高中数学教案选修2-2《1.3.3 最大值与最小值》
高中数学选修1-1优质课件7：3.3.3 函数的最大(小)值与导数
解：(2)f′(x)＝－4x3＋4x， 由 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1 或 x＝0 或 x＝1， 当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：
所以当 x＝－3 时，f(x)有最小值－60， 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)有最大值 4.
变式训练： 1．求函数 f(x)＝－2cosx－x 在区间－π2，π2上的最大值与最小 值．
(2)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0.但反过 来不一定成立． (3)函数的极值不是唯一的． (4)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函 数的极大值未必大于极小值． (5)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点 不能成为极值点．
2．利用结论“判”与“求” 结论1：极值的判别方法：当函数f(x)在点x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么 f(x0)是极小值．
自主探究 1．函数的极值与最值的区别和联系．
【答案】
区别
联系
是在局部对函数 极 值 可 能
如果连续函Байду номын сангаас
极 值的比较，表示 有 多 个 ， 只能在区 数 在 开 区 间
值 函数在某一点附 也 可 能 没 间内取得 (a，b)内存在
近的局部性质 有
最大(小)值，
最 值
是对考区间函在查上数整函的值个数情的区在况比间整较上个，最值有一最大个多( 小只)
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
课标要求
理解函数最值的概念，了解函数最值与极 值的区别和联系，会用导数求在给定区间 上不超过三次的多项式函数的最大值、最 小值.
函数的最大值和最小值教案
3.8函数的最大值和最小值（第1课时）容县高中封云文科选修数学第三册（选修一）【教材分析】本节教材知识间的前后联系，以及地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值．高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦.【教学目标】根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标：1．知识和技能目标（1）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．（2）理解上述函数的最值存在的可能位置．（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．2．过程和方法目标（1）在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识．（2）培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．3．情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．【教学重点、难点】1．教学重点基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定为：（1）培养学生的探索精神,积累自主学习的经验；（2）会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值．2．教学难点高二年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是(1)发现闭区间上的连续函数f (x)的最值只可能存在于极值点处或区间端点处；(2)理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．3．教学关键本节课突破难点的关键是：通过合作探究的方式，让学生在运动变化的过程中通过观察、比较，发现结论．【教法选择】关于教法与学法：（1）班杜拉的社会学习原理认为：观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；（2）为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点，采用多媒体辅助教学，设计了一个有图案的课件，让学生在函数图象的变化中观察、比较，发现数学本质；（3）根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．【学法指导】对于求函数的最值，已经和学生共同通过观察图像的情况，发现怎样会有最大值的方法，剩下的问题就是没有图像，通过怎样的计算方法来找最值？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．【教学过程】本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．教学环节教学内容设计意图一、创设情境，铺垫导入1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm,体积为Vcm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）（60－2x）x=4（40－x）（30－x）x.2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．以实例引入新课，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，．通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．实际问题中，在设元、列式后将这个实际问题转化为求函数在闭区间上的最值问题．这时学生经思考后会发现，以前学习过的知识不能解决这一问题，从而激发起学生的学习热情．二、合作学习，探索新知1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．如图为连续函数f(x)的图象：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？yxOyxOyxOyxO ba baba ba3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f (x)在(a,b)内的极值；（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．通过对已有相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：闭区间上的连续函数最大值和最小值在何处取得？如何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中．为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情．为让学生更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察同一函数在不同区间内图象上最大值最小值取得的位置，形成感性认识，进而上升到理性的高度．学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．环节三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最大，可用本节课学习的导数法加以解决．例题2的解决与本课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用数学的意识和能力．四、归纳小结，反思建构课堂小结：1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定．.作业布置：P1341．选做题：已知抛物线y =4 x2的顶点为O，点A（5，0），倾斜角为4的直线与线段OA相交，且不过O、A两点，l交抛物线于M、N两点，求使△AMN面积最大时的直线l的方程．.通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．课外作业分必做题与选做题，因材施教、及时反馈，让不同的学生在数学上得到不同的发展．同时有利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节．【教学设计说明】本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能动性．3．为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．4．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．。
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质【教学目标】1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。
【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。
【教学过程】一、复习引入1、二项式定理：________________________________________________； 二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n =________________________________________________；二、杨辉三角的来历及规律 练一练：把( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P 37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2…………………………………………………1 2 1(a+b)3………………………………………………1 3 3 1(a+b)4……………………………………………1 4 6 4 1(a+b)5…………………………………………1 5 10 10 5 1 (a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1…………………………… 爱国教育，杨辉三角 因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。
杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。
人教课标版高中数学选修1-1《函数的最大(小)值与导数》教案-新版
3.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学目标 1．核心素养通过学习函数的最大（小）值与导数，形成基本的逻辑推理和数学运算能力，能围绕讨论问题的主题，观点明确，论述有理有据，并依据运算法则解决数学问题． 2．学习目标（1）借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值的概念。
（2）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
（3）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
