第二章 被控过程的数学模型
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第二章 被控对象的数学模型
Δh:液位的增量 m
dV dh Q1 Q2 A dt dt
Δu1：阀门1开度增量 m2
ΔQ1＝ Ku• Δu1
Ku：阀门1流量系数 m/s
Q2 A 2gh K h
h R Q2
Rs: 液阻 S/m2 h0+Δ h h0 Q20 Q20+Δ Q2
h dh dh ku u1 A C R dt dt
阶跃响应曲线法 1.阶跃响应曲线法 在对象上人为地加 一瞬变扰动，测定 对象的响应曲线， 然后根据此响应曲 线，推求出对象的 传递函数。
缺点：被控参数的偏 差往往会超出实际生 产所允许的数值。
脉冲响应曲线法
u(t)
u(0)
t
y(t)
y(0)
t
2.脉冲响应曲线法
u(t)：矩形脉冲输入
u(t)
u
T
u1(t) t
过程控制系统
按被控对象特性
组成控制系统
控制方案
选择测量控制仪表
控制系统控制效果的好坏，在很大程度 上取决于对被控对象动态特性了解的程 度。
1.选择输入量与输出量
A.多输入单输出的被控对象
e(t) u(t)
液 位 控 制 器 给 水 控 制 阀
+
给定值 -
蒸 汽 流 量
给 水 压 力
锅炉汽 鼓
液位
液 位 变 送 器
1. 概述
若对于复杂的工艺过程，要求出其数学模 型（微分方程）很困难。复杂对象错综复 杂的相互作用可能会对结果产生估计不到 的影响，即使能用机理法得到数学模型， 但仍希望通过实验测定来验证，可采用实 验和测试方法来求取对象数学模型。 方法： 时域法
频域法 相关统计法
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
第二章2过程控制的数学模型-曲线响应
u2 (t) u1(t a)
矩形脉冲响应曲线：
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
首先确定过程数学模型的结构，然后确定数学模型的具体参数。
传递函数： （1）一阶无延 时
无自衡过程。
（2）二阶无延 时
（3）一阶有延 时
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.1 阶跃响应确定一阶过程参数 放大系数K0、时间常数T0、时延时间τ0。 t=0，曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐达稳态。
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.2 由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数 一阶时延环节响应曲线特点：
在t=0时，斜率几乎为零，之后逐渐增大到某点（拐点）后，斜率 又逐渐减小。曲线呈S形状。
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
y0 (t)
y(t) y()
y0
(t
)
0
t
t
第二章 过程控制的数学模型
2.3 响应曲线辨识过程的数学模型
1. 阶跃响应曲线的测定
利用响应曲线辨识建立数学模型是一种常用的方法。 1.1 阶跃响应曲线的测定 过程：使输入量作一阶跃变化，记录输出量随时间变化的
响应曲线。即阶跃响应曲线。
输入信号：
响应曲线：
1. 阶跃响应曲线的测定
试验时必须注意： (1) 试验测定时，被控过程处于相对稳定的工作状态。 (2) 输入的阶跃信号不可太大，也不可太小。太大，影响生产；
欠佳，就难以获得对象的动态特性参数。
2. 矩形脉冲响应曲线的测定
阶跃响应法缺陷： 过程长时间的处于较大幅值的阶跃信号
作用下，被控量变化的幅度可能会超出生 产工艺允许的范围。
用矩形脉冲作为输入信号，将响应曲线 转化为阶跃响应曲线，确定数学模型。 脉冲信号看作：
矩形脉冲响应曲线：
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
首先确定过程数学模型的结构，然后确定数学模型的具体参数。
传递函数： （1）一阶无延 时
无自衡过程。
（2）二阶无延 时
（3）一阶有延 时
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.1 阶跃响应确定一阶过程参数 放大系数K0、时间常数T0、时延时间τ0。 t=0，曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐达稳态。
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.2 由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数 一阶时延环节响应曲线特点：
在t=0时，斜率几乎为零，之后逐渐增大到某点（拐点）后，斜率 又逐渐减小。曲线呈S形状。
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
y0 (t)
