椭圆标准方程典型例题及练习题

椭圆标准方程典型例题

例1已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和35

2，过P 点作焦点所在轴

的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且

3541=

PF ，35

22=

PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．

从

2

1PF PF >知

2

PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，

2

1

sin 1

221=

=

∠PF PF F PF ，

可求出

621π

=

∠F PF ，

3526

cos

21=

⋅=π

PF c ，从而310

222=

-=c a b ．

∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或151032

2=+y x ．

例2 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是

椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用

C ab S sin 21

=

∆求面积．

解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知：

221F F 2

221PF PF +=1

2PF -·

224cos c PF =α．①

由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得

αcos 122

21+=⋅b PF PF ． 故αsin 21212

1PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=

b

2tan 2α

b =．

例3 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()6432

2=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，

即定点()03，

-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即

8

==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为7342

2=-=b 的椭圆的方程：17162

2=+y x ．

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程

的一种重要思想方法．

例4 已知椭圆1

222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，

A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足

21-

=⋅OQ OP k k ，

求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+=+=+=+④

，③，②，①，y y y x x x y x y x 2222222

1212

22

22121

①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．

由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有

()()0

22

12

12121=-+++x x y y y y x x ，

将③④代入得

022

12

1=--+x x y y y

x ．⑤

（1）将

21=x ，21=

y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程

222

2=+y x 得041662=-

-y y ，041

6436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．

（2）将22

12

1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分） （3）将21

2121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222

2=--+y x y x ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得 ： ()

222

2212

221=+++y y x x ， ⑦，

将③④平方并整理得

2122

22124x x x x x -=+， ⑧，

2122

22124y y y y y -=+， ⑨

将⑧⑨代入⑦得：

()

2244242122

12=-+-y y y x x x ， ⑩

再将2

12121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 1

212

2

=+y x ．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例5 已知椭圆

142

2=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为510

2，求直线的方程．

解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程142

2=+y x 得

()142

2=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()

020*******

2

2

≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得

25

25≤≤-

m ．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得

5221m

x x -

=+，51221-=m x x ． 根据弦长公式得 ：

5102514521122

2

=-⨯

-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例6 以椭圆13122

2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，

点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

解：如图所示，椭圆1

3122

2=+y x 的焦点为()031，

-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．