第2章 被控过程特性及其数学模型
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第二章 被控对象的数学模型
Δh:液位的增量 m
dV dh Q1 Q2 A dt dt
Δu1：阀门1开度增量 m2
ΔQ1＝ Ku• Δu1
Ku：阀门1流量系数 m/s
Q2 A 2gh K h
h R Q2
Rs: 液阻 S/m2 h0+Δ h h0 Q20 Q20+Δ Q2
h dh dh ku u1 A C R dt dt
阶跃响应曲线法 1.阶跃响应曲线法 在对象上人为地加 一瞬变扰动，测定 对象的响应曲线， 然后根据此响应曲 线，推求出对象的 传递函数。
缺点：被控参数的偏 差往往会超出实际生 产所允许的数值。
脉冲响应曲线法
u(t)
u(0)
t
y(t)
y(0)
t
2.脉冲响应曲线法
u(t)：矩形脉冲输入
u(t)
u
T
u1(t) t
过程控制系统
按被控对象特性
组成控制系统
控制方案
选择测量控制仪表
控制系统控制效果的好坏，在很大程度 上取决于对被控对象动态特性了解的程 度。
1.选择输入量与输出量
A.多输入单输出的被控对象
e(t) u(t)
液 位 控 制 器 给 水 控 制 阀
+
给定值 -
蒸 汽 流 量
给 水 压 力
锅炉汽 鼓
液位
液 位 变 送 器
1. 概述
若对于复杂的工艺过程，要求出其数学模 型（微分方程）很困难。复杂对象错综复 杂的相互作用可能会对结果产生估计不到 的影响，即使能用机理法得到数学模型， 但仍希望通过实验测定来验证，可采用实 验和测试方法来求取对象数学模型。 方法： 时域法
频域法 相关统计法
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
3第二章 过程特性及其数学模型
假定Q1的变化量用ΔQ1表示，h的变化量用Δh表示。在一定的ΔQ1下， h的变化情况如图2-12所示。
图2-12 水槽液位的变化曲线
在重新达到稳定状态后，一定的ΔQ1对应着一定的Δh值， 令K等于Δh与ΔQ1之比，用数学关系式表示，即
h K Q1
或
h KQ1
h K Q1
或
周 次：第 2周，第 3 次课
教学内容：
第二章 过程特性及其数学模型：第一节 化工
过程的特点及其描述方法，第二节 对象数学模 型的建立，第三节 描述对象特性的参数
教学目的要求 ：
了解化工过程的特点及其描述方法，了解机理建 模和实验建模；掌握表征被控对象特性的三个参 数——放大系数K、时间常数T、滞后时间τ。
2．矩形脉冲法
当对象处于稳定工况下，在时间 t0 突然加一阶跃干扰， 幅值为A，到t1时突然除去阶跃干扰，这时测得的输出量y随 时间的变化规律，称为对象的矩形脉冲特性，而这种形式的 干扰称为矩形脉冲干扰，如图2-9所示。
图2-9 矩形脉冲特性曲线
用矩形脉冲干扰来测取对象特性时，由于加在对象上的 干扰，经过一段时间后即被除去，因此干扰的幅值可取得比 较大，以提高实验精度，对象的输出量又不致于长时间地偏 离给定值，因而对正常生产影响较小。目前，这种方法也是 测取对象动态特性的常用方法之一。 除了应用阶跃干扰与矩形脉冲干扰作为实验测取对象 动态特性的输入信号型式外，还可以采用矩形脉冲波和正 弦信号 ( 分别图团 2-10与图 2-11) 等来测取对象的动态特性， 分别称为矩形脉冲波法与频率特性法。
（4）新型控制方案及控制算法的确定 在用计算机构成一些新型控制系统时，往往离不开被 控对象的数学模型。 (5) 计算机仿真与过程培训系统 利用开发的数学模型和系统仿真技术，使操作人员有 可能在计算机上对各种控制策略进行定量的比较与评定， 有可能在计算机上仿效实际的操作，从而高速、安全、低 成本地培训工程技术人员和操作工人，有可能制定大型设 备启动和停车的操作方案。 (6)设计工业过程的故障检测与诊断系统 利用开发的数学模型可以及时发现工业过程中控制系 统的故障及其原因，并能提供正确的解决途径。
图2-12 水槽液位的变化曲线
在重新达到稳定状态后，一定的ΔQ1对应着一定的Δh值， 令K等于Δh与ΔQ1之比，用数学关系式表示，即
h K Q1
或
h KQ1
h K Q1
或
周 次：第 2周，第 3 次课
教学内容：
第二章 过程特性及其数学模型：第一节 化工
过程的特点及其描述方法，第二节 对象数学模 型的建立，第三节 描述对象特性的参数
