高中数学必修1-5错解分析 第11-13章修改稿
高中必修1-5错误解题分析系列-《3.4三角函数的图像与性质》
第三章 基本初等函数Ⅱ（三角函数）3.4三角函数的图像与性质一、知识导学1.三角函数线.设角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 做x PM ⊥轴于M ，过点)0,1(A 做单位圆的切线，与角α的终边或终边的反向延长线相交于点T ，则有向线段AP OM MP ,,分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线.2.三角函数的图像（1）x y x y x y x y cot ,tan ,cos ,sin ====四种图像 （2）函数)sin(ϕω+=x A y 的图像 ①“五点作图法” ②图像变化规律3.三角函数的定义域、值域及周期4.三角函数的奇偶性和单调性 二、疑难知识导析1.)sin(ϕω+=x A y +)0,0(>≠ωA B 中，ω,,B A 及ϕ，对正弦函数x y sin =图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.如：x y 2sin =向右平移6π个单位，应得)6(2sin π-=x y ，而不是)62sin(π+=x y2.用“五点法”作)sin(ϕω+=x A y )0,0(>≠ωA 图时，将ϕω+x 看作整体，取2,0π，πππ2,23,来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.3.,cos ,sin x y x y ==)sin(ϕω+=x A y 的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而x y tan =图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中)sin(ϕω+=x A y )0,0(>≠ωA 的各个参数.4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.5.求三角函数的值域是常见题型.一类是x b x a y c o ss in +=型，这要变形成)s in (22ϕ++=x b a y ；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.6.)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 单调性的确定，基本方法是将ϕω+x 看作整体，如求增区间可由22ππ-k ≤ϕω+x ≤)(22z k k ∈+ππ解出x 的范围.若x 的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.三、典型例题导讲[例1] 为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π 错解：A错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 正解：B[例2] 函数⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=2tantan 1sin x x x y 的最小正周期为( ) A π B π2 C2π D 23π错解：A错因：将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ,而忽视了定义域的限制,导致出错. 正解：B[例3]下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4π),其中以点(4π,0)为中心对称的三角函数有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．4错解：B错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握. 正解：D[例4]函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )A. ]3,0[π B. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ错解：B错因：不注意内函数的单调性. 正解： C[例5]函数f x x x x ()sin cos cos =-342的最大值为__________.解：f x x x x ()sin cos sin()=-⋅+=+-32241225222ϕ 当时，取最大值sin()()2152212x f x +=-=ϕ[例6] 函数y x x =-⋅cos 的部分图像是（ ）y y y yOO x O x x O xA B C D解：选D.提示：显然C A x x y 、为奇函数，故排除cos -=BD y x x y x x 选，故弃时，纵坐标且即当横坐标，，判断出相应的且令000000>→>>→>[例7] 当-≤≤=+ππ223x y x x 时，函数的（）sin cosA. 最大值为1，最小值为-1B. 最大值为1，最小值为-12C. 最大值为2，最小值为-2D. 最大值为2，最小值为-1解：选D解析：y x x x =+=+sin cos sin()323π，而-≤≤ππ22x∴+∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥+∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥x x ππππ36563121，，故，sin() ∴==-y y m a x m i n 21，[例8]已知定义在区间]32,[ππ-上的函数)(x f y =的图像关于直线6π-=x 对称，当]32,6[ππ-∈x 时，函数)22,0,0()sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f ， 其图像如图所示.（1）求函数)(x f y =在]32,[ππ- （2）求方程22)(=x f 的解.解：（1）当],[326ππ-∈x 时，函数),0,0()sin()(22ππϕωϕω<<->>+=A x A x f ，观察图像易得：3,1,1πϕω===A ，即时，函数)sin()(3π+=x x f ，由函数)(x f y =的图像关于直线6π-=x 对称得，],[6ππ--∈x 时，x函数x x f sin )(-=. ∴⎪⎩⎪⎨⎧--∈--∈+=),[sin ],[)sin()(63263πππππx xx x x f . （2）当],[326ππ-∈x 时，由223)sin(=+πx 得，125124343πππππ=-=⇒=+x x x 或或；当],[6ππ--∈x 时，由22sin =-x 得，443ππ-=-=x x 或.∴方程22)(=x f 的解集为},,,{12512443ππππ---四、典型习题导练 1.函数y x =+sin()252π的图像的一条对称轴方程是（ ） A. x =-π2B. x =-π4C. x =π8D. x =54π2.已知点),(,),(2211y x B y x A 是函数)0(sin <<-=x x y π上的两个不同点，且21x x <， 试根据图像特征判定下列四个不等式的正确性：①2211sin sin x x xx <；②21sin sin x x <；③sin )sin (sin 2121>+x x 221x x +；④2221sinsinx x >.其中正确不等式的序号是 .3.函数的最小正周期是。
必修1-5错题重做
