全等三角形易错点剖析
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理在学习新知识的同时，既要及时跟上老师步伐，也要及时复习巩固，知识点要及时总结，这是做其他练习必备的前提，下面为大家总结了全等三角形知识点梳理，仔细阅读哦。
一、知识网络二、基础知识梳理(一)、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上(二)灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角;去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。
运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
(1)已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)三、疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
三角形易错易混点解析
三角形易错易混点解析作者：余旭红来源：《初中生世界·九年级》2018年第03期易错点1 忽视构成三角形的条件例1 已知一个三角形有两边相等，且其中某两边长分别是2cm和4cm，则这个三角形的周长为 .【错解】这个三角形的周长为8cm和10cm.【剖析】分两种情况讨论：（1）当相等两边长均为2cm时，由于2+2=4，不符合“三角形任何两边的和大于第三边”；（2）当相等两边长均为4cm时，由于2+4>4，此时能构成三角形，周长为10cm.【点评】求三角形的周长时，必须考虑三角形三边关系是否成立.易错点2 忽视三角形高线位置的分类讨论例2 已知AD是△ABC的边BC上的高线，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC= .【错解】∠BAC=90°.[图1][图2]【剖析】当高AD在△ABC的内部时（如图1），∵∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；当高AD在△ABC的外部时（如图2），∵∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.综上可知，∠BAC的度数为90°或50°.【点评】三角形的高线因三角形的形状不同而位置不同，对于与三角形高线有关的问题，需根据三角形的具体形状进行分类讨论.易错点3 忽视全等三角形的对应关系例3 已知△ABC与△A′B′C′全等，其中∠A=60°，∠B′=40°，∠A′=80°，BC=3，则A′B′的长为（）.A.3B.4C.5D.不确定【错解】D.【剖析】由于思维定式，误认为A′B′=AB，且它们是未知的，故选D.∵∠A′+∠B′+∠C′=180°，∠A′=80°，∠B′=40°，∴∠C′=60°，可得∠C′与∠A是对应角，即边A′B′与边BC是对应边，则A′B′=BC=3.【点评】在确定全等三角形的对应角、对应边时，易受思维定式的影响而找错对应边、对应角，应根据角度相等找到对应角，从而找到对应边.易错点4 忽视三角形全等判别方法的正确应用例4 如图3，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE.△ADC 与△AEB全等吗？说明理由.图3【错解】因为AB=AC，BE=CD，∠BAE=∠CAD，所以△ADC≌△AEB（SSA）.【剖析】错解在于把“SSA”作为三角形全等的判别方法.【正解】△ADC≌△AEB.∵AB=AC，D、E为AB、AC的中点，∴AD=AE.在△ADC和△AEB中，∵AB=AC，AD=AE，CD=BE，∴△ADC≌△AEB（SSS）.【点评】判断全等三角形的方法一般为“ASA”“SAS”“AAS”“SSS”“HL”.其中“HL”属于直角三角形.很多同学在证明三角形全等的时候常常应用并不成立的“SSA”定理.易错点5 忽视等腰三角形、直角三角形问题中的分类讨论例5 等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）.A.40°B.100°C.70°D.40°或70°【错解】A.【剖析】等腰三角形的一个外角可以是底角的邻补角，也可以是顶角的邻补角.【正解】D.【点评】解决等腰三角形角的问题时，注意根据顶角或底角的特征进行分类讨论；在解决等腰三角形边的问题时，注意根据腰或底边的特征进行分类讨论.例6 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边的长.【错解】第三边的长为5.【剖析】若3、4都为直角边长，则第三边长为[32+42]=5；若3为直角边，4为斜边长，则第三边长为[42-32]=[7].【点评】当所给出的直角三角形的已知边没有具体指明是直角边还是斜边时，要分情况讨论，防止漏解.易错点6 忽视勾股定理的逆定理的正确理解例7 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，其中a=[54]，b=1，c=[34].【错解】不是.【剖析】∵a2=[2516]，b2=1，c2=[916]，∴b2+c2=a2，即线段a、b、c组成的三角形是直角三角形.【点评】由边长关系判定直角三角形时，常常误认为以a、b、c为边的三角形，只有当a2+b2=c2时才是直角三角形，实际上只要存在两边的平方和等于第三边的平方，就可判定一个三角形是直角三角形.易错点7 忽视等腰三角形的性质与判定的灵活运用例8 如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF.（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由.图4【剖析】不能找到∠GDF=∠DFG，DE=EF，从而不能由等腰三角形的三线合一性质得到EG⊥DF.【正解】（1）∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∠DAE=∠FBE.∵E是AB的中点，∴AE=BE.∴△ADE≌△BFE.（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF.∵∠GDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，∴GD=GF.由（1）得DE=EF，∴EG⊥DF.【点评】要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：①等角对等边；②三角形全等；③利用垂直平分线的性质.在已知的等腰三角形中，应灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决线段之间的数量与位置关系.（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区钱清镇中学）。
初二上数学知识要点、易错点梳理
八上各章节重点知识与易错点第一章《全等三角形》重点知识：1．全等三角形性质：对应边相等；对应角相等。
2．全等三角形的判定：基本事实：SAS、ASA、SSS；推论：AAS；直角三角形增加HL。
3．确定全等三角形对应边、角的方法。
4．角平分线的定义、性质、判定；尺规作图。
易错点：1．全等三角形的书写格式（边、角对应；位置对应）。
2．区别两个三角形全等用符号表达与用文字表达：如要求△ABC≌△DEF和要求“△ABC与△DEF全等”不同，后者需要分情况讨论。
3．角平分线的性质与判定的应用区别。
4．角平分线的性质与判定的应用中都强调“到两边的距离”，即两个垂直。
5．角平分线的尺规作图以及这样作的依据。
6．全等三角形的一些基本模型，如8字形、三垂直模型（其实是3 模型的一种）等。
第二章《轴对称图形》重点知识：1．轴对称的性质；如何根据性质画对称轴或画已知图形的对称图形。
2．线段的轴对称性：对称轴——垂直平分线。
3．线段的垂直平分线的性质与判定（重点）。