y(t) y()
y0
(t
)
0
t
t
第二章 过程控制的数学模型
2.3 响应曲线辨识过程的数学模型
1. 阶跃响应曲线的测定
利用响应曲线辨识建立数学模型是一种常用的方法。 1.1 阶跃响应曲线的测定 过程：使输入量作一阶跃变化，记录输出量随时间变化的
响应曲线。即阶跃响应曲线。
输入信号：
响应曲线：
1. 阶跃响应曲线的测定
试验时必须注意： (1) 试验测定时，被控过程处于相对稳定的工作状态。 (2) 输入的阶跃信号不可太大，也不可太小。太大，影响生产；
欠佳，就难以获得对象的动态特性参数。
2. 矩形脉冲响应曲线的测定
阶跃响应法缺陷： 过程长时间的处于较大幅值的阶跃信号
作用下，被控量变化的幅度可能会超出生 产工艺允许的范围。
用矩形脉冲作为输入信号，将响应曲线 转化为阶跃响应曲线，确定数学模型。 脉冲信号看作：
东北大学过程控制系统第二章2 过程控制的数学模型-曲线响应
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.4 二阶加时延过程参数的确定
数学模型：
TC
x
(1 x)x1x
(1)
TA
T1 T2 TC
(2)
(2)
(1)
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
利用公式（1)计算T1和T2较为复杂，绘制曲线利用图解法求取T1和T2。 根据公式（1）绘制曲线见右图。
第二章 过程控制的数学模型
2.3 响应曲线辨识过程的数学模型
1. 阶跃响应曲线的测定
利用响应曲线辨识建立数学模型是一种常用的方法。 1.1 阶跃响应曲线的测定 过程：使输入量作一阶跃变化，记录输出量随时间变化的
响应曲线。即阶跃响应曲线。
输入信号：
响应曲线：
1. 阶跃响应曲线的测定
试验时必须注意： (1) 试验测定时，被控过程处于相对稳定的工作状态。 (2) 输入的阶跃信号不可太大，也不可太小。太大，影响生产；
1 0.46
20 33.5
3 1.7
25 27.2
4
5
3.7
9
30 40
21 10.4
8 10 19 26.4 50 60 5.1 2.8
15 16.5 36 371..55 70 80 1.1 0.5
第二题：
设阶跃扰动量△u=20%，某水槽的水位阶跃 响应数据见下表，用一阶惯性环节求取该液位的 传递函数。
欠佳，就难以获得对象的动态特性参数。
2. 矩形脉冲响应曲线的测定
阶跃响应法缺陷： 过程长时间的处于较大幅值的阶跃信号
作用下，被控量变化的幅度可能会超出生 产工艺允许的范围。
用矩形脉冲作为输入信号，将响应曲线 转化为阶跃响应曲线，确定数学模型。 脉冲信号看作：
被控过程数学模型
总结与展望
06
研究成果总结
01
建立了一套完整的被控过程数学模型，为实际工业过程控制提供了理 论支持。
02
针对不同类型的过程，提出了多种建模方法和技巧，提高了建模的准 确性和实用性。
03
结合实际应用案例，验证了所提出模型的可行性和有效性，为工业过 程控制提供了有效的工具。
04
针对模型参数的估计和优化问题，提出了多种参数估计和优化算法， 提高了模型参数的估计精度和优化效果。
分析结果
对验证与评估结果进行分析， 判断模型的准确性、可靠性和 有效性。
确定验证与评估方法
根据被控过程的特性和需求， 选择合适的验证与评估方法。
进行验证与评估
将实验数据输入模型，进行验 证与评估，并记录验证与评估 结果。
改进模型
根据验证与评估结果，对模型 进行必要的调整和改进，以提 高模型的准确性和可靠性。
被控过程数学模型的
04
验证与评估
模型验证方法
1 2 3
对比实验法
通过在被控过程中进行实际操作，将实验数据与 模型预测数据进行对比，以验证模型的准确性。
输入-输出法
通过输入不同的控制信号，观察被控过程的输出 响应，并与模型预测的输出进行对比，以验证模 型的准确性。
时间序列法
将被控过程的历史数据输入模型，通过比较模型 的预测输出与实际历史数据，评估模型的准确性。
线性系统模型的性质
线性系统模型具有叠加性、均匀性和时不变性等性质。叠加性是指多个输入产生的输出等 于各自输入产生的输出之和；均匀性是指系统对输入信号的放大系数是常数；时不变性是 指系统对输入信号的响应不随时间变化而变化。
线性系统模型的建立方法
建立线性系统模型的方法包括机理建模、统计建模和混合建模等。机理建模是根据系统的 物理和化学原理建立数学模型；统计建模是根据系统的输入和输出数据建立数学模型；混 合建模则是结合机理建模和统计建模的方法。
先进过程控制——被控过程的数学模型
过程中控制系统的故障及其原因，并提供正确的解决途径。
2.2 被控过程的特性
依据过程特性的不同分为自衡特性与无自衡特性、单容特性与多容特
性、振荡与非振荡特性等
2.2.1 有自衡特性和无自衡特性
当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在无人或无控制装 置的干预下，能够自动恢复到原来或新的平衡状态，则称该过程具有自衡 特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。 具有自衡特性的过程及其阶跃响应曲线
e