8. 2{60},{10}A x x x B x mx =+-==+=,且A B A ⋃=,则m 的取值范围是( ) A.11{,}32- B. 11{0,,}32-- C. 11{0,,}32- D. 11{,}3211．设集合{|A y y ==，{|B x y ==，则下列关系中正确的是（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．[1,)A B ⋂=+∞17. 已知{15},{4}A x x x B x a x a =<->=≤<+或,若A ⊃≠B,则实数a 的取值范围是 18．集合A ＝｛x ｜x 2－ax ＋a 2－19＝0｝，B ＝｛x ｜x 2－5x ＋6＝0｝．若A ∩B ＝A ∪B ，求a的值． 21. 已知集合A={x|mx 2-2x+3=0，m ∈R}. （1）若A 是空集，求m 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求m 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围.(5)_________=_____(0,0)x y =>>(5) 2(lg 2)lg 20lg 5___________+⨯= ７、324941log 7log 9log log 2a =，则a 等于（ ）Ａ14Ｂ2ＣＤ 4１２、计算2(lg 5)lg 2lg 50+１４、 （１） lg lg(3)1x x +-=，求x（２）2(lg )3lg 40x x +-=，求x例1、已知二次函数()()()()21,11,8f x f f f x =--=-满足且的最大值为，试确定此二次函数2）设二次函数()()()()22,0f x f x f x f x +=-=满足且的两实数根平方和为10，图像过点（0，3），求()f x 的解析式例2、()2452f x x mx =-+-+∞在区间[，）上是增函数，，求m 的取值范围3）已知函数()()215f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．例题3 （典型）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．1）若函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．可能是增函数，也可能是常数 2）设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题： ①当c =0时，)(x f y =是奇函数；②当b =0，c >0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c ）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为 ． 例4、求函数[]22102y x ax =--在，上的值域 3、已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的图像经过一、二、四象限，则直线y ax b =+不经过第_____________象限 A 一 B 二 C 三 D 四4、关于x 的方程()234210m x mx m +-+-=两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是（ ）A -3<m<0B 0<m<3C m<-3 或m>0D m<0或m>36求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：（1）定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2) 定义域为[]2,1-．（5）22233(2)______2a --+（5）y =11、若2log15a<，则a 的范围是____________11、方程x x lg 22=-的实数解的个数为 . 12、.若使得方程0162=---m x x有实数解，则实数m 的取值范围为( )2424.≤≤-m A244.≤≤-m B 44.≤≤-m C244.≤≤m D13、若关于x 的方程268x x a -+=恰有两个不等实根，则实数a 的取值范围_________． 3、关于x 的方程：x 2-4|x|+5=m,至少有三个实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A 、（1，5） B 、 [1，5） C 、 （1，5] D 、[1，5] 例3.（1）设()f x 是R 上的任意函数。
高一数学必修一错题集
高一数学必修一错题集
好的,这里是一份高一数学必修一错题集,包括所有的错题、易错点和难点。
请注意,这只是一份参考,实际的错题集可能因个人差异而有所不同。
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1. 函数的定义域
2. 函数的值域
3. 函数的极值
4. 函数的单调性
5. 函数的连续性
6. 函数的奇偶性
7. 函数的周期性
8. 函数的图像
9. 函数的解析式
10. 函数的定义域和值域的关系
11. 函数的导数
12. 函数的斜率
13. 函数的切线
14. 函数的最大值和最小值
15. 二元函数的极值问题
16. 对称轴和中心
17. 函数的性质
18. 图像变换
19. 函数的应用
20. 极限的概念
21. 极限的运算
22. 无穷大和无穷小
23. 介值定理
24. 罗必塔法则
25. 向量的叉积
26. 坐标系的系结
27. 平面方程
28. 立体方程
29. 空间向量
30. 向量的计算
31. 向量的夹角
32. 立体坐标系
33. 解析几何中的应用
34. 椭圆
35. 双曲线
36. 参数方程
37. 标准方程
38. 椭圆和双曲线的焦点
39. 椭圆和双曲线的参数方程
40. 椭圆和双曲线的研究
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希望这份错题集能有所帮助。
高中数学错题分析第6-10章修改稿
第六章 立体几何初步§6.1 两条直线之间的位置关系一、知识导学1. 平面的基本性质.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2. 空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4. 异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.5. 反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b α⊂,A α∈且A b ∉,a A =⋂α,则a 与b 异面.三、经典例题导讲[例1]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( ).A .是AC 和MN 的公垂线.B .垂直于AC 但不垂直于MN.C .垂直于MN ，但不垂直于AC.D .与AC 、MN 都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点，G,H分别是BC,CD 上的点,且2==HC DH GC BG ,求证:直线EG,FH,AC 相交于一点.错解：证明：E 、F 分别是AB,AD 的中点,EF ∴∥BD,EF=21BD,又2==HC DH GC BG,∴ GH ∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形，设两腰EG,FH 相交于一点T, 2=HC DH,F 分别是AD.∴AC 与FH 交于一点.∴直线EG,FH,AC 相交于一点正解：证明：E 、F 分别是AB,AD 的中点,EF ∴ ∥BD,EF=21BD, 又2==HC DH GC BG ,∴ GH ∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形，设两腰EG,FH 相交于一点T,⊂EG 平面ABC,FH ⊂平面ACD,∴T ∈面ABC,且T ∈面ACD,又平面ABC 平面ACD=AC,AC T ∈∴,∴直线EG,FH,AC 相交于一点T.[例3]判断：若a,b 是两条异面直线，P 为空间任意一点，则过P 点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P 在其中一条线上，或a 与P 确定平面恰好与b 平行，此时就不能过P 作平面与a 平行.正解：假命题．[例4] 如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）． 分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明 ∵ AB//CD ， AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β，即 E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F ，G ，H 四点必定共线．点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝l ．设梯形ABCD 中，AD∥BC，且ABα，CD β，求证：AB ，CD ，l共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在l上，而l是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴ AB，CD必定相交于一点，设AB ∩CD＝M．