中考数学提高题专题复习中考数学压轴题练习题及解析

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中考数学提高题专题复习中考数学压轴题练习题附解析

一、中考数学压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ，∠AFO=45°．（1）求∠FAB 的度数；（2）点 P 是线段OB 上一点，过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ，连接 BQ ，取 BQ 的中点C ，连接AP 、AC 、CP ，过点C 作 CR ⊥AP 于点R ，设 BQ 的长为d ，CR 的长为h ，求d 与 h 的函数关系式（不要求写出自变量h 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ，CE 交 AB 于点D ，连接 AE ，∠AEC=2∠DAP ，EP=2，作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ，求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．3．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点．（1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ；（2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ；（3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由．4．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA =x ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在线段AD 上运动时，是否存在实数x ，使得以点P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时，请直接写出DP 满足的条件：．5．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=︒．（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ∆的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ∆的面积为8时，求t 的值．6．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．7．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点,C 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线3,2x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C 、两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当BM CM -的值最小时，请你求出点M 的坐标；（3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的横坐标为1，对称轴交x 轴交于点E ，交BC 与点F .（1）求顶点D 的坐标；（2）如图2所示，过点C 的直线交直线BD 于点M ，交抛物线于点N .①若直线CM 将BCD ∆分成的两部分面积之比为2:1，求点M 的坐标；②若NCB DBC ∠=∠，求点N 的坐标．10．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEP S =，求sin APB ∠的最大值．11．（1）如图①，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，13AB =，5BC =，则tan A 的值是_______．（2）如图②，在正方形ABCD 中，5AB =，点E 是平面上一动点，且2BE =，连接CE ，在CE 上方作正方形EFGC ，求线段CF 的最大值．问题解决：（3）如图③，O 半径为6，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，点, A B 在O 上，点C 在O 内，且3tan 4A =．当点A 在圆上运动时，求线段OC 的最小值．12．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．13．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若728CG AG =，求点P 的坐标．14．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角．（3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．15．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，且OB OC =，()2,0A -．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围）（3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=︒，连接OF 、CP 、PB ，FOB ∆的面积为3600169，求PBC ∆的面积． 16．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；（1）如图1，连接CO 并延长交O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF AB BF =，求证：BAF HAF ∠=∠；（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为O 上一点，连接ED 、OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=︒，若OF 3=，FH 4=，1362EBD S ∆=，连接OE ，求线段OE 的长．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线212y ax bx =++过D ，C ，E 三点．（1）当//DE AB 时，①求抛物线的解析式；②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．点E 的坐标． 18．如图，直角梯形ABCD 中，1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值；（2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，1O 与2O 外切？19．如图1，以AB 为直径作⊙O ，点C 是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC ，BC ，过点C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．（1）如图1，连结AD ，求证：∠ADC ＝∠DEC ．（2）若⊙O 的半径为5，求CA •CE 的最大值．（3）如图2，连结AE ，设tan ∠ABC ＝x ，tan ∠AEC ＝y ，①求y 关于x 的函数解析式； ②若CB BE ＝45，求y 的值． 20．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若80A ∠=︒，则BDC ∠的度数为______；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若//MN AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)；②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问在旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由：③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示)．21．问题提出（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小．问题探究（2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点,D E ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值．问题解决（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和()BB CC DD '''++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．22．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF ∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.23．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG （a>b ），开始时，点E 在AB 上，如图1．将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．24．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角：；所有与∠C 相等的角：．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ．① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．25．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．F解析：（1）∠FAB=90°；（2）22d h =；（3）直线PS 与直线AF 的交点K(-2，6)．【解析】【分析】（1）通过直线AB 的解析式可求出点A 、B 的坐标，可知AOB 是等腰直角三角形，再结合已知条件即可确定90FAB ∠=︒；（2）根据已知条件证明CP=AC=QC=BC 从而得出△ACP 是等腰直角三角形，在Rt △CRP 中，利用sin ∠CPR 22CR CP ==2CP CR =，继而得出2BQ CR =，得出答案；（3）过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ，延长 CH 到点 G ，使 HG=CH ，连接AG ，证明△AHC ≌△CEP ，设AH CE n ==，得出EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4，再通过角的等量代换，得出∠EAG=∠G ，从而有EG=EA=n+4，在Rt △AHE 中，通过勾股定理AE²=HE²+AH²可求出n 的值为6，从而得出直线AF 的解析式y = x + 8 ，再求出直线PS 的解析式为 y=-x+4，求交点即可．【详解】解：（1）如下图，y = -x + m ，当x=0时，y=m∴A （0，m ），OA=m当y=0时，0=-x+m ，x=m ，∴B （m ，0），OB=m∴OA=OB∴∠OAB=∠OBA=45°∵∠AFO=45°，∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°∴∠FAB=90°（2）如下图，∵CP 、AC 分别是 Rt △QPB 和 Rt △QAB 的斜边上的中线∴CP= 12QB ，12AC QB =， ∴CP=AC=QC=BC∴∠CAB=∠CBA 设∠CAB=∠CBA=α，∴∠CBP=45°+α∴∠CPB=∠CBP=45°+α∴∠PCB=180°-（∠CPB+∠CBP ）=90°-2α∵∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-2α∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=180°-2α-（90°-2α）=90°∵AC=CP∴△ACP 是等腰直角三角形∴∠CPA=∠CAP=45°∵CR ⊥AP ，∴∠CRP=90°，在Rt △CRP 中sin ∠CPR 22CR CP == ∴2CP CR =∵12CP BQ =， ∴22BQ CR =即22d h =（3）过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ，延长 CH 到点 G ，使 HG=CH ，连接AG ∴∠AHC=∠CEP=90°∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA∴∠HAC=∠PCE ，∵AC=CP∴△AHC ≌△CEP∴CH=PE=2，AH=CE ，∴GH=CH=2，AH CE n ==∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4设∠DAP=β，则∠AEG=2β∴α+β=45°∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°∴∠CAH=∠HAD-α=45°-α=β∵AH 垂直平分 GC∴AG=AC∴∠GAH=∠CAH=β∴∠G=90°-β 在△EAG 中∠EAG=180°-∠G-∠AEG=180°-（90°-β）-2β =90°-β∴∠EAG=∠G∴EG=EA=n+4在 Rt △AHE 中，AE²=HE²+AH²222(4)(2)n n n +=++126,2n n ==-（舍）∴AH=OE=6，EP=EB=2∴OB=OE+BE=8∴m=8，∴A （0，8）∴OA=OF=8 ， ∴F （-8，0）∴直线 AF 的解析式为 y = x + 8∵CD=CE-DE=CE-BE=6-2=4∵线段 CD 关于直线 AB 的对称线段 DS∴SD=CD=4，∠CDA=∠SDA=45°∴∠CDS=90°，∴SD ∥x 轴过点 S 分别作 SM ⊥x 轴于点 M ，SN ⊥y 轴于点 N∴四边形 OMSN 、SMED 都是矩形∴OM=SN=OE-ME=2，ON=SM=DE=BE=2∵OP=OE-EP=6-2=4，∴P(4，0)设直线 PS 的解析式为 y=ax+b∴4022a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩∴直线 PS 的解析式为 y=-x+4设直线PS 与直线AF 的交点K(x ，y)∴48y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得26x y =-⎧⎨=⎩∴直线PS 与直线AF 的交点K(-2，6)．【点睛】本题考查的知识点是一次函数与几何图形，将一次函数的图象与几何图形综合在一起的问题，是考查学生综合素质和能力的热点题型，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想．本题考查的知识点有一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰直角三角形的判定及性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定及性质、矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线等．2．A解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599y x =+ 【解析】【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；（3）如下图，先证ACR CAD ∆≅∆，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得．解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==．45BAO ∴∠=︒，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒，2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=︒6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+，将B 、C 两点坐标代得606k b b +=⎧⎨=⎩ 解得16k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为6y x =-+．（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，6DK t =-+， 16362S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<；如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．45BAO BCO ∠=∠=︒，BA BC ∴=．AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠．ACR CAD ∴∆≅∆．BAD BCR ∴∠=∠．AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥，HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ，::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=．同理NF DG =．RD CN =．∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=．RP PD BP ==，5tan 19PG OF OBF BP OB∴==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6OC =，8419CF ∴=． 7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =．52OP OB BP ∴=-=． (1,0)N ∴-，75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入，07522a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得5959a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DM 的解析式为5599y x =+．【点睛】本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标． 3．D解析：（1）证明见解析；（22953）DG 2MG ，理由见解析．【解析】【分析】(1)连接MG 并延长交AB 于N 点，证明△ANM ≌△FGM 后得到MG=MN ，AN=CG ，进而得到BN=BG ，得到△ANG 为等腰直角三角形，即可证明MG=MB.(2)分两种情况画出图形再利用(1)中的思路结合勾股定理即可求解.(3)先画出图形，然后证明△ADG ≌△ABG ，得到DG=BG ，又△BMG 为等腰直角三角形，故而得到DG=BG=2MG.【详解】解：(1) 连接MG 并延长交AB 于N 点，如下图所示：∵GF ∥AN ，∴∠NAM=∠GFM在△ANM 和△FGM 中∠∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BAM GFM AM FMNMA GMF ，∴△ANM ≌△FGM(ASA) ∴MG=MN ，CG=GF=AN∴AB-AN=BC-CG∴NB=GB∴△NBG 为等腰直角三角形又M 是NG 的中点∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：故有：MG=MB.(2)分类讨论：情况一：当B 、G 、F 三点在正方形ABCD 外同一直线上时延长MG 到N 点，并使得MG=MN ，连接AN ，BN ∴∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩MN MG AMN GMF AM FM ，∴△AMN ≌△FMG(SAS)∴AN=GF=GC ，∠NAM=∠GFM∴AN ∥GF∴∠NAB+∠ABG=180°又∠ABC=90°∴∠NAB+∠CBG=90°又在△BCG 中，∠BCG+∠CBG=90°∴∠NAB=∠BCG∴在△ABN 中和△CBG 中：∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩AB BC NAB GCB AN CG ，∴△ABN ≌△CBG(SAS)∴BN=BG ，∠ABN=∠CBG∴∠ABC=∠NBG=90°∴△NBG 是等腰直角三角形，且∠BGN=45°在Rt △BCG 中，2222=534--=BG BC CG 过M 点作MH ⊥BG 于H 点，∴△MHB 为等腰直角三角形 ∴MH=BH=HG=12BG=2 在Rt △MFH 中，2222MF=2529+=+=MH HF 情况二：当B 、G 、F 三点在正方形ABCD 内同一直线上时如下图所示，延长MG 到MN ，并使得MG=MN ，连接NA 、NB ，同情况一中证明思路，∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩MN MG AMN GMF AM FM ，△AMN ≌△FMG(SAS)∴AN=GF=GC ，∠NAM=∠GFM∴AN ∥GF∴∠NAB=∠ABG又∠ABG+∠GBC=90°∠GBC+∠BIF=90°∴∠BIF=∠ABG又∠BIF=∠BCG ，∠ABC=∠NAB∴∠NAB=∠GCB∴在△ABN 中和△CBG 中：∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩AB BC NAB GCB AN CG ，∴△ABN ≌△CBG(SAS)∴BN=BG ，∠ABN=∠CBG∴∠ABC=∠NBG=90°∴△NBG 是等腰直角三角形，且∠BGN=45°在△BCG 中，2222=534-=-=BG BC CG过M 点作MH ⊥BG 于H 点，∴△MHB 为等腰直角三角形 ∴MH=BH=HG=12BG=2 ∴HF=HG-GF=2-1=1在Rt △MFH 中，2222MF=215+=+=MH HF 29 5.(3)由题意作出图形如下所示：DG 、MG 的数量关系为：2，理由如下：∵G 点在AC 上∴∠DAG=∠BAG=45°在△ADG 和△ABG 中：∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩AD AB DAG BAG AG AG ，∴△ADG ≌△BAG(SAS)∴DG=BG又由(2)中的证明过程可知：△MBG 为等腰直角三角形∴2MG∴2MG故答案为：2MG.【点睛】本题考查了正方形的旋转、三角形的全等、勾股定理等知识，难度很大，关键是要能正确做出图形，利用数形结合的思想，熟练的使用正方形的性质是解题的关键.4．D解析：（1）见解析；（2）存在，满足条件的x 的值为6或253；（3）DP =485或10＜DP ≤12【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF =∠EAB 时，则得到四边形ABEP 为矩形，从而求得x 的值；②当∠PEF =∠AEB 时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE ．再根据等腰三角形的三线合一得到F 是AE 的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．（3）首先计算圆D 与线段相切时，x 的值，在画出圆D 过E 时，半径r 的值，确定x 的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x 的取值范围,从而得出DP 的范围．【详解】（1）证明：∵矩形ABCD ，∴∠ABE =90°，AD ∥BC ，∴∠PAF =∠AEB ，又∵PF ⊥AE ，∴∠PFA =90°=∠ABE ，∴△PFA ∽△ABE ．（2）解：分二种情况：①若△EFP ∽△ABE ，如图1，则∠PEF =∠EAB ，∴PE ∥AB ，∴四边形ABEP 为矩形，∴PA =EB =6，即x =6．②如图2，若△PFE ∽△ABE ，则∠PEF =∠AEB ，∵AD ∥BC∴∠PAF =∠AEB ，∴∠PEF =∠PAF ．∴PE =PA ．∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，Rt △ABE 中，AB =8，BE =6，∴AE 22AB BE +2286+，∴EF =152AE =， ∵△PFE ∽△ABE ，∴PE EF AE BE=，∴5 106x=，∴PE=253，∴满足条件的x的值为6或253．（3）如图3，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG，∵AP=x，∴PD═DG=12﹣x，∵∠DAG=∠AEB，∠AGD=∠B=90°，∴△AGD∽△EBA，∴AD DG AE AB=，∴1212108x-=，∴x=125，∴12481255 DP=-=，当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD =DE =10，故答案为：DP =485或10＜DP ≤12．【点睛】本题考查动点问题，动点在不同地方时，得到的图形是不同的，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解． 5．C解析：（1）12,16AD CD ==；（2）277和297. 【解析】【分析】（1）根据题意由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时16秒求出CD ，再利用三角形面积公式求得AD 即可；（2）由题意可知只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时分当P 在Q 上方时以及当P 在Q 下方时两种情况运用数形结合思维进行分析得出答案.【详解】解：（1）由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时36-20=16秒，即CD=16，而此时AMD ∆的面积为96，又因为90ADC ∠=︒，即有11169622CD AD AD =⨯=,解得12AD =. 所以12,16AD CD ==. （2）由题意可知Q 运动到点A 停止的时间为285，而P 运动到点D 停止的时间为6，所以只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时以PQ 为底边，CD 为高，设运动时间为t ，则AP=2t ，QD=5t-16，（162855t ≤<）， ①当P 在Q 上方时，则有PQ=AD-AP-QD= 122516287t t t --+=-，可知CPQ ∆的面积为8时即11(287)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得277t =（满足条件）；②当P 在Q 下方时，则有PQ=QD-（AD-AP ）= 516(122)728t t t ---=-，可知CPQ ∆的面积为8时即11(728)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得297t =（满足条件）. 所以当CPQ ∆的面积为8时，t 的值为277和297. 【点睛】本题考查四边形动点问题和一次函数结合，熟练掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合思维分析是解题的关键.6．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t 的值为477-或727-．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan 3A =，可得出PN 与AP 的关系，从而求出t 的值；（2）如下图，存在2种情况，一种是点M 在△ABC 内，另一种是点M 在△ABC 外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM 所在的直线将△ABC 的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC 的面积平分．【详解】（1）如图1，点N 在AC 上图1由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t∴PN=PQ=2t∵4tan 3A =∴43NP AP =，即2473t t =-解得：t=145 （2）①如图2，图2四边形PQMN 是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -=解得73t =，故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3，图390BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-，则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩．（3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4 tan3A=∴设CG=4x，则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2∴1148562ABCS==∴128 2ABCS=情况一：PM所在的直线平分△ABC的面积，如下图，PM与BC交于点E 图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=14∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t ∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN 所在线段平分△ABC 的面积，QF 交AC 于点F ，过点F 作AB 的垂线，交AB 于点H图6同理，28AFQ S = ∵四边形PQMN 是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ 是等腰直角三角形∵4tan 3A = ∴设FH=4y ，则AH=3y ，HQ=FH=4y ，∴AQ=7y ∴174282AFQ S y y ==，解得：2∵AQ=AB －QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t 的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解． 7．C解析：（1）①32332CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3．【解析】【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(03，∴OD=1，3OE = ∴3OE tan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，3•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP 3当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•603CD cos =︒=当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，故答案为：32332CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，故点O 与线段DE 满足限距关系．故答案为O ．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ，∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴1+b ≥2（1-b ），解得13b ≥， ∴b 的取值范围为131b ≤＜．当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系，当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 没有公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为121b -，最大距离为b+1， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴11212b b ⎛⎫+≥-⎪⎝⎭，而11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭总成立， ∴b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b ≥．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r ≤3，故r 的取值范围为0＜r ≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．8．B解析：（1）213222y x x =-++；（2）3(,0)2；（3）存在；(0,2)N 或(3,2)N 或(2,3)--N 或(5,18)--N【解析】【分析】（1）由直线122y x =-+可得B 、C 两点的坐标，根据二次函数的对称轴求得A 点坐标，可设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-，将C 点坐标代入可求得a ，即可得抛物线的解析式；（2）根据绝对值的性质得出BM CM -的值最小时，点M 为BC 的垂直平分线与直线32x =的交点，求得BC 垂直平分线的解析式，联立直线32x =即可求得点M ；（3）分四种情况进行讨论，设出N 的坐标，根据相似三角形的对应边成比例的性质，求得N 的横坐标与纵坐标的关系，然后联立抛物线解析式即可求解．【详解】解：∵直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴当y =0时，即1022x =-+，解得：x =4，则点B 的坐标为(4,0)，当x =0时，10222=-⨯+=y ，则点C 的坐标为(0,2)，由二次函数的对称性可知：点A 与点B 关于直线32x =对称， ∴点A 的坐标为(1,0)-，∵抛物线与x 轴的交点为点(1,0),(4,0)A B -， ∴可设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-，又∵抛物线过点(0,2)C ， ∴2(01)(04)a =+-，解得：12a =-， ∴2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++；（2）如图1，连结CM 、BM ，作线段BC 的垂直平分线l 分别交BC 、直线32x =于点'、N M ，则N 为BC 中点；由绝对值的性质可得：0≥-BM CM ，∴当BM CM -的值最小时，即0=-BM CM ，则此时CM BM =， ∴点M 为l 与直线32x =的交点，此时M 与'M 重合，设l 的解析式为：y kx b =+， ∵直线BC 的解析式为：122y x =-+，BC l ⊥ ∴112-⋅=-k ，解得：2k =，则l 的解析式可化为：2y x b =+，由(4,0),(0,2)B C 得点N 的坐标为(2,1)，将(2,1)N 代入2y x b =+得： 14b =+，解得：3b =-，∴23y x =-，将32x =代入23y x =-，得323=02=⨯-y ，即3'(,0)2M ， ∴当BM CM -的值最小时，点M 的坐标为3(,0)2，（3）抛物线上存在点N ，使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似； ∵(1,0),(4,0),(0,2)-A B C∴1,4==OA OB ，2OC =，5AB =，∴===AC BC ===， ∵22252025+=+==AC BC AB ， ∴ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒， ∵NH x ⊥轴，∴90∠=︒NHB ，则90∠=∠=︒NHB ACB ，如图2所示，分四种情况，点N 的坐标分别为1234、、、N N N N ，设点N 的坐标为(,)m n ，①当点1N 在x 轴的上方，要使11N BH ABC ，则11∠=∠N BH ABC ，则此时点1N 与点C 重合，则此时点1H 与点O 重合，则11≅N BH ABC ，满足题意， ∴此时点1N 的坐标为(0,2)； ②当点2N 在x 轴的上方，要使22BN H ABC ，则2222==N H BCBH AC， ∴24=-nm，即28n m =-+，代入抛物线的解析式得： 21328222mm m ，化简得：27120m m ，解得：13m =，24m =（不符合题意，故舍去），将3m =代入抛物线解析式得：2n =， ∴此时点2N 的坐标为(3,2)； ③当点3N 在x 轴的下方，要使33N BH ABC ，则3332==BH BCN H AC， ∴42-=-m n ，即42-=m n ，代入抛物线的解析式得： 24132222m m m ，化简得：2280m m --=，解得：12m =-，24m =（不符合题意，故舍去），将2m =-代入抛物线解析式得：3n =-，。