3．学习重点利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 4．学习难点函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1结合函数2)(x x f =在]2,1[-上的图像，想一想：函数2)(x x f =在]2,1[-上的极小值是多少？函数2)(x x f =在]2,1[-上的最大值、最小值分别是多少？ 任务2预习教材P96—P98，完成P98相应练习题，并找出疑惑之处.2．预习自测1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 解：D 最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的．2．函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值是M ，最小值是m ，若M=m ，则)(x f '( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 解：A 由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0． 3．函数x xe y -=在]4,2[∈x 上的最小值为 ．解：44e xx x x e x e xe e y -=-='1)(2，当]4,2[∈x 时，0<'y ，即函数xxe y -=在]4,2[∈x 上单调递减，故当4=x 时，函数有最小值为44e． 4．设b ax ax x f +-=236)(在区间]2,1[-上的最大值为3，最小值为29-，且0>a ，求a ，b 的值 ． 解：2=a)4(3123)(2-=-='x ax ax ax x f ，令0)(='x f ，得0=x 或4=x ，则函数)(x f 在]2,1[-上的单调性及极值情况如下表所示： ∴3)0(==b f ，又∵3736)1(+-=+--=-a a a f ，3163248)2(+-=+-=a a a f)1(-<f ，∴29316)2(-=+-=a f ，∴2=a ．（二）课堂设计 1．知识回顾⑴常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.⑵求函数极值的方法和求解步骤. 2．问题探究问题探究一 函数最大（小）值与导数 ●活动一观察与思考：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最大值、最小值吗？一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． ●活动二想一想：函数的极值与最值有怎样的关系？函数极值与最值的区别与联系：⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一．⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．（5）对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得．问题探究二 函数的最大值与最小值的求解●活动一阅读教材P97的例5，根据例5及最值与极值的关系归纳出求函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值的步骤．利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．●活动二 初步运用 求函数的最值例 1 已知函数4431)(3+-=x x x f ，⑴求曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程；⑵若]3,3[-∈x ，求函数)(x f 的最大值与最小值．【知识点：导数的几何意义、函数的最值；数学思想：数形结合】详解：⑴4)(2-='x x f ，所以曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线的斜率4)0(-='=f k ，故曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程为44+-=x y ．⑵令0)(='x f 得2=x 或2-，列表如下：3)2()(=-=f x f 极大值，3)2()(-==f x f 极小值，又7)3(=-f ，1)3(=f ，∴)(x f 在]3,3[-的最大值是328，最小值是34-．点拨：⑴求函数最值时，若函数)(x f 的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点函数值的大小才能确定函数的最值．⑵若)(x f 的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点． ⑶若)(x f 为单调函数，则端点就是最值点． ●活动三 对比提升 由函数的最值求参数例2 已知函数()ln f x ax x =-，当(]0,e x ∈（e 为自然常数）,函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值．【知识点：根据函数最值求参数值；数学思想：分类讨论】详解：由()ln f x ax x =-得()1f x a x '=-,因为(]0,e x ∈，所以当1ea ≤时，()f x 在(]0,e x ∈是减函数，最小值为()e e 10f a =-≤，不满足题意；当1a e >时， ()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦是减函数，1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，所以最小值为211ln 3e f a a a ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，∴实数a 的值为2e .问题探究三 利用最值解不等式恒成立问题函数恒成立问题是高中数学里非常具有探讨价值的问题，下列是一些常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． ●活动一 初步运用例 3 已知函数x x x f ln )(=．⑴ 求()f x 的最小值；⑵若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围．【知识点：求函数的最小值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】详解：⑴)(x f 的定义域为),0(+∞，x x f ln 1)(+='，令0)(>'x f ，解得ex 1>；令0)(<'x f ，解得e x 10<<，从而)(x f 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增，∴当e x 1=时，)(x f 取得最小值e1-．⑵依题意，得1)(-≥ax x f 在),1[+∞上恒成立，即不等式xx a 1ln +≤对于),1[+∞∈x 恒成立．令x x x g 1ln )(+=，则)11(111)(2xx x x x g -=-='，当1>x 时，0)(>'x g ，故)(x g 在),1(+∞上是增函数，∴1)1()(min ==g x g ，∴实数a 的取值范围是]1,(-∞． ●活动二 对比提升例4 已知函数()()()()21ln ,22f x a x x g x f x ax a R ⎛⎫=-+=-∈ ⎪⎝⎭．（1）当0a =时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若对()()1,,0x g x ∀∈+∞<恒成立，求a 的取值范围．【知识点：求函数最值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归、分类讨论】详解：（1）函数21()()ln 2f x a x x =-+的定义域为(0,)+∞，当0=a 时，21()ln 2f x x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-+-'=-+==；当11<<x e时，有()0f x '>；当e x <<1时，有()0f x '<，∴()f x 在区间[1e ，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，又211()12f e e=--，2()12e f e =-，1(1),2f =- ∴2min ()()12e f x f e ==-，max 1()(1)2f x f ==-.（2）21()()2()2ln 2g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞.21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x --+---'=--+==. ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在)1,0(上有0)(>'x g ，在),1(2x 上有0)(<'x g ，在),(2+∞x 上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间),(2+∞x 上是增函数，并且在该区间上有),),(()(2+∞∈x g x g 不合题意；当112=≤x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间),1(+∞上，有()((1),),g x g ∈+∞也不合题意；②若12a ≤，则有012≤-a ，此时在区间),1(+∞上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间),1(+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足1(1)02g a =--≤12a ⇒≥-，由此求得a 的范围是11[,]22-.综合①②可知，当11[,]22a ∈-时，对x ∀∈(1,)+∞，()0g x <恒成立.点拨：恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，常用分类讨论（求最值）法或分离参数法.在不等式或方程中，参数只出现一次，或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参数分离到一边去，而另一边则是x 的表达式. 3．课堂总结 【知识梳理】 数学知识：⑴最值的存在性定理． ⑵最值的求解步骤．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值． ⑶恒成立问题． 常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． 数学思想：分类讨论、化归与转化等思想． 【重难点突破】 求函数最值的注意点（1）我们讨论的函数是在闭区间[]b a ,上图像连续不断，在开区间),(b a 上可导的函数．在闭区间[]b a ,上图像连续不断，保证函数有最大值和最小值；在开区间),(b a 上可导，才能用导数求解．（2）求函数的最大值和最小值需要先确定函数的极大值和极小值．因此，函数的极大值和极小值的判定是关键．（3）如果仅仅是求最值，可以将上面的方法简化，因为函数)(x f 在),(b a 内的全部极值，只能在)(x f 的导数为零的点或导数不存在的点处取得（以下称这两种点为可疑点），所以只要将这些可疑点求出来，然后将函数)(x f 在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能得到函数的最大值和最小值．（4）当图像连续不断的函数)(x f 在),(b a 内只有一个可疑点时，若在这一点处函数)(x f 有极大（小）值，则可以判定函数)(x f 在该点处取到最大（小）值，这里),(b a 也可以是无穷区间． （5）当图像连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得． 4．随堂检测1．函数)(x f y =在],[b a 上（ ）A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值 【知识点：极值与最值的关系】 解：D2．函数x x x f cos 2)(-=在),(+∞-∞上（ ）A ．无最值B ．有极值C ．有最大值D ．有最小值【知识点：单调函数的最值】 解：A3．函数343)(x x x f -=在]1,0[上的最大值是（ ）A ．1B ．21C ．0D ．1- 【知识点：函数的最大值】解：A4．函数x x y -=sin 在区间]2,0[π上的最小值为（ ） A ．π- B ．21π-C ．0D ．π2- 【知识点：函数的最小值】 解：D5．设5221)(23+--=x x x x f ，当]2,1[-∈x 时，m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围为 ．【知识点：不等式恒成立问题】 解：),7(+∞ （三）课后作业 基础型 自主突破1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．1(0,)2【知识点：函数最值与极值的关系；数学思想：转化与化归】解：B ∵f '(x )＝3x 2－3a ，令f '(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B ． 2．函数ln xy x=的最大值为( ) A ．1-e B ．e C ．e 2 D ．103【知识点：函数最大值】 解：A 令22(ln )'ln '1ln 'x x x x xy x x ⋅-⋅-==＝0(x ＞0)．解得x ＝e ．当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e时，y ′>0．y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e．3．函数241xy x =+在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 令2222224(1)4244'(1)(1)x x x x y x x +-⋅-+==++＝0，得x ＝±1．2． 4．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 【知识点：函数最值与零点关系；数学思想：转化与化归】 解：(－∞，2ln2－2]函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g '(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．