又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．∴ M∈α∩β．又∵α∩β＝l，∴ M∈l，即 AB，CD，l共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明 1º若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A ∴ 直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可证 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α内．2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵ 这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．[例7]在立方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD, 交AC 于点O 上的射影在平面就是斜线平面AC BD BD AC DD 11,∴⊥ .(2)BD 1和AC 是异面直线.(3)过O 作BD 1的平行线交DD 1于点M ，连结MA 、MC ，则∠MOA 或其补角即为异面直线AC 和BD 1所成的角.不难得到MA ＝MC ，而O 为AC 的中点，因此MO ⊥AC ，即∠MOA ＝90°，∴异面直线BD 1与AC 所成的角为90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC 中，∠A 为直角，PA⊥平面ABC ，BD⊥PC，垂足为D ，求证：AD⊥PC证明：∵ PA ⊥平面ABC∴ PA⊥BA又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面PAC∴ AD 是BD 在平面PAC 内的射影又∵ BD ⊥PC ∴ AD ⊥PC .（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1．如图, P 是△ABC 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 后，在包括AB 、BC 、CA 的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( )A.2对B.3对C.4对D.6对2. 两个正方形ABCD 、ABEF 所在的平面互相垂直，则异面直线AC 和BF所成角的大小为 ．3. 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，体对角线DB 1与面对角线BC 1所成的角是 ，它们的距离是 .4.长方体ABCD A B C D -1111中，BC CD DD ===2214251，，，则A C B D 111和所成角的大小为_ ___.5.关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AH ⊥平面BCD ，求证：BH ⊥CD7．如图正四面体中，D 、E 是棱PC 上不重合的两点；F 、H 分别是棱PA 、PB 上的点，且与P 点不重合．求证：EF 和DH 是异面直线．§6.2直线与平面之间的位置关系一、知识导学1.掌握空间直线与平面的三种位置关系（直线在平面内、相交、平行）.2.直线和平面所成的角，当直线与平面平行或在平面内时所成的角是 0，当直线与平面垂直时所成的角是9 0，当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的锐角.3.掌握直线与平面平行判定定理（如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行）和性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行）.4.直线与平面垂直的定义是：如果一条直线和一个平面内所有直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；掌握直线与平面垂直的判定定理（如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）和性质定理（如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行）.5.直线与平面的距离（一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离）.6.三垂线定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直）、逆定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直）.7.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短.二、疑难知识导析1.斜线与平面所成的角关键在于找射影，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用.3.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用，同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线”，如果用“无数”或“两条”都是错误的.4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点到平面的距离（大于0）相等，则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、“距离相等”.三、经典例题导讲l⊂平面α,点P∈直线l,平面α、β间的距离为8，则[例1]已知平面α∥平面β，直线l的距离为9的点的轨迹是（）在β内到点P的距离为10，且到A.一个圆B.四个点C.两条直线 D .两个点错解：A.错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢.正解：B.[例2] a 和b 为异面直线，则过a 与b 垂直的平面( ).A ．有且只有一个B ．一个面或无数个C ．可能不存在D ．可能有无数个错解：A.错因：过a 与b 垂直的平面条件不清.正解：C.[例3]由平面α外一点P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A,B,C ，O 为⊿ABC 的外心，求证：OP α⊥.错解：因为O 为⊿ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为PA ＝PB ＝PC ，PO 公用，所以⊿POA ，⊿POB ，⊿POC 都全等，所以∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝2π，所以OP α⊥. 错因：上述解法中∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝RT ∠，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明.正解：取BC 的中点D ，连PD 、OD ， ,,,,,,AB PO PO .PB PC OB OC BC PD BC OD BC POD BC PO α==∴⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥ 面同理，[例4]如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N,求: （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC 和NC 的长；（3）平面NMP 和平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）错因：（1）不知道利用侧面BCC 1 B 1展开图求解,不会找29 的线段在哪里;(2)不会找二面角的平面角.正解：(1)正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为974922=+(2)如图，将侧面BC 1旋转 120使其与侧面AC 1在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1 ，则MP 1就是由点P沿棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路线.设PC ＝x ，则P 1C ＝x ， 在2,292)3221==+∆x x MAP Rt ＋中，（54,5211=∴==∴NC A P C P MA NC (3)连接PP 1（如图），则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH 1PP ⊥于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理的逆定理得，1PP CH ⊥.所成二面角的平面角。