教学目的要求 ：
了解化工过程的特点及其描述方法，了解机理建 模和实验建模；掌握表征被控对象特性的三个参 数——放大系数K、时间常数T、滞后时间τ。
2．矩形脉冲法
当对象处于稳定工况下，在时间 t0 突然加一阶跃干扰， 幅值为A，到t1时突然除去阶跃干扰，这时测得的输出量y随 时间的变化规律，称为对象的矩形脉冲特性，而这种形式的 干扰称为矩形脉冲干扰，如图2-9所示。
图2-9 矩形脉冲特性曲线
用矩形脉冲干扰来测取对象特性时，由于加在对象上的 干扰，经过一段时间后即被除去，因此干扰的幅值可取得比 较大，以提高实验精度，对象的输出量又不致于长时间地偏 离给定值，因而对正常生产影响较小。目前，这种方法也是 测取对象动态特性的常用方法之一。 除了应用阶跃干扰与矩形脉冲干扰作为实验测取对象 动态特性的输入信号型式外，还可以采用矩形脉冲波和正 弦信号 ( 分别图团 2-10与图 2-11) 等来测取对象的动态特性， 分别称为矩形脉冲波法与频率特性法。
（4）新型控制方案及控制算法的确定 在用计算机构成一些新型控制系统时，往往离不开被 控对象的数学模型。 (5) 计算机仿真与过程培训系统 利用开发的数学模型和系统仿真技术，使操作人员有 可能在计算机上对各种控制策略进行定量的比较与评定， 有可能在计算机上仿效实际的操作，从而高速、安全、低 成本地培训工程技术人员和操作工人，有可能制定大型设 备启动和停车的操作方案。 (6)设计工业过程的故障检测与诊断系统 利用开发的数学模型可以及时发现工业过程中控制系 统的故障及其原因，并能提供正确的解决途径。
第2章 被控对象的数学模型CAI
2.2 对象数学模型的建立
假设两只贮槽的截面积都是A，则有： 假设两只贮槽的截面积都是 ，则有： (Q1−Q12)dt=Adh1 (Q12−Q2)dt=Adh2 改写式（ 改写式（2-18）和式（2-19） ）和式（ ）
dh1 1 = (Q1 − Q12 ) dt A
(2-18) (2-19)
由式（ 由式（2-21）解得 ）
d 2 h2 dh2 AR1 AR2 + ( AR1 + AR2 ) + h2 = R2 Q1 （2-25） 2 ） dt dt 改写成 d 2 h2 dh2 T1T2 + (T1 + T2 ) + h2 = KQ1 （2-26） ） dt dt 式中， 第一只贮槽的时间常数； 式中，T1=AR1—第一只贮槽的时间常数；T2=AR2—第二只 第一只贮槽的时间常数 第二只 贮槽的时间常数； 整个对象的放大系数。 贮槽的时间常数；K=R2—整个对象的放大系数。 整个对象的放大系数 这是描述串联贮槽对象特性的一个二阶常系数微分方程， 这是描述串联贮槽对象特性的一个二阶常系数微分方程， 说明串联贮槽对象是一个二阶对象。 说明串联贮槽对象是一个二阶对象。
第2章 被控对象的数学模型 章
2.1 被控对象的特点及其描述方法 2.2 对象数学模型的建立 2.3 描述对象的特性参数
第2章 被控对象的数学模型 章
2.1 对象的特点及其描述方法
1．数学模型 ．
♦自动控制系统由被控对象、测量变送装置、控 自动控制系统由被控对象、测量变送装置、 制器和执行器组成， 制器和执行器组成，系统的控制质量与组成系统的 每一个环节的特性都有着密切关系。被控对象特性 每一个环节的特性都有着密切关系。被控对象特性 对控制质量影响最大。 对控制质量影响最大。 ♦自动控制系统的设计过程： 自动控制系统的设计过程： 设计过程 了解对象特性及其内部规律 根据工艺对控制 质量的要求 设计合理的控制系统 选择合适的 被控变量和操纵变量 选用合适的测量元件及控 自动控制系统。 制器 自动控制系统。
第二章 被控对象的数学模型
或表示为 式中
Ty' (t ) y(t ) Kx(t ) a1 1 T K a0 a0
第二节
对象数学模型的建立
一、建模目的 1 控制系统的方案设计
2
3 4
控制系统的调试和控制器参数的确定
制定工业过程操作优化方案 新型控制方案及控制算法的确定
5
6
建立计算机仿真与过程培训系统
设计工业过程的故障检测与诊断系统
在允许的范围内，多数化工对象可忽略输入项的导数 项，因此可表示为：
an y ( n) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y' (t ) a0 y(t ) x(t )