2023年九年级数学中考复习《中考压轴解答题》专题提升训练(含解析)

2022-2023学年九年级数学中考复习《中考压轴解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求AE的长．2．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点D，取AD中点E，连接EC并延长交AB延长线于点F．（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CF＝12，BF＝8，求tan D．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB的延长线于点E，连结AC，BD，AB平分∠EBD，（1）求证：AC＝AD．（2）当B为的中点，BC＝3BE，AD＝6时，求CD的长．4．如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的点，D为中点，且DE⊥AC 于点E，连结CD．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，且CD＝6，求AC．5．如图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上一点，CE⊥AB，垂足为E，F为AB延长线上一点，且∠FCB＝∠ECB．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若EB＝3，BF＝6，求图中阴影部分的面积．6．如图，以▱ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连接BF．过点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．7．已知，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D．（1）如图1，求证：BD＝CD；（2）如图2，点E在上，连接CE并延长至点F，连接AF交⊙O于点G，若＝，求证：∠BAC＝2∠F；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，若CF＝5，BF＝8，求△ACF的面积．8．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，∠APB的度数应为多少时，四边形APBC 为菱形？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．9．感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°．易知：DB＝DC．（不需证明）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°．求证：DB＝DC．应用：如图3，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC，DE⊥AB，若BE＝a，则AB﹣AC的值为.（用a的代数式表示）10．定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF ＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．11．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE ＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm，E、F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD﹣DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，点C时，△DEF与点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH＝cm，DG＝cm；（2）t＝秒时点P与点G重合？（3）t为多少秒时△PDG为等腰三角形？请说明理由；（4）直接写出△PDB的面积（可用含t的代数式表示）．12．（1）问题探究：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE 于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①判断DQ与AE的数量关系：DQ AE；②推断：的值为；（无需证明）（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF 折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE 交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．13．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由，（3）填空：若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，PB＝PC，则线段PB的长为．14．【问题情境】（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．【尝试应用】（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC 的值；【拓展提升】（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．①求∠DMC的度数；②连接AC交DE于点H，直接写出的值．15．【操作与发现】如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN＝，求证：M是CD的中点．（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC 上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是．16．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1与BD1的位置关系．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝5，BD＝7，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC＝5，BD＝10，连接DD1，设AC1＝kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．17．如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图一，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D（2，8），与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图二，连接AD，BC，点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ ∥AD交CB于点Q，PQ的最大值及此时点P的坐标；（3）将该抛物线关于直线x＝1对称得到新抛物线y1，点E是原抛物线y和新抛物线y1的交点，F是原抛物线对称轴上一点，G为新抛物线上一点，若以E、F、A、G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F的坐标．19．抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+ PQ的最大值．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），点A坐标为（1，0），抛物线与y轴交于点C，S△ABC＝3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P（x，y）是抛物线上一动点，且x＞3．作PN⊥BC于N，设PN＝d，求d与x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点A作PC的平行线交y轴于点F，连接BF，在直线AF上取点E，连接PE，使PE＝2BF，且∠PEF+∠BFE＝180°，请直接写出P点坐标．参考答案1．解：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE＝∠DAE，∴∠OEA＝∠EAD，∴OE∥AD，∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°＝∠D，又∠DAE＝∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴＝＝，∵tan∠EAD＝，∴＝＝，则AE＝2BE，又AB＝10，在△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即（2BE）2+BE2＝102，解得：BE＝2，则AE＝4．2．解：（1）EF是⊙O的切线，理由如下：连接OC，AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ACD，又∴E是AD的中点，∴CE＝ED＝EA，∴∠EAC＝∠ACE，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AD是⊙的切线，AB是直径，∴∠EAB＝90°＝∠EAC+∠OAC，∴∠ACE+∠OCA＝90°，即OC⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解法一：设OC＝x＝OB，在Rt△OFC中，由勾股定理得，OC2+FC2＝OF2，即x2+122＝（8+x）2，解得x＝5，即OC＝5，∴AB＝2OC＝10，∴tan F＝＝＝＝，∴AE＝，∴DE＝2AE＝15，在Rt△ABD中，tan D＝＝＝．解法二：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ACD，∵AD是⊙O的切线，∴∠DAB＝90°，∴∠D＝∠CAB，∵∠BCF＝∠CAB，∠F＝∠F，∴△CBF∽△ACF，∴＝＝＝，∴tan D＝tan∠CAB＝＝．3．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ABE＝∠ADC，∵AB平分∠DBE，∴∠ABE＝∠DBA，∴∠ADC＝∠DBA，∵∠ACD＝∠DBA，∴∠ADC＝∠ACD，∴AC＝AD；（2）解：过A作AF⊥CD于F，∵B为的中点，∴AB＝BC，∵BC＝3BE，∴AB＝3BE，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADF＝∠ABE，∵∠AFD＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△ADF，∴＝＝，∵AD＝6，∴DF＝2，∵AC＝AD，∴CD＝2DF＝4．4．（1）证明：连接OD、OC，∵D为中点，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，又∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BAC＝∠BOD，∴OD∥AE，∴DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵D为中点，∴BD＝CD＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝＝8，∵∠DCE＝∠B，∴sin B＝＝＝＝sin∠DCE＝＝，∴DE＝，∴CE＝＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE2+AE2＝AD2，即（）2+（AC+）2＝82，∴AC＝．5．（1）证明：连接OC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠CBE＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠CBE，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∵∠FCB＝∠ECB∴∠FCB+∠OCB＝90°，∴∠OCF＝90°，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠FOC＝∠COE，∴△OCE∽△OFC，∴＝，即＝，解得：OB＝6，∴cos∠COF＝＝＝，∴∠COF＝60°，∴CF＝OF•sin∠COF＝6，∴阴影部分的面积＝×6×6﹣＝18﹣6π．6．（1）证明：如图，连接OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，∵EG⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OE∥CD∥AB，∴∠CEO＝∠CAB，∵OC＝OE，∴∠CEO＝∠ECO，∴∠ACB＝∠CAB，∴AB＝BC，∴▱ABCD是菱形；（2）如图，连接BD，由（1）得，OE∥CD，OC＝OB，∴AE＝CE，∴CE：AC＝1：2，∴点E是AC的中点，∵四边形ABCD是菱形，∴BD经过点E，∵BC是⊙O的直径，∴BF⊥CD，∵EG⊥CD，∴EG∥BF，∴△DGE∽△DFB，∴DG：DF＝GE：BF＝DE：BD＝1：2，∴DF＝2，BF＝4，在Rt△BFC中，设CF＝x，则BC＝x+2，由勾股定理得，x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴CF＝3．7．（1）证明：如图1，连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）证明：如图2，连接AD，CG，∵AC是⊙O的直径，∴∠CGF＝∠AGC＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠CGF，∵＝，∴∠DCG＝∠ACE，∴∠DCG﹣∠ACG＝∠ACE﹣∠ACG，∴∠ACD＝∠FCG，∴∠F＝∠CAD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC，∴∠BAC＝2∠F；（3）解：如图3，取CF的中点H，连接DH，GH，DG，由（1）知：BD＝CD，∴DH＝＝4，∵∠CGF＝90°，CH＝FH，∴GH＝FH＝＝，∠GFC+∠GCF＝90°，∴∠FGH＝∠GFC，∴∠FGH+∠GCF＝90°，∵＝，∴∠AGD＝∠ACD，由（2）知：∠DAC＝∠GFC，∴∠AGD＝∠GFC，∴∠FGH+∠AGD＝90°，∴∠DGH＝90°，∴DG＝＝＝，∵＝，∴∠CDG＝∠CAF，由（2）知：∠DCG＝∠ACE，∴△CDG∽△CAF，∴，∴CG•AF＝CF•DG＝5×＝，∴，∴S△ACF＝．8．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵P A，PB为⊙O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠P AO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵P A，PB为⊙O的切线，∴P A＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP＝r，PD＝r，∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴的长度＝＝，∴阴影部分的周长＝r+r+r＝（+1+）r．9．感知证明：如图1，∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B＝∠C，∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD（AAS），∴DB＝DC．探究证明：如图2，延长AC到点F，使AF＝AB，连接DF，∵∠F AD＝∠BAD，AD＝AD，∴△F AD≌△BAD（SAS），∴∠F＝∠ABD，DF＝DB，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∴∠F+∠ACD＝180°，∵∠DCF+∠ACD＝180°，∴∠F＝∠DCF，∴DF＝DC，∴DB＝DC．应用解：如图3，作DG⊥AC交AC的延长线于点G，连接AD，∵DE⊥AB，∠B＝45°，∴∠BED＝∠G＝∠AED＝90°，∠EDB＝∠B＝45°，∴DE＝BE＝a，∵∠ACD＝135°，∴∠GCD＝45°，∵∠B＝∠GCD，DB＝DC，∴△BED≌△CGD（AAS），∴DE＝DG，CG＝BE＝a，∵AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AGD（HL），∴AE＝AG＝AC+a，∴AC＝AE﹣a，∴AB﹣AC＝AB﹣（AE﹣a）＝AB﹣AE+a＝BE+a＝2a，故答案为：2a．10．【性质初探】解：过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，∵▱ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四边形ABCE恰为等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四边形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝2，∴AG＝2，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝，在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，∴AD＝﹣，∴BC＝﹣．11．解：（1）当t＝2时，BF＝2cm，PF＝4cm，BE＝8cm．∵∠C＝90°，∠DFE＝90°，∴∠C+∠DFE＝180°．∴AC∥DF．∴△BHF∽△BAC．∴BF：BC＝HF：AC，即2：12＝HF：9．∴HF＝．∴PH＝4﹣＝．∵tan B＝＝＝，tan D＝，∴∠B＝∠D，∴∠BGE＝90°，∴△BEG∽△BAC，∴＝，即＝，解得，EG＝（cm），∴DG＝10﹣EG＝（cm），故答案为：；；（2）设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，此时点P一定在DE边上，DP＝DG．由（1）知，∠B＝∠D．又∵∠D+∠DEB＝90°，∴∠B+∠DEB＝90°，∴∠DGH＝∠BFH＝90°．∴FH＝BF•tan B＝t，DH＝DF﹣FH＝8﹣t，DG＝DH•cos D＝（8﹣t）•＝﹣t+，∵DP+DF＝2t，∴DP＝2t﹣8．由DP＝DG得，2t﹣8＝﹣t+，解得t＝，∵4＜＜6，则此时点P在DE边上．∴t的值为时，点P与点G重合．故答案为：；（3）只有点P在DF边上运动时，△PDE才能成为等腰三角形，且PD＝PE．（如图1）∵BF＝t，PF＝2t，DF＝8，∴PD＝DF﹣PF＝8﹣2t．在Rt△PEF中，PE2＝PF2+EF2＝4t2+36＝PD2．即4t2+36＝（8﹣2t）2．解得t＝．∴t为时△PDE为等腰三角形；（4）当0＜t≤4时，点P在DF边上运动，如图1，S△PDB＝PD•BF＝（8﹣2t）•t＝﹣t2+4t；当4＜t≤6时，点P在DE边上运动，如图2，过点P作PS⊥BC于S，则tan∠PBF＝．可得PE＝DE﹣DP＝10﹣（2t﹣8）＝18﹣2t．此时PS＝PE•cos∠EPS＝PE•cos D＝•（18﹣2t）＝﹣t+，S△PDB＝S△DEB﹣S△BPE＝BE•DF﹣BE•PS＝×（6+t）×8﹣×（6+t）（﹣t+）＝t2+t﹣．综上所述，△PDB的面积为﹣t2+4t（0＜t≤4）或t2+t﹣（4＜t≤6）．12．解：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．故答案为：＝．②结论：＝1．理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案为：1．（2）结论：＝k．理由：如图2，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴＝k．（3）如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，过点A作AE⊥EF，连接AC，∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝10，∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF，∵DC2＝CF2+DF2，∴25＝CF2+（10﹣2CF）2，∴CF＝5（不合题意，舍去），CF＝3，∴BF＝BC+CF＝8，由（2）的结论可知：．13．解：（1）证明：如图a，∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，∴∠CBF＝∠EDF，又∵∠BFC＝∠DFE，∴∠DEF＝∠BCF＝90°，∴BE⊥DQ；②如图c，∵△BCP为等边三角形，∴∠BCP＝60°，∴∠PCD＝30°，又∵CP＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，又∵∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°，∴∠EPD＝45°，∠EDP＝45°，∴△DEP为等腰直角三角形；（3）如图b，由∠CBF＝∠EDF，∠DEF＝∠BCF，可得△DEF∽△BCF，∴＝，即＝，设DF＝x，则BF＝5x，CF＝10﹣x，∵Rt△BCF中，BF2＝BC2+CF2，∴（5x）2＝102+（10﹣x）2，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），∴BF＝5x＝，∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，又∵∠PBC+∠PFC＝∠PCB+∠PCF＝90°，∴∠PFC＝∠PCF，∴PF＝PC，∴BP＝PF＝BF＝；如图d，延长BE、CD，交于点F，由∠CBF＝∠CDQ＝∠EDF，∠DEF＝∠BCF，可得△DEF∽△BCF，∴＝，即＝，设DF＝x，则BF＝5x，CF＝10+x，∵Rt△BCF中，BF2＝BC2+CF2，∴（5x）2＝102+（10+x）2，解得x1＝﹣（舍去），x2＝，∴BF＝5x＝，∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，又∵∠PBC+∠PFC＝∠PCB+∠PCF＝90°，∴∠PFC＝∠PCF，∴PF＝PC，∴BP＝PF＝BF＝．故答案为：或．14．（1）证明：方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：由平移的性质得：FG∥BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∴四边形BFGH是平行四边形，∴BH＝FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE＝90°，∴∠KBE+∠BEK＝90°，∵∠BEK+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBH，在△ABE和△BCH中，，∴△ABE≌△BCH（ASA），∴AE＝BH，∴AE＝FG；方法2：平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，∴FH＝BC，∠FHG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝90°，∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠AKF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠HFG，在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（ASA），∴AE＝FG；（2）解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，由勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，∵（）2+（2）2＝52，∴CF2+CD2＝DF2，∴∠FCD＝90°，∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；（3）解：①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，∴DC＝GB，∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°∴DC＝AD＝AP＝GB，∴AG＝BP＝BE，在△AGD和△BEG中，，∴△AGD≌△BEG（SAS），∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGD＝90°，∴∠GDE＝∠GED＝45°，∴∠DMC＝∠GDE＝45°；②如图3﹣2所示：∵AC为正方形ADCP的对角线，∴AD＝CD，∠DAC＝∠P AC＝∠DMC＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC＝AD，∵∠HCM＝∠BCA，∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，∴△ADH∽△ACB，∴＝＝＝．15．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，由旋转的性质得：△ABE≌△ADM，∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，在△AMN和△AEN中，，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM，在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN＝＝＝10，则BN+DM＝10，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，∴x﹣6+x﹣8＝10，解得：x＝12，即正方形ABCD的边长是12；故答案为：12；（2）证明：设BN＝m，DM＝n，由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，∵∠B＝90°，tan∠BAN＝，∴tan∠BAN＝＝，∴AB＝3BN＝3m，∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2m）2+（3m﹣n）2＝（m+n）2，整理得：3m＝2n，∴CM＝2n﹣n＝n，∴DM＝CM，即M是CD的中点；（3）解：延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝12+4＝16，设DM＝a，则MQ＝16﹣a，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴＝＝＝，∴PE＝BN＝，∴EQ＝PQ﹣PE＝16﹣＝，由（1）得：EM＝PE+DM＝+a，在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（16﹣a）2＝（+a）2，解得：a＝8，即DM的长是8；故答案为：8．16．（1）①证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OA＝OD＝OB，AC⊥BD，∴∠AOB＝∠COD＝90°，∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，∴OC1＝OD1，∠AOC1＝∠BOD1＝90°+∠AOD1，在△AOC1和△BOD1中，∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；②AC1⊥BD1；（2）AC1⊥BD1．理由如下：如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，AC⊥BD，∴∠AOB＝∠COD＝90°，∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，∴OC1＝OA，OD1＝OB，∠AOC1＝∠BOD1，∴，∴△AOC1∽△BOD1，∴∠OAC1＝∠OBD1，又∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，∴∠APB＝90°∴AC1⊥BD1；∵△AOC1∽△BOD1，∴＝＝＝＝，∴k＝；（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，∴＝＝＝，∴k＝；∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OD1＝OD，而OD＝OB，∴OD1＝OB＝OD，∴△BDD1为直角三角形，在Rt△BDD1中，BD12+DD12＝BD2＝100，∴（2AC1）2+DD12＝100，∴AC12+（kDD1）2＝25．17．解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x＝3，∴B（3，0），将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，设P（2，t），∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP＝，①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，∴t＝2+1或t＝﹣2+1，∴P（2，2+1）或（2，﹣2+1）；②当MP＝CP时，|t﹣1|＝，解得t＝﹣，∴P（2，﹣）；③当MC＝CP时，2＝，解得t＝1（舍）或t＝﹣7，∴P（2，﹣7）；综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，﹣7）．18．解：（1）∵抛物线的顶点为D（2，8），∴﹣＝2，＝8，解得b＝2，c＝6，∴y＝﹣x2+2x+6；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，则y＝6，∴C（0，6），设直线AD的解析式为y＝kx+d，∴，解得，∴y＝2x+4，设直线BC的解析式为y＝k'x+d'，∴，解得，∴y＝﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6），∵QP∥AD，∴直线QP的解析式为y＝2x﹣t2+6，当2x﹣t2+6＝﹣x+6时，x＝t2，∴Q（t2，6﹣t2），∴PQ＝|t2﹣t|，∵0＜t＜6，∴PQ＝（﹣t2+t）＝﹣（t﹣3）2+，当t＝3时，PQ有最大值，此时P（3，）；（3）D点关于直线x＝1的对称点为（0，8），∴新抛物线y1＝﹣x2+8，当﹣x2+2x+6＝﹣x2+8时，x＝1，∴E（1，），∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设F（2，m），G（n，﹣n2+8），当EF为平行四边形的对角线时，，解得，∴F（2，﹣12）；当EA为平行四边形的对角线时，，解得，∴F（2，4）；当EG为平行四边形的对角线时，，解得，∴F（2，15）；综上所述：F点坐标为（2，﹣12）或（2，4）或（2，15）．19．解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，∴64a+22﹣6＝0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+x﹣6，当y＝0时，﹣t2+t﹣6＝0，解得t＝3或t＝8（舍），∴t＝3，∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上，∴8k﹣6＝0，解得k＝，∴y＝x﹣6；（2）作PM⊥x轴交于M，∵P点横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m﹣6），∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，在Rt△COA和Rt△AMP中，∵∠OAC+∠P AM＝90°，∠APM+∠P AM＝90°，∴∠OAC＝∠APM，∴△COA∽△AMP，∴＝，即OA•MA＝CO•PM，3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），解得m＝3（舍）或m＝10，∴P（10，﹣）；（3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，∴PN＝﹣m2+m﹣6﹣（m﹣6）＝﹣m2+2m，∵PN⊥x轴，∴PN∥OC，∴∠PNQ＝∠OCB，∴Rt△PQN∽Rt△BOC，∴＝＝，∵OB＝8，OC＝6，BC＝10，∴QN＝PN，PQ＝PN，由△CNE∽△CBO，∴CN＝EN＝m，∴CQ+PQ＝CN+NQ+PQ＝CN+PN，∴CQ+PQ＝m﹣m2+2m＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，CQ+PQ的最大值是．20．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），即OC＝3，∵S△ABC＝3，∴×AB×OC＝3，即AB×3＝3，∴AB＝2，又∵A（1，0）且点B在点A的右边，∴B（3，0），把A点和B点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）由（1）知，C（0，3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+t，代入B点和C点的坐标得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过点P作PD⊥x轴交BC延长线于点E，交x轴于点D，∵OC＝OB，∴∠CBO＝45°，又∵∠COB＝∠PDO＝90°，且∠CBO＝∠DBE＝45°，∴∠PEC＝45°，且PN⊥CB，∴∠NPE＝45°，∴PN＝PE，设P（m，m2﹣4m+3），则E（m，﹣m+3），∴PE＝m2﹣4m+3﹣（﹣m+3）＝m2﹣3m，∴PN＝d＝PE＝（m2﹣3m）＝m2﹣m，∴d＝x2﹣x；（3）如下图，过点P作PH⊥FE于点H，过点C作CI⊥FE于点I，过点B作BJ⊥FE 于点J，设FE交BC于点K，∵∠PEF+∠BFE＝180°，且∠PEF+∠PEH＝180°，∴∠BFE＝∠PEH，∵∠PHE＝∠CIJ＝∠BJH＝90°，又∵PE＝2BF，∴△PEH∽△BJF，∴BJ＝PH，又∵CP∥AH，且CI∥PH，∴四边形CPHI是矩形，∴CJ＝PH，又∵∠CJI＝∠BKJ，∴BJ＝CI，∴BK＝CK，∴K（2，1），设直线AF的解析式为y＝sx+n，代入K点和A点的坐标得，解得，∴直线AF的解析式为y＝x﹣1，设直线PC的解析式为y＝x+g，代入C点坐标得g＝3，∴直线PC的解析式为y＝x+3，联立直线PC和抛物线的解析式得，解得或，∴P（5，8）．。

初中数学提高题专题复习中考数学压轴题练习题附解析

一、中考数学压轴题1．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．2．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ．（Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标；（Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求ABN 的面积；（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案）在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △．小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2393344y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）过点C 的直线5334y x =-交x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置，点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、，将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆''，是否存在点E ，使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠．（1）如图1，求证：AG HD ⊥；（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求KG AK的值．5．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线217222y x mx m 的顶点为点C ．（1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．7．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC 的值．（拓展提升）（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．10AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．8．如图1，已知，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO 并延长交BC 于点H ．（1）求外接圆⊙O 的半径；（2）如图2，点D 是AH 上（不与点A ，H 重合）的动点，以CD ，CB 为边，作平行四边形CDEB ，DE 分别交⊙O 于点N ，交AB 边于点M ．①连接BN ，当BN ⊥DE 时，求AM 的值；②如图3，延长ED 交AC 于点F ，求证：NM ·NF=AM ·MB ；③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．9．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252m mn n ++= ；（2）若点(,)p q 在反比例函数8x y =的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由；（3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53． 10．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．11．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．12．已知：如图①，在等腰直角ABC ∆中，斜边2AC =．（1）请你在图①的AC 边上求作一点P ，使得90APB ∠=︒；（2）如图②，在（1）问的条件下，将AC 边沿BC 方向平移，使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ，连接AQ ，BQ ．若平移的距离为1，求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积；（3）将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ，是否存在这样的m ，使得在直线DE 上有一点M ，满足30AMB ∠=︒，且此时四边形ABDE 的面积最大？若存在，求出四边形ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值；若不存在，请说明理由．13．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．(1) 依题意补全图形；(2) 求证：EG ⊥AD ；(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较()()11a b ++与9+62之间的大小关系，并证明．14．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，，向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ，所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式．15．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若72CG AG =，求点P 的坐标．16．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．（1）当BP ＝时，△MBP ～△DCP ；（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．17．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ．（1）求A ，B ，C 三点坐标；（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,A D 在坐标轴上，两点的坐标分别是点()0,,A m 点(),0,D m 且m 322m m -62=AB 与x 轴交于点,E 点F 是边AD 上一动点，连接FB ，分别与x 轴，y 轴交于点,P 点,H 且FD BE =．（1）求m 的值；（2）若45,APF ∠=︒求证：AHF HFA ∠=∠；（3）若点F 的纵坐标为,n 则线段HF 的长为．(用含n 的代数式表示)19．已知抛物线2y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=︒，求点Q 的坐标． 20．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ．（1）a ＝______cm ，b ＝______cm ；（2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？（3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2．21．如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ，过点C 作CN DF ⊥于点N ，延长CN 交AD 于点M ．（1）求证：AM MD =（2）连接CF ，并延长CF 交AB 于G①若2AB =，求CF 的长度；②探究当AB AD为何值时，点G 恰好为AB 的中点．22．如图1，D 是等边△ABC 外一点，且AD ＝AC ，连接BD ，∠CAD 的角平分交BD 于E ．（1）求证：∠ABD ＝∠D ；（2）求∠AEB 的度数；（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求AF DE的值．23．如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点（1）则m =_________；C 点坐标为___________；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由．（3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大．24．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P 、M 、N 、Q ，（1）如图①所示．当∠CNG ＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C ，交 AB 于点 P ，直尺另一侧与三角形交于 N 、Q 两点。