高中必修1-5错误解题分析系列-《8.2平面向量与代数、几何的综合应用》
§8.2平面向量与代数、几何的综合应用一、知识导学1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin === 二、疑难知识导析1．初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。
如当C =2π时，C cos =0，此时有222b a c +=；2．由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。
三 经典例题导讲[例1]在ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( )A ．3πB ．6πC ．32πD ．3π或32π 错解：选A错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。
正解：∵a 2＝b 2＋bc ＋c 2＝b 2＋c 2－2bc(－21)＝b 2＋c 2－2bc·cos 32π ∴∠A＝32π 选 C.[例2]在△ABC 中，已知B b A a cos cos =，试判别其形状。
错解：等腰三角形。
错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。
直接由B b A a cos cos =得，B B A A cos sin cos sin =，即B A 2sin 2sin =，则B A 22=。
接着下结论，所求三角形为等腰三角形正解：由B b A a cos cos =得，B B A A cos sin cos sin =，即B A 2sin 2sin =则B A 22=或018022=+B A ，故三角形为直角三角形或等腰三角形。
[例3]在ABC ∆中26,30+=︒=∠c C ，试求ABC ∆周长的最大值。
数学必修五错题集
必修五错题集[第5页第11题] (2013天津月考,★★☆)在非钝角△ABC中,已知3b=2asin B,且cos B=cos C,则△ABC为( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形[答案] A[解析] 在非钝角△ABC中,由cos B=cos C,知B=C,由3b=2asin B,得3sin B=2sin Asin B,又sin B≠0,∴sin A=.由题意知∠A为锐角,∴∠A=.∴△ABC 为等边三角形.[第5页第12题] (2015山东日照月考,★☆☆)已知△ABC中,sin B=2sin A,C=,S△ABC=2,则a=( ) A.4 B.2 C.2 D.4[答案] B[解析] 由正弦定理得==2,所以S△ABC =absin C=a×2a×sin=a2=2,解得a=2.[第5页第16题] (2012浙江,18,14分,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sin B=cos C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.[答案] 答案见解析[解析] (1)由0<A<π,cos A=,得sinA==,因为cos C=sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=cos C+sin C.所以tan C=.(2)由tan C=,得sin C=,cos C=.于是sin B=cos C=,由a=及正弦定理=,得c=.设△ABC的面积为S,则S=acsin B=.[第6页第2题] (2014广东珠海六校联考,★☆☆)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin B=1,向量p=(a,b),q=(1,2),若p∥q,则角A 的大小为( )A. B. C. D.π[答案] A[解析] 由sin B=1及B∈(0,π)得B=.由p∥q得b=2a.由正弦定理得sin B=2sin A,故sin A=sin B=.∵A∈(0,π),∴A=或π.又B=,∴A=.故选A.[第6页第3题] (2014广东珠海期末,★☆☆)在△ABC中,A∶B ∶C=1∶2∶3,则a∶b ∶c=( )A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.1∶∶2D.2∶∶1[答案] C[解析] 因为A∶B∶C=1∶2∶3,又A+B+C=π,所以A=,B=,C=.由正弦定理可得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sinC=sin∶sin∶sin =∶∶1=1∶∶2.故选C.[第6页第4题] (2014天津西青月考,★★☆)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A 的大小为( )A.60°B.30°C.150°D.45°[答案] B[解析] 由sin B+cos B=得1+2sin Bcos B=2,则sin 2B=1,因为0°<B<180°,所以B=45°,又因为a=,b=2,所以在△ABC中,由正弦定理得=,解得sin A=,又a<b,所以A<B=45°,所以A=30°.[第7页第10题] (2013山东烟台质检,★★☆)在△ABC中, = .(1)证明B=C;(2)若cos A=-,求sin的值.[答案] 答案见解析[解析] (1)证明:在△ABC中,由正弦定理及已知得= .于是sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0.因为-π<B-C<π,从而B-C=0.所以B=C.(2)由A+B+C=π和(1)得A=π-2B,故cos 2B=-cos(π-2B)=-cos A=.又0<2B<π,于是sin 2B==.从而sin 4B=2sin 2Bcos 2B=,cos 4B=cos22B-sin22B=-.所以sin=sin 4Bcos +cos 4Bsin=[第7页第9题] (2014广东期末,★☆☆)已知函数f(x)= sin xcos x-cos2x+ (x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=1,f=,求sin B的值.[答案] 答案见解析[解析] (1)f(x)= sin 2x-+=sin2x-cos 2x=sin.∴f(x)的最小正周期T==π.(2)由f=,得sin=,则cos A=.在△ABC中,sin A==.由正弦定理可得sin B=sin A=.[第9页第2题] (2015山东滨州月考,★★☆)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,且acosA=bcos B,则△ABC的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析] 解法一:由余弦定理和已知得a×=b×.整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,故a2=b2或a2+b2-c2=0.即a=b或c2=a2+b2,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.解法二:由正弦定理及已知得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.因为A,B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.