一个对象如果可以用一个一阶微分方程式描述其特 性（通常称一阶对象）则可表示为：
a1 y' (t ) a0 y(t ) x(t )
在出水阀开度不变的情况下，随着ｈ的变化，Ｑ２也会变 化。ｈ越大，静压力越大，Ｑ２也会越大
如果Ｑ２变化量很微小，可近似认为Ｑ２与h成正比，与出水阀的阻 力系数RS成反比, 用式子表示为
h Q2 RS
将（2）式代入（1） 式，得
整理后得 令
( 2) (3) ( 4) (5) ( 6) (7 )
h (Q1 )dt Adh RS dh ARS h RS Q1 dt 时间常数 T ARS K RS
L 0 v
从测量方面看，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等 原因也会造成传递滞后。下图为一个蒸汽直接加热器。输入量 蒸汽量；输出量 出口管道的溶液温度，测温点离槽的距离为 Ｌ
例子
相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度Ｔ要经过 时间τｏ后才开始变化
下图为有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线。X为输入量，y(t) 为无纯滞后时的输出量， yτ (t)为有纯滞后时的输出量
Ty' (t ) y(t ) Kx(t ) a1 1 T K a0 a0
第二节
对象数学模型的建立
一、建模目的 1 控制系统的方案设计
2
3 4
控制系统的调试和控制器参数的确定
制定工业过程操作优化方案 新型控制方案及控制算法的确定
5
6
建立计算机仿真与过程培训系统
设计工业过程的故障检测与诊断系统
在允许的范围内，多数化工对象可忽略输入项的导数 项，因此可表示为：
an y ( n) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y' (t ) a0 y(t ) x(t )
一个对象如果可以用一个一阶微分方程式描述其特 性（通常称一阶对象）则可表示为：
a1 y' (t ) a0 y(t ) x(t )
在出水阀开度不变的情况下，随着ｈ的变化，Ｑ２也会变 化。ｈ越大，静压力越大，Ｑ２也会越大
如果Ｑ２变化量很微小，可近似认为Ｑ２与h成正比，与出水阀的阻 力系数RS成反比, 用式子表示为
h Q2 RS
将（2）式代入（1） 式，得
整理后得 令
( 2) (3) ( 4) (5) ( 6) (7 )
h (Q1 )dt Adh RS dh ARS h RS Q1 dt 时间常数 T ARS K RS
L 0 v
从测量方面看，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等 原因也会造成传递滞后。下图为一个蒸汽直接加热器。输入量 蒸汽量；输出量 出口管道的溶液温度，测温点离槽的距离为 Ｌ
例子
相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度Ｔ要经过 时间τｏ后才开始变化
下图为有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线。X为输入量，y(t) 为无纯滞后时的输出量， yτ (t)为有纯滞后时的输出量
2 被控过程的数学模型
第二章被控过程的数学模型¾过程建模的基本概念¾单容过程的建模¾多容过程的建模¾广义对象特性参数及其对过渡过程影响第一节过程建模的基本概念数学模型的作用设计过程控制系统，整定调节器参数 指导生产工艺及其设备的设计与操作 对被控过程进行仿真研究建立过程数学模型的方法机理建模辨识建模过程对象的特性自衡过程过程在扰动作用下，其平衡状态被破坏后，不需操作人员或仪表的干预，依靠其自身重新恢复平衡的过程。
无自衡过程过程在扰动作用下，其平衡状态被破坏后，在没有操作人员或仪表的干预下，依靠其自身能力不能重新恢复平衡的过程。
o K 对控制品质的影响主要反映在静态，愈大，操作变量对被控变量的影响愈灵敏，对干扰的补偿能力越强，有利于克服干扰，减小余差。
o K f K 对控制品质的影响也反映在静态，反映了扰动对被控变量影响的灵敏程度，愈大，影响显著，余差也越大。
f K f K 所以，设计控制系统时应合理选择操作变量，使较大，较小，系统具有很强的抗干扰能力。