5．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0,]2π上的最大值是________．【知识点：函数最大值】解：6π+y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝6π，比较0，6π，2π处的函数值，得y max ＝6π+6．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】 解：a ＝3；f (x )的最大值为3．f '(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f '(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f '(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3． ∴当x ＝0时，f (x )的最大值为3． 能力型 师生共研7. 若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A．( B．[ C ．[2,1)- D．(2]- 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 由于函数()f x 在开区间2(,6)a a -有最小值，则函数()f x 的极小值点在2(,6)a a -内，且在2(,6)a a -内的单调性是先减再增. 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-,当11x -<<时，'()0f x <，当1x >，'()0f x >，所以()f x 得最小值为(1)f . ∴只需{216()(1)a a f a f <<-≥，得到21a -≤<，故选C.8. 设01a <≤，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的[]12,1,x x e ∈，都有12()()f xg x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归】解：]1,2[-e 22222()1a x a f x x x-'=-=，当01a <≤，且[]1,x e ∈时，()0f x '≥，∴()f x 在[]1,e 上是增函数，21min ()(1)1f x f a ==+，又1()1(0)g x x x'=->，∴()g x 在[]1,e 上是增函数，2max ()()1g x g e e ==-．由条件知只需1min 2max ()()f x g x ≥．即211a e +≥-．∴22a e ≥-．即1a ≤≤．9. 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[－1,0]上的最大值． 【知识点：函数的最大值；数学思想：分类讨论】解：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥解析：令f '(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当2323a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在2[1,]3a -上单调递增；在2[,0]3a 上单调递减，则f (x )max ＝324()327f a a =-．综上所述：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥10. 设函数12)(22-++=t x t tx x f (x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归、数形结合】 解：(1) h (t ) ＝－3t ＋t －1；(2) (1，＋∞) ．解析：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－3t ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－3t ＋t －1．(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－3t ＋3t －1－m ，由g '(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t 变化时g '(t )、g (t )的变化情况如下表：∴对t ∈(0,2)，当t ＝1时，g (t )max 恒成立，也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立，只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞) ． 探究型 多维突破 11. 已知函数()()2ln 2=-∈a f x x x x a R . (Ⅰ)若不等式()0>f x 有解，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)研究函数的极值点个数情况.【知识点：不等式有解与函数的最值的关系、函数的极值；数学思想：转化与化归、分类讨论】 解：（Ⅰ）2<a e；(Ⅱ)()1,∈+∞a 时，有0个极值点；1a =时，有0个极值点；()0,1a ∈时，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，有一个极值点解析：（Ⅰ）()0>f x 有解等价于2ln <x a x 有解，即max 2ln ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x a x ，设()2ln =xg x x ，则()()22ln 1'-=x g x x ，当()0,∈x e 时，()'0>g x ；当(),∈+∞x e 时，()'0<g x ，所以当x e =时，()max 2=g x e ，即2<a e. (2)令()'0=f x 得到ln 10x ax +-=，得到ln 1x a x +=，()()2ln 1ln ,'+-==x xh x h x x x,当()0,1x ∈时，()'0>h x ；当()1,∈+∞x 时，()'0<h x ，又()()0,,,0→→-∞→+∞→x h x x h x ，所以()1,∈+∞a 时，ln 1+=x a x无解，有0个极值点； 1a =时，ln 1+=x a x有一解，但不是极值点；()0,1∈a 时，ln 1+=x a x 有二解，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，ln 1+=x a x有一解，有一个极值点.12. 已知函数()ln 2x m f x e x -=-. （1）若1m =，求函数()f x 的极小值； （2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>.【知识点：函数的极值、不等式的证明、函数的最值；数学思想：转化与化归】 解：（1）()11ln 2f =-；（2）证明见解析.解析：（1）()11ln 2ln 2ln x x f x e x e x e -=-=⋅--，所以()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-，观察得()111101f e e '=⋅-=，而()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-在(0,)+∞上单调递增，所以当(0,1)x ∈时()0f x '<，当()1+∞，时()0f x '>；所以()f x 在()0,1单调递减，()f x 在()1+∞，单调递增，故()f x 有极小值()11ln 2f =-．证明：（2）因为2m ≤，所以()2ln 2ln 2x m x f x e x e x --=-≥-， 令221()ln 2ln 2ln x x g x e x e x e -=-=⋅--，则21()x g x e x-'=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递增，1(1)10g e '=-<，1(2)102g '=->，所以设02001()0x g x e x -'=-=，则0(1,2)x ∈；当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>；所以()g x 在()00,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增， 所以02min 00()()ln 2x g x g x e x -==-，又因为02001()0x g x e x -'=-=，故0201x e x -=，所以02000001ln ln2ln 2ln x e x x x x x -=⇒-=-⇒-=，所以0022min 000()()ln 2ln 2ln x x g x g x e x e x --==-=--001ln 22x x =--+ 0012ln 2ln 2x x =+--≥-当且仅当001x x =，即01x =时等号成立，而0(1,2)x ∈，所以min ()ln 2g x >-，即()ln 2g x >-，所以()ln 2f x >-，即()ln 20f x +>． （四）自助餐1. 函数()ln f x x x =-在区间(0,e]（e 为自然对数的底）上的最大值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.1e - 【知识点：函数的最大值】解：A ()()''1110x f x f x x x-=-=∴>得1x <，所以增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，所以函数最大值为()11f =-． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值【知识点：函数的最值】解：D )(x f '＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，)(x f '<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D ． 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1 【知识点：函数的最大值】解：C 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C ．4．已知函数4)(23-+-=ax x x f 在2=x 处取得极值，若]1,1[,-∈n m ，则)()(n f m f '+的最小值是（ ）A ．13-B ．15-C ．10D ．15 【知识点：函数的极值、最小值】解：A 求导得ax x x f 23)(2+-='，由函数)(x f 在2=x 处取得极值知0)2(='f ，即02243=⨯+⨯-a ，∴3=a ．由此可得43)(23-+-=x x x f ，x x x f 63)(2+-='，已知)(x f 在)0,1(-上单调递减，在)1,0(上单调递增，∴当]1,1[-∈m 时，4)0()(min -==f m f ．又x x x f 63)(2+-='的图像开口向下，且对称轴为1=x ，∴当]1,1[-∈n 时，9)1()(min -=-'='f n f ，故)()(n f m f '+的最小值是13-．故选A ．5． 已知函数)(x f ，)(x g 均为],[b a 上连续且)()(x g x f '<'，则)()(x g x f -的最大值为（ ） A ．)()(a g a f - B ．)()(b g b f - C ．)()(b g a f - D ．)()(a g b f - 【知识点：单调函数的最大值】解：A ='-])()([x g x f 0)()(<'-'x g x f ，∴函数)()(x g x f -在],[b a 上单调递减，∴)()(x g x f -的最大值为)()(a g a f -．6．当]1,2[-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,5[--B ．]89,6[-- C ．]2,6[-- D ．]3,4[--【知识点：不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：C 当]1,0(∈x 时，得x x x a 1)1(4)1(323+--≥，令xt 1=，则),1[+∞∈t ，令t t t t g +--=2343)(，),1[+∞∈t ，则)19)(1(189)(2-+-=+--='t t t t t g ，显然在),1[+∞∈t 上，0)(<'t g ，)(t g 单调递减，∴6)1()(max -==g t g ，因此6-≥a ；同理，当)0,2[-∈x 时，的2-≤a ，当0=x 时对任意实数a 不等式也成立，故实数a 的取值范围是26-≤≤-a ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xax y +=22（a 为常数）过点1(-P ，)30-，则函数xax y +=22在区间]4,1[的最大值与最小值的和为________． 