

答案:B

解析:依题意,正方形OABC的面积为1,题中的阴影区域的面积等于d x=,因此所求的概率等于,故选B.■(2015银川高中教学质量检测,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理9)在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域是α,不等式组所表示的平面区域为β,在区域α内随机取一点P,则点P落在区域β内的概率是()

A. B. C. D.

答案:D

解析:利用几何概型的概率公式求解.平面区域α是以点(0,0),(8,0)和(0,8)为顶点的三角形,面积为32,其中在平面β42=24,所求概率为,故选D.

专题2求离散型随机变量的分布列

■(2015银川一中高三二模,求离散型随机变量的分布列,解答题,理19)某工厂生产甲、乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测,

(1)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率;

(2)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件芯片乙,若是合格品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(1)的前提下,

①记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润,求随机变量X的分布列;

②求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率.

解:(1)芯片甲为合格品的概率约为,

芯片乙为合格品的概率约为.

(2)①随机变量X的所有取值为90,45,30,-15.

P(X=90)=;

P(X=45)=;

P(X=30)=;

P(X=-5)=.

所以,随机变量X的分布列为

②设生产的5件芯片乙中合格品有n件,则次品有5-n件.

依题意得50n-10(5-n)≥140,解得n≥,

所以n=4或n=5.

设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A,

则P(A)=.

专题2离散型随机变量的均值与方差

■(2015辽宁大连高三双基测试,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)

某研究性学习小组,从某公路服务区内,在小型汽车中按进服务区顺序的先后,每隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行车速调查,将车速度(km/h)分成六

段:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100].统计后得到如图的频率分布直方图.

(1)研究性学习小组用到的抽样方法是;

(2)若从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆,求车速在[80,85)和[85,90)内都有车辆的概率;

(3)若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆,求车速在[75,80)的车辆数的数学期望.

解:(1)系统抽样.

(2)车速在[80,90)的车辆共有(0.04+0.06)×5×40=20辆,速度在[80,85),[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆.

记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车,车速在[80,85)内的有2辆,在[85,90)内的有1辆为事件A,车速在[80,85)内的有1辆,在[85,90)内的有2辆为事件B,则P(A)+P(B)=.

(3)车速在[70,80)的车辆共有(0.01+0.02)×5×40=6辆,车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆,若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆,设车速在[75,80)的车辆数为X,则X的可能取值为1,2,3.

P(X=1)=;

P(X=2)=;

P(X=3)=.