微分方程练习题基础篇答案

常微分方程基础练习题答案

求下列方程的通解

1.

dy

xy dx

= 分离变量 dy xdx y =，2

2

x y Ce =，C 为任意常数

2.0xydx = 分离变量

dy y =

，y =C 任意常数

3.ln 0xy y y '-= 分离变量

1

ln dy dx y y x

=，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量

2211ydy xdx y x

=+-，22

(1)(1)y x C +-= 25.

(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du

dx u =+

1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y

dy x y dx x

+

=-，令y u x =，dy du u x dx dx

=+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ，y

u x

=回代得通解

2arctan ln y y x C x x =++

7.0xy y '-=

方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x =

dx x = arctan ln u x C =+，y

u x

=回代得通解arctan ln y y x C x x =++

8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x

=-，1

Cx u e +=，1Cx y xe +=

9.24dy xy x dx

+=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --⎰⎰=+=+⎰ 2

10.2dy y x dx x

-=,一阶线性公式法1123(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -⎰⎰=+=+⎰

2

2

11.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3

2

14()13

y x C x =++

212.(6)

20dy

y x y dx

-+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+

213.3y xy xy '-=，方程变形为

2

113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx

--==-代入方程得

3dz

xz x dx

+=-一阶线性公式法再将z 回代得23

2113x Ce y -=- 411

14.

(12)33

dy y x y dx +=-，方程变形为4

3

1111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34,

3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz

z x dx

-=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x

Ce x y

=-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解

2312x x y C e C e --=+

16.162490y y y '''-+=，特征方程为2

162490r r -+=，特征根为1,234

r =，通解

34

12()x y C C x e =+

17.0y y '''+=，特征方程为20r r +=，特征根为120,1r r ==-，通解12x y C C e -=+

18.450y y y '''-+=，特征方程为2450r r -+=，特征根为122,2r i r i =-=+，通解

212(cos sin )x y e C x C x =+

219.()0x y dx xdy --=，全微分方程2

()0x dx ydx xdy -+=，3()03x d d xy -=，通解33x xy C -= 320.()()0x y dx x y dy ---=，全微分方程3

()0x dx ydx xdy ydy -++=，42

()042

x y d d xy d -+=，通解42

42

x y xy C -+=

2221.()(2)0x y dx xy y dy +++=全微分方程22(2)0x dx y dx xydy ydy +++=，

322()032x y d d xy d ++=，通解32232

x y xy C ++=

22.(cos cos )sin sin 0x y x y y x y '+-+=，全微分方程

(cos sin )(cos sin )0x ydy ydx xdy y xdx ++-=，(sin )(cos )0d x y d y x +=，通解 sin cos x y y x C +=

2223.(3)(2)x y dx x y x dy C ++-=，22320x dx x ydy ydx xdy ++-=，积分因子21

x

μ=

，方程变为2

320ydx xdy dx ydy x -++

=，230y d x dy d x +-=，通解2

3y x y C x

+-= 2

2

24.()xdx ydy x y dx +=+，积分因子221x y μ=

+，方程变为22

0xdx ydy

dx x y

+-=+，221[ln()]02d x y dx +-=通解221

ln()2

x y x C +-= 2

2

25.()0x y y dx xdy ++-=，2

2

()0x y dx ydx xdy ++-=，积分因子22

1

x y μ=+，方程变为

22

0ydx xdy dx x y -+

=+，arctan 0x dx d y +=，通解arctan x

x C y

+= 326.sin x y e x ''=+，可降阶()()n y f x =型，逐次积分得通解3121sin 9

x

y e x C x C =-++

227.1y y '''=+，可降阶令()p x y '=，原方程化为2

1p p '=+可分离变量型，得1tan()y p x C '==+，

积分得通解12ln cos()y x C C =-++

28.y y x '''=+，可降阶(,)y f x y '''=型，令()p x y '=，原方程化为p p x '-=，一阶线性非齐次

公式法得11x

y p C e x '==--，积分得通解2

1212

x

y C e x x C =-

-+