第二章控制系统的数学模型

第2章自动控制系统的数学模型

二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式：
2、特点一阶惯性环节含有一个储能元件，输入量的作用不能立即在输出端全部重现出来，而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电容电压uC为输出；（2）列微分方程组：由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章线性系统的数学模型
第2章线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析法都是建立在传递函数基础上的。

自动控制原理第二章胡寿松ppt课件

—线性定常二阶微分方程式
4、消去中间变量i(t),整理后得整：理版课件
22
第二章控制系统数学模型
例2、设一弹簧、质量块、阻
尼器组成的系统如图所示，
当外力F(t)作用于系统时，系 F(t) 统将产生运动。试写出外力
F(t)与质量块的位移y(t)之间
m
的微分方程。
解：
f
1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)； 2、根据牛顿定律，∑F=ma；
limsF(s)存在 f(0)lifm (t)lism (F s)
s
t 0
s
（6）终值定理
若: L[f(t)]F(s)
f( )lifm (t)lism (F s)
t
s 0
整理版课件
7
第二章控制系统数学模型
例2、求下列函数的拉氏变换。
（1）f(t)2(1cot)（s2）f(t)sin5(t（) 3）f (t)tnet
L[
d
2
dt
f (t) 2
]
s
2
F
(s)
L [ d n f ( t ) ] s n F ( s )整理版课件
5
dt n
第二章控制系统数学模型
（2）积分性质
若: L[f(t)]F(s)
L [ f(t)d] t1 sF (s)1 s f(t)dt t0
当初始条件为0，则有：
L[
f
(t )dt ]
1 - 311 1 14 s 2s 1s 2 s 1s 2
f(t) L 1 [f(t) ](t) e t 4 e 2 t
整理版课件
16
第二章控制系统数学模型
例 6 求F(s)s(s2ss11)的拉氏反变换

自控原理课件第2章-自动控制系统的数学模型

第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换法等。拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
第2章自动控制系统的数学模型
1．信号线信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同，图2．20(b)所示。 3．比较点比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数，框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的乘积，即

自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数

（1）单位脉冲（2）单位阶跃（3）单位斜坡（4）单位加速度（5）指数函数（6）正弦函数（7）余弦函数
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数结构图-信号流图
图模型
频域频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)

(T
2 j
s2

2Tj
s

1)
i 1
j 1
适用于频域分
析
3.2 传递函数的基本概念传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)

第二章控制系统的数学模型例题全

L ddt
Ac ost
L
Asint
A 2 S2
2
另一种解法：
设xt Acost, xs A s
s2 2
x0 Acost A t0
Lddt xt sx(s) x0
Lddt Acost
s s2
s
2
A
A 2
S2 2
7已知f t cost- cos2t,求Fs。 8已知f t 2e-tsin2t,求Fs。 9已知f t te-2t ,求Fs。 10已知f t t n ,求Fs。
dt
2已知Fs
ss
4
2
, 求f
t
。
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
f 0
lims Fs s
lims s
s
1 a
1
f
lims s0
s
1 a
0
• Using the laplace transform methodes solve the differential equations
第二章控制系统的数学模型例题
1已知f t d Acost,求Fs。
dt
2已知f t 3t 4e2t ,求Fs。
3已知f t e3tsin4t,求Fs。
t
4已知f t Acostdt,求Fs。
0
5已知f t sint ,求Fs。
6已知f t 8e-100t - 5e-200t ,求Fs。
G1
-1
- G2
N1
C
G2
C 1 G 2 G 3
N1 1 G 2 G1G 2G3

自动控制原理C作业(第二章)答案

4 3
0.1
图 3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应
解在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是 3。系统模型为
(s)
s2
3
2 n
2n s
2 n
然后由响应的 p % 、 t p 及相应公式，即可换算出、 n 。
p%
c(t p ) c() c()
4
3
3
33%
t p 0.1（s）
P1 G1G2
1 1
P2 G2G4
2 1
因此，传递函数为
C(s) P11 P2 2
R(s)
G2G1 G4G2 1 G1G2G3
3
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
2.4 用梅森公式求系统传递函数。
R(S)
－
_
＋ G1(s)
－ _
G2(s)
+ C(S)
+
图 2－4 解：单独回路 5 个，即
L1
1 R
1 C1S
1 R1C1S
11
1
L2
R2
C2S
R2C2 S
L3
1 C1S
1 R2
1 R2C1S
回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则
L12
L1L2
1 R1C1R2C2S 2
由上式可写出特征式为：
1
( L1
L2
L3 )
L1 L2
1
1 R1C1S
1 R2C2 S
1 R2C1S
1 R1C1R2C2S 2
益 K1 和速度反馈系数 Kt 。同时，确定在此 K1 和 Kt 数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。