[第9页第4题] (2013天津检测,★★☆)在△ABC中,已知=,则△ABC是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形[答案] C[解析] 由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accos B,代入已知得=,即得cos A=cos B,所以A=B,即△ABC为等腰三角形,故选C.[第10页第7题] (2014安徽,16,12分,★★☆)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin 的值.[答案] 答案见解析[解析] (1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin BcosB.由正、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,所以a=2.(2)由余弦定理得cos A===-.由于0<A<π,所以sin A===. 故sin=sin Acos+cosAsin=×+×=.[第10页第8题] (2014辽宁,17,12分,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c 的值;(2)cos(B-C)的值.[答案] 答案见解析[解析] (1)由·=2得c·acos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得或因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===.由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cosC===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=. [第11页第10题] △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则C的大小为______.[答案][解析] 由p∥q,得(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b 2-c2=ab,故cos C==,又C∈(0,π),∴C=.[第11页第12题] 在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x 2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)-1=0.(1)求角C;(2)求|AB|;(3)求△ABC的面积.[答案] 答案见解析[解析] (1)∵A+B=π-C,∴cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C.由已知2cos(A+B)-1=0,得cos(A+B)=,∴cos C=-.又∵0°<C<180°,∴C=120°.(2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根,∴由余弦定理得,AB2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab(1+cos C)=(a+b)2-ab=(2)2-2=10,∴|AB|=.(3)S△ABC=absin C=×2×sin 120°=.[第11页第4题] 已知△ABC中,2B=A+C,b2=ac,则△ABC为( )A.等边三角形B.腰不等的直角三角形C.等腰直角三角形 D.非以上答案[答案] A[解析] 解法一:∵2B=A+C,又A+B+C=π,∴B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac.又∵b2=ac,∴ac=a 2+c2-ac.∴(a-c)2=0,即a=c.又∵B=,∴△ABC为等边三角形,故选A.解法二:∵2B=A+C,又A+B+C=π,∴B=,∴A+C=π.由b2=ac及正弦定理得sin2B=sin Asin C,即sin A×sin=,∴sin A=,即sin 2A+sin2A=,亦即sin 2A+=,∴sin=1.又∵2A-∈,∴2A-=,即A=.∴C=,∴△ABC为等边三角形.故选A.[第11页第5题] 在△ABC中,已知其面积S=(a2+b2-c2),则角C等于( )A.135°B.45°C.60°D.120°[答案] B[解析] 因为S= (a2+b2-c2)= absin C,所以a2+b2-c2=2absin C,由c2=a 2+b2-2abcos C 得sin C=cos C,故C=45°,选B.[第11页第6题] 设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,则实数a的取值范围为( )A. B. C.(2,8) D.(2,+∞)[答案] C[解析] 由2a-1>0,得a>.因为2a+1为三角形中的最大边长,所以该边所对的角最大.设该边所对的角为θ,则cosθ===<0.解得<a<8.又由三角形三边关系得2a+1<a+(2a-1),即a>2.∴a的取值范围为(2,8),故选C.[第11页第7题] 在△ABC中,已知sin A∶sinB∶sin C=3∶5∶7,则这个三角形的最大角等于________.[答案] π[解析] 由正弦定理得,sin A∶sin B∶sinC=a∶b∶c=3∶5∶7.设三边长分别为3m,5m,7m(m>0),则7m对应最大角,设为θ,则由余弦定理得,cosθ==-,又因为θ∈(0,π),所以θ=π.[第11页第9题] (2013重庆,18,13分,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(1)求A;(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.[答案] 答案见解析[解析] (1)由余弦定理得cosA===-.因为0<A<π,所以A=.(2)由(1)得sin A=,由正弦定理==得b=,csin A=asinC,所以S=bcsin A=··asin C=3sin Bsin C, 因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C) =3cos(B-C).所以,当B=C,即B==时,S+3cos B·cos C 取最大值 3.[第11页 第9题] 已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长为________.[答案] a[解析] 如图,AB=AC=2a,BC=a,BD 为腰AC 的中线,过A 作AE⊥BC 于E,在△AEC 中,cos C==,在△BCD中,由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC·CD·cos C,即BD 2=a 2+a 2-2×a×a×=a 2,∴BD=a.[第12页 第10题] (2015山东实验中学第二次诊断,★★☆)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.(1)若△ABC的面积等于,求a,b;(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,求△ABC 的面积. [答案] 答案见解析 [解析] (1)因为S=absin =ab=,所以ab=4.由c 2=a 2+b 2-2abcos C 得22=a 2+b 2-2×4cos ,整理得a 2+b 2=8.解方程组得 (2)由sin C+sin(B-A)=sin 2A,得sin[π-(A+B)]+sin(B-A)=sin 2A, 即sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A,整理得sin Bcos A=sin Acos A,①当cos A=0时,A=,此时B=-C=. 由==得a===,b===.所以△ABC 的面积S=absin C=×××sin =.②当cos A≠0时,有sin B=sin A,所以A=B,又因为C=,所以A=B=,故a=b=c=2. 所以△ABC 的面积S=absin C=×2×2×sin =.综上,△ABC 的面积等于或.[第12页 第4题] (2015福建福州月考,★★☆)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,其中A=120°,b=1,且△ABC 的面积为,则=( )A. B. C.2 D.2[答案] D[解析] 由S △ABC =bcsin A=,得×1×c×=,解得c=4.故a 2=b 2+c 2-2bccos A=12+42-2×1×4×cos 120°=21,所以a=.