二元函数极值存在的充分条件
多元函数的极值与最值总结
微积分八⑥
2018/12/10
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求最值的一般方法：要求最大值和最小值，必须考 虑函数f(x,y)的所有驻点、偏导不存在的点以及区 域的边界点上的函数值，比较这些值，其中最大者 (或最小者)即为函数在D上的最大值(或最小值)
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例5 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在x轴、y轴和直线 x+y=6所围成的闭区域D上的最大值与最小值. 解方程组， 解 如图,先求z在D内的驻点， 2 f x ( x , y ) 2 xy(4 x y ) x y 0 2 2 f ( x , y ) x ( 4 x y ) x y0 y D 得区域D内的唯一驻点(2,1), 且f(2,1)=4. 再求f(x,y)在D边界上的最值， y 在边界x=0和y=0上f(x,y)=0， 在边界x+y=6上，即y=6-x上， x y6 于是f(x,y)=x2(6-x)(-2),由fx=4x(x-6)+2x2=0, D 得x1=0, x2=4 y=6-x|x=4=2 f (4,2) 64, o 比较后可知f(2,1)=4为最大值， f(4,2)=-64为最小值.
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求函数z=f(x,y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f x( x, y) 0, 求出实数解 , f y( x, y) 0 得驻点; 第二步 对每个驻点(x0,y0), 求出各二阶偏导数的值 A、B、C; 第三步 定出B2 -AC的符号，再判定是否是极值.
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如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理2(充分条件)设z=f(x,y)在其驻点(x0,y0)的某邻域内连 续且有二阶连续偏导数, 又 f x( x0 , y0 ) 0, f y( x0 , y0 ) 0.
多元函数的偏导数与极值问题
显然有：z dz
全微分、偏导数、连续性之间的关系
全微分存在
z A x, yx B x, yy o x2 y2
可微
偏导存在
连续
例1（1） z
x yx
求： dz,
dz x1 ,
y2
dz x1
y2 x0.01 y 0.02
解
dz
2
1 x
yx
x
y
x
ln
y
dx
x x yx1dy
所以 z 3, 2 31是极大值。
最大最小值问题
若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在 极值点或边界上取得。
在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的驻点，则 可判定函数在该驻点即取得最值。
例2 要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？
2 yex2 y
2z x4ex2y y 2
2 z ex2 y 2x3 y 2xex2 y
2 z ex2 y 2x3 y 2xex2 y
xy
yx
若二元函数 z f x, y 的两个混合偏导 2 z , 2 z
xy yx
在区域 D 上连续，则它们必相等。
全微分的相关概念
如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。
x
S x 1 x 16 x2
2
令
Sx
1
2
16 x2
x2 16
1 z lnx 2y
解
zx
x
1 2y
zxx
x
1
2y2
2
zxy x 2 y2
多元函数的极值概念、必要条件、应用例
f( x, y) x
3 2
3
y2
(0,0) (0,0)不存在 fx 不存在 fy
但在 （0,0）点取得极小值
注意
1）偏导数存在的极值点一定是驻点 2）函数的驻点不一定是极值点
点( 0 ,0 )是驻点 ，但不是 极值点 。 ,y)xy 例 f(x
多元函数的极值
概念、必要条件、应用例
2005.1.2
多元函数的极值 内容提纲
• • • • • • 求最值的有用性：例 极值、最值定义（图示） 极值的必要条件，必要条件的几何意义 必要条件应用：简单例子 极值的充分条件 充分条件的证明的主要想法：
– 泰勒公式
问题
• 要在三个村庄中 间的 y ) 则称 f ( x0 , y0 )为函数在 D内的最小值 0 0
最大值与最小值统称为最值. 使函数取得最值的点 (x0,y0) 称为最值点.