s
2.2.2 振荡与非振荡过程的特性
在阶跃输入作用下，输出会出现多种形式。图中，a)、b)和c)为振荡过 程，d)和e)为非振荡过程。
衰减振荡的传பைடு நூலகம்函数一般可表示为
G (s) (T Ke
2 s
s
2
2 T s 1)
( 0 1)
2.2.3 具有反向特性的过程
个容积组成时，则称为多容过程。 自平衡特性其传递函数的典型形式有： 无平衡特性其传递函数的典型形式有：
一阶惯性环节
G (s) K ( T s 1)
K (T1 s 1)(T 2 s 1)
Ke
s
一阶环节
G (s)
1
1 Ts
二阶惯性环节 一阶惯性+ 纯滞后环节 二阶惯性+ 纯滞后环节
进水量阶跃增大→水位升高→出水阀前的静压增大→出水 量逐渐增大→出水量等于进水量→水位处于新的平衡状态。
无自衡特性的过程及其阶跃响应曲线
进水量阶跃增大→水位升高→出水量不随水位升高而增大 （出水量由水泵决定）→水位一直上升。
工业生产过程一般都具有储存物料或能量的能力，其储存能力的大小 称为容量。所谓单容过程是指只有一个储存容积的过程。当被控过程由多
第2章被控过程的数学模型
第2章 被控过程的数学模型
建立过程数学模型的基本方法
2．测试法建模 测试法一般只用于建立输入输出模型。它是根据工业过程 的输入和输出实测数据进行某种数学处理后得到的模型。
施加阶跃扰动或脉冲扰动 激励
测绘输出响应曲线
工业过程
把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从外特性上测试和描述
它的动态性质，不需要深入掌握其内部机理。
第2章 被控过程的数学模型源自数学模型的表达形式与要求1. 建立数学模型的目的
在过程控制中，建立被控对象数学模型的目的主要有 以下几种： (l) 设计过程控制系统和整定控制器的参数 (2) 控制器参数的整定和系统的调试 (3) 利用数学模型进行仿真研究 (4) 进行工业过程优化 另外，设计工业过程的故障检测与诊断系统、制订大 型设备启动和停车的操作方案和设计工业过程运行人 员培训系统，等等都也需要被控过程的数学模型。
第2章 被控过程的数学模型
4）被控对象的自平衡与非自平衡特性
第2章 被控过程的数学模型 例如图中的单容水槽,其阶跃响应如右图所示。
单容过程的定义：只有一个储蓄容量的过程。
第2章 被控过程的数学模型 ②非自平衡：如下图的单容积分水槽，当进水调节阀
开度改变致使物质或能量平衡关系破坏后，不平衡量 不因被控变量的变化而改变，因而被控变量将以固定 的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上恢复 平衡。这种对象不具有自平衡特性，具有这种特性的 被控过程称为非自平衡过程，其阶跃响应如图所示。
对应上式的传递函数为：
H ( s) K G( s) e 0 s ( s) 1 Ts
第2章 被控过程的数学模型
纯滞后环节的存在使过程输 出在响应输入而发生变化的 开始时间在时间轴方向发生 了平移，但对过渡过程中输 出变化的速率和稳态值的大 小没有影响。
第二章_对象特性和建模
23
第二节 机理建模
举例
溶解槽及其 反应曲线
纯滞后时间
显然， 与皮带输送机的传送速度v和传送距 显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度 和传送距 L 有如下关系： 离L有如下关系： 有如下关系 τ = （2-16） ）
0
v
24
第二节 机理建模
x为输入量 为输入量
x (t − τ 0 ), y= 0, t ≥τ0 t ≤τ0
Y (s ) bm s m + bm −1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 s + b0 G (s ) = = X (s ) a n s n + a n−1 s n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0
（2-8） ）
13
第一节 数学模型及描述方法
对于一阶对象,由式 (2-4)两端取拉氏变换,得 对于一阶对象, (2-4)两端取拉氏变换, 两端取拉氏变换
过程的输入、 图2-1 过程的输入、输出量
3
？
第一节 数学模型及描述方法
过程的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
基础
静态数学模型
特例
动态数学模型
4
第一节 数学模型及描述方法
用于控制的数学模型（ 、 ）与用于工艺设计与分析 工艺设计与分析的数学 用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学 控制的数学模型 模型（ ）不完全相同。 模型（c）不完全相同。 一般是在工艺 流程和设备尺 寸等都确定的 情况， 情况 ， 研究过 程的输入变量 程的 输入变量 是如何影响输 出变量的。 出变量的。
对象可以用一阶微分方程式来描述, 对象可以用一阶微分方程式来描述, 但输入变量与 输出变量之间有一段时滞τ 输出变量之间有一段时滞 0