中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，如图，抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=6，OB=43点P为x轴下方的抛物线上一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；(3)若点P到AB和AC两边的距离相等，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点D(−52,34)，且顶点P的坐标为(−1,3)．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方．连接MC，MD求△MCD面积的最大值；(3)如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，连接PF交抛物线于点E，请直接写出点E的坐标．3．在平面直角坐标系中，已知点A(3,3)、B(6,0),AC⊥x轴，垂足为点C，直线y=12x与抛物线y=−14x2+2x相交于点O、D过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线PE交射线OA于点E．(1)求点D的坐标；(2)设点P的横坐标为a a≠3求以点A、B、C、E为顶点的四边形的面积S与a的函数关系式；(3)设直线PE交射线OD于点F交抛物线于点Q以FQ为一边在FQ的右边作矩形FQMN若FN=32且矩形FQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形求出a的取值范围．4．在平面直角坐标系中设直线l的解析式为：y=kx+m(k、m为常数且．k≠0) 当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时我们称直线l与这条曲线“相切” 这个公共点叫做“切点”．(1)求直线l：y=−x+6与双曲线y=9x的切点坐标；(2)已知一次函数y1=2x二次函数y2=x2+1是否存在二次函数y3=ax2+bx+c其图象经过点(−3，2)使得直线y1=2x与y2=x2+1，y3=ax2+bx+c都相切于同一点? 若存在求出y3的解析式；若不存在请说明理由；(3)已知直线l1:y=k1x+m1(k1≠0)直线l2:y2=k2x+m2(k2≠0)是抛物线y=−x2+2x+2的两条切线当l1与l2的交点P的纵坐标为4时试判断k1⋅k2是否为定值并说明理由．5．如图在平面直角坐标系中点O为坐标原点抛物线y=512x2−136x−2与x轴的交点分别为点A B与y轴的交点为点C．(1)求直线BC解析式；(2)点P为第四象限的抛物线上一点连接PB、PC当PB=PC时求点P的坐标；(3)在（2）的条件下连接OP点M在y轴的负半轴上连接MP∠OMP=∠CBP N为OM的中点点Q 在OP上连接MQ、NQ，MQ交抛物线于点R当MQ=2NQ时求R点的横坐标．6．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)若抛物线与x轴交于B(4，0)C(−2，0)两点与y轴交于点A(0，−2)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1 若点E是直线CA下方的抛物线上一点过点E作EF∥AB交x轴于点F且EF=√5求点E的横坐标；(3)如图2 点M在点B的正下方连接CM交抛物线于点N直线BN交对称轴于点P作PQ∥CM交射线BM于点Q求BQ的大小．7．如图在平面直角坐标系xOy中已知直线y=−x−3与x轴交于点A与y轴交于点C过A C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B(1,0)抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点当△MAC的面积最大时求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的点过点P作l的垂线垂足为D E是l上的点．要使得以P D E为顶点的三角形与△BOC全等请求出点P点E的坐标；8．如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A B两点与y轴交于点C抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A(−1,0),C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P使得|PB−PC|的值最大求此点P的坐标；(3)点M为该抛物线的顶点直线MD⊥x轴于点D在直线MD上是否存在点N使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在求出点N的坐标；若不存在请说明理由；9．在平面直角坐标系中点O为坐标原点抛物线y=ax2+x+6交x轴负半轴于A交正半轴于B交y 轴于C OB=OC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1 点P是第三象限抛物线上一点连接BP交y轴于点D设点P横坐标为t线段CD长为d求d与t的函数关系；(3)如图2 在（2）的条件下过点C作BP的垂线交x轴于点F垂足为点G E为CF上一点连接BE 若BE=BD∠BEG=2∠PBA求点P坐标．10．如图1 在平面直角坐标系中O为坐标原点AD为等腰直角△ABC底边BC上的高抛物线y=a(x−2)2+4的顶点为点A且经过B C两点B C两点在x轴上．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2 点E为抛物线上位于直线AC上方的一点过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N求线段EN的长度最大值及此时点E的坐标；(3)如图2 点M(5，b)是抛物线上的一点点P为对称轴上一动点在(2)的条件下当线段EN的长度最大时求PE+PM的最小值．11．抛物线y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C．(1)求抛物线的对称轴；(2)求证：不论a取何值函数图象必过两个定点；(3)如图若OB=OC点P是直线BC（不与B C重合）上一动点过点P作x轴的垂线交抛物线于M点连接CM将△PCM沿CM对折如果点P的对应点N恰好落在y轴上求此时点P的坐标．12．已知抛物线y=a(x+6)(x−2)经过点(0，2)交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧）抛物线的顶点为D对称轴DE交x轴于点E连接EC．(1)直接写出a的值点A的坐标；(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点当△MCE是等腰三角形时求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的动点连接PC、PE将△PCE沿CE所在的直线对折点P落在坐标平面内的点P′处．直接写出点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．13．综合与探究如图1 抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−4,0)B(3,0)两点与y轴交于点C连接AC BC现将△ABC沿x轴向右平移至△A′B′C′线段A′C′与线段BC交于点E与抛物线交于点F．(1)求出抛物线和直线BC的函数表达式；(2)当线段FE的长度最大时求此时点F的坐标；(3)如图2 连接OC′将△OA′C′沿着A′C′翻折得到△O′A′C′是否存在某一时刻使得点O′恰好在抛物线上若存在请直接写出此时平移的距离；若不存在请说明理由．14．如图1 已知二次函数y=ax2+bx+c（a b c为常数且a≠0）的图像与x轴交于A B两点（A 点在B点左侧）与y轴交于点C(0,3)且其函数表达式可以变形为y=a(x+1)(x−3)的形式．已知点P为该抛物线在第一象限内的一动点设其横坐标为m．(1)求出点A点B的坐标和该二次函数的表达式；(2)连接BC过点P作PQ⊥x轴于点Q交BC于点N直线AP交y轴于点M连接MN．①求出直线AP的函数表达式（用含有m的代数式表示）；②设四边形MNQO的面积为S求S关于m的函数关系式并求S的最大值；(3)如图2 若直线l为该二次函数图像的对称轴交x轴于点H直线AP BP分别交直线l于点E F．在点P运动的过程中HF+HE是否为定值？若是请求出该定值；若不是请说明理由．15．在平面直角坐标系中关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a b c为常数且a<0）与x轴交于两个不同的点A(x1,0)B(x2,0)(x1<x2)与y轴交于点C抛物线的顶点为M．(1)如图1 已知a=−1b=2c=3．①求此二次函数图象的顶点M的坐标；②点E是x轴正半轴上的一个动点过点E作直线PE⊥x轴交抛物线于点P交直线BC于点F．当点E在线EF求此时点P的坐标．段OB上运动时（不与点O B重合）恰有线段PF=12(2)如图2 当c=0时点P是抛物线对称轴左侧图像上任意一点过点P作PE⊥x轴于点E连接MP交y轴于点Q连接EQ MB．则EQ MB有怎样的位置关系?说明理由．16．如图抛物线的顶点坐标为(2,−3)与y轴交于点C(0,1)．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A B的坐标及线段AB的长；(3)求△ABC的外接圆⊙D的半径；(4)若（3）中的⊙D交抛物线的对称轴于M N两点（点M在点N的上方）在对称轴右边的抛物线上有一动点P连接PM PN PC线段PC交弦MN于点G．若PC把图形PMCN（指圆弧MCN和线段PM PN组成的图形）分成两部分当这两部分面积之差等于4时求出点P的坐标．17．如图在平面直角坐标系中抛物线y=12x2−32x−2与x轴分别交于点A点B与y轴交于点C．(1)如图1 连接AC直接写出sin∠ACO的值；(2)如图2 连接BC．点G(1,a)在抛物线上连接CG、BG若异于点G的点H也在抛物线上且S△BCH= S△BCG求点H的坐标；(3)如图3 若直线y=mx+n与抛物线交于点P Q连接AP交y轴正半轴于点M连接AQ交y轴负半轴于点N若OM⋅ON=32求4m+n的值．18．如图1 已知二次函数图象与y轴交点为C(0,3)其顶点为D(1,2)．(1)求二次函数的表达式；(2)直线CD与x轴交于M现将线段CM上下移动若线段CM与二次函数的图象有交点求CM向上和向下平移的最大距离；(3)若将（1）中二次函数图象平移使其顶点与原点重合然后将其图象绕O点顺时针旋转90°得到抛物线G如图2所示直线y=−x+2与G交于A B两点P为G上位于直线AB左侧一点求ΔABP面积最大值及此时点P的坐标．19．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(−1,6)与x轴交于点A(−4,0)B 两点与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC上方抛物线上一动点过点P作PD∥y轴交AC于点D求PD的最大值及此时点P的坐标；个单位长度得到新抛物线y′新抛物线y′的对称轴交x轴于点M点N是直(3)将该抛物线沿x轴向右平移52线AC上一点在平面内确定一点K使得以C，M，N，K为顶点的四边形是以CN为边的菱形写出所有符合条件的点K的坐标并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．20．如图抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0)B两点与y轴交于点C(0,3)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图（1）点P是线段BC上的一动点过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q连接CQ若CQ平分∠OCB求点P的坐标；(3)如图（2）过A B C三点作⊙I直线y=t(t>3)交⊙I于点M N交抛物线于点E F．若EM+FN=MN求t的值参考答案：1．(1)y =x 2+143x −8 (2)51(3)P (56,−4112)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示连接AC 过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于D 先求出直线AC 的解析式设P (t,t 2+143t −8) 则D (t,−43t −8) 则PD =−t 2−6t 求出S △APC 的最大值再由S 四边形AOCP =S △ACP +S △AOC 可知当S △APC最大时 S 四边形AOCP 最大由此即可得到答案；（3）如图所示取点E 使其坐标为(4，0) 连接AC 、CE 取CE 中点F 连接AF 先证明AE =AC 进而得到AF 平分∠CAE 则直线AF 上的点到AC AB 的距离相等由此即可知点P 即为直线AF 与抛物线的交点据此求解即可．【详解】（1）解：∵OA =6∵A (−6,0)∵可设抛物线解析式为y =a (x +6)(x −43)又∵当x =0时 y =−8 即C (0,−8)∵6×(−43)a =−8 ∵a =1∵抛物线解析式为y =(x +6)(x −43)=x 2+143x −8；（2）解：如图所示连接AC 过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于D 设直线AC 的解析式为y =kx +b 1∵{−6k +b 1=0b 1=−8∵{k =−43b 1=−8∵直线AC 的解析式为y =−43x −8设P(t,t2+143t−8)则D(t,−43t−8)∵PD=−43t−8−(t2+143t−8)=−t2−6t∵S△APC=S△APD+S△CPD=12PD⋅(x P−x A)+12PD⋅(x C−x P)=12PD⋅(x C−x A)=3PD=−3(t+3)2+27∵−3<0∵当t=−3时S△APC最大最大为27∵S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC∵S四边形AOCP=S△ACP+24∵当S△APC最大时S四边形AOCP最大最大为27+24=51；（3）解：如图所示取点E使其坐标为(4，0)连接AC、CE取CE中点F连接AF∵A(−6,0)C(0,−8)∠AOC=90°∵AE=10，AC=√OA2+OC2=10∵AC=AE∵F是CE的中点∵AF平分∠CAE∵直线AF上的点到AC AB的距离相等设直线AF的解析式为y=k1x+b2∵{−6k1+b2=0 2k1+b2=−4∵{k1=−12 b2=−3∵直线AF的解析式为y=−12x−3联立{y=−12x−3y=x2+14x3−8得6x2+31x−30=0解得{x=56y=−4112或{x=−6y=0（舍去）∵点P的坐标为(56,−4112)．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合一次函数与几何综合角平分线的性质等腰三角形的性质与判定勾股定理等等正确作出辅助线是解题的关键．2．(1)y=−x2−2x+2(2)12564(3)(−2,2)或(−1,3)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△MCD面积=S△MHD+S△MHC即可求解；（3）①当点Q在点C的下方时证明△QNF≌△CQH(AAS)得到CG=2−t=QN QH=1=FN则点F(t−3,t+1)求出直线PF的表达式进而求解；②当点Q在点C的上方时同理可得：点F′的坐标为(t−3,t−1)进而求解．