极 大 值 是 最 大 值
zx y
2
2
原 点 是 最 小 值
z (x y )
2 2
若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在极值点或边 界上取得。
最大最小值问题
在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域
D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的驻点，则
可判定函数在该驻点即取得最值。
例
• 例：要做一个长方形体无盖容器，问选择怎样的尺寸， 才能使用料最省？
• 解：设长方体容器的
x ,y )在点( x0 , y0 ) 处取得极大值. 证明:不妨设 zf(
则, f ( x , y ) f ( x , y ) , 特别地,取y 0 0 有
y0
泰勒公式与极值问题
§ 4泰勒公式与极值问题教学计划：6课时.教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二 元函数取极值的必要和充分条件.教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式. 教学方法：讲授法. 教学步骤： 一 高阶偏导数由于z = f(x, y)的偏导函数f x (x, y), f y (x, y)仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们 关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：.:x : yfy ；：x但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数22 x - y22xy 飞 2，x y - 0, x y0,x 2+y 2=0.它的一阶偏导数为y(x 4+4x 2y 2_y 4 )2 + 2」o (x 2+ y 22,x y ,. 0,x 2+y 2=0,,仪4 _4x 2y 2 _ y 4 ) 2 + 2* (x 2 + y 22 ,x 『2 2L 0,x +y =0, 进而求f 在(0, 0)处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得f x 0, y - f x 0,0y 4f xy O,o =啊— 厂 啊可=7以0,0)=慎 ------------ Zx ------------ 瓦"由此看到，这里的f x, y 在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么 条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此， 我们按定义先把f xy x 0, y 0与f yx x 0, y 0表成极限形式•由于；2Z.\jy ?z -：y ；：x-y 2 2创 l x +yx * +这些函数关于一 x 2 y 2 2,2 2x - y =~ (2 . 2 2 , x y-2xy.:y : y注意 从上面两个例子看到， 种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为 已2z o y 丿(x 2+y 2)x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等(这 混合偏导数),即-2:zf x x, y =f y x, y =fxx,y =寸 f因此有f x x o ,y oy - f x x o , y of xy &, y o二 li y m .o ---------------------------------- y --------------------------------------.. 1 f (x o +^x, y o + 也y )—f (x o ,y °+A y) =lim lim.y 】o Ay |[A )of X o ：x,y o - f (x °,y °)Z一f(X o +A x, y o +3 卜 f (X o , y o +A y) — f(X o +A x,yo )+ f (x °, y o ) =lim lim -.y o .x -p类似地有f yx X o , y o_ li m H m f (x o 中A x, y ° + 也y)— f (x °+ A x, y °) — f (x °, y o + 也y)+ f (x °, y o )x o二x i y 为使f xy X o , y o 二f yx X o ,y o 成立，必须使(1),(2)这两个累次极限相等，即以交换累次极限的极限次序•下述定理给出了使极限(1), (2)相等的一个充分条件.定理17.7 若f xy . X, y 和f yx . X, y 都在点连续，则f xy X o，y o fyx X o ,y o令F( X ：y)二 f(x ° xy °：y)— f(x ° xy 。
9.二元函数泰勒公式
二元函数的泰勒公式
型余项. 根据定理的条件假设知道, Rn 的绝对值
f ( x 0 , y0 ) h k f ( x 0 , y0 ) y x n 1 h k f ( x 0 , y0 ) n! x y
1 h k ( n 1)! x y
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h B k ) k ] ( AC B ) A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ).
二元函数的泰勒公式 显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ). 利用一元函数的麦克劳林公式, 得
7.7二元函数的极值和最值
注： 可导函数的极值点 例如函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
类似于一元函数y x3 在 x 0处非极值．
驻点 (3)
问题：可导函数的驻点未必是极值点，那什
么样的点才是极值点呢？ 这是寻找极值点的 充分 条件
定理2（极值存在的充分条件） ABC法则
1. 条件极值与无条件极值 自变量除了受其定义域限制外还有别的条
件限制，这种情况下的极值称为条件极值. 相应地，前面讨论的极值称为无条件极值.
例7：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1, p2 , 销售量分别为q1, q2 ,需求函数分别为q1 24 0.2 p1, q2 10 0.05 p2 ,总成本函数C 35 40(q1 q2 ),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 : 利润L p1q1 p2q2 35 40(q1 q2 )
（1）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极大值；
（2）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2
(2)当AC B2 0时,没有极值;
(3)当AC B2 0时,为可能极值 ,需另作讨论 . （证略）
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 求fxx ( x, y), fxy( x, y), fyy ( x, y).
max f ( x) f ( x3 ), min f ( x) f ( x2 ) a x1o x2 x3 b c x
高等数学(下) 第3版课件-多元函数的极值
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy
二元函数的极值
§10–7 二元函数的极值基础知识导学1. 二元函数的极值与驻点⑴ 极值与驻点①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点.⑵ 极值存在的必要条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x .注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则①当02<-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0<A 时，点),(000y x P 是极大值点；当0>A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02>-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；③当02=-AC B 时，点),(000y x P 有可能是极值点也可能不是极值点.2．条件极值与拉格朗日乘数法⑴ 条件极值求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.⑵ 拉格朗日乘数法求函数),,(z y x f u =在满足约束条件0),,(=z y x ϕ下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。