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y(t) y1(t) y2(t) y1(t) y1(t t0)
于是得到阶跃响应为
y1(t) y(t) y1(t t0)
t=0～t0 阶跃响应曲线与矩形脉冲
响应曲线重合
t=0～2t0 时， y1(2t0 ) y(2t0) y1(t0)
三、常用数学模型
在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构
第二章 被控过程的数学模型
第一节 概述 第二节 解析法建立过程的数学模型 第三节 响应曲线辨识过程的数学模型 第四节 相关函数法辨识过程的数学模型
重点内容
对象模型（连续、离散） 理论建模 实验建模 混合建模
第一节 概述
过程控制系统的品质是由组成系统的各个环节的结构 及其特性所决定。
基本概念：
对于大多数过程，数学模型 和传递函数分别为：
一阶惯性
G(s) K0 T0s 1
对于某些无自衡特性过程， 其对应的传递函数为：
G(s) 1 T0 s
一阶惯性+纯滞后 G(s) K0 e-s T0s 1
G(s) 1 e-s T0 s
二阶惯性
G(s)
K0
(T1s 1)(T2s 1)
G(s) 1 T1s(T2s 1)
q 2
h R2
带入增量式中可得单容液位过程的微分方程增量式
dh R2 A dt h R2q1
进行拉普拉斯变换， 并写成传递函数形式
G(s) H (s) R2 K Q1(s) R2Cs 1 Ts 1
其中：
T R2C 为被控过程的时间常数
K R2 为被控过程的放大系数
C 为被控过程的容量系数，或称 过程容量，这里 C A
过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小
第二节 解析法建立过程的数学模型
解析法建模的一般步骤
1） 明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量； 2） 依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写
静态方程或动态方程； 3） 消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程； 4） 将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分（差分）
（二）由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数
曲线特点：t=0时曲线斜率几乎 为零，之后斜率增大，到某点后 斜率又减小，曲线呈S形。
1. 作图法确定模型参数
对象
G(s) K0 e-s T0s 1
参数K0
K0
y() x0
参数T0和τ ：过D点作曲线的切线，该切线与y(∞)、X轴
线交于A点和B点，则BA在时间轴上的投影为C。
0 可以按 T0
t1 t2 2.16n
其中n可以根据的
t1 t2
大小由下表确定
近似计算
n1
234
5
67
8 10 12 14
t1/t2 0.32 0.46 0.53 0.58 0.62 0.65 0.67 0.68 0.71 0.73 0.75
5
5
高阶过程的n与
t1 t2
的关系
（4）确定二阶时延环节的参数
建立过程数学模型的基本方法：
解析法：
又称为机理演绎法 ，根据过程的内在机理，运用已知的 静态和动态物料（能量）平衡关系，用数学推理的方法建立 过程的数学模型。 实验辨识法： 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、输 出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计建立过程的数学 模型。
混合法: 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。首先通
二阶惯性+纯滞后 G(s)
K0
e- s
(T1s 1)(T2s 1)
G(s)
1
e- s
T1s(T2s 1)
注意： 对于更高阶或其它较复杂的系统，应在保证辨识精度的前提下， 数学模型结构应尽可能简单
（一）由阶跃响应曲线确定一阶过程的参数
曲线特点：t=0时曲线斜率最大， 之后斜率减小，逐渐上升至稳态值。
2、参数模型：微分方程、传递函数、脉冲 响应函数、状态方程、差分方程等，即都是 用数学方程式和函数表示
被控过程分为：
1、多输入、单输出
如图:
2、多输入、多输出
单回路控制系统框图
过程通道：
被控过程输入量与输出量之间的信号联系
控制通道：
控制作用与被控量之间的信号联系
扰动通道：
扰动作用与被控量之间的信号联系
1. 直角坐标图解法
对象
G(s) K0 T0s 1
y(t) K0 x0 (1 et /T0 )
参数K0
K0
y() x0
参数T0：过原点作曲线的切线，该切线与y(∞)交于A点， 则OA在时间轴上的投影即为时间常数
T0 的确定还可以使用计算法：
} y(t) K0 x0 (1 et /T0 )
y(t) y()(1 et /T0 )
y(t) |t y() K0 x0
令t分别为 T0 2 T0 2T0 时，则有 y(T0 /2) 39% y()