4．角的轴对称性：对称轴——角平分线。
5．角平分线的性质与判定。
6．等腰三角形的轴对称性：对称轴——一对该线的三种称呼。
7．等腰三角形的性质：（1）等边对等角；（2）等腰三角形三线合一。
8．等腰三角形的判定：等角对等边。
9．等边三角形的轴对称性：对称轴有三条。
10．等边三角形的性质与判定。
11．尺规作图：（1）线段的垂直平分线；（2）角平分线。
12．相关定理推导与应用：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
易错点：1．线段的垂直平分线、角平分线性质与判定的符号表达。
2．线段的垂直平分线、角平分线性质应用的区别：一个是点到两点，一个是点到两边。
3．等腰三角形分情况讨论：求角时，由角为顶角或底角来分类；求边时，由边为腰或底来分类。
4．“等腰三角形一腰上的高”分情况讨论（常有同学图不会画）。
5．网格中画图问题（这种作图是借助网格特征，而不是尺规作图）。
第三章《勾股定理》重点知识：1．勾股定理与逆定理内容与应用。
初中数学八年级数学《全等三角形》易错题精选附答案
全等三角形易错题精选，附答案第1节 全等三角形1．易错点：对应边不确定，需要分类讨论1、已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x -2，2x -1，若这两个三角形全等，则x 为（ ） A ．37B ．4C ．3D ．3或37参考答案 1、C2．易错点：忽略隐藏的8字形（一）1、如图，△ABC△△AEF ，AB=AE ，△B=△E ，则下列结论：△AC=AF ；△△FAC=△EAB ；△EF=BC ；△△EAB=△EFB ，其中正确的是_________．2、【变式1】如图，△ABC△△AEF ，AB=AE ，△B=△E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．AC=AFB ．△EAB=△EFBC ．△FAB=△EABD ．△EAB=△FAC3、【变式2】如图，在△ABC 与△AEF 中，AB=AE ，BC=EF ，△B=△E ，AB 交EF 于D ．给出下列结论：△△AFC=△C ；△DE=CF ；△△EAD=△BFD ；△△BFD=△CAF ．其中正确的结论是（ ） A ．△△ B ．△△ C ．△△ D ．△△△4、【变式3】如图，△ABC△△ADE ，△DAC=60°，△BAE=100°，BC 、DE 相交于点F ，则△DFB 的度数是_______．参考答案1、△△△△2、B3、D4、20°3．易错点：忽略隐藏的8字形（二）1、如图，△ABC△△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，△ACB=△AED=105°，△CAD=10°，△B=△D=25°，求△DFB 、△DGB 的度数．2、【变式1】如图所示，△ABC△△ADE ，延长BC 分别交AD ，DE 于F ，G ，△CAD=10°，△B=△D=25°，△EAB=120°．求△DFB 和△DGB 的度数．3、【变式2】如图，△ABC△△ADE ，BC 的延长线过点E ，△ACB=△AED=105°，△CAD=10°，△B=50°，则△DEF 的度数为________.参考答案1、△DFB=85°；△DGB=60°．2、△DFB=90°；△DGB=65°3、35°第2节 全等三角形的判定一、用SSS 边边边判定三角形全等二、用SAS 边角边判定三角形全等 4．易错点：误用SSA 判定三角形全等 1、如图，AB=AC ，AE=AD ，要使△ACD△△ABE ，需要补充的一个条件是（ ）A ．△B=△CB ．△D=△EC ．△BAC=△EAD D ．△B=△E参考答案 1、C5．易错点：乱用中点的各种结论1、如图所示，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点.求证：△ABE△△ACD．证明：∵D、E分别是AB、AC的中点∴AD=BD，AE=CE∵AB=AC∴AE=AD在△ABE和△ACD中AE=AD△A=△AAB=AC∴△ABE△△ACD以上证明过程是否有误？若有，请将错误的地方改正．参考答案1、有错，AD=BD，AE=CE应改为AD=1/2AB，AE=1/2AC6．易错点：对应边的关系不确定1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=________时，△ABC和△PQA全等．2、【变式1】如图（1），AB=5cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=4cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B 向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并推导出此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=a°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1、5或10．2、提示：（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．解：（1）（1）当t=1时，AP=BQ=1，BD=AC=4，∵AB=5，∴BP=5-1=4=AC，又∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ，∠A=∠B，AC=BP，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直；（2）△若△ACP△△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，△4=5-t，t=xt，解得t=1，x=1，△存在x=1，t=1，使得△ACP与△BPQ全等；△若△ACP△△BQP，则AC=BQ，AP=BP，△t=5-t，4=xt，解得t=2.5，x=1.6，△存在t=2.5，x=1.6，使得△ACP与△BPQ全等；综上所述，存在x=1，t=1或t=2.5，x=1.6，使得△ACP 与△BPQ全等．三、用ASA角边角或AAS角角边判定三角形全等7．易错点：误以为AAS就是两个角和一条边相等1、下列说法正确的是（）A．有三个角对应相等的两个三角形全等B．有两边对和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D．有两个角对应相等，还有一条边也相等的两个三角形全等2、【变式1】下列条件不能判断两个直角三角形全等的是（）A．有两条直角边对应相等B．有两个锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．斜边和一个锐角对应相等参考答案1、C2、B四、用HL斜边直角边判定三角形全等8．易错点：判定直角三角形全等时将HL与SSA混淆1、如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：△BDF≌△ADC．证明：∵AD⊥BC∴∠BDF=∠ADC=90°在Rt△BDF和Rt△ADC中BF=AC，FD=CD，∠BDF=∠ADC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC以上证明是否有错？如果有错，请将错误改正．2、【变式1】如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，则∠ABC=_____．3、【变式2】如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE ⊥AC．参考答案1、有错，证明三角形全等应该用HL，不是SSA需要把∠BDF=∠ADC删掉．