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−ℎ)2+k则y=a(x+1)2+3将点C的坐标代入上式并得：34=a(−52+1)2+3解得：a=−1故抛物线的表达式为：y =−(x +1)2+3=−x 2−2x +2 即y =−x 2−2x +2；（2）解：由抛物线的表达式知点C (0,2)如图1 过点M 作MH∥y 轴交CD 于点H设直线CD 的表达式为：y =sx +t则{34=−52s +t t =2解得{s =12t =2 故直线CD 的表达式为：y =12x +2 设点M(m,−m 2−2m +2) 点H(m,12m +2) 则△MCD 面积=S △MHD +S △MHC =12MH ×(x C −x D )=12×[(−m 2−2m +2)−(12m +2)]×52 =−54(m 2+52m) ∵ −54<0 故函数由最大值当m =−54时 △MCD 面积的最大值为12564；（3）设点Q(−1,t) 如图2①当点Q 在点C 的下方时过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点H 交过点F 与y 轴的平行线于点N∵∠FQN +∠QFN =90°∴∠QFF =∠CQH∵∠N =∠CHQ =90°∴△QNF ≌△CQH (AAS )∴CH =2−t =QN∴点F(t −3,t +1)设直线FP 的表达式为：y =px +q则{3=−p +q t +1=p(t −3)+q解得{p =1q =4 故直线PF 的表达式为：y =x +4②联立直线PE 与抛物线的：{y =x +4y =−x 2−2x +2解得：{x =−2y =2（不合题意的值已舍去）即点E(−2,2)；②当点Q 在点C 的上方时同理可得：点F′的坐标为(t −3,t +1)由点P F ′的坐标得：直线PF ′的表达式为y =x +4 同情况①故点E(−2,2)；当点F 与点E 重合时也符合题意综上点E 的坐标为(−2,2)或(−1,3)．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．3．(1)D(6,3)(2)S ={9−32a (0<a <3)3a −92(a >3)(3)a =3−√3或a =94或3≤a <4【分析】（1）联立两个函数解析式解方程组即可；（2）先求解直线OA 的解析式为y =x 可得点E(a,a) 再分两种情况讨论即可；（3）分情况讨论：①如图当a <3 且FQ =FN 时矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形 ②如图当AC 为矩形FQMN 的对称轴时矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形 ③如图当PQ 与AC 重合时矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形 ④如图当点F 为直线OD 与AB 的交点时可得当3≤a <4时矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形从而可得答案．【详解】（1）解：联立y =12x 和y =−14x 2+2x 得{x =0,y =0 或{x =6y =3∵点D(6,3)．（2）设直线OA 的解析式为y =kx∵点A(3,3)∴3k =3 解得k =1∴直线OA 的解析式为y =x ．∵点P 的横坐标为a,PE ∥y 轴且交射线OA 于点E∴点E(a,a)．当0<a <3时如图S =S △OAB −S △OCE =12×6×3−12×3a =9−32a ．当a >3时如图S =S △OBE −S △OAC =12×6a −12×3×3=3a −92．综上 S ={9−32a (0<a <3)3a −92(a >3)；（3）①如图当a <3 且FQ =FN 时矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形∵FQ=FN∴−14a2+2a−12a=32解得a=3±√3其中a=3+√3不满足a<3∴a=3−√3．②如图当AC为矩形FQMN的对称轴时矩形FQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形此时∴32=2(3−a)解得a=94．③如图当PQ与AC重合时矩形FQMN与△AOB重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形此时a=3．④如图当点F为直线OD与AB的交点时∵点A(3,3),B(6,0)∵AB所在的直线方程为y=−x+6联立y=−x+6和y=12x解得x=4．∴当3≤a<4时矩形FQMN与△AOB重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形综上 a 的取值范围是a =3−√3或a =94或3≤a <4．【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象与性质列二次函数关系式矩形的性质轴对称图形的性质一元二次方程的解法清晰的分类讨论熟练的运用数形结合的方法解题是关键．4．(1)切点坐标为(3，3)(2)y 3=12x 2+x +12(3)k 1⋅k 2是定值【分析】（1）联立直线和双曲线解析式得到关于x 的一元二次方程由相切的定义得出x 的值解之可得；（2）联立{y =2x y =x 2+1可得切点为(1，2) 从而得出y 3=ax 2+bx +c 经过点(−3，2) (1，2) 利用待定系数法得出y 3=ax 2+2ax +2−3a 联立{y =ax 2+2ax +2−3a y =2x 得：ax 2+(2a −2)x +2−3a =0 利用Δ=0得出a =12 b =1 c =12 即可得解；（3）由l 1与l 2的交点P 的纵坐标为4 可令P(t ，4) 则直线l 1:y =k 1x −k 1t +4 直线 l 2:y 2=k 2x −k 2t +4 联立{y =k 1x −k 1t +4y =−x 2+2x +2得：x 2+(k 1−2)x −k 1t +2=0 由直线l 1:y =k 1x +m 1(k 1≠0)是抛物线y =−x 2+2x +2的切线可得Δ=k 12+(4t −4)k 1−4=0 同理可得：k 22+(4t −4)k 2−4=0 从而得出k 1，k 2为x 2+(4t −4)x −4=0的两根最后由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．【详解】（1）解：联立{y =−x +6y =9x得：x 2−6x +9=0 解得：x =3∴切点坐标为(3，3)；（2）解：∵直线y 1=2x 与二次函数y 2=x 2+1相切∴联立{y =2x y =x 2+1得：x 2−2x +1=0 解得：x =1∴切点为(1，2)∵ y 1=2x 与y 2=x 2+1，y 3=ax 2+bx +c 都相切于同一点∴ y 3=ax 2+bx +c 经过点(−3，2)∴{a +b +c =29a −3b +c =2解得：{b =2a c =2−3a∴y 3=ax 2+2ax +2−3a联立{y =ax 2+2ax +2−3a y =2x得：ax 2+(2a −2)x +2−3a =0 ∴Δ=(2a −2)2−4×a ×(2−3a )=4a 2−8a +4−8a +12a 2=16a 2−16a +4=(4a −2)2=0 解得：a =12 ∴b =2a =1∴ y 3的解析式为：y 3=12x 2+x +12；（3）解：k 1⋅k 2是定值理由如下：∵ l 1与l 2的交点P 的纵坐标为4∴令P(t ，4)∴直线l 1:y =k 1x +m 1=k 1t +m 1=4 直线 l 2:y 2=k 2x +m 2=k 2t +m 2=4∴m 1=4−k 1t∴直线l 1:y =k 1x −k 1t +4 直线 l 2:y 2=k 2x −k 2t +4联立{y =k 1x −k 1t +4y =−x 2+2x +2得：x 2+(k 1−2)x −k 1t +2=0 ∵直线l 1:y =k 1x +m 1(k 1≠0)是抛物线y =−x 2+2x +2的切线∴Δ=(k 1−2)2−4×1×(2−k 1t )=k 12−4k 1+4−8+4k 1t =k 12+(4t −4)k 1−4=0同理可得：k 22+(4t −4)k 2−4=0∴ k 1，k 2为x 2+(4t −4)x −4=0的两根∴k 1⋅k 2=−4．【点睛】本题是二次函数综合题考查了新定义二次函数的性质一元二次方程的根与系数的关系等知识解题的关键是理解题意学会构建方程组解决问题属于中考压轴题．5．(1)y =13x −2(2)P (4,−4)(3)0或5−√2655【分析】（1）令抛物线y =0 x =0 求出点B C 的坐标设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 代入点B C 的坐标即可求解；（2）由题意得△PBC 是等腰三角形即点P 在过点B C 的BC 中点且垂直于直线BC 的直线上求出点B C的中点坐标设点P (a,512a 2−136a −2) 利用勾股定理即可求出a 的值求出符合点点P 特征的点即可；（3）过点P 作PF ⊥x 轴垂足为点F 根据（2）的结论结合已知分别证明△PFO,△PBC,△OPM 是等腰直角三角形利用等腰直角三角形的性质求出点M 的坐标进而得到N 点的坐标求出直线OP 的解析式设点Q (b,−b ) 利用两点间距离公式结合MQ =2NQ 求出点Q 的坐标再求出直线MQ 的解析式联立抛物线即可求解．【详解】（1）解：在抛物线y =512x 2−136x −2中令x =0 则y=−2∴C (0,−2)令y =0 则512x 2−136x −2=0 即5x 2−26x −24=0解得：x 1=6,x 2=−45 ∵点B 在x 轴的正半轴∴B (6,0)设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 代入点B C 的坐标得{−2=b 0=6k +b解得：{b =−2k =13∴直线BC 的解析式为y =13x −2；（2）解：设点P (a,512a 2−136a −2) ∵ PB =PC ∴PB 2=PC 2 即(a −6)2+(512a 2−136a −2)2=a 2+(512a 2−136a −2+2)2整理得：a 2+2a −24=0解得：a =4或a =−6（舍去不符合题意）当a =4时∴P (4,−4)；（3）解：如图过点P 作PF ⊥x 轴垂足为点F由（2）知点P(4,−4)∴PF=OF=4∴△PFO是等腰直角三角形∴∠POF=∠POM=45°∵PC=√(4−0)2+[(−4)−(−2)]2=2√5,BC=√(0−6)2+(−2−0)2=2√10又PC2+PB2=BC2∴△PBC是等腰直角三角形∴∠BPC=90°,∠CBP=∠PCB=45°∵∠OMP=∠CBP∴∠OMP=45°∴△OPM是等腰直角三角形∴OP=MP∴OP=√42+(−4)2=4√2=MP∴OM=√OP2+MP2=8∵点M在y轴的负半轴上∴点M(0,−8)∵N为OM的中点∴N(0,−4)设直线OP的解析式为y=k′x(k′≠0)将P(4,−4)代入得−4=4k′解得k′=−1∴直线OP的解析式为y=−x设Q(b,−b)∵MQ=2NQ∴√b2+(−b+8)2=2√b2+(−b+4)2∴b=0或b=83当b=0时此时点Q与点O重合∴MQ与抛物线交点在y轴上∴点R的横坐标为0当b=83时设直线MQ的解析式为y=sx+t将点Q(83,−83)M(0,−8)代入得{−8=t−83=83s+t解得{s=2t=−8∵直线MQ的解析式为y=2x−8联立直线MQ与抛物线y=512x2−136x−2得{y=2x−8y=512x2−136x−2解得{x=5+√2655y=2√2655+2（舍去不符合题意）或{x=5−√2655y=2−2√2655∵此时MQ交抛物线于点R的横坐标为5−√2655综上点R的横坐标为0或5−√2655．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质一次函数解析式熟练掌握二次函数的图象及性质等腰直角三角形的判定及性质直角三角形的性质用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．6．(1)y=14x2−12x−2(2)点E的横坐标为1−√5(3)BQ=92【分析】（1）将B(4，0)C(−2，0)A(0，−2)代入抛物线解析式得到{16a+4b+c=04a−2b+c=0c=−2求出a、b、c的值即可得出答案；（2）先利用待定系数法求出直线AB 的解析式为：y =12x −2 设点E 的坐标为(e ，14e 2−12e −2)(−2<e <0) 从而求出直线EF 的解析式为：y =12x +14e 2−e −2 进而得出F (2e +4−12e 2，0) 表示出EF =√[e −(2e +4−12e 2)]2+(14e 2−12e −2)2=√5(14e 2−12e −2)2=√5 解方程即可得出答案；（3）设点M 的坐标为(4，m)(m <0) 待定系数法求出直线CM 的解析式为：y =m6x +m3 联立{y =m6x +m 3y =14x 2−12x −2得出N (12+2m 3，m2+9m9) 再利用待定系数法求出直线BN 的解析式为：y =m+96x −2m+183 从而得出P (1，−m−92) 利用待定系数法求出直线PQ 的解析式为y =m 6x −4m+276从而得出Q (4，−92) 即可得解．【详解】（1）解：∵ 抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于B(4，0) C(−2，0)两点与y 轴交于点A(0，−2)∴{16a +4b +c =04a −2b +c =0c =−2解得：{a =14b =−12c =−2∴抛物线的解析式为y =14x 2−12x −2；（2）解：设直线AB 的解析式为：y =k 1x +b 1 将A(0，−2) B(4，0)代入直线得：{0=4k 1+b 1b 1=−2解得：{k 1=12b 1=−2∴直线AB 的解析式为：y =12x −2 ∵点E 是直线CA 下方的抛物线上一点∴设点E 的坐标为(e ，14e 2−12e −2)(−2<e <0)∵EF ∥AB∴设直线EF 的解析式为：y =12x +b 2∴14e 2−12e −2=12e +b 2∴b 2=14e 2−e −2∴直线EF 的解析式为：y =12x +14e 2−e −2令y =0 则12x +14e 2−e −2=0 解得：x =2e +4−12e 2∴F (2e +4−12e 2，0)∴EF =√[e −(2e +4−12e 2)]2+(14e 2−12e −2)2=√(e −2e −4+12e 2)2+(14e 2−12e −2)2=√(12e 2−e −4)2+(14e 2−12e −2)2=√[2(14e 2−12e −2)]2+(14e 2−12e −2)2=√4(14e 2−12e −2)2+(14e 2−12e −2)2=√5(14e 2−12e −2)2∵EF =√5∴√5(14e 2−12e −2)2=√5∴(14e 2−12e −2)2=1 ∴14e 2−12e −2=1或14e 2−12e −2=−1 ∵点E 是直线CA 下方的抛物线上一点∴14e 2−12e −2<0 ∴14e 2−12e −2=−1 ∴e 2−2e −4=0解得：e =1+√5或e =1−√5∵−2<e <0 ∴e =1−√5∴点E 的横坐标为1−√5；（3）解：∵点M 在点B 的正下方 ∴设点M 的坐标为(4，m)(m <0) 设直线CM 的解析式为y =k 2x +b 2将C(−2，0) M(4，m)代入解析式得：{0=−2k 2+b 2m =4k 2+b 2解得：{k 2=m6b 2=m 3∴直线CM 的解析式为：y =m 6x +m3联立{y =m 6x +m 3y =14x 2−12x −2整理得：3x 2−(6+2m )x −(24+4m )=0∴(x +2)(3x −12−2m )=0解得：x 1=−2 ∴点N 的横坐标为12+2m 3纵坐标为y =12+2m36⋅m +m 3=12+2m 18⋅m +m 3=18m+2m 218=m 2+9m9∴N (12+2m 3，m 2+9m 9)设直线BN 的解析式为：y =k 3x +b 3 将B(4，0) N (12+2m 3，m 2+9m9)代入解析式得：{0=4k 3+b 3m 2+9m9=12+2m 3k 3+b 3解得：{k 3=m+96b 3=−2m+183∴直线BN 的解析式为：y =m+96x −2m+183∵抛物线的解析式为y =14x 2−12x −2 ∴对称轴为直线x =−−122×14=1∴点P 的横坐标为1 纵坐标为y =m+96×1−2m+183=−3m−276=−m−92∴P (1，−m −92) ∵PQ ∥CM∴设直线PQ 的解析式为y =m 6x +b 4∴−m −92=m6×1+b 4 解得：b 4=−4m−276∴直线PQ 的解析式为y =m6x −4m+276∵作PQ ∥CM 交射线BM 于点Q ∴点Q 的横坐标为4 纵坐标为y =m 6×4−4m+276=−92∴Q (4，−92)∴BQ =0−(−92)=92．