但也不能太大，否则过于灵敏，过程不易控制，难以达到稳定。
o K o K 放大系数K及其影响时间常数T及其影响定义：在阶跃输入作用下，对象的输出保持以初始速度变化而达到最终稳态值所需要的时间，反映了响应速度的快慢。
对于干扰通道，则时间常数越大，干扰对被控变量影响越迟钝，易克服干扰而获得较高的控制质量。
f T 对于控制通道，若时间常数太大，则响应速度慢，控制作用不及时，易引起较大超调，过渡过程时间长。
反之，则控制质量易保证。
但时间常数过小，也易引起振荡，使系统稳定性降低。
o Tτ纯滞后时间及其影响实际对象由于多容量的存在会使响应速度变慢，特别是初始响应大大延迟，在动态特性上可近似为纯滞后。
控制通道的存在对控制不利，要隔时间后才有作用，将使被控量超调增大，控制质量恶化，因此必须尽量减少和避免滞后的影响。
o τo τo τ的影响不同于，滞后使干扰作用被推迟了时间进入系统，对过渡过程影响不大。
第2章被控过程的数学模型.
21
对于上述水槽而言，在起始稳定平衡工况下， 有 H H0 ， Qi 0 Qo 0 。在流出侧负载阀开度不变的情 况下，当进水阀开度发生阶跃变化 时，若进水流量 和出水流量的变化量分别为 Qi Qi Qi 0 , Qo Qo Qo 0 则在任何时刻液位的变化 H H H o 均满足下述物 料平衡方程：
9
1．建立数学模型的目的
在过程控制中，建立被控对象数学模型的目的主要有以下几 种： (l) 设计过程控制系统和整定控制器的参数 (2) 控制器参数的整定和系统的调试 (3) 利用数学模型进行仿真研究 (4) 进行工业过程优化 另外，设计工业过程的故障检测与诊断系统、制订大型设 备启动和停车的操作方案和设计工业过程运行人员培训系统， 等等都也需要被控过程的数学模型。
d H 1 1 (Qi Qo ) (Qi Qo ) dt F F
(2-7)
22
当进水阀前后压差不变时，Qi 与 成正比关系， 即
Qi k
(2-8)
对于流出侧的负载阀，其流量与水槽的水位高度有 关，即 (2-9) Q k H
o
式(2-9)是一个非线性方程。这个非线性给下一步的 分析带来很大的困难，应该在条件允许的情况下尽量避 免。如果水位始终保持在其稳态值附近很小的范围内变 化，那就可以将上式加以线性化。
18
2．测试法建模
测试法一般只用于建立输入输出模型。它是根据工业过程 的输入和输出的实测数据进行某种数学处理后得到的模型。它 的主要特点是把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从外 特性上测试和描述它的动态性质，因此不需要深入掌握其内部 机理。然而，这并不意味着可以对内部机理毫无所知。为了有 效地进行这种动态特性测试，仍然有必要对过程内部的机理有 明确的定性了解，例如究竟有哪些主要因素在起作用，它们之 间的因果关系如何等等。 用测试法建模一般比用机理法建模要简单和省力，尤其是
第二章 过程特性及其数学模型
A—水槽截面积 将dV代入
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A
t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A
t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt
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K e -s (Ts 1) n
过程的纯滞后时间
2.1 被控过程的特性
（2）无自衡的非振荡过程
无自衡：在原平衡状态出现干
扰时，当没有外加任何控制作 用时，被控过程不能重新到达 新的平衡状态
无自衡非振荡：阶跃输入信号 作用下，输出响应曲线会没有 振荡地从一个稳态一直上升或 下降，不能达到新的稳态
第二章 被控过程特性及其数学模型
主要内容
2.1 被控过程的特性 2.2被控过程的数学模型 2.3解析法建立过程的数学模型
2.4实验辨识法建立过程的数学模型
2.1 被控过程的特性
（1）自衡的非振荡过程
自衡：在原平衡状态出现干扰 时，无需外加任何控制作用，
被控过程能够自发地趋于新的 平衡状态。
自衡非振荡：阶跃输入信号作 用下，输出响应曲线能没有振 荡地从一个稳态趋向于另一个 稳态.
