中考数学专题复习如何解答最值问题(含答案)

中考数学复习如何解答最值问题

最值问题是初中数学的重要内容，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题。

下面绍如何利一次函数，二次函数的性质和对称性求最值。

◆一次函数的最值问题

一、典型例题：

1、（2010陕西）某蒜薹生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售，并按这三种方式销售，计划每吨的售价及成本如下表：

若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y（元）蒜薹x（吨），且零售是批发量的1/3。

（1）求y与x之间的函数关系；

（2）由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。

解：（1）由题意，批发蒜薹3x吨，储藏后销售（200-4x）吨

则y=3x(3000-700)+x·（4500-1000）+（200-4x）·（5500-1200）

=-6800x+860000，

（2）由题意得200-4x≤80 解之得x≥30

∵-6800x+860000 -6800＜0

∴y的值随x的值增大而减小

当x=30时，y最大值=-6800+860000=656000元

2、（广东清远2009）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．

（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式．

（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；

请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？

解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+

（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)

0.30.4(50)17.2(2)x x x x +-⎧⎨

+-⎩

≤…………≤………

解不等式（1）得：30x ≤ 解不等式（2）得：28x ≥

∴不等式组的解集为2830x ≤≤

150y x =+，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤ ∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，

成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元） ◆二次函数的最值问题 一、典型例题：

1、（2010武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。

(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；

(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1) y =50-

10

1

x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。 (2) W =(50-101x )(180+x -20)= -10

1

x 2+34x +8000； (3) W = -

101x 2+34x +8000= -10

1(x -170)2+10890， 当x <170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160， ∴当x =160时，W 最大=10880，当x =160时，y =50-

10

1

x =34。答：一天订住34个房间时，个房间时， 宾馆每天利润最大，最大利润是10880元

3、（2010潍坊）学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD ，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米.图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖.

（1）要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？

（2）如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元.当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？

解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x 米，根据题意，得：

()()2410028025200x x x +--=

整理，得：2

453500x x -+= ···································································· 3分 解之，得：123510.x x ==， 经检验，123510x x ==，均适合题意.

所以，要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米. ································································································· 5分

（2）设铺矩形广场地面的总费用为y 元，广场四角的小正方形的边长为x 米，则，

()()()()2

304100280220210022802y x x x x x x x ⎡⎤=⨯+--+⨯-+-⎡

⎤⎣⎦⎣⎦ 即：2

803600240000y x x =-+

配方得，()2

8022.5199500y x =-+ ·························································· 8分 当22.5x =时，y 的值最小，最小值为199500.

所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199500元.

练习

1、（广东茂名2008）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（4分）

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（4分）

（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（2分）