【点睛】本题考查了二次函数综合题待定系数法求二次函数解析式一次函数解析式二次函数综合—线段问题勾股定理求两点之间的距离等知识点熟练掌握以上知识点并灵活运用采用数形结合的思想是解此题的关键． 7．(1)y =x 2+2x −3 (2)M (−32,−154)(3)P 点坐标为(−4,5)或(2,5)或(−2,−3)或(0,−3) E(−1,6)或(−1,4)或(−1,−6)或(−1,0)【分析】（1）先求出A,C 的坐标进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）过点M 作MF 垂直于x 轴交AC 于点F 设M (x,x 2+2x −3) F(x,−x −3) 则MF =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x 由S △AMC =12MF ×|x C −x A |即可求解；（3）抛物线对称轴为直线x=−1．∠PDE =∠BOC OB =1 OC =3．设P (x,x 2+2x −3) 则D (−1,x 2+2x −3) 分两种情况当PD =OC DE =OB 时 △PDE ≌△COB 此时|−1−x |=3 当PD =OB DE =OC 时 △EDP ≌△COB 此时|−1−x |=1 求解即可．【详解】（1）解：把x =0代入y =−x −3得y=−3；把y =0代入y =−x −3得x =−3． ∴A(−3,0) C(0,−3)．∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A,C,B 三点∴{9a −3b +c =0a +b +c =0c =−3解得{a =1b =2c =−3．∴抛物线的解析式为y =x 2+2x −3；（2）过点M 作MF 垂直于x 轴交AC 于点F 设M (x,x 2+2x −3) 则F(x,−x −3) 则MF =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3xS △AMC =12MF ×|x C −x A |= 12(−x 2−3x )×3=−32(x +32)2+278∴当x =−32时 S △AMC 最大此时y =x 2+2x −3=−154． ∴当M 坐标为(−32,−154)时 S △AMC 取得最大值．（3）∵y =x 2+2x −3=(x +1)2−4 ∵抛物线对称轴为直线x=−1． ∵过点P 作l 的垂线垂足为D ∵∠PDE =∠BOC =90° ∵C(0,−3)，A (−3,0) ∵B (1,0)∵OB =1 OC =3．设P (x,x 2+2x −3) 则D (−1,x 2+2x −3) 当PD =OC DE =OB 时此时|−1−x |=3 解得x =−4或x =2． ∵P 点坐标为(−4,5)或(2,5)∵DE =OB =1∴E(−1,6)或(−1,4)．当PD =OB DE =OC 时此时|−1−x |=1 解得x =−2或x =0． ∵P 点坐标为(−2,−3)或(0,−3)∵DE =3∴E(−1,−6)或(−1,0)．综上：P 点坐标为(−4,5)或(2,5)或(−2,−3)或(0,−3) E(−1,6)或(−1,4)或(−1,−6)或(−1,0)．【点睛】本题考查了二次函数求解析式二次函数的性质三角形全等的性质最值问题等熟练掌握各知识点能准确作出辅助线并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 8．(1)y =−x 2+2x +3 (2)P (1,6)(3)存在点N 满足要求点N 坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式二次函数的图像与性质及二次函数与一次函数综合（1）用待定系数法求二次函数表达式；（2）根据抛物线特征得出当A,C,P 三点共线时 |PA −PC |最大求出直线AC 的解析式为y =3x +3 即可求出结论；（3）设直线MC 与x 轴交于点E 过点N 作NQ ⊥MC 于Q 先求出直线MC 的解析式为y =x +3 证出MQ =NQ =√22MN 设点N (1,n ) 根据NQ 2=AN 2列方程并解方程即可解决．【详解】（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (−1,0),C (0,3)两点∴{−1−b +c =0c =3解得：{b =2c =3∴该抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；（2）解：由抛物线的对称性得点B 关于抛物线对称轴的对称点是点A∴PA =PB∴|PB −PC |=|PA −PC |∴当A,C,P 三点共线时 |PA −PC |最大如图连接AC 并延长AC 交抛物线的对称轴于点P设直线AC 的解析式为y =kx +d 把A (−1,0),C (0,3)代入得：{−k +d =0d =3解得：{k =3d =3∴直线AC 的解析式为y =3x +3 ∵抛物线的对称轴为直线x =−2−2=1当x =1时 ∴点P (1,6)；（3）存在N 满足条件理由如下：∵抛物线y =−x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点 ∴点A (−1,0)∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4∴顶点M 为(1,4) ∵点M 为(1,4) 点C (0,3) ∴直线MC 的解析式为：y =x +3如图设直线MC 与x 轴交于点E 过点N 作NQ ⊥MC 于Q∴点E (−3,0)∴DE =4=MD ∴∠NMQ =45°∵NQ⊥MC∴∠NMQ=∠MNQ=45°∴MQ=NQ∴MQ=NQ=√22MN设点N(1,n)∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离∴NQ=AN∴NQ2=AN2∴(√22MN)2=AN2即(√22|4−n|)2=4+n2∴n2+8n−8=0∴n=−4±2√6∴存在点N满足要求点N坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6)．9．(1)y=−13x2+x+6(2)d=−2t(3)P(−4,−103)【分析】（1）先令x=0求出点C坐标再根据已知可得点B的坐标运用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）由（1）可得点B的坐标设P(t,−13t2+t+6)运用待定系数法求得直线PB的解析式为y=−13(t+3)x+2(t+3)进而求出D(0,2t+6)即可求得答案；（3）找点F关于原点的对称点F′连接CF′过点F′作F′K⊥GE于K根据已知先证△COF≌△BOD得OF= OD再证∠F′CK=2∠PBA进而证得△CF′K≌△EBG得F′K=BG再证△F′FK≌△BFG可得F′F=BF OB=3OF进而求出点D的坐标运用待定系数法求出直线BD的解析式再求出直线BD与抛物线的交点P的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+x+6交y轴于点C∴C(0,6)∴OC=6∵OB=OC∴B(6,0)∵ B (6,0)在抛物线y =ax 2+x +6上∴ 0=36a +6+6∴ a =−13∴ y =−13x 2+x +6．（2）∵点P 是第三象限抛物线上一点∴ P (t,−13t 2+t +6)设直线PB 的解析式为y =kx +b (k ≠0)∴ {6k +b =0kt +b =−13t 2+t +6∴ {k =−13(t +3)b =2(t +3)∴直线PB 的解析式为y =−13(t +3)x +2(t +3)．令x =0 得y =2(t +3)=2t +6∴ D (0,2t +6)∴ CD =6−(2t +6)=−2t∵线段 CD 长为 d∴ d =−2t ；（3）解：找点F 关于原点的对称点F ′ 连接CF ′ 过点F ′作F ′K ⊥GE 于K∵ CG ⊥BP OB ⊥OC∴ ∠COF =∠BOD =90°∵ OC =OB∴ △COF ≌△BOD∴ CF =BD∵点F 关于原点的对称点F ′∴∠FCO=∠F′CO OF=OF′∴∠F′CK=2∠PBA∵∠BEG=2∠PBA∴∠F′CK=∠BEG∵F′K⊥CG∴△CF′K≌△EBG∴F′K=BG∵F′K⊥CG∴∠FKF′=∠FGB=90°∵∠F′FK=∠BFG∴△F′FK≌△BFG∴F′F=BF∴OB=3OF∴OD=OF=13OB=2∴D(0,−2)设直线BD的解析式是y=mx+n∴{−2=0×m+n0=8m+n∴{m=1 3n=−2∴直线BD的解析式是y=13x−2∵点P在直线BD上也在抛物线y=−13x2+x+6上∴{y=13x−2y=−13x2+x+6∴{x=−4y=−103∴P(−4,−103)；【点睛】本题考查了二次函数的综合题熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征二次函数的性质中心对称的性质全等三角形的判定和性质等知识添加正确的辅助线是解题的关键．10．(1)y=−14x2+x+3(2)1(3)5√174【分析】（1）先确定点A的坐标为(2，4)再结合等腰直角三角形的性质可得C(6，0)然后运用待定系数法即可解答；（2）先用待定系数法可得AC的函数解析式为y=−x+6设E(t,−14t2+t+3)N（t，−t+6）则EN=−14t2+2t−3然后化成顶点式求最值即可；（3）先确定点M(5,74)过点E作AD的对称点E′(0,3)连接E′M交AD于点P此时PE+PM最短时M(5,74)最后运用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高y=a(x−2)2+4的顶点为点A ∵A的坐标为(2，4)∵AD=4∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高∵CD=AD=4∵C(6，0)．把C(6，0)代入y=a(x−2)2+4解得：a=−14∵抛物线的解析式为y=−14(x−2)2+4即y=−14x2+x+3．（2）解：设直线AC的函数解析式为y=kx+b ∵A(2，4)，C(6，0)∵AC的函数解析式为y=−x+6．设E(t,−14t2+t+3)EN=−14t2+t+3−(−t+6)=−14t2+2t−3=−14(t−4)2+1∵当t=4时EN最大为1∵E(4，3)．（3）解：∵M(5，b)在抛物线y =−14(x −2)2+4上∵M (5,74)．∵AD 是此抛物线的对称轴∵过点E 作AD 的对称点E ′(0,3) 连接E ′M 交AD 于点P 此时PE +PM 最短 M (5,74);∵PE +PM 最短=E ′M =√(0−5)2+(3−74)2=5√174．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合求函数解析求函数最值等知识点灵活运用相关知识成为解题的关键．11．(1)x =1； (2)(3,0) (−1,0)；(3)点P 的坐标为(3−√2,−√2)或(3+√2,√2)．【分析】（1）本题根据抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的对称轴公式为x =−b2a 即可解题．（2）本题根据抛物线公式可整理为y =a (x 2−2x −3)=a (x −3)(x +1) 即可解题．（3）本题由（2）得到点B 的坐标利用OB =OC 求得点C 的坐标推出a 值得到抛物线解析式设直线BC 的解析式为y =kx −3 利用待定系数法求出直线BC 的解析式设点P (m,m −3) 则M (m,m 2−2m −3) 根据过点P 作x 轴的垂线交抛物线于M 点分以下两种情况讨论当P 在M 的上方时当P 在M 的下方时根据这两种情况分析得到PM = CP 并对应的建立等式求解即可解题．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为y =ax 2−2ax −3a (a >0)∴抛物线的对称轴为x =−−2a2a =1；（2）解：∵抛物线解析式为y =ax 2−2ax −3a (a >0)整理可得y =a (x 2−2x −3)=a (x −3)(x +1)∴不论a 取何值函数图象必过(3,0) (−1,0)；（3）解：由（2）可知点B 的坐标为(3,0)∴OB =3∵ OB =OC∴OC =3∴点C 的坐标为(0,−3) 且−3a =−3 即a =1∴抛物线解析式为y=x2−2x−3设直线BC的解析式为y=kx−3将(3,0)代入解析式有3k−3=0解得k=1∴直线BC的解析式为y=x−3设点P(m,m−3)则M(m,m2−2m−3)当P在M的上方时则PM=−m2+3m∵△PCM沿CM对折如果点P的对应点N恰好落在y轴上∴∠PCM=∠NCM∵PM∥y轴∴∠NCM=∠PMC∴∠PCM=∠PMC∴PC=PM∴√2m=−m2+3m整理得：m2+(√2−3)m=0解得：m1=0（不合题意舍去）则点P的坐标为(3−√2,−√2)；当P在M的下方时则PM=m2−3m同理可得：√2m=m2−3m整理得：m2−(√2+3)m=0解得：m1=0（不合题意舍去）则点P的坐标为(3+√2,√2)；综上所述点P的坐标为(3−√2,−√2)或(3+√2,√2)．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合折叠的性质二次函数的图象和性质待定系数法求函数解析式勾股定理表示两点间的距离等腰三角形性质熟练掌握折叠的性质结合分类讨论的数学思想即可解题．12．(1)a =−16(2)(−2，−2)或(−2，4)或(−2，2√2)或(−2，−2√2)(3)−13−√2412或−13+√2412．【分析】本题主要考查了二次函数的应用等腰三角形全等三角形等几何图形等知识点熟练运用数形结合利用几何关系寻找等量关系是解题的关键．（1）将点C 坐标代入抛物线解析式即可解答；（2）分三种情况：当ME =MC 、CE =CM 、EM =CE 时然后利用等腰三角形的性质即可解答；（3）先判断出△PQE≌△P ′Q ′E (AAS )得出PQ =P ′Q ′、EQ =EQ ′ 进而得出P ′Q ′=n ，EQ ′=QE =m +2 确定出点P ′(n −2，2+m) 将点P ′的坐标代入直线AD 的解析式中和点P 代入抛物线解析式中联立方程组求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y =a (x +6)(x −2)过点(0，2)∵2=a (0+6)(0−2) a =−16．（2）解：∵a =−16 ∵抛物线的解析式为y =−16(x +6)(x −2)=−16(x +2)2+83 ∵抛物线的对称轴为直线x =−2；∵E(−2，0)∵C(0，2)∵OC =OE =2∵CE =√2OC =2√2∵△CME 是等腰三角形∵①当ME =MC 时∵∠ECM =∠CED =45°∵∠CME =90°∵M(−2，2)；②当CE =CM 时。