y(T0 ) 63% y()
y(2T0 ) 86.5% y()
在阶跃响应曲线上求得 三个状态下的时间t1、t2、t3，计算出 T0
（二）由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数
2. 计算法确定模型参数 在曲线上选取四个点：
（三）由阶跃响应曲线确定二阶过程的参数
T1和T2的确定采用两点法 取两点： 求解方程：
二阶惯性
G(s)
K0
(T1s 1)(T2s 1)
注意：用这种方法确定T1和T2时，应满足
0.32 t1 t2
0.46
试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。 在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法； 在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最为常用。
响应曲线法
响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入 产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应 曲线或输出数据，再根据输入－输出数据，求取过程的输入 －输出之间的数学关系。响应曲线法又分为阶跃响应曲线法 和方波响应曲线法
一、 阶跃响应曲线法
注意事项 1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态； 2）在相同条件下应重复多做几次试验 ，减少随机干扰的影响
3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的 非线性程度； 4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段 时间再做第二次试验 ；
5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利 影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影 响试验结果。
解 根据动态物料平衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位
时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率
则有：
q1
ห้องสมุดไป่ตู้
q2
A dh dt
写为增量形式为
dh q1 q2 A dt
其中 q1, q2, h 分别为偏离某平衡状态的增量，A为贮罐的截面积。
假定
q 2与h
近似成正比而与阀门2的液阻 R2 成反比，即
方程或传递函数（脉冲传递函数）等；
被控过程的特点：
1、被控量 的变化往往 是不震荡、 单调的、有 滞后和惯性 的。
如图：
过程的阶跃响应曲线 a)
2、有的过 程响应也 可能不断 变化
如图：
过程的阶跃响应曲 b)
被控过程的自平衡能力和无自平衡能力
自平衡能力：
过程在输入量作用下，平衡状态被破坏后，无须人或仪器的干扰，依 靠过程自身能力，逐渐恢复达到另一新的平衡状态，此特性称为自平 衡能力
0 τ0
t
❖ 有些对象容量滞后与
纯滞后同时存在，很难严格 Δh2（∞）
区分。常把两者合起来，统
称为滞后时间τ
τ=τ o +τc
0 τ0 τc
T0
t
例2-5 无自衡能力的双容过程 分别对水箱1和水箱2列写物料平衡方程，可以得到
无自平衡能力的多容对象的传递函数为：
若多容无自平衡对象具有纯迟延时，则
第三节 响应曲线辨识过程的数学模型
Q2 T1
T2
220V
Q1
图2-5 电加热器温度对象
根据动态能量平衡关系
Q1
Q2
C
dT1 dt
Q2可表示为
Q2
1 R
(T1
T2 )
拉氏变换
Q1(s)
C
s
T1(s)
1 R
T1(s)
传递函数为
W0 (s)
T1 ( s) Q1 ( s)
R RCs 1
K Ts 1
例2-3 无自衡单容过程
Q1 Q2
h 定量泵
图2-6 单容无自衡液位过程 及其相应曲线
根据动态物料平衡关系
Q1
Q2
C
dh dt
Q2 常数
写成增量的形式为：
dh Q1 C dt
传递函数为
W0 (s)
H (s) Q1 ( s)
1 Cs
1 Ta s
二、多容过程的建模
以自衡特性的双容过 程为例，如图设q1为过 程 输入量，第二个液位槽的 液位h2为过程输出量， 若不计第一个与第二个液 位槽之间液体输送管道所 形成的时间延迟，试求 q解1与h根2之据间动的态数平学衡关关系系。，
与单容的自平衡阶跃响应过程相比较
二阶过程的阶跃响应曲线特点：被控参数的变化速度不
是一开始就最大，而是要经过一段延时时间后才达到最大
值，这段时延时间称为容量时延。
双容过程也可以用有时延的单容过程来近似：在S形曲
线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反应
曲线的起点，
∆h2(t)=
-( t－τc)