【知识点：函数的最值】解：64 曲线过点1(-P ，)30-，∴a -=-230，∴32=a ，∴xx y 3222+=，232324324xx x x y -=-='，令0='y 得2=x ，当1=x 时，34322=+=y ；当2=x 时，24168=+=y ；当4=x 时，40832=+=y ，∴最大值与最小值的和为64．8．函数x x x f cos sin )(+=在]2,2[ππ-∈x 时的最大、最小值分别是 ． 【知识点：函数的最值】解：2，1-． 0sin cos )(=-='x x x f ，即1tan =x ，)(4Z k k x ∈+=ππ．而]2,2[ππ-∈x ，当2π-＜x ＜4π时，0)(>'x f ，当4π＜x ＜2π时，)(x f '，∴)4(πf 是极小值．又)4(πf=，1)2(-=-πf ，∴1)2(=πf ．∴函数的最大值为2，最小值为1-．9．函数x exy =在[0，2]上的最大值为 ．【知识点：函数的最值】解：e 1． 函数x f y ==)(函数)(x f 单调递增；当x ∈（1，2]时，)(x f '＜0，此时函数)(x f 单调递减．∴当x =1时，函数)(x f 取得最大值，f )1(=10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 【知识点：函数的极值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：(1)39a b =⎧⎨=-⎩；(2)(－∞，－18)∪(54，＋∞)．解析：(1)f '(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴2133133a b⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，∴39a b =⎧⎨=-⎩．(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f '(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f '(x )，f (x )随x 的变化如下表：而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18． ∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．11．已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=，(1)若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处切线的斜率；(2)求)(x f 的单调区间；(3)设22)(2+-=x x x g ，若对任意∈1x (0，+∞)，均存在∈2x [0，1]，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围．【知识点：导数的几何意义、函数的单调性、不等式有解与最值的关系；数学思想：转化与化归、分类讨论】解：(1) 3；(2)当0≥a 时，)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单调递为3；的单调递增区间为(0，+∞)；(3)由题意知，转化为max max )()(x g x f < (其中∈1x (0，+∞)，∈2x [0，1])，由(2)知，当0≥a 时，12．已知函数()xf x e=（e 是自然对数的底数），()1ln h x x x x =--. （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()h x 的最大值；（3）设()'()g x xf x =，其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意0x >，2()1g x e -<+. 【知识点：导数的几何意义、函数的最值、不等式证明；数学思想：转化与化归】解：（1）1y e=；（2）()h x 的最大值为22()1h e e --=+；（3）证明见解析．解析：（1）由ln 1()x x f x e +=，得1(1)f e =，1ln '()xx x xf x xe --=，所以'(1)0k f ==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y e=.（2）()1ln h x x x x =--，(0,)x ∈+∞.所以'()ln 2h x x =--.令'()0h x =得，2x e -=.因此当2(0,)x e -∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；当2(,)x e -∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减.所以()h x 在2x e -=处取得极大值，也是最大值.()h x 的最大值为22()1h e e --=+. （3）证明：因为()'()g x xf x =，所以1ln ()xx x xg x e--=,0x >，2()1g x e -<+等价于21ln (1)x x x x e e ---<+.由（2）知()h x 的最大值为22()1h e e --=+，故21ln 1.x x x e ---≤+只需证明0x >时，1x e >成立，这显然成立.所以221ln 1(1)x x x x e e e ----≤+<+，因此对任意0x >，2()1g x e -<+.。
高二下学期学案——高中数选修2-2讲义.doc
高中数学选修 2-2 讲义第 1 讲变化率与导数的概念新知新讲1.平均速度2.平均变化率：3.瞬时速度4.瞬时变化率 (导数 )一般地，函数y=f (x)在 x =x0处的瞬时变化率是lim y lim f (x0 x) f ( x0 ) ，x 0 x △x 0 x我们称它为函数 y=f (x) 在 x =x0处的导数（ derivative ），记作 f ' ( x0 ) 或 y' | x x0 ，即f ' (x0 ) lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) .x 0 x △x 0 x金题精讲题一：已知函数 f (x)＝－ x2＋x，则 f (x) 从－ 1 到－ 0.9 的平均变化率为 ( )A． 3 B ．0.29 C． 2.09 D． 2.9题二：如果质点 A 按照规律 s＝ 3t2运动，则在t ＝3 时的瞬时速度为 ( )A． 6 B． 18 C． 54 D ．81点滴积累，循序渐进3.一物体的运动方程为s t t 2，其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在 2 秒末的瞬时速度为.4.某汽车启动阶段的位移函数为s( t) 2t 35t2，s 的单位是米，则汽车在t 5 秒时的瞬时速度为.第 2 讲导数的几何意义新知新讲我们知道平均变化率的极限值是瞬时变化率，而瞬时变化率就是导数．我们研究导数的几何意义，那就需要从平均变化率的几何意义入手：观察函数y=f (x)的图象，平均变化率y f (x2 ) f (x1)x x2x1表示什么？课后练习：1. 设函数 y f ( x) ，当自变量 x 由 x0改变到如图，当点P n(x n,f(x n))(n 1, 2, 3, 4) 沿着x0x 时，函数的改变量y 为（）A ． f (x0 x)B ． f (x0 )x曲线 f (x)趋近于点P( x0, f ( x0))时，割线PP n的C． f (x0 ) x D ． f (x0 x) f (x0 ) 变化趋势是什么？2.求y x2由 x x 到x x0 x 的平均变化率 .导数的几何意义：函数y=f (x)在 x =x0处的导数f ' ( x0 ) ，是曲线y=f ( x)在点( x0, f ( x0))处的切线的斜率，即函数y=f (x)在 x =x0处切线的斜率反映了导数的几何意义 .金题精讲题一：如果曲线 y＝ f (x)在点 (x0 0))处的切线，f (x方程为 x＋ 2y－ 3＝0，那么 ( ).A． f ′(x)＞ 0 B． f ′(x)＜ 00 0 C． f ′(x0)＝ 0 D．f ′(x0)不存在题二：已知曲线y＝ f (x)在 x＝ 5 处的切线方程是y＝－ x＋ 8，则 f (5)及 f ′ (5)分别为 (). A．3，3 B．3，－ 1 C．－ 1，3 D ．－ 1，－ 1 题三：已知函数y＝ x3－ 3x2＋ 1 的导函数为y＝ 3x2－6x，则曲线y＝ x3－ 3x2＋1 在点 (1，－ 1) 处的切线方程为_____________________.课后练习：1.曲线 y＝f (x)在点 P(2 ，－3) 处的切线方程为2x ＋ y－ 1＝ 0，则 f ′(2)＝.2.已知曲线y x3 x在点P(x0，f (x0))处的切线平行于直线 y＝ 2x，则 f ′(x0＝.) 3.曲线 y＝ 2x－ x3的导函数是 f ′(x)＝ 2－3x2，则在 x＝－ 1 处的切线方程为()A ． x＋ y＋ 2＝ 0B ．x＋ y－ 2＝ 0 C． x－ y＋ 2＝ 0 D ．x－ y－ 2＝ 04.已知曲线 y＝x4－ x 的导函数为 y ′＝ 4x3－ 1，则与直线 x ＋ 3y＋ 1＝ 0 垂直且与该曲线相切的直线的方程为 ()A ． x－ 3y－ 3＝0B． 3x－ y－3＝ 0C． 3x－ y－ 1＝0D． x－ 3y－ 1＝ 0第 3 讲常值函数与幂函数的导数新知新讲1.函数 y=f (x)=c 的导数 .2.函数 y=f (x)=x 的导数3.函数 y=f (x)=x2的导数4.函数 y=f (x)=1的导数x5.函数 y=f (x)= x 的导数幂函数的导数公式：若 f ( x) x ( 是非零实数 ) ，则 f ' ( x0 )x 1 .金题精讲题一：若函数 f (x) ＝ x，则 f ′(1)等于 ()A ． 0 B．－1C． 2 D. 12 2题二：已知 f(x)＝ xα，若 f ′(－1)＝－ 2，则α的值等于( )A ． 2 B．－ 2 C． 3 D．－ 3题三：抛物线y＝ x2在点 (2， 4)处的切线方程是.高中数学选修 2-2 讲义课后练习：1.设函数f ( x)x 2，则曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处切线的斜率为 ()A．－ 2 B． 2 C．1D．－1 2 22.曲线 y＝x3在点 P(1 ，1) 处的切线与y 轴交点的纵坐标是 ( )A． 3 B．－ 3 C．－ 2 D． 03.已知函数 f (x)＝ x α，曲线 y＝ f (x)在点 (1，f (1)) 处的切线方程为7x－ 4y－ 3 ＝ 0 ，则α的值等于( )A． 1 B．5C．3D．7 4 2 44.已知直线 y＝ kx +1 是曲线 y x 1的一个切线，则 k 的值是 ()A． 0 B． 1 C. 1D．－1 4 45.曲线 y＝ x 在点(4，2)处的切线方程为．6.已知 a 为实数，函数 f (x)＝ x 4＋ax3是偶函数，则曲线 y＝ f (x)在原点处的切线方程为() A． y＝－ 3x B ． y＝ 0C． y＝ 3x D． y＝ x第 4 讲基本初等函数的导数四则运算法则新知新讲基本初等函数的导数公式：1.若 f (x)= c（ c 为常数），则 f ′(x)=0 ；点滴积累，循序渐进－2.若 f (x)= xα（α为常数），则 f ′(x)=αx1；3.若 f (x)=sin x，则 f ′(x)= cosx；4.若 f (x)=cosx，则 f ′(x)= － sinx；5.若 f (x)= a x，则 f ′(x)= a x ln a；6.若f (x)= e x，则 f ′(x)= e x；7.若 f (x)=log x，则 f ′(x)= 1 ；a x ln a18.若 f (x)=ln x，则 f ′(x)= .x导数的四则运算法则：[ f ( x) g( x)]' = f ' ( x) g' ( x) ；[ f ( x) g( x)]' = f ' ( x) g (x) f ( x)g' ( x) ；f ( x) f ' ( x) g( x) f (x) g' (x)；' =2g xg( x) (() 0)g( x)特别地， [c f (x)] ′=cf ′(x).金题精讲题一：求函数y=2 x和 y=log 2x的导数.题二：求下列函数的导数：（1） y= x3+ log2x；（2） y=2x3－3x2－ 4；（3） y=3cosx－4sinx；（4） y=x n e x；3（ 5） y=x 1.sin x课后练习：1.求下列函数的导数：（ 1）y 3x2 x 5 ；（2）y x sin x cosx ；（ 3）y x2 2 ；（ 4）y 2 x 1 4 3 ；2 x2 x（ 5）y (x a)( x b) .（6）y x ln x .第 5 讲 简单复合函数的导数新知新讲一般地，对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x)，如果通过变量 u ， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数为函数 y=f (u)和 u=g(x)的复合函数，记作 y=f(g(x)).