2、45°3、证明：△AD△BC，△△BDF=△ADC=90°在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，FD=CD，△Rt△BDF△Rt△ADC（HL），△△C=△BFD，△△DBF+△BFD=90°，，△△C+△DBF=90°，△△C+△DBF+△BEC=180°，△△BEC=90°，△BE△AC．9．易错点：全等三角形的判定定理混淆1、如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点及点D、E、F、G、H都在格点上，现以D、E、F、G、H中的三点为顶点画三角形，则下列与△ABC面积相等但不全等的三角形是（）A．△EHD B．△EGF C．△EFH D．△HDF 参考答案1、D第3节角平分线的性质10．易错点：不理解点到直线的距离1、如图，PD△AB，PE△AC，垂足分别为D、E，且PA 平分△BAC，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA2、如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB=36°；②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正确的有______________．参考答案1、B2、①②④。
三角形全等易错题析(供参考)
三角形全等易错题分析与纠错策略探讨长岭中学 孙运华摘 要：作为一名初中数学教师，我时常发觉有些做过量次的题，学生会一错再错。
通过了解，我发觉这不是个别现象，要想纠正这些易错题，必需分清缘故，并采取相应的纠正方法。
关键词：初中数学； 易错题； 纠错策略；很多数学教师都发觉，一些做过量次的题，学生会一错再错。
这种题目咱们暂且叫它易错题。
易错题产生的缘故各不相同。
要想纠正这些易错题，必需分清缘故，并采取相应的纠正方法。
下面我将结合自身的初步探讨，以全等三角形为知识载体举几个纠正易错题的例子，探讨纠错进程，形成我的纠错策略，与大伙儿共勉，．全等三角形的判定和性质及其应用是初中几何的重点内容之一，也是中考所要考查的重要内容之一．由于对概念、判定、性质的明白得不清或对问题的考虑不周密，往往会显现各类错误． 一、寻觅全等三角形的对应边和对应角时犯错例1 如图，已知：△ABC≌△EFD,∠C=∠D,AE=BF,指出其他的对应边和对应角。
错解 对应边BC 与DF,AE 与BF,对应角∠DEF 和 ∠ABC.错解分析：识图能力差，不能看出两个三角形如何重合的，不能正确识别对应边和对应角。
正解 对应边AB=EF,AC=ED,BC=DF ；对应角∠A=∠EEF, ∠ABC=∠F.策略探讨：像本例的错误，反映了学生对图形的识别能力不强，教师教学时应尽可能多展现一些有关全等三角形的图形，让学生进行适当的对应边，对应角的识别训练，从而提高学生的识图能力，达到学生不犯或少犯类似错误的目的。
例2 如下图，假设△ABC 中的∠A=300，∠B=700，AC=17cm ；如图2（2）所示，假设△DEF 的∠D=700，∠E=800，DE=17cm ，那么△ABC 与△DEF 全等吗？什么缘故？800700图1（2）图1（1）700300E CB F D错解：△ABC 与△DEF 全等．在△DEF 中，因为∠D=700，∠E=800， 因此∠F=1800-∠D -∠E=1800-700-800=300．长岭中学数学课题论文在△ABC 中，因为∠A=300，∠B=700， 因此∠A=∠F，∠B=∠D． 又因为AC=17cm ，DE=17cm ， 因此AC=DE ． 在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠），DE （AC ），D （B ，F A 已证已证已证)(∴△ABC≌△DEF．错解分析：AC 是∠B 的对边，DE 是∠F 的对边，而∠B≠∠F，因此这两个三角形不全等． 正确解法：△ABC 与△DEF 不全等．因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的识别法．策略探讨： 概念是对事物进行判定和推理的基础，其重要性可想而知。
《三角形全等的判定》 知识清单
《三角形全等的判定》知识清单三角形全等是初中数学中非常重要的一个知识点，它不仅是解决几何问题的基础，还能培养我们的逻辑思维和推理能力。
下面我们就来详细了解一下三角形全等的判定方法。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
二、三角形全等的判定方法1、“边边边”（SSS）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，有三角形 ABC 和三角形 DEF，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
2、“边角边”（SAS）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，就可以判定这两个三角形全等。
3、“角边角”（ASA）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
4、“角角边”（AAS）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么这两个三角形全等。
三、直角三角形全等的特殊判定方法对于直角三角形，除了以上四种判定方法外，还有一种特殊的判定方法——“斜边、直角边”（HL）。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
需要注意的是，这个判定方法只适用于直角三角形。
四、三角形全等判定方法的应用1、证明线段相等如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等。
通过证明两个三角形全等，可以得出对应线段相等。
2、证明角相等因为全等三角形的对应角相等，所以证明三角形全等可以得到对应角相等。
3、测量无法直接测量的距离或长度例如，在实际生活中，要测量池塘两端 A、B 的距离，可以在池塘外找一点 C，使得三角形 ABC 与三角形 DEC 全等，通过测量 DE 的长度就可以得到 AB 的长度。
《怎样判定三角形全等》 知识清单
《怎样判定三角形全等》知识清单在初中数学的学习中，三角形全等是一个非常重要的知识点。
能够准确判定三角形全等，对于解决许多几何问题有着至关重要的作用。
那么，怎样判定三角形全等呢？下面就为大家详细介绍。
一、全等三角形的定义首先，我们要清楚什么是全等三角形。
全等三角形指的是两个三角形的形状和大小完全相同。
也就是说，它们的对应边相等，对应角也相等。
二、三角形全等的判定方法1、 SSS（边边边）定理如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如说，有两个三角形，一个三角形的三条边分别是 3cm、4cm、5cm，另一个三角形的三条边也分别是 3cm、4cm、5cm，那么这两个三角形就是全等的。
这个定理很好理解，因为如果三条边都相等了，那么三角形的形状和大小也就固定了。
2、 SAS（边角边）定理如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，一个三角形的两条边分别是 5cm 和 6cm，它们的夹角是 60°，另一个三角形也有两条边分别是 5cm 和 6cm，夹角也是 60°，那么这两个三角形就是全等的。
这里要注意，必须是两条边和它们的夹角相等才行，如果是两条边和其中一条边的邻角相等，就不能判定全等。
3、 ASA（角边角）定理如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，一个三角形的两个角分别是 40°和 60°，它们的夹边是 8cm，另一个三角形的两个角也是 40°和 60°，夹边也是 8cm，那么这两个三角形全等。
4、 AAS（角角边）定理如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