变化后，q0需流经长度为 l 的管道后才能进入贮罐而使液位发生变化。
于是得到阶跃响应为
y1(t) y(t) y1(t t0)
t=0～t0 阶跃响应曲线与矩形脉冲
响应曲线重合
t=0～2t0 时， y1(2t0 ) y(2t0) y1(t0)
三、常用数学模型
在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构
第二章 被控过程的数学模型
第一节 概述 第二节 解析法建立过程的数学模型 第三节 响应曲线辨识过程的数学模型 第四节 相关函数法辨识过程的数学模型
重点内容
对象模型（连续、离散） 理论建模 实验建模 混合建模
第一节 概述
过程控制系统的品质是由组成系统的各个环节的结构 及其特性所决定。
基本概念：
对于大多数过程，数学模型 和传递函数分别为：
一阶惯性
G(s) K0 T0s 1
对于某些无自衡特性过程， 其对应的传递函数为：
G(s) 1 T0 s
一阶惯性+纯滞后 G(s) K0 e-s T0s 1
G(s) 1 e-s T0 s
二阶惯性
G(s)
K0
(T1s 1)(T2s 1)
G(s) 1 T1s(T2s 1)
q 2
h R2
带入增量式中可得单容液位过程的微分方程增量式
dh R2 A dt h R2q1
进行拉普拉斯变换， 并写成传递函数形式
G(s) H (s) R2 K Q1(s) R2Cs 1 Ts 1
其中：
T R2C 为被控过程的时间常数
K R2 为被控过程的放大系数
C 为被控过程的容量系数，或称 过程容量，这里 C A
过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小
第二节 解析法建立过程的数学模型
解析法建模的一般步骤
1） 明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量； 2） 依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写
静态方程或动态方程； 3） 消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程； 4） 将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分（差分）
（二）由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数
曲线特点：t=0时曲线斜率几乎 为零，之后斜率增大，到某点后 斜率又减小，曲线呈S形。
1. 作图法确定模型参数
对象
G(s) K0 e-s T0s 1
参数K0
K0
y() x0
参数T0和τ ：过D点作曲线的切线，该切线与y(∞)、X轴
线交于A点和B点，则BA在时间轴上的投影为C。
0 可以按 T0
t1 t2 2.16n
其中n可以根据的
t1 t2
大小由下表确定
近似计算
n1
234
5
67
8 10 12 14
t1/t2 0.32 0.46 0.53 0.58 0.62 0.65 0.67 0.68 0.71 0.73 0.75
5
5
高阶过程的n与
t1 t2
的关系
（4）确定二阶时延环节的参数
建立过程数学模型的基本方法：
解析法：
又称为机理演绎法 ，根据过程的内在机理，运用已知的 静态和动态物料（能量）平衡关系，用数学推理的方法建立 过程的数学模型。 实验辨识法： 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、输 出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计建立过程的数学 模型。
混合法: 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。首先通
二阶惯性+纯滞后 G(s)
K0
e- s
(T1s 1)(T2s 1)
G(s)
1
e- s
T1s(T2s 1)
注意： 对于更高阶或其它较复杂的系统，应在保证辨识精度的前提下， 数学模型结构应尽可能简单
（一）由阶跃响应曲线确定一阶过程的参数
曲线特点：t=0时曲线斜率最大， 之后斜率减小，逐渐上升至稳态值。
2、参数模型：微分方程、传递函数、脉冲 响应函数、状态方程、差分方程等，即都是 用数学方程式和函数表示
被控过程分为：
1、多输入、单输出
如图:
2、多输入、多输出
单回路控制系统框图
过程通道：
被控过程输入量与输出量之间的信号联系
控制通道：
控制作用与被控量之间的信号联系
扰动通道：
扰动作用与被控量之间的信号联系
1. 直角坐标图解法
对象
G(s) K0 T0s 1
y(t) K0 x0 (1 et /T0 )
参数K0
K0
y() x0
参数T0：过原点作曲线的切线，该切线与y(∞)交于A点， 则OA在时间轴上的投影即为时间常数
T0 的确定还可以使用计算法：
} y(t) K0 x0 (1 et /T0 )
y(t) y()(1 et /T0 )
y(t) |t y() K0 x0
令t分别为 T0 2 T0 2T0 时，则有 y(T0 /2) 39% y()
y(T0 ) 63% y()