实验辨识法
实验辨识法-------根据过程输入、输出的实验测试数据， 通过过程辨识和参数估计得出数学模型。 过程辨识-----根据测试数据确定模型结构（包括形式、方程 阶次及时滞等）。
参数估计-----在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定 模型的参数。
混合法
（1）对被控过程中机理比较清楚的部分采用机理演绎
单容自衡过程可以采用一阶惯性环节加以描述。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
单容过程传递函数的结构方框图
水箱的输入量/输出量之 间的动态平衡关系 Q1 (s)
1 cs
Q2 (s)
H(s)
1 R2
阀2的静压力关系
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
推广1：考虑输入液体体积流量为Q0 当进水阀1的开度产生变化后，需流经长度为l 的管道才能
T0=R2A K0=R2
C=A
τ0与l有关
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
无时延自衡
Q1
有纯时延自衡
Q0
O
O
t
h
t
h
O
O t
0
t
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
推广2：考虑输出液体体积流量为Q2通过泵来调节
液位高度变化时，出口处静压力不会对泵产生影响，Q2不变。
解 根据动态物料平衡关系: q1 q2 A dh 定量泵导致: q2 0
单位时间内进入被控过程的物料或能量,减去单位时 间内从被控过程流出的物料或能量,等于被控过程内 物料或能量的变化率。 单位时间内进入被控过程的物料或能量,等于单位时间内, 从被控过程流出的物料或能量 不足：需要有足够和可靠的验前知识，否则，推导的结果就可能出现失真。 优点：在过程控制系统没有建立之前就先推导出数学模型，对于系统事先设 计和方案论证十分有利。
Q1 (s)
1 H1(s) 1 Q2 (s) c1s R2
Q3 (s)
1 c2 s
H2(s)
1 R3
阀3的静 压力关系
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
分析： 1）两个具有负实根的惯性环节串联， 即ξ=1过阻尼，响应不振荡。 2）双容过程在两个槽之间存在液体 流通阻力，延缓了h2的变化，导致响应 过程一开始较慢，较单容过程时延大。
②参量形式模型：曲线、表格等
2.2 被控过程的数学模型—方法
白箱方法-----解析法（机理演绎法）
黑箱方法-----实验辨识法（系统辨识与参数估计方法）
灰箱方法-----解析法与实验辨识相结合的混合方法
解析法
解析法-------根据被控过程的内在机理，运用已知的静态和动态 物料平衡、能量平衡等关系，用数学推理的方法求取被控过程 的数学模型。
过程的时间常数
2.1 被控过程的特性
（3）自衡的振荡过程 自衡振荡：阶跃输入信号作用下， 输出响应曲线呈现衰减振荡特性， 最终被控过程趋于新的稳态值。
K Go ( s ) 2 2 e -s , (0 1) T s 2Ts 1
2.1 被控过程的特性
（4）具有反向特性的过程 阶跃输入信号作用下，被控过程的输出先降后升或先升后降，即过 程响应曲线在开始的一段时间内变化方向与以后的变化方向相反，
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
单容过程-------只有一个贮蓄容量的过程。
自衡：被控过程在扰动作 用下，平衡状态被破坏后， 不需要操作人员或仪表的 干预，依靠自身能够恢复 平衡。 无自衡：平衡状态被 破坏后，被控量会不 断变化下去，不能再 平衡。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
例2-1 某水箱系统如图所示。
输入液体体积流量Q1通过阀门1的开度来改变。 输入液体体积流量Q2通过阀门2的开度来改变。 液位高度h为被控量。 要求：试列写h与Q1之间的数学表达式。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
解 根据动态物料平衡关系:
dh q1 q2 dt
单位时间内水箱内液体流入 量与流出量之差 水箱截 面积
进入水箱，使液位发生变化。
假设流经长度为l的管道所需时间为τ0，得出具有纯时延的
单容过程的微分方程和传递函数分别为