举个例子，一个三角形的两个角分别是 50°和 70°，50°角的对边是10cm，另一个三角形的两个角分别是 50°和 70°，50°角的对边也是10cm，那么这两个三角形全等。
八年级数学全等三角形必须掌握的知识点易错点拔
八年级数学全等三角形必须掌握的知识点易错点拔单选题1、下列选项中表示两个全等图形的是（）A．形状相同的两个图形B．能够完全重合的两个图形C．面积相等的两个图形D．周长相等的两个图形答案：B解析：利用全等图形的定义分析即可．A、形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；B、能够完全重合的两个图形，一定是全等图形，故此选项正确；C、面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；D、周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；故选B．小提示：此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．2、如图，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是( )A．AB＝EDB．AC＝EFC．AC∥EFD．BF＝DC答案：C解析：根据全等三角形的判定方法即可判断.A. AB＝ED，可用ASA判定△ABC≌△EDF；B. AC＝EF，可用AAS判定△ABC≌△EDF；C. AC∥EF，不能用AAA判定△ABC≌△EDF，故错误；D. BF＝DC，可用AAS判定△ABC≌△EDF；故选C.小提示：此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.3、若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（）A．5B．8C．7D．5或8答案：C解析：根据三角形的周长可得AC长，然后再利用全等三角形的性质可得DF长．∵△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，∴AC＝20−5−8＝7，∵△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝7，故选C．小提示：此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．4、如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（）A．14B．12C．10D．7答案：B解析：过点D作DF⊥AB于点F，利用角平分线的性质得出DE=DF=2，将△ABC的面积表示为△ABD,△ADC面积之和，分别以AB为底，DF为高，AC为底，DE为高，计算面积即可求得．过点D作DF⊥AB于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE=2,∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12·AB·DF+12·AC·DE=12×7×2+12×5×2=7+5=12,故选：B．小提示：本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质作出辅助线是解题关键．5、作∠AOB平分线的作图过程如下：作法：（1）在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．（2）分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C．（3）作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等的判定解释作图原理，最为恰当的是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS答案：A解析：根据作图过程可得OD=OE，CE=CD，根据OC为公共边，利用SSS即可证明△OCE≌△OCD，即可得答案．∵分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C；∴CE=CD，在△OCE和△OCD中，{OE=OD CD=CE OC=OC，∴△OCE≌△OCD（SSS），故选：A．小提示：本题考查全等三角形的判定，正确找出相等的线段并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．6、如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC 的距离是（）A．1B．2C．3D．4答案：C解析：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12OD=3故选：C小提示：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．7、如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°答案：D解析：根据∠α是a 、c 边的夹角，50°的角是a 、c 边的夹角，然后根据两个三角形全等写出即可．解：∵∠α是a 、c 边的夹角，50°的角是a 、c 边的夹角，又∵两个三角形全等，∴∠α的度数是50°．故选：D ．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．8、如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为()A．14B．13C．12D．10答案：C解析：∵平行四边形ABCD∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO∴∠EAO=∠FCO∵在△AEO和△CFO中，{∠AEO=∠CFO AO=CO ∠AOE=∠COF∴△AEO≌△CFO∴AE=CF，EO=FO=1.5∵C四边形ABCD=18∴CD+AD=9∴C四边形CDEF=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.故选C小提示：本题关键在于利用三角形全等，解题关键是将四边形CDEF的周长进行转化．9、如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 ________cm.答案：45解析：利用SAS证明△ABC≌△DEF，即可得△DEF的周长=△ABC的周长=24cm．再由制成整个金属框架所需这种材料的总长度为△DEF的周长+△ABC的周长-CF即可求解.∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴△DEF的周长=△ABC的周长=24cm．∵CF=3cm，∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为：△DEF的周长+△ABC的周长-CF=24+24-3=45cm.故答案为45.小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△DEF得到△DEF的周长=△ABC的周长=24cm是解决问题10、如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为__________cm．答案：15解析：试题分析：根据角平分线的性质可得：DE=AD，结合∠A=90°，∠CED=90°，可得：△ACD和△ECD全等，则AC=CE，即△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE=AC+BE=CE+BE=BC=15cm．点睛：本题主要考查的就是角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ACD和△ECD全等是解决这个问题的关键．