中考数学 提高题专题复习中考数学压轴题练习题及解析

一、中考数学压轴题

1．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）． （1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ；

（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；

（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．

2．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．

(1)（课本习题）如图①，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE=CD ． 求证：DB=DE

(2)（尝试变式）如图②，△ABC 是等边三角形，D 是AC 边上任意一点，延长BC 至E ，使CE=AD ． 求证：DB=DE ．

(3)（拓展延伸）如图③，△ABC 是等边三角形，D 是AC 延长线上任意一点，延长BC 至E ，使CE=AD 请问DB 与DE 是否相等? 并证明你的结论．

3．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （概念感知）

（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=?，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

（问题探究）

（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到

DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求

AB BC

的值． （拓展提升）

（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．

10

5

AB BC =

，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα?<

=?时，则CD =_________；

②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求

AD

CD

的值．

4．已知．在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=23，若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．

（1）求经过点O ，C ，A 三点的抛物线的解析式．

（2）若点M 是抛物线上一点，且位于线段OC 的上方，连接MO 、MC ，问：点M 位于何处时三角形MOC 的面积最大？并求出三角形MOC 的最大面积．

（3）抛物线上是否存在一点P ，使∠OAP=∠BOC ？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ?的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点

D ，A

E 平分BAC ∠交边BC 于点E ，经过点A D E 、、的圆的圆心

F 恰好在y 轴上，

⊙F 与y 里面相交于另一点G ． （1）求证：BC 是⊙F 的切线 ；

（2）若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，求⊙F 的半径及线段AC 的长； （3）试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

6．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=?，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，

AF CD ⊥，垂足为F ．

（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；

（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由；

②若1

2,(33)2

ADH

a S

==

+，求sin GAB ∠的值．

7．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系

(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．

①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；

(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段

FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；

(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．

8．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝1

3

，BC ＝8． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径OC ；

（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．

9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1

22y x =-

+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点,C 抛物线2

y ax bx c =++的对称轴是直线3,2

x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C

、两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当BM CM -的值最小时，请你求出点M 的坐标；

（3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，

60C ?∠=

（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形

''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:

（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为

AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直

接写出此时,H I 点的坐标.

11．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.

（1）求点A 的坐标；

（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；

（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.

12．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且2n -2n -，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；

（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、

Q ∠的数量关系并说明理由；

（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．

13．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，

8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A

开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，

08t <<．

（1）当t 为何值时，PQ

BD ？

（2）设五边形QPBCM 的面积为(

)2

S cm

，求S 与t 之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的11

15

？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出

t 的值；若不存在，请说明理由．

14．在菱形ABCD 中，点P 是对角线BD 上一点，点M 在CB 的延长线上，且

PC PM =， 连接PA ．

()1如图①，求证：PA PM =；

()2如图②，连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ?∠=求证 =PC AM ；

()3连接AM ，当 90ADC ?∠=时，PC 与AM 的数量关系是

15．AB 是

O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，

连接CD 交AB 于E ，

（1）如图(1)求证：90AEC ∠=?；

（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接

MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠

（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8，求线段MN 的长度

16．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC

△的斜边在AB在x轴上，点C在y轴上90

ACB

∠=?，OC、OB的长分别是一元二次方程2680

x x

-+=的两个根，且

OC OB

<．

（1）求点A的坐标；

（2）D是线段AB上的一个动点（点D不与点A，B重合），过点D的直线l与y轴平行，直线l交边AC或边BC于点P，设点D的横坐标为t，线段DP的长为d，求d关于t的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，当

1

2

d=时，请你直接写出点P的坐标．

17．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接 BD，点E在⊙O上，连接 BE交 AD于点F，

∠BDC+45°=∠BFD，连接ED．

（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB；

（2）如图2，点G是 AB上一点，过点G作 AB的垂线分别交BE和 BD于点H和点K，若HK=BG+AF，求证：AB=KG；

（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O上有一点N，连接 CN分别交BD和 AD于10点 M 和点 P，连接 OP，∠APO=∠CPO，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB的长．