中考数学压轴题专项训练十套(含答案)

中考数学压轴题专项训练十套(含答案)中考数学压轴题专项训练（一）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在直角梯形 $OABC$ 中，$AB\parallel OC$，$BC\perp x$ 轴于点 $C$，$A(1,1)$，$B(3,1)$．动点$P$ 从点 $O$ 出发，沿 $x$ 轴正方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度移动．过点 $P$ 作 $PQ\perp OA$，垂足为 $Q$．设点$P$ 移动的时间为 $t$ 秒（$0<t<4$），$\triangle OPQ$ 与直角梯形 $OABC$ 重叠部分的面积为 $S$．1）求经过 $O$，$A$，$B$ 三点的抛物线解析式．2）求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式．3）将 $\triangle OPQ$ 绕着点 $P$ 顺时针旋转$90^{\circ}$，是否存在 $t$，使得 $\triangle OPQ$ 的顶点$O$ 或 $Q$ 在抛物线上？若存在，直接写出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．解析：1）由题意可知，经过 $O$，$A$，$B$ 三点的抛物线为$y=ax^{2}+bx+c$，代入三点的坐标可得：begin{cases}a+b+c=1\\4a+2b+c=1\\9a+3b+c=1end{cases}$解得 $a=-\dfrac{1}{4}$，$b=\dfrac{5}{4}$，$c=\dfrac{1}{2}$，即经过 $O$，$A$，$B$ 三点的抛物线解析式为 $y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}$．2）设 $\triangle OPQ$ 的高为 $h$，则 $\triangle OPQ$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}xh$，其中 $x=OP=t$．由于 $\triangle OPQ$ 与直角梯形 $OABC$ 重叠部分的面积为 $S$，所以$S=\dfrac{1}{2}(AB+BC)h=\dfrac{1}{2}(3+2t)h$．又因为 $P$ 沿 $x$ 轴正方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度移动，所以 $h$ 的变化率为$\dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-1$，即 $h=-t+4$．综上所述，$S=\dfrac{1}{2}(3+2t)(-t+4)=-t^{2}+5t-6$，即$S$ 与 $t$ 的函数关系式为 $S=-t^{2}+5t-6$．3）将 $\triangle OPQ$ 绕着点 $P$ 顺时针旋转$90^{\circ}$，则 $\triangle OPQ$ 变为 $\triangle OP'Q'$，其中$P'$，$Q'$ 分别为 $P$，$Q$ 绕着点 $P$ 顺时针旋转$90^{\circ}$ 后的点．易知 $\triangle OP'Q'$ 的顶点为 $O'$，坐标为 $(1+t,1)$．将 $O'$ 的坐标代入抛物线的解析式中，得到 $y=-\dfrac{1}{4}(1+t)^{2}+\dfrac{5}{4}(1+t)+\dfrac{1}{2}$．令 $y=0$，解得 $t=2\pm\sqrt{3}$．由于 $0<t<4$，所以 $t=2+\sqrt{3}$，即存在 $t$，使得$\triangle OPQ$ 的顶点 $O$ 在抛物线上．答案：（1）$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}$；（2）$S=-t^{2}+5t-6$；（3）$t=2+\sqrt{3}$．2）正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止。

中考数学《压轴题》专题训练含答案解析

压轴题1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒．（1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似；（3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。

解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时，故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。

2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在．综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+．（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．又5EF =，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。

