第4章被控对象数学模型

过程控制
第四章 被控对象的数学模型
4.1 被控对象的数学模型
目
录
4.2 被控对象数学模型的建立 4.3 机理法建立被控对象的数学模型 4.4 实验法建立被控对象的数学模型
4.1 被控对象的数学模型
要实现过程控制，首先要了解和掌握被控对象的过程特性，而用数学 语言对被控对象的数学模型特性进行描述。
令：T=C（积分时间常数）
G(s) =
H (s) 1 = Q1 ( s ) Ts
无自平衡单容过程阶跃响应曲线如图所示。
当过程具有纯滞后时：
自平衡过程：
G (s) =
H ( s) K e −τs = Q1 ( s ) Ts + 1
τ：过程的纯滞后时间
无自平衡过程： G ( s ) = H ( s ) = 1 e −τs
h1 − h2 R1
）
解：
q1 − q2 = C1
q2 =
dh1 dt
① ② ③ ④
h1 − h2 R1
q2 − q3 = C2
dh2 dt
q3 =
h dh q2 = 2 + C2 2 ③④得： R2 dt
h dh dh + C2 2 ) = C1 1 R2 dt dt
− − T1 T2 T1 h2 (t ) = Ka[1 + e − e T2 ] T2 − T1 T2 − T1 t t
典型的阶跃响应函数： 典型的阶跃响应曲线: 典型的阶跃响应曲线:
h2 (t )
qi
a t
例题：试分析下图所示串联液体贮槽对象的动态特性，写出以q1的变化量为输 入、液位h2的变化量为输出的微分方程式及传递函数表达式。图中，C1、C2分 别为贮槽1及贮槽2的截面积，阀门的阻力系数分别为R1、R2。 （提示： q2 =
h(0) = Ka (1 − e ) = 0
− 0 T
−
t T
典型的阶跃响应曲线 qi
a
h(∞) = Ka (1 − e
−
∞ T
) = Ka
h(T ) = Ka (1 − e −1 ) = 0.632h(∞)
K――放大系数 放大系数，在阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值 放大系数 时，输出变化量与输入变化量之比，表征对象的稳态特性 稳态特性。 稳态特性
4.4 实验法建立被控对象的数学模型
在工业生产过程中，对象特性往往比较复杂，很难得到对象特性的 数学描述；即使得到也是高阶微分方程或偏微分方程，难以求解 ， 因此常用实验方法来分析对象特性。 所谓实验测取对象特性， 就是在所研究的对象上施加人为输入作用(输入量)， 用仪表测取并记录表征对象特性的物理量(输出量)随时间变化的规律， 得到一系列实验数据或曲线(非参量模型)， ( ) 有时再加以必要的数据处理（得到参量模型）。通常称为系统辨识 系统辨识。 系统辨识 实验方法主有以下几种： 1、加专门信号 ① 时域方法 例如：阶跃反应曲线法、矩形脉冲法 ② 频域方法 例如：正弦波、梯形波 ③ 统计相关法 （施加随机信号） 例如：白噪声 2、不加专门信号：正常操作时记录信号
q0 = H / R
1、自平衡单容过程（一阶线性对象）
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）
qi
q0
C
R
h
已知： 该对象的输入量为qi 解： 根据物料平衡方程： 单位时间流入水槽的物料 — 单位时间流出水槽的物料 ＝水槽物料储藏量的变化率 输出量（被控变量）为液位h
dV q −q = i o dt
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次(n≥m)
通常n=1，称该对象为一阶对象模型 一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型 二阶对象模型。 一阶对象模型 二阶对象模型 非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。例如“阶跃响应曲线、脉冲响应曲 线等。 优点：形象、清晰、定性。 缺点：直接利用来分析系统较困难（必要时须进行数学处理获得参量模型）。
Q1 ( s ) Ts
带纯滞后的自平衡过程的阶跃响应：
K −τs G (s) = e Ts + 1 +1
3、多容过程（二阶线性对象） 多容过程（二阶线性对象）
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型） 已知： 该对象的输入量为qi 输出量为液位h2 h1
qi
R1 C1
q1
（同样利用物料平衡方程）
dh T + h = K ⋅ qi dt
TsH ( s ) + H ( s ) = K ⋅ Qi (s )
对上式作拉氏变换：
一阶对象的传递函数：