在三角形的题目中，如果出现角平分线，除了想到角相等之外，还应该想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；如果题目中出现中垂线，我们也不能忘记中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．11、如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件____，使△ABC≌△ADC．答案：∠D=∠B(答案不唯一)解析：本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．解：添加的条件为∠D=∠B，理由是：在△ABC和△ADC中，{∠BAC=∠DAC∠D=∠BAC=AC，∴△ABC≌△ADC(AAS)，所以答案是：∠D=∠B．小提示：本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．12、如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠B=30°,AC=1，则∠B′=________，CC′=________．答案： 30° 2解析：根据中心对称图形的性质，得到△ABC≌△AB′C′，再由全等三角形的性质解题即可．解：∵A为对称中心，∴△ABC绕点A旋转180°能与△AB′C′重合，∴△ABC≌△AB′C′，∴∠B′=∠B=30°，AC=AC′=1，∴CC′=AC+AC′=1+1=2．小提示：本题考查中心对称图形的性质、全等三角形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．13、如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度．答案：120解析：根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案.∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=120°，所以答案是：120.小提示：此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理.解答题14、如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，小明设计如下方案：从点B 出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过点D作DE//AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，说明他设计的道理．答案：见解析解析：根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠E，然后利用“角角边”证明△ABC和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等解答；解：∵DE//AB，∴∠A=∠E，在△ABC和△EDC中，{∠A=∠E∠ACB=∠ECDBC=CD，∴△ABC≅△EDC(AAS)，∴DE=AB，即DE的长就是A、B两点之间的距离．小提示：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．15、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，猜想DE、AD、BE之间的关系，并请给出证明．答案：（1）①见解析；②见解析；（2）AD−BE=DE，证明见解析．解析：（1）①利用“AAS”证明△ADC≌△CEB全等即可；②根据△ADC≌△CEB即可得到AD=CE，BE=CD，即可得到AD+BE=CE+CD=DE；（2）同（1）证明△ADC≌△CEB得到AD=CE，BE=CD，即可推出AD−BE=CE−CD=DE．证明（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90∘∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECBAC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE，BE=CD，∴AD+BE=CE+CD=DE；（2）关系：AD−BE=DE；证明：∵AD⊥MN，∠ACB=90∘，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90∘，∠ECB+∠ACD=90∘，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECBAC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，BE=CD，∴AD−BE=CE−CD=DE．小提示：本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。
全等三角形好题易错题典型题精选试题解析
全等三角形好题易错题典型题精选试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（）A．5对B．6对C．7对D．8对2．下列说法①三角形的三条高在三角形内，且都相交于一点．②三角形的中线就是过顶点平分对边的直线．③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是直角三角形．④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角．⑤一个三角形的两边长为8和10，那么它的最短边b的取值范围是2＜b＜18．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（）A．540°B．720°C．1080°D．1260°4．一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角的关系是（）A．相等B．互补C．互余D．相等或互补二．填空题（共3小题）5．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为．6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①BD=CD；②AD⊥BC；③AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数为A．4个B．3个C．2个D．1个．7．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=．三．解答题（共9小题）8．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，AM=CM；（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．9．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：ME⊥BC．11．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=25°，求∠DFB和∠DGB的度数．12．在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．13．已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．（1）求证：△DBE≌△CBE；（2）求∠BDE的度数．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数．15．如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=30°，BF=4，求∠DFE的度数和EC的长．