由正弦定理得===2,所以==2.故选D.[第12页 第6题] (2014皖南八校联考,★☆☆)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,若a=,b=2,sin B+cos B=,则c 的大小为________. [答案] +1 [解析] 由sin B+cos B=sin=得sin =1.又B+∈,故B+=,解得B=.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accos B,得22=()2+c 2-2××c×cos ,整理得c 2-2c-2=0. 解得c=+1(舍负).[第12页 第8题] (2014广东广州1月调研,★☆☆)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且cos =. (1)求cos B 的值;(2)若a=3,b=2,求c 的值. [答案] 答案见解析[解析] (1)在△ABC 中,A+B+C=π, 所以cos=cos=sin =.所以cos B=1-2sin 2=.(2)因为a=3,b=2,cos B=,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accos B,得c 2-2c+1=0.解得c=1.[第15页 第1题] (2015山东潍坊月考,★☆☆)如图,为了测量某湖泊的两侧A,B 间的距离,给出下列数据,其中不能唯一确定A,B 两点间的距离的是( )A.角A 、B 和边bB.角A 、B 和边aC.边a 、b 和角CD.边a 、b 和角A [答案] D[解析] 根据正弦定理和余弦定理可知,当知道两边和其中一边的对角解三角形时,得出的答案是不唯一的,所以选D.[第16页 第4题] (2013山东莱州检测,★★☆)某地举行升旗仪式,如图,在坡角为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为10米,则旗杆的高度为________米.[答案] 30[解析] 设旗杆的高度为x 米,由题图可知∠ABC=180°-60°-15°=105°, ∠CAB=30°+15°=45°,又∠ACB=180°-105°-45°=30°, 根据正弦定理可知=,即BC=20,所以sin 60°==,所以x=20×=30.[第17页 第6题] (2014北京,15,13分,★☆☆)如图,在△ABC 中,∠B=,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos∠ADC=. (1)求sin∠BAD; (2)求BD,AC 的长.[答案] 答案见解析[解析] (1)在△ADC 中,因为cos∠ADC=, 所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC -∠B) =sin∠ADCcos B -cos∠ADCsin B =×-×=.(2)在△ABD 中,由正弦定理得BD===3. 在△ABC 中,由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×=49, 所以AC=7.[第18页 第10题] 如图,一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°方向上,与灯塔S 相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为________海里/小时.[答案] 20(-)[解析] 设货轮的速度为v 海里/小时,由题意知在△MNS 中,SM=20,∠NMS=45°,∠SNM=105°,MN=v,则∠S=180°-45°-105°=30°,由正弦定理得:=,即=,解得v=20(-).[第18页 第8题] 如图,点A 、B 、C 是圆上的点,且AB=4,∠ACB=45°,则圆O 的面积为________.[答案] 8π[解析] 由题意知△ABC为☉O的内接三角形,设圆的半径为R,由正弦定理知2R===4,∴R=2.∴圆O 的面积S=πR 2=π×(2)2=8π.[第19页 第4题] (2013山东淄博二模,★★☆)在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S,且2S=(a+b)2-c 2,则tan C=( ) A. B. C.- D.- [答案] C[解析] 由2S=(a+b)2-c 2得2S=a2+b 2+2ab-c 2. 即2×absin C=a 2+b 2+2ab-c 2. 所以absin C-2ab=a 2+b 2-c 2,即sin C-2=.又cos C=,所以sin C-2=2cos C,即1+cos C=sin C. 又cos C+1=2cos 2, sin C=2sin cos ,所以2cos 2=sin cos ,所以tan =2,故tan C===-.故选C.[第24页 第11题] 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,S 表示△ABC 的面积,若acos B+bcos A=csin C,S= (b 2+c 2-a 2),则B=( ) A.90° B.45° C.60° D.90° [答案] B[解析] 根据正弦定理得sin Acos B+sin BcosA=sin 2C,即sin(A+B)=sin C=sin 2C,所以sin C=1.即C=90°,由S= (b 2+c 2-a 2)得bcsin A= (b 2+c 2-a 2),即sin A==cos A,即tan A=1,所以A=45°,所以B=45°.故选B.[第24页 第12题] 设a 、b 、c 为△ABC 的三条边长,且关于x 的方程(a 2+bc)x 2+2x+1=0有两个相等的实数根,则A 的大小是( )A.120°B.90°C.60°D.30° [答案] C [解析]∵Δ=4(b 2+c 2)-4(a 2+bc)=0,∴b 2+c 2-a 2=bc,∴2cos A=1,∴cos A=, ∴A=60°.[第24页 第14题] 已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=2,b=3,cos B=,则cos A=________.[答案][解析] 由cos B=,解得sin B==.由正弦定理得sin A===.又∵a<b, ∴A<B,∴cos A===.[第24页 第15题] 在△ABC 中,已知sin A ∶sinB=∶1,c 2=b 2+bc,则三内角A 、B 、C 的度数依次是________.[答案] 45°,30°,105°[解析] 由已知条件可得a=b,∵a 2=b 2+c 2-2bccos A,∴2b 2=b 2+c 2-2bccos A,又c 2=b 2+bc,∴cos A=,∴A=45°,∴sin B=,由a=b 得a>b,∴B=30°,∴C=105°.[第24页 第16题] 要测量河对岸A 、B 两点之间的距离,在测量者所在岸边选取相距km 的C 、D 两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A 、B 之间的距离为________. [答案] km[解析] 如图所示,在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,∴AC=CD= km. 在△BCD 中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°,∴BC== (km). 在△ABC 中,由余弦定理,得AB 2=()2+-2×××cos 75°=3+2+-=5. ∴AB= km.∴A、B 之间的距离为km.[第25页 第18题] (12分)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,且a<b<c, a=2bsin A. (1)求角B 的大小;(2)若a=2,b=,求c 和△ABC 的面积S. [答案] 答案见解析[解析] (1)由a=2bsin A 及正弦定理可得sin A=2sin Bsin A,又0<A<π,所以sin A≠0,故sin B=.又因为0<B<π,且a<b<c,所以B=. (2)因为a=2,b=,所以由余弦定理可得()2=22+c 2-2×2c×cos ,即c 2-2c-3=0,所以c=3(舍负).所以S=acsin B=×2×3×=.