18．定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．

例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣

5．

（1）当m ＝0时

①一次函数y ＝x ﹣1关于点P 的相关函数为 ； ②点（

1

2，﹣98

）在二次函数y ＝﹣ax 2﹣ax +1（a ≠0）关于点P 的相关函数的图象上，求a 的值．

（2）函数y ＝（x ﹣1）2+2关于点P 的相关函数y ＝﹣（x +3）2﹣2，则m ＝ ； （3）当m ﹣1≤x ≤m +2时，函数y ＝x 2﹣mx ﹣12

m 2

关于点P （m ，0）的相关函数的最大值为6，求m 的值．

19．如图，在?ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝23，在AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．

20．如图，直角梯形ABCD 中，

1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ??∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线

——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以

3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点

A 、点

B 同时出发，运动的时间为ts

（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值； （2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，

1O 与2O 外切？

21．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和

y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的

速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒．

（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；

（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；

（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4

x 0x

y =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4

x 0x

y =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．

（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ；

（2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4

x 0x

y =

>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

23．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC、AD于点E、F．

（1）当α=_____°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形，

①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；

②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．

24．问题一：如图①，已知AC＝160km，甲，乙两人分别从相距30km的A，B两地同时出发到C地．若甲的速度为80km/h，乙的速度为60km/h，设乙行驶时间为x（h），两车之间距离为y（km）．

（1）当甲追上乙时，x＝．

（2）请用x的代数式表示y．

问题二：如图②，若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB正好对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），易知∠AOB＝30°．

（3）分针OD指向圆周上的点的速度为每分钟转动km，时针OE指向圆周上的点的速度为每分钟转动°；

（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？

25．已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P，G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG

绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．

（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．

①求证：DF=PG；

②若AB=3，PC=1，求四边形PEFD的面积；

（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题

1．B

解析：（1）1.5；（2）3；（3）

()

)

)

2

2

2

9333

315393

273

3

.

3

0 1.5

15

34

93

x

y x

x

x

x

x

x x

?

?

?

??

=?

?

?

-

?

??

≤

≤≤

≤

＜

＜

【解析】

【分析】

（1）令PQ⊥BC，表示出BP和BQ的长，利用余弦的定义得出方程，求解即可；

（2）根据△ABC是等边三角形得出BQ=CM，表示出PC的长，结合余弦的定义得出方程，求解即可；

（3）根据（1）和（2）中结论，分0≤x＜1.5时，1.5≤x≤3时，3＜x≤4时三种情况画出图形，求出相应边长，可得函数解析式.

【详解】

解：（1）当PQ⊥BC时，

BP=1.5x，BQ=6-x，

∴BQ=

1.5

cos cos60

BP x

ABC

=

∠?

，即6-x=

1.5

1

2

x

，

∴6-x=3x，

解得：x=1.5，

∴当x=1.5时，PQ⊥BC；

（2）∵△ABC是等边三角形，QM∥BC，∴AQ=AM，BQ=CM，

PC=6-1.5x，

CM=

6 1.5

123

1

cos60

2

PC

x

x

-

==-

?，

∴BQ=12-3x，AQ=x，

∴12-3x+x=6，

解得x=3，

∴当点M落在AC上时，x=3（s）；

（3）当0≤x＜1.5时，过Q作QE⊥BC于E，

∵BQ=6-x，

∴QE=BQsin∠B=BQsin60°，而DP=BPtan∠B=BPtan60°，y=S△BPQ-S△BPD

=

11

22

BP QE BP DP

?-?

=()()

11

sin60tan60

22

BP BQ BP BP

?-?

=2

9333

42

x x

-；

当1.5≤x≤3时，过点Q作QD⊥BC于D，

可知：四边形QDPM为矩形，

∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°，

PM=MC·sin60°=BQ·sin60°， 则y=S △PQM

=1

2QM PM ? =()1

cos60sin 602

BP BQ BQ -????? =2315393

242

x x -

+-

；

当3＜x≤4时，

如图所示，过点Q 作QE ⊥BC 于点E ， 可知四边形QEPM 为矩形， ∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan ∠B=1.5x-1

2

（6-x ）=2x-3， ∵QM ∥BC ，

∴△AQO 为等边三角形，∠MON=∠C=60°， ∴AQ=OQ=AO=x ， ∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3， ∵PC=6-1.5x ，∠C=60°， ∴NP=PC·

tan ∠C= PC·tan60°=3632x ??