16．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，E、F是对角线上的两点，要使△BCE≌△DAF，还需要添加的条件（只需添加一个条件）是，并加以证明．全等三角形好题易错题典型题精选试题解析参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD 于点F，那么图中全等的三角形有（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【解答】解：由平行四边形的性质可知：△ABD≌△CDB，△ABO≌△CDO，△ADE≌△CBF，△AOE≌△CFO，△AOD≌△COB，△ABC≌△CDA，△ABE和△CDF故选：C．2．下列说法①三角形的三条高在三角形内，且都相交于一点．②三角形的中线就是过顶点平分对边的直线．③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是直角三角形．④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角．⑤一个三角形的两边长为8和10，那么它的最短边b的取值范围是2＜b＜18．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，故本选项错误；②三角形中线是过顶点平分对边的线段，故本选项错误；③由三角形内角和定理可得∠C=90°，故本选项正确；④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角，故本选项正确；⑤根据三角形三边关系可得第三边的取值范围，由于是最短边，则b的取值范围是2＜b≤8，故本选项错误．故选：C．3．如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（）A．540°B．720° C．1080°D．1260°【解答】解：多边形的边数为：360°÷45°=8，多边形的内角和是：（8﹣2）•180°=1080°．故选：C．4．一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角的关系是（）A．相等B．互补C．互余D．相等或互补【解答】解：如图：图1中，根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，所以∠1=∠2，图2中，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠1+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°，∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补，故选：D．二．填空题（共3小题）5．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为120°．【解答】解：∵点O到三角形三边的距离相等，∴OB、OC为三角形的角平分线，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=120°．故填120°6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①BD=CD；②AD⊥BC；③AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数为AA．4个B．3个C．2个D．1个．【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC．故①、②正确；∵AD是△ABC的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴AD上任意一点到边AB、AC的距离相等．故③正确；∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠BED=∠CFD，DE=DF，∴△BED≌△CFD，∴∠BDE=∠CDF．故④正确．所以①、②、③、④均正确，故选A．7．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=55°．【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠1=∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2=∠ABD=30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，故答案为：55°．三．解答题（共9小题）8．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，AM=CM；（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．【解答】证明：（1）∵AF=CE，∴AE=CF，在RT△ABF和RT△CDE中，，∴RT△ABF≌RT△CDE（HL），∴BF=DE，在△DEM和△BFM中，，∴△DEM≌△BFM，（AAS）∴EM=FM，DM=BM，∴MB=MD，AM=CM；（2）在RT△ABF和RT△CDE中，，∴RT△ABF≌RT△CDE（HL），∴BF=DE，在△DEM和△BFM中，，∴△DEM≌△BFM（AAS），∴EM=FM，DM=BM，∴MB=MD，AM=CM．9．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中点，∴BD=CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠A=90°，∴四边形DFAE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE=DF．∴四边形DFAE为正方形．10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：ME⊥BC．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°∠2+∠EAC=90°∴∠1=∠2，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠FCA，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC．11．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=25°，求∠DFB和∠DGB的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=25°，∠AED=∠ACB=105°，∴∠CAB=∠EAD=180°﹣25°﹣105°=50°，∴∠DFB=∠CAF+∠ACF=10°+180°﹣105°=85°；∴∠DGB=∠DFB﹣∠D=85°﹣25°=60°．12．在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=120°；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【解答】解：（1）①∵∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=∠BAC=×30°=15°，∠FCA=∠ACB=×90°=45°，∴∠AFC=180°﹣15°﹣45°=120°；故答案为：120°．