dh h R2 q0 (t - 0 ) dt K 0 0 s H (s) R2 0 s G( s) e e Q1 ( s) R2 As 1 T0 s 1 R2 A
冷水量对水位的直接影响 正向积分特性
反向特性 冷水量影响水中气泡量，使 水位发生变化 反向惯性特性
2.2 被控过程的数学模型—概念
被控过程的数学模型
----过程的输入变量与输出变量之间的定量关系。
作用于过程的控制 作用和干扰作用
过程的被控变量
控制通道：控制作用到输出变量的信号联系。 干扰通道：干扰作用到输出变量的信号联系。
h q2 R2
阀门阻力，即流量增加 1m2/s时的液位升高量
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
综合上述两类关系：
dh q1 q2 A dt h q2 R2 dh h R2 q1 dt
经整理得到单容液位过程的微分方程增量表示
R2 A
拉氏变换，得到传递函数形式
水箱内液体 容量变化率
表示为增量形式有:
dh q1 q2 A dt
q1 , q2 , h —偏离某平衡状态 q10 , q20 , h0 的增量
静态时： q1 q2
dh 0 dt
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
根据压力关系:
假定q2与h 近似成线性正比关系，与阀门2处的液阻R2 成反比 关系，则
差分方程形式: a n y(k n) a1 y(k 1) y(k ) bm u(k m d ) b1u(k 1 d ) e( K )
b0 b1 z 1 bm z m d 脉冲传递函数: y (k ) z u (k ) 1 n 1 a1 z a n z
2.1 被控过程的特性
（1）自衡的非振荡过程
过程的静态增益 （或放大系数）
具有纯滞后的一阶惯性环节 G ( s) K e s o 过程的时间常数
Ts 1
具有纯滞后的二阶非振荡环节 Go ( s)
K e -s (T1s 1)(T2 s 1)
具有纯滞后的高阶非振荡环节 G ( s ) o
拐 3）随着相连接容器的增加，过程时 点 间延迟越长。
4）模型简化：采用单容过程近似。
G( s) R3 H 2 (s) e 0 s Q1 ( s ) T0 s 1
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
推广1：考虑n个水槽（容器）依次分离式连接 类推出多容过程（n个）的传递函数
K0 G( s) (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
G( s) R3 e l s (T1s 1)(T2 s 1)
h2
h2(∞)
R3 e ( 0 l ) s (T0 s 1)
O
τ0 + τ1
T0
t
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
推广3：考虑输出液体体积流量为Q3通过泵来调节 ------水槽1的液位高度变化，会对Q2产生影响。
过程的放大系数 K=R3
获得双容液位过程的传递函数为
G( s) R3 Q2 ( s) H 2 ( s) 1 Q1 ( s) Q2 ( s) T1s 1 T2 s 1
双容自衡过程可以采用二阶环节加以描述。
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
双容过程数学模型的结构方框图
水槽1的输入量/ 输出量之间的动 态平衡关系 阀2的静压 力关系 水槽2的输入量/ 输出量之间的动 态平衡关系
过程的总 放大系数 各单容过程的 时间常数
若各个容器的容量系数相同，各阀门的液阻也相同，则
K0 G(s) (T0 s 1) n
T1 T2 Tn T0
注：多容过程模型简化过程与双容过程简化为单容过程方法类似。
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
推广2：考虑两水槽之间的管道长度 当阀2的开度变化后，需流经长度为l 的管道才能进入贮 罐2，使液位h2发生变化。 假设流经管道所需时间为τ1，则具有纯时延多容过程传 递函数为
----水槽2的液位高度变化，不会对Q3产生影响。
解 根据多容过程类推关系: G1 (s)
Q2 ( s) 1 1 Q1 ( s) T1s 1 R2C1s 1 H 2 (s) 1 1 Q2 ( s ) T2 s c2 s
2.3 解析法建立过程数学模型—多容过程
解 根据动态平衡关系，有
dh1 dt dh2 水槽2 q2 q3 C2 dt
水槽1 q1 q2 C1 阀2
h1 q2 R2