[第25页 第19题] (12分)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; (2)若m⊥p,c=2,∠C=,求△ABC 的面积. [答案] 答案见解析[解析] (1)证明:∵m∥n,∴asin A=bsin B.由正弦定理得a 2=b 2,∴a=b,故△ABC 为等腰三角形. (2)由m⊥p,得a(b-2)+b(a-2)=0, ∴a+b=ab.由余弦定理得4=a 2+b 2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,即(ab+1)(ab-4)=0, 解得ab=4(舍负).∴S△ABC=absin C=×4×sin =.[第25页第20题] (12分)已知△ABC的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且asin A+bsin B=csinC+asin B.(1)求角C;(2)求sin A-cos的最大值.[答案] 答案见解析[解析] (1)∵asin A+bsin B=csin C+a·sin B,∴a2+b2=c2+ab,即a2+b2-c2=ab,∴cos C==.又C∈(0,π),∴C=.(2)由题意得, sin A-cos=sin A-cos=sin A+cos A=2sin .∵A∈,∴A+∈.∴2sin≤2.∴sin A-cos的最大值为2.[第25页第21题] (13分)某高速公路旁边B处有一栋楼房,某人在距地面100米的32楼阳台A 处,用望远镜观测路上的车辆,上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上,且俯角为30°的C处,10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上,且俯角为45°的D处.(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时,试问该客车是否超速?(2)又经过一段时间后,客车到达楼房的正西方向E处,问此时客车距离楼房多远? [答案] 答案见解析[解析] (1)在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=100米,则BC=100米.在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AB=100米,则BD=100米.在△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°,则DC==200米.故客车的速度v==1 200米/分钟=72千米/小时,所以客车没有超速.(2)由(1)得,在Rt△BCD中,∠BCD=30°,因为∠DBE=15°,所以∠CBE=105°,所以∠CEB=45°.在△BCE中,由正弦定理可知=,所以EB==50米.故客车离楼房的距离为50米.[第25页第22题] (13分)在△ABC中,a、b、c 分别为角A、B、C 的对边,4sin 2-cos 2A=.(1)求角A的度数;(2)若a=,b+c=3,求b 、c的值.[答案] 答案见解析[解析] (1)∵B+C=π-A,∴=-,由4sin 2-cos 2A=,得4cos 2-cos 2A=,即2(1+cos A)-(2cos2A-1)=,整理得4cos 2A-4cos A+1=0,即(2cos A-1)2=0.∴cos A=,又0°<A<180°,∴A=60°.(2)由A=60°,根据余弦定理cos A=,得=,∴b2+c2-bc=3,①又b+c=3,②∴b2+c 2+2bc=9.③①-③得bc=2.④解②④得或[第25页模块保留] (2014湖南,19,13分,★☆☆)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.[答案] 答案见解析[解析] 设∠CED=α.(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC.于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在△CDE中,由正弦定理,得=.于是sin α===,即sin∠CED=.(2)由题设知,0<α<,于是由(1)知,cos α===.而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos=cos cos α+sin sin α=-cos α+sin α=-×+×=.在Rt△EAB中,cos∠AEB==,故BE===4.[第29页第6题] (2015河南开封月考,★☆☆)已知数列.(1)求该数列的第10项;(2)是否为数列中的项?为什么?[答案] 答案见解析[解析] (1)记数列为{a n},则a n====1-,故a10=1-=1-=.(2)令a n=,即1-=,得3n=100,解得n=.因为∉N+,所以不是该数列中的项.[第29页第8题] (2014河南郑州一模,★★☆)已知无穷数列{a n}的通项公式a n=,试讨论此数列的单调性.[答案] 答案见解析[解析] ∵a n+1=,∴a n+1-a n=-= [9(n+2)-10(n+1)]= (8-n),∴当1≤n<8时,a n+1>a n;当n=8时,a n+1=a n;当n>8时,a n+1<a n.故数列{a n}先增后减,且第8,9项最大.[第30页第13题] (2013河南濮阳检测,★★☆)已知{a n}的通项公式为a n=n2-7n+50,求数列中的最小项.思路点拨本题考查数列中最小项的求法,可构造不等式组确定n值.[答案] 答案见解析[解析] 易知a 1不最小,设数列{a n }中的第n 项最小,则即解得∴当n=3或n=4时,数列中的项最小,最小项为a 3=a 4=38.[第37页 第1题] (2014安徽池州月考,★☆☆)已知, ,成等差数列,求证:,,也成等差数列.[答案] 答案见解析[解析] ∵, ,成等差数列,∴=+. ∵+=+++ =y++=y·++=2++, 而2×=(z+x)·=(z+x)·=2++,∴+=2·,即, ,成等差数列.[第38页 第2题] (2014浙江绍兴一中期中,★★☆)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=1-,其中n ∈N +.设b n =.(1)求证:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式. [答案] 答案见解析 [解析] (1)b n+1-b n =-=-=-==2(常数),∴数列{b n }是等差数列. (2)∵a 1=1,∴b 1===2,由(1)知数列{b n }的公差为2, ∴b n =b 1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.所以=2n,解得a n =.[第38页 第3题] (2012江苏,20(1),★★☆)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足a n+1=,n ∈N +.设b n+1=1+,n ∈N +,求证:数列是等差数列.[答案] 答案见解析 [解析] 由题设知a n+1===,所以=,从而-=1(n ∈N +),所以数列是以1为公差的等差数列.[第38页 第4题] (2015河北唐山月考,★☆☆)数列{a n }是首项a 1=-1,公差d=3的等差数列,若a n =2 015,则n=( )A.672B.673C.662D.663 [答案] B[解析] 由题意得a n =a 1+(n-1)d=-1+(n-1)×3=3n -4,令a n =2 015,即3n-4=2 015,解得n=673.故选B.[第38页 第5题] (2015山西太原段考,★☆☆)一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数,则其公差d=( )A.-2B.-3C.-4D.-6 [答案] C[解析] 由题意知a 6≥0,a 7<0,所以有解得-≤d<-,又因为d ∈Z,所以d=-4,选C.[第38页 第6题] (2012福建,2,5分,★☆☆)等差数列{an }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( )A.1B.2C.3D.4 [答案] B[解析] ∵a 1+a 5=2a 3=10,∴a 3=5, 又∵a 4=7,∴公差d=a 4-a 3=2.故选B.[第39页 第10题] (2012辽宁,4,5分,★☆☆)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=( ) A.12 B.16 C.20 D.24 [答案] B[解析] a 2+a 10=a 4+a 8=16.