复合函数 y=f(g(x)) 的导数和函数 y=f(u) 和 u=g(x) 的导数之间的关系为y x ' y u ' u x ' ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．金题精讲题一：求下列函数的导数：(1)y=(2 x+3)2 ； (2) yx 1 ；(3) y=sin( x+π )(4) y=2 xsin(2 x+5) ； －x ；(6) y=e －0.05x+1.(5)y=2e课后练习：1.求下列函数的导数： （ 1） y x sinx cos x；（ 2 ）y (1 x 2 )5 ；2 2xx（ 3） yee ； （ 4） y ln(x2 1) ；2（ 5） y2x sin x .第 6 讲 函数求导综合练习金题精讲题一：求下列函数的导数：(1)y ＝ x(x 2＋1＋ 1 )； (2) y ＝ ( x ＋ 1)(1－1)；x x 3x(3)y ＝ sin 4x＋ cos 4x ； 4 4题二：求下列函数的导数：(1) y ＝xsin 2x ； （ 2）y ＝ ln( x ＋ 1＋ x 2).课后练习：1. (1) y ＝cos x的导数是 ().1－ xcos x ＋ sin x ＋ xsin xcos x － sin x ＋ xsin xA.B.(1－ x)2(1－x) 2cos x － sin x ＋ xsin xcos x ＋ sin x －xsin xC.D.21－ x(1－ x)(2) 函数 f (x)＝( x ＋2a)(x － a)2 的导数为 ().A ． 2(x 2－ a 2)B ．2(x 2＋ a 2)C ． 3(x 2－ a 2)D ．3(x 2＋ a 2)2.求下列函数的导数：(1) y ＝e x · lnx ；(2) y ＝ (x ＋ 1)(x ＋ 2)(x ＋ 3).(3) y ＝x · tanx ；(4) y ＝ cosx · sin3x.第 7 讲 利用导数研究曲线的切线问题金题精讲 题一：已知曲线y ＝ x 2 － 3ln x 的一条切线的斜4率为 1，则切点的横坐标为 ()2A ． 3B ．2C ． 1D.12题二：已知函数 f ( x) e x (ax b) x 24x ，曲线 y = f (x)在点（ 0，f (0)）处切线方程为y = 4x+4，求 a ， b 的值 .高中数学选修 2-2 讲义点滴积累，循序渐进21 C ．－ 2D ．2题三：设 fxa x 56ln x ，其中 a R ，A ．－ 1 B.2曲线 y f x 在点（ 1， f (1)）处的切线与 y 轴7.曲线 y ＝ x(3ln x ＋ 1) 在点 (1 ， 1) 处的切线方程相交于点（ 0， 6），求 a 的值 .为 ．8.已知函数 f (x)＝ x 3－ 3x 及 y ＝f (x)上一点 P(1，题四：过点 (1，1)作曲线 yx 3 的切线，则切线－ 2)，过点 P 作曲线 y ＝f (x)的切线 . 求此切线的 方程 .方程为.课后练习：1. 曲线 y ＝ x 3＋ 11 在点 P(1 ， 12)处的切线与 y轴交点的纵坐标是 ( )A ．－ 9B ．－ 3C ．9D ． 152.已知函数 f (x)＝ 1x － 1sin x －3cos x 的图象在2 4 4点 A(x 0 ， y 0 ) 处 的 切线 斜 率 为 1 ， 则 tan x 0 ＝________.3.已知曲线 y = x 4+ax 2+1 在点 ( － 1， a+2) 处切线的斜率为 8， a = .1 与曲线 y ＝－14.直线 y ＝ x ＋ bx ＋ ln x 相切，则22b 的值为 ( )A ．－ 2B ．－ 1C ．－1D ． 125.设函数 f (x)＝ x 3＋ ax 2－ 9x － 1，当曲线 y ＝ f (x) 斜率最小的切线与直线 12x ＋ y ＝ 6 平行时，求 a 的值．π6.设曲线 y ＝1＋cos x在点 2，1处的切线与直sin x线 x －ay ＋ 1＝ 0 平行，则实数 a 等于 ()第 8 讲 利用导数研究函数的单调性新知新讲一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 (a, b)内，如果 f ' (x) 0 ，那么函数 y=f (x)在这个区间内单调递增；如果 f ' (x)0 ，那么函数 y=f (x)在这个区间内单调递减 .利用导数讨论函数y=f (x)的单调性的一般步骤：1、求定义域2、求出导数 f ' ( x) ；3、讨论导数的正负：若 f ' ( x) 0 ，则函数 y=f (x)单调递增；若 f' ( x) 0 ，则函数 y=f (x)单调递减 .金题精讲题一：判断下列函数的单调性， 并求出单调区间：(1) f (x)= x 3+3x ；(2) f (x)= x 2－ 2x －3；(3) f (x)= sinx － x ， x ∈(0 ， π)；(4) f (x) =2x 3+3 x 2－24x+1.题二：如下图，水以恒速( 即单位时间内注入水在某个区间 ( a, b)内，的体积相同 )注入下面四种底面积相同的容器如果 f ' (x) 0 ，那么函数 y=f (x)在这个区间内中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时单调递增；间 t 的函数关系图象 . 如果 f ' (x) 0 ，那么函数 y=f (x)在这个区间内单调递减 .金题精讲题一：已知函数y= f ′(x)的图象如图所示，那么函数 f (x)的图象最有可能的是 ( )课后练习：1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f (x)=x4－ 2x2 +3； (2) f (x)=2 x－ln x．2.求函数 f (x)= x2－ ln x2的单调区间．3.如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间 t 之间的关系，其中正确的有()A．1个B．2个C．3 个D．4 个第 9 讲导数与函数的单调性再研究题二：若函数 y＝ x3－ ax2＋ 4 在 (0， 2)内单调递减，则实数 a 的取值范围是 _________ ．题三：已知 y＝1x3＋ bx2＋ (b＋ 2)x＋ 3 在 R 上是3单调增函数，则 b 的范围为 _________ ．课后练习：1.已知函数 y=f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y= f ′(x) 的图象如图所示，则该函数的图象是 ()新知新讲函数的单调性与其导数的正负有如下关系：高中数学选修 2-2 讲义2.已知函数 y=f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y= f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是 ()点滴积累，循序渐进做函数 y=f (x)的极小值；点 b 叫做函数y=f (x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f ( x)的极大值 .极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 .3.若函数 f (x)＝ x3＋ ax 在 R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 _________．4.若函数 f (x)＝ x3＋ ax 2+x－7 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 _________．5.已知f (x)＝x3－ bx2＋ 3x－ 5 在 R 上是单调增函数，则 b 的范围为 ___．6.函数f (x)＝ax3－ ax2－ x 在 R 上是单调减函数，则实数 a 的取值范围为．第 10 讲利用导数研究函数的极值新知新讲如下图，函数 y=f (x)在点 x = a 的函数值 f (a)比它在点 x = a 附近其它点的函数值都小；类似地，函数 y=f (x)在点 x = b 的函数值 f (b)比它在点 x = b 附近其它点的函数值都大 .我们把点 a 叫做函数y=f (x)的极小值点， f (a)叫求函数 y=f (x) 极值点及极值的步骤：1.求出导数 f ' (x) ；2.解方程 f ' ( x) 0 ；3.对方程的每一个解x 0，分析 f ' ( x) 在 x0左、右两侧的符号 (即 f (x) 的单调性 )确定极值点：(1)若在 x0附近的左侧 f ' (x)0 ，右侧f ' ( x) 0 ，那么 x0是极大值点， f ' ( x0 ) 是极大值；(2)若在 x0附近的左侧 f ' (x)0 ，右侧f ' ( x) 0 ，那么 x0是极小值点， f ' ( x0 ) 是极小值；(3)若在 x0两侧 f ' ( x) 的符号相同，则x0不是极值点 .金题精讲题二：若函数 f (x)＝x(a>0) 在 [1 ，＋∞)上的1 x3 x2＋ a题一：求函数 f ( x) 4x 4 的极值. 3，则 a 的值为 ________．3 最大值为3课后练习：1.求函数 f ( x) x33x29x 5 的极值．2.求函数 f (x)= x4－ 2x2 +3 的极值．第 11 讲利用导数研究函数的最值新知新讲题一：函数y＝ x3＋ x2－ x＋ 1 在区间 [ － 2,1] 上的最小值为 ()A. 22B．2C．－ 1D．－4 27一般地，在闭区间 [a， b] 上的连续函数必有最大值和最小值 .一般地，求函数 y＝ f (x)在区间 [a，b] 上的最大值与最小值的步骤如下：1.求函数 y＝ f (x)在区间（ a， b）内的极值；2.将函数 y＝ f (x)的各极值与端点处的函数值f( a) ， f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .金题精讲题一：设函数 f (x) ＝ ln(2 x＋ 3)＋ x2. 求 f (x)在区－3，1间 4 4 上的最大值和最小值．课后练习：1.求函数 f ( x)＝-x3+3x2在区间[-2，2]上的最大值和最小值．2.求函数 f ( x)= x4－2x2+3在区间[-3，2]上的最大值和最小值．3.若函数 f (x)＝-x3+3x2+9x+a 在区间 [ - 2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．4.函数 y＝－ x2－2x＋ 3 在 [a，2] 上的最大值为3，则 a 等于 _______ ．第 12 讲利用导数研究含参函数的单调性金题精讲题一：已知函数 f ( x) ln x ax 1 a 1x(a∈ R) ，讨论f ( x)的单调性 .题二：已知 a∈R ，讨论函数 f (x) = ln( x－ 1)－ ax 的单调性．高中数学选修 2-2 讲义第 13 讲利用导数研究不等式成立问题金题精讲题一：求证x－ 1≥ln x. x题二：设函数f ( x) t x2 2t2 x t 1(x R，t 0) ．(Ⅰ )求f ( x)的最小值h(t )；(Ⅱ )若h(t) 2t m 对 t (0，2) 恒成立，求实数m的取值范围．点滴积累，循序渐进第 14 讲利用导数研究函数零点问题金题精讲题一：已知函数 f (x)= x3+2x2+x+a有三个零点，求 a 的取值范围 .题二：已知函数 f (x)= - x2+8x，g(x)=6ln x+m，是否存在实数 m，使得 y=f (x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，说明理由 .课后练习：1. 求证： e x≥x+1 ．2. 求证：当 x＞ 0 时， ln(1+ x)＞ x x2 ．23.若对任意 x∈ (1，3)，不等式 2x3+3 x2≥6(6x+a) 恒成立，求实数 a 的取值范围．4.若不等式 2xln x ≥－ x2+ax－ 3 对 x∈ (0，+∞)恒成立，求实数 a 的取值范围．课后练习：1.已知函数 f (x)=x3－ 6x2+9 x+a 在 x∈ R 上有三个零点，求实数 a 的取值范围．2.已知函数 f (x)=1x 31 (a 1)x 2 ax ，若方程 f3 2(x)=0 仅有一个零点，求实数 a 的取值范围．3.已知函数 f (x) = 2x3－ 6x 2+3 与直线 y = a 有三个交点，求 a 的取值范围．3. 已知函数 f (x) = 1 x2 3x ，g(x) = m－ 2ln x，2问是否存在实数m，使得 y = f (x)的图象与 y =g(x)的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求出 m 的值或范围；若不存在，说明理由．第 15 讲定积分的概念新知新讲1.曲边梯形的定义下图中，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 y=f ( x) 的一段 . 我们把由直线 x=a，x=b(a≠ b)，y=0 和曲线 y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形 .2.求曲边梯形面积一般地，对如上图所示的曲边梯形，我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积 .