②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B），∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=180°﹣（180°﹣∠B）=90°+∠B，∵∠B=60°，∴∠AFC=90°+×60°=120°；（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG=FH=FM，∵∠EFH+∠DFH=120°，∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°，∴∠EFH=∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF=DF．13．已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．（1）求证：△DBE≌△CBE；（2）求∠BDE的度数．【解答】证明：（1）连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，在△BCE与△ACE中，，∴△BCE≌△ACE（SSS）∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE与△BCE中，，∴△BDE≌△BCE（SAS），（2）由（1）知，△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．15．如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=30°，BF=4，求∠DFE的度数和EC的长．【解答】解：∵∠A=50°，∠B=30°，∴∠ACB=100°，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC，∴EC=BF=4．16．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，E、F是对角线上的两点，要使△BCE≌△DAF，还需要添加的条件（只需添加一个条件）是BE=DF，并加以证明．【解答】解：添加的条件是BE=DF，证明如下：∵AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE，∵在△BCE和△DAF中，∴△BCE≌△DAF（SAS）．故答案为：BE=DF．。
全等三角形总复习课件
理解面积的概念和计算方法，找出全等三角形，并利用全等三角形的 性质进行计算。
常见考点
全等三角形的判定和性质、面积的计算和比较、几何图形的面积公式 等。
05
全等三角形的易错点分析
判定定理的混淆
总结词
判定定理的混淆是学生在学习全等三角形时常见的问题，主要表现在不能正确理解和区 分SSS、SAS、ASA、AAS和HL等判定定理。
03
全等三角形的解题策略
构造法
总结词
通过添加辅助线构造新的三角形，利用已知条件证明新构造的三角形与原三角形全等，从而解决问题 。
详细描述
构造法是解决全等三角形问题的一种常用策略。通过作平行线、垂线或延长线等辅助线，构造出新的 三角形，利用已知条件证明新构造的三角形与原三角形全等，从而得出所需结论。在运用构造法时， 需要充分理解题意，寻找合适的构造方式。
详细描述
计算题通常会涉及角度、边长等几何量的计算。在解题过程中，学生需要利用 全等三角形的性质和定理，找到与所求量相关的已知量，通过计算得出结果。
作图题
总结词
作图题是全等三角形应用中较为特殊的一种题型，主要考察学生的空间想象能力 和作图技能。
详细描述
作图题通常会要求学生根据已知条件，画出两个全等的三角形。在解题过程中， 学生需要理解全等三角形的性质和判定定理，并能够根据题目要求进行准确的作 图。
推论
全等三角形的周长、面积 相等。
判定定理
SSS定理
SAS定理
如果两个三角形的三边分别相等，则这两 个三角形全等。
如果两个三角形的两边及其夹角分别相等 ，则这两个三角形全等。
ASA定理
HL定理
如果两个三角形的两角及其夹边分别相等 ，则这两个三角形全等。
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全等三角形易错点剖析 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 判定三角形全等的错解示例 一、对“对应”二字认识不准确，应用全等判别法有误 例1 △ABC 和 △DEF 中，∠A=30°，∠B=70°,AC=17cm，∠D=70°，∠E= 80°，DE=17cm.那么△ABC与△DEF全等吗为什么 错解：△ABC与△DEF全等.证明如下： 在△DEF中， ∵ ∠D=70°，∠E=80°， ∴ ∠F=180°－∠D－∠E=180°―70°―80°=30°. 在△ABC中， ∵ ∠A=30°，∠B=70°， ∴ ∠A=∠F，∠B=∠D. 又∵ AC=17cm，DE=17cm， ∴ AC=DE . 在△ABC与△DEF中， AFBDACDE
，，，
∴ △ABC≌△DEF. 错解分析：AC是∠B的对边，DE是∠F的对边，而∠B≠∠F，所以这两个三角形不全等.△ABC与△DEF不全等.因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的判别法. 二、判定方法有错误 例2 如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC,DC=EC. 求证：∠D=∠E. 3
错解：在△ACE与△BCD中， ∵AC⊥BC ， DC⊥EC， ∴∠ACB=∠ECD=90°. 又∵AC=BC，DC=EC, ∴ △ACE≌△BCD，∴∠D=∠E. 错解分析：上面的证明中，错误地应用了“边角边”. ∠ACB与∠ECD并不是那一对三角形的内角. 正解：∵ AC⊥BC，DC⊥EC, ∴ ∠ACB=∠ECD=90°, ∴ ∠ACE=∠BCD. ∵ AC=BC, ∠ACE=∠BCD,DC=EC, ∴ △ACE≌△BCD, ∴∠D=∠E. 三、错误套用等式性质 例3 如图，已知AC,BD相交于E点，∠A=∠B, ∠1=∠2. 求证：AE=BE. 4
错证：在△ADC和△BCD中, ∵∠A=∠B,DC=CD, ∠2=∠1, ∴△ADC≌△BCD, ∴△ADC－△DEC=△BCD－△DEC, ∴△ADE≌△BCE, ∴AE=BE. 错解分析：在证明三角形全等时，一定要按判定定理进行证明.上面的证明中，将等式性质错误地搬到了三角形全等中.这是完全错误的. 正解：同上，易证△ADC≌△BCD, ∴AD=BC. 在△ADE和△BCE中, ∵AD=BC，∠A=∠B，∠AED=∠BEC, ∴△ADE≌△BCE,∴AE=BE. 四、脱离题设，将对图形的直观印象视为条件进行证明 例4 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=,DF分别垂直于AB,AC,垂足为E,F. 求证：BE=CF. 5
错解1：认为DE=DF，并以此为条件. 在Rt△BDE与Rt△CDF中， ∵DE=DF,BD=CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（斜边直角边），∴BE=CF. 错解2：认为AD⊥BC，并以此为条件. 通过证明△ABD≌△ACD（边角边），得AB=AC,再由△AED≌△AFD（角角边），得AE=AF,从而得到BE=CF. 错解分析：错解1中认为DE=DF，并直接将其作为条件应用，因而产生错误； 错解2中，认为AD⊥BC，没有经过推理加以说明，因而也产生了错误.产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设结合图形找到证题依据. 正解：在△AED和△AFD中, AEDDFA90EADFADADAD
，，，
∴ △AED≌△AFD（角角边），∴DE=DF. 在Rt△BDE与Rt△CDF中， BDCD,DEDF,
Rt△BDE≌Rt△CDF（斜边直角边），∴BE=CF. 五、误将“SSA (边边角）”当成“SAS (边角边)”来证题 例5 如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE. 试证明：∠BAE=∠CAE.