H ( s) K = Qi (s ) Ts + 1
如果qi为幅值为a的阶跃响应，则
该对象的阶跃响应：
Qi (s ) =
∴
K Ka Qi (s ) = Ts + 1 s (Ts + 1) Ka h(t ) = L−1[ H ( s )] = L−1[ ] = L−1[ Ka − KaT ] s (Ts + 1) s Ts + 1 H (s) =
t 1 T − = Ka * L [( − )] = Ka(1 − e T ) s Ts + 1
a s
−1
一阶线性对象（总结）
典型的微分方程 典型的传递函数 典型的阶跃响应函数
dh T + h = K ⋅ qi dt
H ( s) K = Qi (s ) Ts + 1
微分方程的解
h(t ) = Ka (1 − e )
·二阶线性对象（总结） 二阶线性对象（ 二阶线性对象 总结）
典型的微分方程：
d 2 h2 dh T1T2 + (T1 + T2 ) 2 + h2 = K ⋅ qi dt 2 dt
典型的传递函数：
H 2 (s) K K = = Qi ( s ) T1T2 s 2 + (T1 + T2 ) s + 1 (T1s + 1)(T2 s + 1)
稳态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。 数学模型的表示方法：
参量模型：通过数学方程式表示 常用的描述形式：微分方程、传递函数、差分方程等 参量模型的微分方程的一般表达式：
y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) + … + a1 y ′(t ) + a0 y (t ) = bm x ( m ) (t ) + … + b1 x ′(t ) + b0 x (t )
d 2 h2 dh T1T2 + (T1 + T2 ) 2 + h2 = K ⋅ q i dt 2 dt
传递函数：
H 2 (s) K K = = Qi ( s ) T1T2 s 2 + (T1 + T2 ) s + 1 (T1s + 1)(T2 s + 1)
传递函数：
H 2 (s) K K = = Qi ( s ) T1T2 s 2 + (T1 + T2 ) s + 1 (T1s + 1)(T2 s + 1)
dh qi − q1 = C1 1 槽1： dt
h (q1 = 1 ) R1
h2
C2
R2
qo
dh2 槽2： q1 − qo = C2 dt
h2 (qo = ) R2
d 2 h2 dh R1C1 R2 C 2 + ( R1C1 + R2 C 2 ) 2 + h2 = R2 ⋅ qi 联立方程求解： dt 2 dt 令：T1 = R1C1 T2 = R2 C2 K = R2
②④代入③得：
h1 − h2 h2 dh − = C2 2 R1 R2 dt
d 2 h2 dh R1C1 R2 C 2 + ( R1C1 + R2 C 2 + R2 C1 ) 2 + h2 = R2 ⋅ q1 dt 2 dt H 2 (s) R2 = Q1 ( s) R1C1 R2C2 s 2 + ( R1C1 + R2C2 + R2C1 ) s + 1
t
h(t)
0.632h(∞)
K越大，表示输入量对输出量的影响越大。 T――时间常数 时间常数，在阶跃输入作用下，对象输出达到最终稳态变 时间常数 化量的63.2％所需要的时间，时间常数T是反映响应变化 快慢或响应滞后的重要参数，表征对象的动态特性。用T 表示的响应滞后称阻容滞后（容量滞后）。
h(∞)
T
T大，响应速度慢，控制不及时； T小，响应速度快，控制及时，T太小易引起振荡。
2．无自平衡单容过程
受扰过程的平衡状态被破坏后，在没有操作人员或仪表等干预下，依靠 被控过程自身能力不能重新回到平衡状态。
dh Q1 − Q2 = C dt
因为∆Q2=0，则可得：
d ∆h C = ∆Q1 dt
H ( s) 1 G (s) = = Q1 ( s ) Cs 1 = Ts
Qi (s ) = a s
阶跃响应函数：
h2 (t ) = L−1[ H 2 ( s )] = L−1[
−1
Ka ] s (T1 s + 1)(T2 s + 1)
T12 T22 1 1 1 = L [ Ka( + − )] s T2 − T1 T1 s + 1 T2 − T1 T2 s + 1
− − T1 T2 T1 = Ka[1 + e − e T2 ] T2 − T1 T2 − T1 t t
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
问题：处于平衡状态的对象加入干扰以后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？