从求曲边梯形面积以及求变速直线运动路程的过程可以发现，它们都可以通过“四部曲”：分割、近似代替、求和、取极限得到解决 . 且都可以归结为求一个特定形式和的极限：曲边梯形面 S lim n f ( i ) x lim n 1 f ( i ) .x 0 i 1 n i 1 n当 n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x)在区间 [a，b]上的定积分，记作 f ( x)dx ，即 f x x n b a fb b ( )d lim ( i )a a nni 1这里，叫做积分号， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 [ a， b] 叫做积分区间，函数f (x)叫做被积函数， x 叫做积分变量， f (x)dx 叫做被积式 .第 16 讲定积分的几何意义及性质新知新讲1.定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a，b] 上函数 f (x)连续且恒有 f (x) ≥ 0，那么定积分bf ( x)d x表示a由直线 x=a， x=b（ a≠b）， y=0 和曲线 y=f(x)所围曲边梯形的面积 .根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积 S 吗？3.定积分的概念如果函数 f (x)在区间 [a， b] 上连续，用分点 b bSf1 ( x)dx f2 (x)dxaaa=x0< x1< < x i-1 < x i< < x n =b 题一：求定积分 1 1 x 2 dx .1将区间 [a， b]等分成 n 个小区间，在每个小区间 [x i-1， x i]上任取一点i（i=1 ，2，， n）， 2 x2 dx .题二：求定积分 22n n 作和式f ( i ) xi 1i 1 b af ( i ) n高中数学选修 2-2 讲义2.定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：（ 1）bb a；1dxa（ 2）b bkf (x)dx k f ( x)dx （k为常数）；a ab b b （ 3 [ f1 ( x) f2 ( x)]dx f1 ( x)dx f2 ( x)dx ；a a a（ 4）b c bf ( x)dx f ( x)dx f (x)dx （其中a a ca<c<b） .第 17 讲微积分基本定理新知新讲微积分基本定理一般地，如果 f ( x) 是区间[a, b]上的连续函数，并且 F ( x) f ( x) ，那么bF (b) F (a) .f ( x) dxa这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿·莱布尼茨公式 .为了方便，我们常常把 F (b) F (a) 记成F ( x) b a .b b|即 a f (x) dx F(x)|a F(b)F ( a) .金题精讲题一：计算下列定积分：(1) 2 1；(2)3 1.1 xdx1 (2 xx2) dx题二：计算下列定积分：π(1) π4 cos2x dx ；6(2) 31 )2dx；( x2 xπ(3) 2 (3x sin x) dx ；点滴积累，循序渐进b(4)e x dx .a题三：|x2－ 4|dx＝ ()21 22 23 25A. B. C. D.3 3 3 3课后练习：2 14 dx1. x2 ( ).2 xA.21 5C.33 214B.8D.4 827dx2.3________.1 x3.x).（e+2x）dx 等于(A ． 1 B． e－ 1 C ．e D ．e＋ 11( x2 sin x)dx4. ____________.125.已知 f (x)＝ 2－ |x|，则1 f ( x)dx等于()．A ． 3 B． 4 C.7D.92 222 2x dx6.x .1第 18 讲 定积分的简单应用金题精讲题一：如图所示，阴影部分的面积是 ().A ．2 3B ．2－ 3 C.32D. 3533题二：一物体以速度 v ＝ (3t 2＋ 2t)m/s 做直线运动，则它在 t ＝ 0s 到 t ＝ 3s 时间段内的位移是( ).A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m题三：由曲线 y ＝ x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积 为( ).1 1 1 7A.B. C. D.12 4 3 12课后练习：1.已知二次函数y ＝ f (x) 的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为 ( ).A. 2πB.4C.3D.π 5322 2.如图，曲线y ＝ x 2和直线 x ＝ 0， x ＝ 1，y ＝ 1所4 围成的图形 (阴影部分 )的面积为 ( ). A.2B .1C.1D.133243.以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度 v ＝ 40－ 10t 2，则此物体达到最高时的高度为 ( ).A.160mB.80m C.40m D.20m33 3 34.曲线 y ＝ cosx(0 ≤x ≤ π)与两坐标轴所围成的2图形的面积为 _______.5. 由曲线 y ＝ 2x 2，直线 y ＝－ 4x － 2，直线 x ＝ 1围成的封闭图形的面积为________．第 19 讲 复数的概念及其几何意义新知新讲1. 数系的扩充与复数的概念我们把集合 C ＝ {a ＋ bi | a ， b ∈ R} 中的数，即形如 a ＋ bi （ a ，b ∈ R ）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位 . 全体复数所成的集合 C 叫做复数集 .复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋ bi （a ，b ∈ R ），这一表示形式叫做复数的代数形式 . 对于复数 z ＝ a ＋ bi ，以后不作特殊说明，都有 a ，b ∈ R ，其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部（ real part ）与虚部（ imaginary part ） .在复数集 C ＝ {a ＋ bi | a ，b ∈ R} 中任取两个数 a ＋ bi ， c ＋ di （ a ，b ， c ， d ∈R ），我们规定：a ＋ bi 与 c ＋ di 相等的充要条件是 a ＝ c 且 b ＝d. 2．复数的分类这样，复数 z ＝ a ＋ bi 可以分类如下：高中数学选修2-2 讲义实数（b＝0），复数 z 虚数（b ）（当＝时为纯虚数）0 a 0 .虚数集复数集纯虚数集实数集根据复数相等的定义，任何一个复数z＝ a＋ bi ，都可以由一个有序实数对（ a， b）唯一确定 . 由于有序实数对（ a，b）与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.3.复数的几何意义如图，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z ＝ a＋ bi 可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 .复数 z＝a＋ bi 一一对应复平面内的点Z( a，b) 复数 z＝a＋ bi 一一对应平面向量 OZ金题精讲题一：已知复数z = a2－7a＋6＋(a2－5a－6)i a2－1 (a∈ R) ．实数 a 取什么值时，z 是（1）实数？（ 2）虚数？（ 3）纯虚数？（2）题二：当2< m < 1 时，复数 z = (3m－ 2) ＋ (m 3－ 1)i 在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限点滴积累，循序渐进C．第三象限D．第四象限课后练习：1.已知复数z＝ lg( m2－ 2m－ 2)＋ (m2＋ 3m＋ 2)i ，当实数 m 为何值时，（1） z 为纯虚数；（2） z 为实数；（3） z 对应的点在复平面的第二象限．2.在复平面内，复数1＋ i3对应的点位于（）1－ iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第 20 讲复数的运算(一)新知新讲1.复数的加法和减法题一：计算 (5－6i) ＋( －2－i) － (3＋4i).2.复数的乘法题二：计算：（ 1） (3＋ 4i)(3 － 4i); （ 2） (1＋i)2.3.复数的除法题三：计算 (1 ＋2i) ÷(3－4i).金题精讲题一：已知复数z1＝3＋ 2i，z2＝ 1－ 3i ，则复数z ＝ z1－ z2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题二：i 是虚数单位，若1＋7i＝ a＋ bi (a，b∈R)，2－ i则乘积 ab 的值是（）A．－ 15 B．－ 3 C．3D． 15题三：已知z 是纯虚数，z＋2是实数，那么 z1－ i第 21 讲复数的运算(二)金题精讲题一：若复数a＋ 3i(a∈ R， i 为虚数单位 )是纯1＋ 2i虚数，则实数 a 的值为（）A．－ 2 B ． 4 C．－ 6D．6等于（）A． 2i B． i C．－ i D ．－ 2i 课后练习：题二：已知复数应的点位于（A．第一象限C．第三象限z = 1－，则 z ·i在复平面内对1＋i）B．第二象限D．第四象限1.设 z1 3 4i ， z2 2 3i ，则 z1z2＝.2.计算 (1 ＋4i) － (2＋ 6i) － (5 －3i) .3. (15 8i)( 1 2i) 的值是4.已知 a， b∈ R， i 是虚数单位．若(a＋ i)·＋(1i) ＝bi ，则 a＋ bi ＝________.5.复数2＋i的共轭复数是() 1－ 2iA．－3i B.3i C．－ iD． i 51－ i51＋ i＋6. 计算(1＋ i) 2 (1－ i) 2.i － 17.设复数＝a＋bi ( a，b∈R)，则a＋b＝________．8.已知复数z1＝m＋2i ，z2＝3－ 4i，若z1为实数，z2则实数 m＝________. 题四：若 z∈ C ，若z z 1 2i ，则43i的值z是（）A ． 2i B．－ 2i C ． 2D．－ 2 课后练习：1.已知 a 是实数，a＋i(a∈ R ， i 为虚数单位 )是1－ i纯虚数，则 a 等于 ( )A．－ 1B．1 C. 2D．－ 22.在复平面内，复数 (2 － i) 2对应的点位于第________象限．3.已知函数 f (z) ＝z2－ 2z，则 f (1－ i) ＝ ________.z－1－＝ 3 3＋ i，求复数 z.4.设复数 z 满足 4z＋ 2 z5. 设 (1 ＋ 2i)－－ 4i(i 为虚数单位 ) ，则 |z|＝z ＝ 3________．高中数学选修 2-2 讲义点滴积累，循序渐进。
高中数学(新课标)选修2课件1.3.2函数的极值与导数
知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：
高中数学选修2-2金版教程1-3-3
1.3.3一、选择题1．连续函数f (x )在[a ，b ]上有最大值是f (x )有极大值的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：闭区间[a ，b ]上的连续函数，必有最大值和最小值，但不一定有极大值． 答案：D2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数解析：f ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x 2，令f ′(x )＝0得x ＝－22，当x <－22时，f ′(x )>0，当－22<x <0时，f ′(x )<0，∴x ＝－22是函数f (x )的极大值，也是最大值． 答案：A3．已知当x ∈(0，π2)，函数f (x )＝tx －sin x (t ∈R )的值恒小于零，则t 的取值范围是( )A ．t ≤2B ．t ≤π2C ．t ≥2πD ．t ＜π2解析：f (x )＝tx －sin x <0在x ∈(0，π2)内恒成立，即t <sin x x 在(0，π2)内恒成立，令g (x )＝sin xx ，则g ′(x )＝x cos x －sin xx 2.当x ∈(0，π2)时，tan x >x ，∴sin x >x cos x ，∴g ′(x )<0，g (x )在(0，π2)内单调递减．∴t ≤sin π2π2＝2π.答案：A4．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17D ．9，－19解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (－3)＝－17，f (0)＝1，所以最大值为3，最小值为－17，故选C.答案：C5．已知函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32解析：f ′(x )＝－2x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，函数的最大值为f (－1)＝4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．