中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________专题02三角形之直角、等腰问题题型训练训练题01【2023·内蒙古·中考真题】如图，在Rt ABC △中90,3,1ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒，得到AB C ''△．连接BB '，交AC 于点D ，则AD DC 的值为．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC （结果保留根号）训练题03【2023·广东·中考真题】2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂10m AC BC ==，两臂夹角100ACB ∠=︒时，求A ，B 两点间的距离．(结果精确到0.1m ，参考数据sin500.766︒≈ cos500.643︒≈ tan50 1.192︒≈)训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD 的中点A 处竖直上升30米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为45︒，尚美楼顶部F 的俯角为30︒，已知博雅楼高度CE 为15米，则尚美楼高度DF 为米．（结果保留根号）训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】如图1，嘉淇在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M ．(1)在图1中，过点A 画出水平线，并标记观测M 的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53︒，求α的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在B 处观测M 的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D 处，此时观测点M 的仰角为45︒，求树MN 的高度．（注：3tan 374︒≈ 3sin 375︒≈ 4cos375≈︒）训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】如图在等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥于点G 点M N 分别是DE DG 上的动点且DN EM = 则FM FN +的最小值为．训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】如图直线y ＝x ﹣3分别交x 轴 y 轴于B A 两点点C （0 1）在y 轴上点P 在x 轴上运动则2PC ＋PB 的最小值为．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】如图腰长为22+2的等腰ABC 中顶角∠A ＝45° D 为腰AB 上的一个动点将ACD 沿CD 折叠点A 落在点E 处当CE 与ABC 的某一条腰垂直时 BD 的长为．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】如图 ABC 和AGF 是等腰直角三角形 90BAC G ∠=∠=︒ AGF 的边AF AG 交边BC 于点D E ．若4=AD 3AE = 则BEDC 的值是．训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】如图在直角△BAD中延长斜边BD到点C 使得BD=2DC 连接AC 如果则的值是（）A．B．C．D．答案&解析5 tanB3=tan CAD∠3 3351315训练题01【2023·内蒙古·中考真题】【答案】5【简证】因为tan 311tan 4522ABC CD ABD α∠=⎧⇒=⇒=⎨∠=︒⎩ 故5AD DC =【常规法】解：过点D 作DF AB ⊥于点F∵90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC =∴223110AB =+=∵将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△∴==10AB AB ' 90BAB '∠=︒∴ABB '是等腰直角三角形∴45ABB '∠=︒又∵DF AB ⊥∴45FDB ∠=︒∴DFB △是等腰直角三角形∴DF BF =∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ∵ 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠∴AFDACB ∴DF AF BC AC= 即3AF DF = 又∵=10AF DF -45°α∴10=4 DF∴105=10=42AD⨯51=3=22CD-∴52==512ADCD故答案为：5．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】【答案】大楼的高度BC 为303m ．【分析】如图过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥ 则四边形CQHB 是矩形可得QH BC = BH CQ = 求解3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= 可得704030CQ BH ==-= tan 30103PQ CQ =︒= 可得403103303BC QH ==-=．【详解】解：如图过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥则四边形CQHB 是矩形 ∴QH BC = BH CQ =由题意可得：80AP = 60PAH ∠=︒ 30PCQ ∠=︒ 70AB = ∴3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= ∴704030CQ BH ==-= ∴tan 30103PQ CQ =︒=∴403103303BC QH ==-= ∴大楼的高度BC 为303m ．训练题03【2023·广东·中考真题】【答案】15.3m【分析】连接AB 作作CD AB ⊥于D 由等腰三角形“三线合一”性质可知2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中利用sin AD ACD AC∠=求出AD 继而求出AB 即可．【详解】解：连接AB 作CD AB ⊥于D∵AC BC = CD AB ⊥∴CD 是边AB 边上的中线也是ACB ∠的角平分线∴2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中 10m AC = 50ACD ∠=︒ sin AD ACD AC ∠= ∴sin 5010AD ︒= ∴10sin50100.7667.66AD =︒≈⨯=∴()227.6615.3215.3m AB AD =≈⨯=≈答：A B 两点间的距离为15.3m ．训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】【答案】3053-/5330-+【分析】过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N 首先证明出四边形ECAM 是矩形得到15AM CE == 然后根据等腰直角三角形的性质得到15AC EM BM === 进而得到15==AD AC 然后利用30︒角直角三角形的性质和勾股定理求出53BN = 即可求解．【详解】如图所示过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N由题意可得四边形ECAM 是矩形 ∴15AM CE == ∵30AB = ∴15BM AB AM =-= ∵博雅楼顶部E 的俯角为45︒ ∴45EBM ∠=︒ ∴45BEM ∠=︒ ∴15AC EM BM ===∵点A 是CD 的中点 ∴15==AD AC 由题意可得四边形AMFN 是矩形 ∴15NF AD == ∵尚美楼顶部F 的俯角为30︒ ∴60NBF ∠=︒ ∴30BFN ∠=︒ ∴2BF BN =∴在Rt BNF △中 222BNNF BF += ∴()222152BN BN +=∴解得53BN =∴3053FD AN AB BN ==-=-．故答案为：3053-．训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】【答案】(1)37︒(2)树MN 的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可．(2) 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米．解直角三角形求解即可．【详解】（1）如图1；905337α=︒-︒=︒；（2）如图过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米．在Rt APM △中 4( 1.5)tan 373MP AP x ==-︒（米）在Rt MCP 中 1.5CP MP x ==-（米） 4( 1.5)( 1.5) 1.253AC AP CP x x ∴=-=---=（米）解得 5.25x =．答：树MN 的高度为5.25米．训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】【答案】23【分析】过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 证得AEM FDN ≅ 利用全等三角形的性质证得FN AM = 求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小即为AF 的长在Rt AEF 中利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 如图所示∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF ==∴45DEF ∠=︒ 222222EF =+=∴9045AEM DEF ∠=︒-∠=︒∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥∴45FDN ∠=︒∴FDN AEM ∠=∠在AEM △和FDN 中AE DF AEM FDN EM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEM FDN≅()SAS ∴FN AM =∴求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小即为AF 的长∴在Rt AEF 中()222222223AF AE EF =+=+=的最小值为23即FM FN故答案为：23训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】【答案】4【分析】过P作PD⊥AB于D依据△AOB是等腰直角三角形可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD进而得到△BDP是等腰直角三角形故PD22=PB当C P D在同一直线上时CD⊥AB PC+PD的最小值等于垂线段CD的长求得CD的长即可得出结论．【详解】如图所示过P作PD⊥AB于D∵直线y＝x﹣3分别交x轴y轴于B A两点令x＝0 则y＝﹣3；令y＝0 则x＝3∴A（0 ﹣3）B（3 0）∴AO＝BO＝3又∵∠AOB＝90°∴△AOB是等腰直角三角形∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD∴△BDP是等腰直角三角形∴PD22=PB∴2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD）当C P D在同一直线上即CD⊥AB时PC+PD的值最小最小值等于垂线段CD 的长此时△ACD是等腰直角三角形又∵点C（0 1）在y轴上∴AC＝1+3＝4∴CD22=AC＝22即PC+PD的最小值为22∴2PC+PB的最小值为222⨯=4 故答案为：4．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】【答案】2或22【分析】分两种情况：当CE ⊥AB 时设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45° 由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5° 证明△BCM ≌△DCM 得到BM ＝DM 证明△MDE 是等腰直角三角形即可得解；当CE ⊥AC 时根据折叠的性质等腰直角三角形的判定与性质计算即可；【详解】当CE ⊥AB 时如图设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45°由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5°∵等腰△ABC 中顶角∠A ＝45°∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°∴∠BCM ＝22.5°∴∠BCM ＝∠DCM在△BCM 和△DCM 中90BMC DMC CM CM BCM DCM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCM ≌△DCM （ASA ）∴BM ＝DM由折叠得：∠E ＝∠A ＝45° AD ＝DE∴△MDE 是等腰直角三角形∴DM ＝EM设DM ＝x 则BM ＝x DE 2=x∴AD 2=x ．∵AB＝22+2∴2x2x＝22+2 解得：x2=∴BD＝2x＝22；当CE⊥AC时如图∴∠ACE＝90°由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°∵等腰△ABC中顶角∠A＝45°∴∠E＝∠A＝45°AD＝DE∴∠ADC＝∠EDC＝90°即点D E都在直线AB上且△ADC△DEC△ACE都是等腰直角三角形∵AB＝AC＝＝22+2∴AD22=AC＝22BD＝AB﹣AD＝（22+2）﹣（22）2=综上BD的长为2或22．故答案为：2或22．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】【答案】916【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明AED BEA ∽ 可得34BE AE AB AD ==,设3BE x = 则4AB x AC ==,再证明ADE CDA △∽△ 可得34AC AE CD AD == 可得163CD x = 从而可得结论．【详解】解：∵ABC 和AGF 是等腰直角三角形 ∴45,B F FAG AB AC ∠=∠=∠=︒=∵AEB AED ∠=∠∴AED BEA ∽∴AD AE DE AB BE AE ==,而4=AD 3AE = ∴34BE AE AB AD == 设3BE x = 则4AB x AC ==同理可得：ADE CDA △∽△∴AD AE DE CD AC AD == ∴34AC AE CD AD == ∴BE AC AB CD = ∴344x x x CD =,即163CD x = ∴3916163BE x CD x ==.训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】【答案】D【详解】解：如图延长AD 过点C 作CE ⊥AD 垂足为E∵ 即∴设AD ＝5x 则AB ＝3x∵∠CDE ＝∠BDA ∠CED ＝∠BAD∴△CDE ∽△BDA∴∴CE ＝ DE ＝∴AE ＝ ∴tan ∠CAD ＝．5tanB 3=53AD AB =12CE DE CD AB AD BD ===32x 52x 152x 15CE AE =。

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含详细答案(1)

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣32）2+94，当n=32时，PM最大=94；②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=-3，P（2，-3）；当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+2（不符合题意，舍），n3=3-2，n2﹣2n﹣3=2-42，P（3-2，2-42）；综上所述：P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.2．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=34AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．（2）直线BC的函数表达式为y=x－3．（3）①23．①P1（122），P2（16，74）．【解析】【分析】已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴− 221b ba -⨯＝＝1 ∴b=-2∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3；（2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y=0时，x 2-2x-3=0． ∴x 1=-1，x 2=3． ∵A 点在B 点左侧， ∴A （-1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m ，则033k m m ＝＝+⎧⎨-⎩，∴13k m ⎧⎨-⎩＝＝∴直线BC 的函数表达式为y=x-3；（3）①∵AB=4，PQ=34AB ， ∴PQ=3 ∵PQ ⊥y 轴 ∴PQ ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得PM=32， ∵对称轴是直线x=1， ∴P 到y 轴的距离是12， ∴点P 的横坐标为−12， ∴P （−12，−74）∴F（0，−74），∴FC=3-OF=3-74=54∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE-CG=52-1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG＝．②P1（2，-2），P2（1-62-52）．设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），∴1=1×（2-a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．∴P1（2-2），当CD为斜边时，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，∴P和F的纵坐标为：-52，把y=-52，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-62，或1+62，∵点P在第三象限．∴P2（1-6，-52）．综上所述：满足条件为P1（1-2，-2），P2（1-62，-52）．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．3．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【详解】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得30 4233 a ba b--=⎧⎨+-=-⎩解得12 ab=⎧⎨=-⎩∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入23k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y ＝﹣x ﹣1 ∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2） ∴P 点纵坐标为﹣2， ∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝1±2，∵x ＞0∴x ＝1+2． ∴P （1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．4．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x 2+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62bx a=-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过（3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得1266x x =+=-12x x -=答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．5．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6．如图，已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