错解：在△AEB和△AEC中， EBEC,ABEACE,AEAE,
∴ △AEB≌△AEC， ∴∠BAC=∠CAE. 错解分析：上解错在证两个三角形全等时用了“边边角”来判定，这是不正确的，因为有两条边以及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 正解：在△BEC中，因EB=EC,故∠EBC=∠ECB. ∵ ∠ABE=∠ACE, ∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC，
在Rt△AEB和Rt△AEC中，AEAE,EBEC,ABAC, ∴△AEB≌△AEC，∴∠BAC=∠CAE. 在学习中，学会对题中图形进行观察以及对已知条件进行分析，弄明白证明思路.同时，对三角形全等的各种条件要记熟并能区分.三角形的全等具有传递性，比如若有△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则一定有△ABC≌△MNP，这个性质在解题时有很重要的应用.在一些计算图形中有几对全等三角形的题目时，利用这个性质可以发现一些不明显的全等关系，帮助发现那些不是直接有关联的全等三角形. 六、把“角角角”当成判定三角形全等的条件来使用 例6 如图, ∠CAB =∠DBA, ∠C=∠D, E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗 说明理由.
错解: △ADB ≌△BCA. 因为∠C = ∠D, ∠CAB = ∠DBA, 所以∠DAB =∠CBA, 所以△ADB ≌△BCA(AAA) . 错解分析: 错解把三个角对应相等作为这两个三角形全等的依据, 显然是错误的, “角角角”不是识别两个三角形全等的条件. 正解: △ADB ≌△BCA. 因为∠CAB = ∠DBA, ∠C = ∠D, AB = BA( 公共边) , 所以△ADB ≌△BCA(AAS) . 七、把“边边角”当成判定三角形全等的条件来使用 例7 如图,已知△ABC 中, AB = AC, D,E 分别是AB,AC 的中点, 且CD = BE, △ADC 与△AEB全等吗 说明理由. 8
错解: △ADC ≌ △AEB. 因为AB = AC, BE = CD, ∠BAE = ∠CAD, 所以△ADC ≌ △AEB( SSA) . 错解分析: 错解把“边边角”作为三角形全等的判别方法, 实际上, “边边角”不能作为三角形全等的判别依据, 因为两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等. 正解: △ADC ≌ △AEB. 因为AB = AC, D,E 为AB,AC 的中点, 所以AD = AE. 在△ADC 和△AEB 中, 因为AC = AB, AD = AE, CD = BE, 所以△ADC ≌ △AEB( SSS) . 八、局部当整体 例8 如图, 已知AB = AC, ∠B = ∠C , BD = CE, 试说明△ABE 与△ACD 全等的理由. 9
错解: 在△ABE 和△ACD 中, 因为AB = AC, ∠B = ∠C, BD = CE, 所以△ABE ≌ △ACD( SAS) . 错解分析: 错解没有认真地结合图形来分析条件, 错把三角形边上的一部分(BD 是BE 的一部分, CE 是CD 的一部分) 当成边来说明, 这不符合“边角边”条件. 正解: 因为BD = CE, 所以BD + DE = CE + DE, 即BE = CD. 在△ABE 和△ACD 中, 因为AB = AC, ∠B = ∠C, BE = CD, 所以△ABE ≌ △ACD( SAS) . 九、把等量相减用在全等上 例9 如图, 已知AC,BD 相交于点O, ∠A =∠B, ∠1 = ∠2, AD = BC. 试说明△AOD ≌ △BOC.
错解: 在△ADC 和△BCD 中, 因为∠A = ∠B, ∠2 = ∠1, DC = CD, 10
所以△ADC ≌ △BCD (AAS) , 所以△ADC - △DOC ≌ △BCD- △DOC, 即△AOD ≌ △BOC. 错解分析: 错解原因是将等式的性质盲目地用到了三角形全等中, 实际上, 三角形全等是两个三角形完全重合, 是不能根据等式上的数量关系来说明的. 正解: 在△AOD 和△BOC 中, ∠A = ∠B, ∠AOD = ∠BOC, AD =BC, 所以△AOD ≌ △BOC(AAS) . 十．“同理可证”实际不同理 例10 已知： AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′． 求证：△ABC≌△A′B′C′． 错解： 如图，因为BD=12BC， B′D ′=12B′C′，BC=B′C′， 所以BD=B′D′． 在△ABD和△A′B′D′中， AB=A′B′，BD=B′D′，AD=A′D′，因此△ABD≌△A′B′D′．同理可证△ADC≌△A′D′C′．故△ABD+△ADC≌△A′B′D+△A′D′C′，即△ABC≌△A′B′C′． 错解分析： 以上证法有两个错误：⑴用了不同理的同理可证．证明△ABD≌A′B′D′与△ADC≌△A′D′C′的理由是不同的. 要证△ADC≌△A′D′C′，需证∠ADC=∠A′D′C′， 根据SAS来证； ⑵由两对全等三角形之和推出△ABC≌△A′B′C′，理由不充分． 正解： 由△ABD≌△A′B′D′，有∠B=∠B′． 在△ABC和△A′B′C′中， AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，因此△ABC≌△A ′B ′C′．
十一． 不顾条件任意引申 例11 已知：如图，AB=AC，BD=CE，AD=AE．