答案：C6．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上取最大值时，x 的值为( )A ．0 B.π6 C.π3D.π2解析：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0解得x ＝π6，f (0)＝2，f (π2)＝π2，f (π6)＝π6＋2×32＝3＋π6，显然f (π6)>f (0)，故f (x )在区间[0，π2]上取最大值时，x 的值为π6. 答案：B 二、填空题7．当x ＝________时，函数f (x )＝x ·e x 取得最小值．解析：由f ′(x )＝e x (1＋x )＝0，得x ＝－1，当x <－1时，f ′(x )<0；当x >－1时，f ′(x )>0，所以当x ＝－1时，f (x )取得最小值f (－1)．答案：－18．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：利用导数求函数的最值，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，由f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，可知M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.答案：329．已知函数f (x )＝x 3＋x 对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x 3＋x 在R 内是奇函数且为增函数，又f (mx －2)＋f (x )<0，∴f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，∴mx －2<－x 在m ∈[－2,2]恒成立．即(m ＋1)x －2<0在m ∈[－2,2]恒成立．即令g (m )＝(m ＋1)x －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－2)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－2＋1)x －2<0，(2＋1)x －2<0，即－2<x <23.∴x 的取值范围是－2<x <23.答案：(－2，23)三、解答题10．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)由原式得f (x )＝x 2－ax 2－4x ＋4a ，所以f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时有f (x )＝(x 2－4)(x －12)，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又因为f (－2)＝0，f (2)＝0.所以f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.(3)f ′(x )＝3x 2－2ax －4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f ′(－2)≥0，f ′(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋8≥0，8－4a ≥0，即－2≤a ≤2.所以a 的取值范围为[－2,2]．11．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9， 令f ′(x )<0，解得x <－1或x >3，∴函数f (x )的单调减区是为(－∞，－1)，(3，＋∞)． 令f ′(x )>0，解得－1<x <3.∴函数f (x )的单调递增区间为(－1,3)． (2)∵f (－2)＝5＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， ∴f (2)>f (－2)，∵f (x )在(－1,3)上f ′(x )>0， ∴f (x )在[－1,2]上单调递增， 又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－1,2]上的最大值和最小值， ∴22＋a ＝20，则得a ＝－2. f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2， ∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.12．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b .因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.所以a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.所以，当x＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ，则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c .因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立，所以9＋8c <c 2，即c 2－8c －9>0，解得c <－1或c >9.因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．。
高中数学选修2-2第一章第三节《导数在研究函数中的应用》全套教案
导数在函数中的应用1.3.1《函数的单调性与导数》【教法分析】（1）教法:采用启发式教学，以教师为主导、学生为主体。
强调数形结合思想、转化思想的应用。
同时给予数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性，“面向全体学生”等教学思想，贯穿于课堂教学之中。
(2)学法:探究与合作学习想结合。
教学手段：借助多媒体，制作课件，通过视频和几何画板演示提高课堂效率和学生学习兴趣。
【教学目标】1.知识与技能目标结合学生学过的大量实例，借助这些函数的图象，让学生通过观察----探讨----归纳----结论，得出函数单调性与导数的正负关系。
2.过程与方法目标运用导数这个工具研究函数的单调性，求单调区间。
体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性。
3.情感与价值观目标培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，从中体会数形结合思想、转化思想。
【教学重点难点】教学重点：函数单调性与其导函数的正负关系；判断函数单调性，求单调区间。
教学难点：函数单调性与其导函数的正负关系的探究过程。
【学前准备】：多媒体，预习例题提出问题1：通过观察，找到h(t)的两个单调区间，探究在这两个单调区间上导数分别有么特征。
提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般性？探讨：下列函数的单调性与其导函数正负的关系。
1.3.2函数的极值与导数【教学目标】【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念；2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3．掌握求可导函数的极值的步骤；【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。
【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。
【学前准备】：多媒体，预习例题当，或时，； 当，或时， 试画出函数图像的大致形状。
解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”。
综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示。
高中数学教案选修2-3数学教案
技数原理，不同的选法数是 N 3 2 6 种，6 种选法可以表示如下：
日班
晚班
甲
乙
甲
丙
乙
甲
乙
丙
丙
甲
丙
乙
所以，从 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班，6 种不同的选法
例 4，若分给你 10 块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，问共有多少种不同的吃法？ n 块糖呢？
课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理及简单应用 课堂练习： 课后作业：
1.1 基本计数原理
（第一课时）
教学目标：
（1）理解分类计数原理与分步计数原理 （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点： （1）理解分类计数原理与分步计数原理 （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学过程 一、复习引入： 一次集会共 50 人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？ 某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？ 二、讲解新课： 问题 1 春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客机。已知当天 长途车有 2 班，列车有 3 班。问共有多少种走法？ 设问 1： 从济南到北京按交通工具可分____类方法? 第一类方法, 乘火车，有___ 种方法; 第二类方法, 乘汽车，有___ 种方法; ∴ 从甲地到乙地共有__________ 种方法 设问 2：每类方法中的每种一方法有什么特征？ 问题 2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有 3 种走法，从天 津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？ 从济南到北京须经 ____ 再由_____到北京有____个步骤 第一步, 由济南去天津有___种方法 第二步, 由天津去北京有____种方法, 设问 2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的? 1 分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有 K 种途径，由第 1 种途径有 n1 种方法可以完成， 由第 2 种途径有 n2 种方法可以完成，……由第 k 种途径有 nK 种方法可以完成。那么，完成这件工作共有 n1+n2+……+nK 种不同的方法。 1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！ 2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的 即：它们两两的交集为空集！ 3 每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 2，乘法原理：如果完成一件工作可分为 K 个步骤，完成第 1 步有 n1 种不同的方法，完成第 2 步有 n2 种不 同的方法，……，完成第 K 步有 nK 种不同的方法。那么，完成这件工作共有 n1×n2×……×nK 种不同方法 1 标准必须一致、正确。 2“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。 3 若完成某件事情需 n 步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这 n 个步骤后, 这件事情才算完成。
高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质教案 新人教A版选修23