控制工程基础清华大学董景新第二章控制系统的动态数学模型

2.1 基本环节数学模型
数学模型是描述物理系统的运动规律、特性和输入输出关系的一个或一组方程式。系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是代数式，数学表达式中不含有时间变量。
控制工程基础
（第二章）
清华大学
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
控制系统的动态数学模型
基本环节数学模型数学模型的线性化拉氏变换及反变换传递函数以及典型环节的传递函数系统函数方块图及其简化系统信号流图及梅逊公式受控机械对象数学模型绘制实际机电系统的函数方块图状态空间方程
式中， a1 , a2 是常值，可由以下步骤求得将上式两边乘 s j s j , 两边同时令s j（或同时令s j ），得
a1s a2 s j X s s j s j s j
s3 例试求 X s 2 s 3s 2
的拉氏反变换。
s 3 解： X s 2 s 3s 2 s3 s 1s 2 a1 a2 s 1 s 2
s3 a1 s 1 2 s 1s 2 s 1 s3 a2 s 2 1 s 1s 2 s 2 2 1 X s s 1 s 2 t 2t xt 2e e 1t
T st
2T T

xt e
st
n 1T dt

控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。

是对实际物理系统的一种数学抽象。

模型各有特点，使用时可灵活掌握。

若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。

11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。

第二章自动控制系统原理的数学模型分析

c(t ) a n1
d n1
c(t ) ... a1
d c (t ) a 0 c (t ) dt d r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt
在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换并整理得
C ( s) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 M ( s) G ( s) （2-25） n n 1 R( s ) N ( s) a n s a n 1 s a1 s a 0
一阶常系数线性微分方程
RC
duc uc ur dt
(2-4)
微分方程建立举例(2)
【例2-2】机械位移系统（1）确定输入、输出量
设外作用力F (t ) 为输入量，质量物体的位移 y (t )为输出量。
（2）建立微分方程组
根据牛顿第二定律可得:
F (t ) FB (t ) FK (t ) ma
初始条件为零，一般是指输入量在t=0时刻以后才作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在 t≤时的值也均为零。
传递函数的一般表达式
如果系统的输入量为 r (t ) ，输出量为 c(t ) ，并由下列微分方程描述
an
bm
dn dt n dm
dt m
dt n1 d m 1 r (t ) bm 1d m 1 dt
c (t ) 1
式中
<1时
(2-44)
1 2
e n t 1 2
4.应用实例例2-2机械位移系统等。
sin( d t )
，
arctan
d n 1 2
R 将 R1 1 K 、 2 1 K 代入上式得： 2 1

第2章系统的数学模型及传递函数

u(t)
R-L-C无源电路网络
L
R
di(t) d 2q(t) u(t) L dt L dt2
ui(t)
i(t) C
uo(t)
R-L-C无源电路网络
20
ui
(t)
Ri (t )
L
d dt
i(t)
1 C
i(t)dt
uo
(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)
L
R
i(t) C uo(t)
R-L-C无源电路网络
6
• 实际的系统通常是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。
• 判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的，可视其中的函数及其各阶导数，如出现高于一次的项，或者导数项的系数是输出变量的函数，则此微分方程是非线性的。（P11）
• 非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。
5. 系统传递函数只表示系统输入量与输出量的数学关系(描述系统的外部特性)，而没有表示系统中间变量之间的关系(描述系统的内部特性)。在现代控制理论中，可采用状态空间描述法来对系统的动态特性进行描述。
34
y(t) k c m f(t)
••
•
m y(t) c y(t) ky(t) f (t)
输出 b
输出
输出
0
输入
0
输入
0
输入
a 饱和（放大器）
死区（电机）
间隙（齿轮）
A.饱和：如运算放大器当输入大于一定值时，输出被限制在 ±15V，达到饱和。
B.传动间隙：齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统，有传动间隙，在输入与输出间有滞环关系。P11图2-1

第二章 控制系统的数学模型

第2章 自动控制系统的数学模型

自动控制原理第二章 胡寿松ppt课件

自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型