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一、中考数学压轴题1．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）．（1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ；（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．2．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．(1)（课本习题）如图①，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE=CD ．求证：DB=DE(2)（尝试变式）如图②，△ABC 是等边三角形，D 是AC 边上任意一点，延长BC 至E ，使CE=AD ．求证：DB=DE ．(3)（拓展延伸）如图③，△ABC 是等边三角形，D 是AC 延长线上任意一点，延长BC 至E ，使CE=AD 请问DB 与DE 是否相等? 并证明你的结论．3．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC 的值．（拓展提升）（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．105AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．4．已知．在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=23，若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．（1）求经过点O ，C ，A 三点的抛物线的解析式．（2）若点M 是抛物线上一点，且位于线段OC 的上方，连接MO 、MC ，问：点M 位于何处时三角形MOC 的面积最大？并求出三角形MOC 的最大面积．（3）抛物线上是否存在一点P ，使∠OAP=∠BOC ？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分BAC ∠交边BC 于点E ，经过点A D E 、、的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 里面相交于另一点G ．（1）求证：BC 是⊙F 的切线；（2）若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，求⊙F 的半径及线段AC 的长；（3）试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．6．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)；（3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若12,(33)2ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．7．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系 (1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．8．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝13，BC ＝8．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径OC ；（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点,C 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线3,2x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C 、两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当BM CM -的值最小时，请你求出点M 的坐标；（3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.11．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.（1）求点A 的坐标；（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.12．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且2n -2n -，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、Q ∠的数量关系并说明理由；（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．13．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQ BD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．14．在菱形ABCD 中，点P 是对角线BD 上一点，点M 在CB 的延长线上，且PC PM =，连接PA ．()1如图①，求证：PA PM =；()2如图②，连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ︒∠=求证 =PC AM ；()3连接AM ，当 90ADC ︒∠=时，PC 与AM 的数量关系是15．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度16．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC△的斜边在AB在x轴上，点C在y轴上90ACB∠=︒，OC、OB的长分别是一元二次方程2680x x-+=的两个根，且OC OB<．（1）求点A的坐标；（2）D是线段AB上的一个动点（点D不与点A，B重合），过点D的直线l与y轴平行，直线l交边AC或边BC于点P，设点D的横坐标为t，线段DP的长为d，求d关于t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，当12d=时，请你直接写出点P的坐标．17．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接 BD，点E在⊙O上，连接 BE交 AD于点F，∠BDC+45°=∠BFD，连接ED．（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB；（2）如图2，点G是 AB上一点，过点G作 AB的垂线分别交BE和 BD于点H和点K，若HK=BG+AF，求证：AB=KG；（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O上有一点N，连接 CN分别交BD和 AD于10点 M 和点 P，连接 OP，∠APO=∠CPO，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB的长．18．定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）当m ＝0时①一次函数y ＝x ﹣1关于点P 的相关函数为； ②点（12，﹣98）在二次函数y ＝﹣ax 2﹣ax +1（a ≠0）关于点P 的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y ＝（x ﹣1）2+2关于点P 的相关函数y ＝﹣（x +3）2﹣2，则m ＝；（3）当m ﹣1≤x ≤m +2时，函数y ＝x 2﹣mx ﹣12m 2关于点P （m ，0）的相关函数的最大值为6，求m 的值．19．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝23，在AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．20．如图，直角梯形ABCD 中，1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值；（2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，1O 与2O 外切？21．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒．（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0x y =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．（1）点A’的坐标是，点B’的坐标是；（2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标．此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．23．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC、AD于点E、F．（1）当α=_____°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形，①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．24．问题一：如图①，已知AC＝160km，甲，乙两人分别从相距30km的A，B两地同时出发到C地．若甲的速度为80km/h，乙的速度为60km/h，设乙行驶时间为x（h），两车之间距离为y（km）．（1）当甲追上乙时，x＝．（2）请用x的代数式表示y．问题二：如图②，若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB正好对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），易知∠AOB＝30°．（3）分针OD指向圆周上的点的速度为每分钟转动km，时针OE指向圆周上的点的速度为每分钟转动°；（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？25．已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P，G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证：DF=PG；②若AB=3，PC=1，求四边形PEFD的面积；（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．B解析：（1）1.5；（2）3；（3）()))22293333153932733.30 1.5153493xy xxxxxx x⎧⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-⎪⎪⎩≤≤≤≤＜＜【解析】【分析】（1）令PQ⊥BC，表示出BP和BQ的长，利用余弦的定义得出方程，求解即可；（2）根据△ABC是等边三角形得出BQ=CM，表示出PC的长，结合余弦的定义得出方程，求解即可；（3）根据（1）和（2）中结论，分0≤x＜1.5时，1.5≤x≤3时，3＜x≤4时三种情况画出图形，求出相应边长，可得函数解析式.【详解】解：（1）当PQ⊥BC时，BP=1.5x，BQ=6-x，∴BQ=1.5cos cos60BP xABC=∠︒，即6-x=1.512x，∴6-x=3x，解得：x=1.5，∴当x=1.5时，PQ⊥BC；（2）∵△ABC是等边三角形，QM∥BC，∴AQ=AM，BQ=CM，PC=6-1.5x，CM=6 1.51231cos602PCxx-==-︒，∴BQ=12-3x，AQ=x，∴12-3x+x=6，解得x=3，∴当点M落在AC上时，x=3（s）；（3）当0≤x＜1.5时，过Q作QE⊥BC于E，∵BQ=6-x，∴QE=BQsin∠B=BQsin60°，而DP=BPtan∠B=BPtan60°，y=S△BPQ-S△BPD=1122BP QE BP DP⋅-⋅=()()11sin60tan6022BP BQ BP BP︒-︒=2933342x x-；当1.5≤x≤3时，过点Q作QD⊥BC于D，可知：四边形QDPM为矩形，∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°，PM=MC·sin60°=BQ·sin60°，则y=S △PQM =12QM PM ⋅ =()1cos60sin 602BP BQ BQ -⋅︒⋅⋅︒ =2315393242x x -+-；当3＜x≤4时，如图所示，过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，可知四边形QEPM 为矩形，∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan ∠B=1.5x-12（6-x ）=2x-3， ∵QM ∥BC ，∴△AQO 为等边三角形，∠MON=∠C=60°，∴AQ=OQ=AO=x ，∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3，∵PC=6-1.5x ，∠C=60°，∴NP=PC·tan ∠C= PC·tan60°=3632x ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭， ∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin ∠B-NP=（6-x ）·sin60°-3632x ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=333x -，y=S △PQM -S △NOM=1122MQ PM OM MN ⋅-⋅=2242x x -+--12（x-3-）=2x -故y 关于x的函数解析式为()))222422423.0 1.515344x x y x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪+-⎪⎪⎩≤≤≤≤＜＜. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的应用—几何问题，难度较大，解题的关键是根据图形的运动情况分情况求解.2．D解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE 成立，证明见详解【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE ，则∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE ；（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，证明△BDC ≌△EDG ，根据全等三角形的性质证明结论；（3）过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，由“SAS ”可证△BCD ≌△EFD ，可得DB=DE ．【详解】证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC=∠BCA=60°，∵点D 为线段AC 的中点，∴BD 平分∠ABC ，AD=CD ，∴∠CBD=30°，∵CD=CE ，∴∠CDE=∠CED ，又∵∠CDE+∠CED=∠BCD ，∴2∠CED=60°，∴∠CED=30°=∠CBD ，∴DB=DE ；（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，如图，∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°，∴△DGC 为等边三角形，∴DG=GC=CD ，∴BC-GC=AC-CD ，即AD=BG ，∵AD=CE ，∴BG=CE ，∴BC=GE ，在△BDC 和△EDG 中，60DC DG BCD EGD BC EG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BDC ≌△EDG （SAS ）∴BD=DE ；（3）DB=DE 成立，理由如下：过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，∴∠CDF=∠A ，∠CFD=∠ABC ，∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB ，∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF ，∴△CDF 为等边三角形∴CD=DF=CF ，又AD=CE ，∴AD-CD=CE-CF ，∴BC=AC=EF ，∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°，∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°，∴∠BCD=∠DFE ，且BC=EF ，CD=DF ，∴△BCD ≌△EFD （SAS ）∴DB=DE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．A解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）32910AB BC =；（3）①125615-；②35AD CD =．【解析】【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论；（2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出AB BC的值；（3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF 的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF AE EC=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案．【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形．理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，∵12AC =，30ACB ∠=︒， ∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==． ∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称，∴BE AD ⊥，AE ED =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．不防设3AE k =，5BC k =，∵点C 为ABD △的重心，∴:2:1BC CE =． ∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)2k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∴329329:5AB k k BC ==．（3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3，∵35AE BC =， ∴BC=5， ∵10AB BC =， ∴10AB ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22(10)31BE =-=，∴156EC =+=，∴223635AC =+=∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ，∴△ACE ∽△DAF ，∴3126AE E D C F AF ===，设DF x =，则2AF x =，∵∠ACD=30°，∴3CF x =， ∴(23)35AC x =+=，解得：65315DF x ==-∴2125615CD DF ==-．②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．∴5BC =．∵10AB BC =， ∴10AB． ∴221BE AB AE =-=．∴6CE BE BC =+=，2236935AC CE AE =+=+=．分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=． ∵GCB FCD α'∠=∠=，∴AEC DFA ∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==．∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =．∵12l l //，∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒．∴AEC DFA ∽△△．∴DF AF AE EC =． ∴33543k k -=，解得35k =∴3552 CD k==，2222959595102AF DFAD⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．∴93525355ADCD===．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．4．C解析：（1）y=﹣x2+23x；（2）333,⎛⎫⎪⎪⎝⎭,33；（3）存在，P(3，53)或(﹣3，﹣73)【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，过点C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后写出点C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）求出直线OC的解析式，根据点M到OC的最大距离时，面积最大；平行于OC的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）分两种情况求出直线AP与y轴的交点坐标，然后求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．【详解】解：（1）∵Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，∴OC=OA=23，∠BOC=∠BAO=30°，∴∠AOC=30°+30°=60°，过点C作CD⊥OA于D，则OD=1 22=3，所以，顶点C3），设过点O，C，A抛物线的解析式为为y=ax2+bx，则223aa⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：1ab=-⎧⎪⎨=⎪⎩∴抛物线的解析式为y=﹣x2；（2）∵C3），∴直线OC的解析式为：y=，设点M到OC的最大距离时，平行于OC的直线解析式为y m=+，联立2y my x⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，消掉未知数y并整理得，20x m+=，△=（2-4m=0，解得：m=34．∴234x+=，∴x=；∴点M到OC的最大距离=34×sin30°=313428⨯=；∵OC==∴1328MOCS∆=⨯⨯=此时，M⎝⎭（3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，∴2=，∴直线AP 与y 轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），当直线AP经过点（0）、（0，2）时，解析式为2y x =+，联立22y x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得110x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2253x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以点P53），当直线AP经过点（0）、（0，﹣2）时，解析式为23y x =-，联立223y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩解得110x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22373x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以点P的坐标为（73-）．综上所述，存在一点P，5373），使∠OAP=∠BOA ．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，（2）判断出点M 到OC 的距离最大是，平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点是解题的关键，（3）确定出直线AP 的解析式是解题的关键．5．E解析：（1）详见解析；（2）52r =，52AC =；（3）2AG AD CD =+，理由详见解析．【解析】【分析】（1）连接EF ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ，得到FE ∥AC ，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出半径的长，证FEB ∆∽AOD ∆，求出BF 的长，再证BFE ∆∽BAC ∆，即可求出AC 的长；（3）过点F 作FR AC ⊥于点R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）如图，连接EF ，∵AE 平分BAC ∠，FAE CAE ∴∠=∠，FA FE =，FAE FEA ∴∠=∠，FAE EAC ∴∠=∠，//FE AC ∴，90FEB C ∴∠=∠=︒，又E 为⊙F 上一点，BC ∴是⊙F 的切线；（2）如图，连接FD ，设⊙F 的半径为r ，∵点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，1,2,1OA OD OF r ∴===-，5AD ∴=在Rt FOD ∆中，由勾股定理得，222FD OF OD =+，222(1)2r r ∴=-+，解得52r =，即⊙F 的半径为52， 90ODA OAD EBF OAD ∠+∠=∠+∠=︒，ODA EBF ∴∠=∠， 90AOD FEB ∠=∠=︒，∴FEB ∆∽AOD ∆，EF BF OA DA ∴=，即2.515=， 552BF ∴=， 555BA +∴=， //EF AC ，∴BFE ∆∽BAC ∆，EF BF AC BA∴=，即55522555AC =+， 552AC +∴= （3）2AG AD CD =+．理由如下：如图，过点F 作FR AC ⊥于点R ，则∠FRC=90°，∵∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF 为矩形，EF RC RD CD ∴==+，FR AD ⊥，AR RD ∴=，12EF RD CD AD CD ∴=+=+， 22AG EF AD CD ∴==+．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．6．E解析：（1）3EF EC =，见解析；（2）277BK a =；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②1(62)4- 【解析】【分析】（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边三角形，由解直角三角形得到3AE EC =，即可得到答案；（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到AB BK FB BA=，即可求出答案；（3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）3EF EC =；理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=，120BAD ︒∴∠=，∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，90AEB AFD ︒∴∠=∠=Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒，60EAF ∴∠=︒，AEF ∴∆为等边三角形，EF AE ∴=.连接AC ，1602BAC BAD ︒∴∠=∠= 30EAC ︒∴∠= 在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=3AE EC ∴=，3EF EC ∴=（2）如图：∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==， ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=. AF CD ⊥，垂足为F ，1,902CF DF a BAF AFD ︒∴==∠=∠= 在Rt ADF 中，sin AF ADF AD ∠=， 3AF ∴=在Rt ABF 中，22BF AB AF =+72BF a ∴= AK BF ⊥，垂足为K ，90AKB FAB ︒∴∠=∠=ABK FBA ∠=∠~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆，AB BK FB BA∴=， 27BK ∴=，（3）如图：①AGH 是等边三角形.理由：连接AC .,60AB BC ABC ︒=∠=，ABC ∴为等边三角形，,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=，120ABG ︒∴∠=.//AB CD ，60BCH ABC ︒∴∠=∠=，120ACH ︒∴∠=ABG ACH ∴∠=∠，又BG CH =，ABG ACH ∴≅，,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠.60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=，60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，AGH ∴为等边三角形；②ADC 为等边三角形，2,1AD DC AC CF DF ∴=====，3AF ∴=.1(33)2ADH S =， 113(33)22DH ∴⨯=， 31DH ∴=31CH DH CD ∴=-=，3HF DH DF =-=AF HF ∴=，AHF ∴为等腰直角三角形，45AHF ︒∴∠=.过点C 作CM AH ⊥，垂足为M .在Rt CMH 中，sin CM CHM CH ∠=， 1(62)2CM ∴=-，在Rt AMC 中，sin CM MAC AC ∠=， 1sin (62)4MAC ∴∠=-. 又GAB HAC ∠=∠， 1sin sin (62)4GAB HAC ∴∠=∠=-；【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．7．C解析：（1）①3，3，32CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3．【解析】【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(03，∴OD=1，3OE =∴OE tan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•60CD cos =︒=当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，故答案为：22CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，故点O 与线段DE 满足限距关系．故答案为O ．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴1+b ≥2（1-b ），解得13b ≥， ∴b 的取值范围为131b ≤＜．当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系，当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 没有公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为121b -，最大距离为b+1， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，而11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭总成立， ∴b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b ≥．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H和⊙K都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r≤3，故r的取值范围为0＜r≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．8．D解析：（1）见解析；（2）32332232【解析】【分析】（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得13OE OCOC OF==，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM为中位线，即可求出FM的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.【详解】解：（1）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴13 OE OCOC OF==，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线；（2）∵∠COD ＝∠BAC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠COE ＝13OE OC =， ∴设OE ＝x ，OC ＝3x ，∵BC ＝8，∴CE ＝4，∵CE ⊥AD ，∴OE 2+CE 2＝OC 2，∴x 2+42＝9x 2，∴x ＝2（负值已舍去），∴OC ＝3x ＝32，∴⊙O 的半径OC 为32；（3）如图，连结BD ，由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠， ∵BC ⊥AD ，∴AC AB =，∴∠ADC=∠ADB ，∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠，∴△AOF ∽△BDM ；∵点F 是OC 的中点，∴AO ：OF=BD ：DM=2，又∵BD=DC ，∴DM=CM ，∴FM 为中位线，∴322， ∴S △AOF : S △BDM =(326 2 34=； ∵111118(322)4222222BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯=∴S △AOF =34= 【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.9．B解析：（1）213222y x x =-++；（2）3(,0)2；（3）存在；(0,2)N 或(3,2)N 或(2,3)--N 或(5,18)--N【解析】【分析】（1）由直线122y x =-+可得B 、C 两点的坐标，根据二次函数的对称轴求得A 点坐标，可设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-，将C 点坐标代入可求得a ，即可得抛物线的解析式；（2）根据绝对值的性质得出BM CM -的值最小时，点M 为BC 的垂直平分线与直线32x =的交点，求得BC 垂直平分线的解析式，联立直线32x =即可求得点M ；（3）分四种情况进行讨论，设出N 的坐标，根据相似三角形的对应边成比例的性质，求得N 的横坐标与纵坐标的关系，然后联立抛物线解析式即可求解．【详解】解：∵直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴当y =0时，即1022x =-+，解得：x =4，则点B 的坐标为(4,0)，当x =0时，10222=-⨯+=y ，则点C 的坐标为(0,2)，由二次函数的对称性可知：点A 与点B 关于直线32x =对称， ∴点A 的坐标为(1,0)-，∵抛物线与x 轴的交点为点(1,0),(4,0)A B -，∴可设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-，又∵抛物线过点(0,2)C ，∴2(01)(04)a =+-，解得：12a =-， ∴2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++∴抛物线的解析式为213222y x x =-++；（2）如图1，连结CM 、BM ，作线段BC 的垂直平分线l 分别交BC 、直线32x =于点'、N M ，则N 为BC 中点；由绝对值的性质可得：0≥-BM CM ，∴当BM CM -的值最小时，即0=-BM CM ，则此时CM BM =， ∴点M 为l 与直线32x =的交点，此时M 与'M 重合，设l 的解析式为：y kx b =+，∵直线BC 的解析式为：122y x =-+，BC l ⊥ ∴112-⋅=-k ，解得：2k =，则l 的解析式可化为：2y x b =+，由(4,0),(0,2)B C 得点N 的坐标为(2,1)，将(2,1)N 代入2y x b =+得： 14b =+，解得：3b =-，∴23y x =-，将32x =代入23y x =-，得323=02=⨯-y ，即3'(,0)2M ， ∴当BM CM -的值最小时，点M 的坐标为3(,0)2，（3）抛物线上存在点N ，使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似； ∵(1,0),(4,0),(0,2)-A B C∴1,4==OA OB ，2OC =，5AB =， ∴2222125=+=+=AC OA OC 22224225BC OB OC =+=+=， ∵22252025+=+==AC BC AB ，∴ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒，∵NH x ⊥轴，∴90∠=︒NHB ，则90∠=∠=︒NHB ACB ，如图2所示，分四种情况，点N 的坐标分别为1234、、、N N N N ，设点N 的坐标为(,)m n ，①当点1N 在x 轴的上方，要使11N BH ABC ，则11∠=∠N BH ABC ，则此时点1N 与点C 重合，则此时点1H 与点O 重合，则11≅N BH ABC ，满足题意，∴此时点1N 的坐标为(0,2)；②当点2N 在x 轴的上方，要使22BN H ABC ，则2222==N H BC BH AC ， ∴24=-n m，即28n m =-+，代入抛物线的解析式得： 21328222mm m ，化简得：27120m m ，解得：13m =，24m =（不符合题意，故舍去），将3m =代入抛物线解析式得：2n =，∴此时点2N 的坐标为(3,2)；③当点3N 在x 轴的下方，要使33N BH ABC ，则3332==BH BC N H AC ， ∴42-=-m n ，即42-=m n ，代入抛物线的解析式得：24132222m m m ，化简得：2280m m --=，解得：12m =-，24m =（不符合题意，故舍去），将2m =-代入抛物线解析式得：3n =-，∴此时点3N 的坐标为(2,3)--；④当点4N 在x 轴的下方，要使44BN H ABC ，则4442==N H BC BH AC ， ∴24-=-n m，即28=-n m ，代入抛物线的解析式得： 21328222m m m ，化简得：2200m m ，解得：15m =-，24m =（不符合题意，故舍去），将5m =-代入抛物线解析式得：18n =-，∴此时点4N 的坐标为(5,18)--；综上所述，抛物线存在点N 的坐标为(0,2)或(3,2)或(2,3)--或(5,18)--使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质、相似三角形的性质，运用数形结合与分类讨论的方法是解题的关键．10．H解析：（12H(914，I(275 【解析】【分析】（1）根据菱形性质，得到A 、B 、C 、O 四点坐标，然后根据平移得到对应点坐标，故可求得C E '和C F '的长，令它们相等可得m 的值；（2）点G 作以C A '为对称轴的点G '，交C F '于点G '，点J 作以O B ''为对称轴的点J '，交A B ''于点J '，G J ''与C A '、A B ''的交点便是点H 、I ；先利用对称的性质，求解得出点G '、J '的坐标，然后利用代入系数法求得线段对应函数解析式，最后联立方程得到点H 、I 的坐标.【详解】（1）如下图，CB 与y 轴交于点M ，过点C 作x 轴的垂线，交x 轴于点N。