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、三维目标1.知识与技能(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．2．过程与方法通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质．3．情感、态度与价值观通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识．二、重点、难点重点：二项式系数的性质．难点：杨辉三角的结构．教学时从先简单(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式中系数出发，进一步过渡到杨辉三角的结构，让学生由浅入深地认识杨辉三角，从而化解难点．引导学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，通过例题与练习让学生应用性质解决问题，更深地理解性质，以强化重点、化解难点．三、教学建议本节课是将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，教学时应采用启发探究式教学，让学生在观察中归纳总结二项式系数的性质，在教学时可以引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，可以画出它的图象，利用几何直观，数形结合地进行思考，这对学生发现规律、形成证明思路有很大好处．四、教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答所提问题，认识杨辉三角、理解二项式系数性质．⇒通过例1及互动探究，进一步认识杨辉三角的结构特点．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握展开式系数和的求法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握二项式系数的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．间的直觉，并探索其中的规律．(1)观察“杨辉三角”发现规律①第一行中各数之和为多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？ 第4行中3与第2行各数之间什么关系？ 第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？【提示】 (1)①20,21,22,23,24，第n 行各数之和为2n －1.②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设C r n ＋1表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为C r －1n ，C r n ，所以C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn .1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn . 2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C rn ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数Cn －12n，Cn ＋12n相等，且同时取得最大值．3．二项式系数的和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.图1－3－1例 1 如图1－3－1所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为S n，求S16的值．【思路探究】观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．【自主解答】由题意及杨辉三角的特点可得：S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C29＋C19)＝(C22＋C23＋C24＋...＋C29)＋(2＋3＋ (9)＝C310＋＋2＝164.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？【解】S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C211＋C111)＋C212＝(C22＋C23＋C24＋......C212)＋(2＋3＋ (11)＝C313＋＋2＝286＋65＝351.设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．【思路探究】先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r2012(－2x )r＝(－1)r·C r2 012·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.1．本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式． 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7，a 0＋a 2＋a 4＋a 6.【解】 (1)∵(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，①令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2187，②由①、②得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．【思路探究】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”、“－”号．【自主解答】 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．求(1＋2x )7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．【解】 在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧C r 72r≥C r －172r －1，C r 72r≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5.忽视二项式系数和致误例4 已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( )A ．28B ．28－1 C ．27D ．27－1 【错解】 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 令A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…， 由题意知B －A ＝38.令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n， ∴(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…)＝(－3)n∴B －A ＝(－3)n ＝38，∴n ＝8.由二项式系数性质可得，a 1n ＋a 2n ＋…＋C n n ＝2n ＝28【答案】 A【错因分析】 误将C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C 0n . 【防范措施】 (1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误．(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．【正解】 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知：B －A ＝38.令x ＝－1， 得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即：(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n， 即：B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得：C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1. 【答案】 B二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、 分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想 1．(a ＋b )7的各二项式系数的最大值为( ) A ．21 B ．35 C ．34 D ．70【解析】【答案】 B2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( ) A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项【解析】由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．【答案】 B3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．【解析】(1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．【答案】n＋14．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.【解】(1)在已知等式中令x＝1，则得：a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.①(2)在已知等式中令x＝－1，则得：a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②①－②得：2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808.因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Word文档仅限参考
Word文档仅限参考
教学目标：
1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数f(x)在闭区间
上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 ．
教学重点：
利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
函数极值的定义是什么？
2．探究活动．
求函数f(x)的极值的步骤．
二、建构数学
1．函数的最大值和最小值．
观察图中一个定义在闭区间上的函数f(x)的图象．图中f(x1)与f(x3)是极小
值,f(x2)是极大值．函数f(x)在上的最大值是f(b),最小值是f(x3)．
一般地,在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
说明：
（1）在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．如函数
1
()fxx＝
在(0,＋∞)内连续,但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极
Word文档仅限参考
Word文档仅限参考
值点附近函数值得出的．
（3）函数f(x)在闭区间上连续,是f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分
条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可
能不止一个,也可能没有一个．
2．利用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点
的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了．
设函数f(x)在上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在 上的最大值与最小值的步
骤如下：
（1）求f(x)在(a,b)内的极值；
（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在上的最值．
三、数学运用
例1 求函数f(x)＝x2－4x＋3在区间内的最大值和最小值．
例2 求函数f(x)＝12x＋sinx在区间上的最值．
注 在实际问题中,若函数只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最
大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较．
练习
设f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间［－1,2］上的最大值为3,最小值为－29,且a＞
b,求a,b的值．
四、回顾小结
（1）函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点,导数
不存在的点,区间端点；
（2）函数f(x)在闭区间上连续,是f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分
条件而非必要条件；
（3）闭区间上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最
值,若有惟一的极值,则此极值必是函数的最值．
五、课外作业
1．课本第33页第2,3,4题．
Word文档仅限参考
Word文档仅限参考
2．补充．
求函数y＝14x4＋13x3＋12x2在区间 上的最值．