-? ???

， ∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·

sin ∠B-NP=（6-x ）·sin60°-3632x ??

-? ??

?

=333x -，

y=S △PQM -S △NOM

=

11

22

MQ PM OM MN ?-?

=2242x x -

+-

-1

2

（x-3

-）

=2x -故y 关于x

的函数解析式为(

)

))2

22

422423.0 1.515344x x y x x x x x x ?-?

???=-+-???+-???

≤≤≤≤＜＜. 【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的应用—几何问题，难度较大，解题的关键是根据图形的运动情况分情况求解.

2．D

解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE 成立，证明见详解 【解析】 【分析】

（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE ，则∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE ；

（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，证明△BDC ≌△EDG ，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，由“SAS ”可证△BCD ≌△EFD ，可得DB=DE ． 【详解】

证明：（1）∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=∠BCA=60°， ∵点D 为线段AC 的中点， ∴BD 平分∠ABC ，AD=CD ， ∴∠CBD=30°， ∵CD=CE ， ∴∠CDE=∠CED ， 又∵∠CDE+∠CED=∠BCD ， ∴2∠CED=60°， ∴∠CED=30°=∠CBD ， ∴DB=DE ；

（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，如图，

∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°， ∴△DGC 为等边三角形， ∴DG=GC=CD ，

∴BC-GC=AC-CD ，即AD=BG ， ∵AD=CE ， ∴BG=CE ， ∴BC=GE ，

在△BDC 和△EDG 中，

60DC DG BCD EGD BC EG =?

?

∠=∠=???=?

， ∴△BDC ≌△EDG （SAS ） ∴BD=DE ； （3）DB=DE 成立，

理由如下：过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，

∴∠CDF=∠A ，∠CFD=∠ABC ， ∵△ABC 是等边三角形

∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB ， ∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF ， ∴△CDF 为等边三角形 ∴CD=DF=CF ， 又AD=CE ， ∴AD-CD=CE-CF ， ∴BC=AC=EF ，

∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°， ∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°， ∴∠BCD=∠DFE ，且BC=EF ，CD=DF ，

∴△BCD ≌△EFD （SAS ） ∴DB=DE ． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

3．A

解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）

329

10

AB BC =

；（3）①125615-；②35

AD CD =

． 【解析】 【分析】

（1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到6103

5

AD BC ==，即可得到结论；

（2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出

AB

BC

的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF

的长度，然后得到CD 的长度；

②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF

AE EC

=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案． 【详解】

解：（1）ABC 是“准黄金”三角形． 理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， ∵12AC =，30ACB ∠=?，

∴1

62

AD AC =

=． ∴:6:103:5AD BC ==．

∴ABC 是“准黄金”三角形．

（2）∵点A ，D 关于BC 对称， ∴BE AD ⊥，AE ED =．

∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”， ∴:3:5AE BC =．

不防设3AE k =，5BC k =， ∵点C 为ABD △的重心， ∴:2:1BC CE =． ∴52k CE =

，152

k BE =． ∴2

2

15329(3)2k AB k k ??=+= ?

??

． ∴

329329:5AB k k BC ==

． （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：

由题意得AE=3， ∵

3

5

AE BC =， ∴BC=5， ∵

10

AB BC =

， ∴10AB ，

在Rt △ABE 中，由勾股定理得：

22(10)31BE =-=，

∴156EC =+=， ∴223635AC =+=

∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ， ∴△ACE ∽△DAF ， ∴

31

2

6AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =，

∵∠ACD=30°，

∴3CF x =，

∴(23)35AC x =+=， 解得：65315DF x ==- ∴2125615CD DF ==-．

②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =． ∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”， ∴:3:5AE BC =． ∴5BC =． ∵

10

AB BC =

， ∴10AB ．

∴221BE AB AE =

-=．

∴6CE BE BC =+=，2236935AC CE AE =+=+=． 分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，

∴90B GC DFC '∠=∠=?，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=． ∵GCB FCD α'∠=∠=， ∴AEC DFA ∽△△．

∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==． ∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =． ∵12l l //，

∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=?． ∴AEC DFA ∽△△． ∴DF AF

AE EC

=． ∴

33543k k

-=

，解得35k =