y(2T0 ) 86.5% y()
在阶跃响应曲线上求得 三个状态下的时间t1、t2、t3，计算出 T0
（二）由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数
2. 计算法确定模型参数 在曲线上选取四个点：
（三）由阶跃响应曲线确定二阶过程的参数
T1和T2的确定采用两点法 取两点： 求解方程：
二阶惯性
G(s)
K0
(T1s 1)(T2s 1)
注意：用这种方法确定T1和T2时，应满足
0.32 t1 t2
0.46
试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。 在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法； 在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最为常用。
响应曲线法
响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入 产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应 曲线或输出数据，再根据输入－输出数据，求取过程的输入 －输出之间的数学关系。响应曲线法又分为阶跃响应曲线法 和方波响应曲线法
一、 阶跃响应曲线法
注意事项 1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态； 2）在相同条件下应重复多做几次试验 ，减少随机干扰的影响
3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的 非线性程度； 4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段 时间再做第二次试验 ；
5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利 影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影 响试验结果。
解 根据动态物料平衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位
时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率
则有：
q1
ห้องสมุดไป่ตู้
q2
A dh dt
写为增量形式为
dh q1 q2 A dt
其中 q1, q2, h 分别为偏离某平衡状态的增量，A为贮罐的截面积。
假定
q 2与h
近似成正比而与阀门2的液阻 R2 成反比，即
方程或传递函数（脉冲传递函数）等；
被控过程的特点：
1、被控量 的变化往往 是不震荡、 单调的、有 滞后和惯性 的。
如图：
过程的阶跃响应曲线 a)
2、有的过 程响应也 可能不断 变化
如图：
过程的阶跃响应曲 b)
被控过程的自平衡能力和无自平衡能力
自平衡能力：
过程在输入量作用下，平衡状态被破坏后，无须人或仪器的干扰，依 靠过程自身能力，逐渐恢复达到另一新的平衡状态，此特性称为自平 衡能力
0 τ0
t
❖ 有些对象容量滞后与
纯滞后同时存在，很难严格 Δh2（∞）
区分。常把两者合起来，统
称为滞后时间τ
τ=τ o +τc
0 τ0 τc
T0
t
例2-5 无自衡能力的双容过程 分别对水箱1和水箱2列写物料平衡方程，可以得到
无自平衡能力的多容对象的传递函数为：
若多容无自平衡对象具有纯迟延时，则
第三节 响应曲线辨识过程的数学模型
Q2 T1
T2
220V
Q1
图2-5 电加热器温度对象
根据动态能量平衡关系
Q1
Q2
C
dT1 dt
Q2可表示为
Q2
1 R
(T1
T2 )
拉氏变换
Q1(s)
C
s
T1(s)
1 R
T1(s)
传递函数为
W0 (s)
T1 ( s) Q1 ( s)
R RCs 1
K Ts 1
例2-3 无自衡单容过程
Q1 Q2
h 定量泵
图2-6 单容无自衡液位过程 及其相应曲线
根据动态物料平衡关系
Q1
Q2
C
dh dt
Q2 常数
写成增量的形式为：
dh Q1 C dt
传递函数为
W0 (s)
H (s) Q1 ( s)
1 Cs
1 Ta s
二、多容过程的建模
以自衡特性的双容过 程为例，如图设q1为过 程 输入量，第二个液位槽的 液位h2为过程输出量， 若不计第一个与第二个液 位槽之间液体输送管道所 形成的时间延迟，试求 q解1与h根2之据间动的态数平学衡关关系系。，
与单容的自平衡阶跃响应过程相比较
二阶过程的阶跃响应曲线特点：被控参数的变化速度不
是一开始就最大，而是要经过一段延时时间后才达到最大
值，这段时延时间称为容量时延。
双容过程也可以用有时延的单容过程来近似：在S形曲
线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反应
曲线的起点，
∆h2(t)=
-( t－τc)
变化后，q0需流经长度为 l 的管道后才能进入贮罐而使液位发生变化。