故选B.[第39页 第11题] (2014安徽望江中学月考,★★☆)已知函数f(x)为R 上的增函数且为奇函数,数列{a n }为等差数列,a 3>0,则f(a 1)+f(a 3)+f(a 5)的值( )A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可以为正数也可以为负数 [答案] A[解析] 因为{a n }为等差数列,所以a 1+a 5=2a 3>0. 故a 5>-a 1.又因为f(x)为单调递增的奇函数, 所以f(a 5)>f(-a 1)=-f(a 1), 故有f(a 5)+f(a 1)>0.又a 3>0,所以f(a 3)>f(0)=0.所以f(a 1)+f(a 3)+f(a 5)>0.故选A.[第39页 第12题] (2015山东青岛检测,★☆☆)已知等差数列{a n }中,a 1 007+a 1 008=2 015,a 1=-1,则a 2 014=________. [答案] 2 016[解析] 由等差数列的性质得a 1+a 2 014=a 1 007+a 1 008=2015,∴a 2 014=2 015-(-1)=2 016.[第39页 第7题] (2014安徽淮北一中月考,★☆☆)公差为d 、各项均为正整数的等差数列{a n }中,若a 1=1,a n =51,则n+d 的最小值等于________. [答案] 16[解析] 由数列的通项公式a n =a 1+(n-1)d, 得51=1+(n-1)d,整理得(n-1)d=50. ∵a n ∈N +,∴d ∈Z.又∵n ∈N +,∴n,d 的取值有以下可能:故n+d 的最小值为6+10=11+5=16.[第39页 第8题] (2013广东,12,5分,★☆☆)在等差数列{a n }中,已知a 3+a 8=10,则3a 5+a 7=________. [答案] 20[解析] 设等差数列的公差为d,则a 3+a 8=2a 5+d=10,3a 5+a 7=3a 5+a 5+2d=2(2a 5+d)=20.[第39页 第9题] (2014浙江台州月考,★☆☆)已知{a n }为等差数列,若a 1+a 5+a 9=8π,则cos(a 3+a 7)的值为( )A. B.- C. D.- [答案] D[解析] 因为{a n }为等差数列, 所以a 1+a 9=a 3+a 7=2a 5, 故a 1+a 5+a 9=3a 5=8π, 解得a 5=π,所以cos(a 3+a 7)=cos(2a 5)=cos π=-.[第40页 第3题] (2014广东湛江二模,★☆☆)在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-a 11的值为( )A.14B.15C.16D.17 [答案] C[解析] 设公差为d,∵a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,∴5a 8=120,∴a 8=24,∴a 9-a 11=(a 8+d)- (a 8+3d)= a 8=16.[第40页 第4题] (2015山东潍坊检测,★★☆)在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1(n ∈N +),则a 2 015=( ) A.1 006 B.1 007 C.1 008 D.1 009 [答案] D[解析] 由2a n+1=2a n +1,得a n+1-a n =,所以数列{a n }是公差为的等差数列,设公差为d,∴a 2 015=a 1+2 014d=2+2 014×=1 009.[第40页 第5题] 等差数列{a n }的公差d<0,且a 2a 4=12,a 1+a 5=8,则其通项公式为( ) A.a n =2n-2 B.a n =2n+4 C.a n =-2n+12 D.a n =-2n+10 [答案] D[解析] 由等差数列的性质得a 2+a 4=a 1+a 5=8.又a 2a 4=12,所以a 2,a 4为方程x 2-8x+12=0的两根, 解得或当a 2=2,a 4=6时,d==2>0(舍),当a 2=6,a 4=2时,d==-2. 所以数列的通项公式为a n =a 2+(n-2)d=6+(n-2)×(-2)=-2n+10.[第40页 第8题] (2014辽宁抚顺月考,★☆☆)已知数列{a n }满足:a 1=1, -=1(a n >0,n ∈N +),若a n =9,则n=________. [答案] 81 [解析] ∵-=1,∴{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,∴=1+(n-1)×1=n.又a n >0,∴a n =. 由a n =9得=9,解得n=81.[第40页 第9题] (2015齐鲁名校教科研协作体调研,★★☆)设{a n }是正项数列,a 1=2, -=2,则a n =________. [答案][解析] 由已知可得{}是一个公差为2的等差数列,其首项=4,所以=4+(n-1)×2=2n+2,又因为a n >0,所以a n =.[第42页 第1题] (2014山东淄博一中期中,★☆☆)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若=,则等于( )A. B. C. D. [答案] C[解析] 由{a n }为等差数列,得S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.由已知=,即S 8=3S 4,得S 8-S 4=2S 4.∴数列S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12构成以S 4为首项,S 4为公差的等差数列.∴S 12-S 8=3S 4,故S 12=S 8+3S 4=6S 4; S 16-S 12=4S 4,故S 16=S 12+4S 4=10S 4.∴==.故选C.[第42页 第2题] (2014山东青岛期中,★☆☆)已知等差数列{a n }的公差d>0,若a 1+a 2+…+a 2 013=2 013a t (t ∈N +),则t=( )A.2 014B.2 013C.1 007D.1 006 [答案] C[解析] 由等差数列的求和公式得a 1+a 2+…+a 2 013===2 013a 1 007, 故t=1 007.[第43页 第10题] (2013北京海淀期中,★☆☆)已知数列{a n }的前n 项和S n =2-2n+1,则a 3=( ) A.-1 B.-2 C.-4 D.-8 [答案] D[解析] a 3=S 3-S 2=2-24-(2-23)=-8.[第43页 第11题] (2014江苏三市月考,★☆☆)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n+1,则其通项公式为________.[答案] a n =[解析] n=1时,a 1=S 1=2×12-3×1+1=0.n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2-3n+1-[2(n-1)2-3(n-1)+1] =4n-5.显然,n=1时,不满足上式.故a n =[第43页 第3题] (2012辽宁,6,5分,★☆☆)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( )A.58B.88C.143D.176 思路点拨 利用等差数列的性质求S 11. [答案] B [解析]∵a 1+a 11=a 4+a 8=16,∴S 11===88,故选 B.[第43页 第4题] (2011江西,5,5分,★☆☆)设{a n }为等差数列,公差d=-2,S n 为其前n 项和.若S 10=S 11,则a 1=( )A.18B.20C.22D.24 [答案] B[解析] 由S 10=S 11得a 11=0,即a 1+10d=0, 又d=-2,∴a 1=20.选B.[第43页 第5题] (2013江西南昌月考,★★☆)已知等差数列{a n }中,a 1+a 2=4,a 5+a 6=16,则a 3+a 4=( ) A.10 B.8 C.6 D.12 [答案] A[解析] 因为数列{a n }为等差数列,所以S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等差数列,即a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6成等差数列,所以a 3+a 4===10,故选A.[第43页 第6题] (2013山东肥城检测,★★☆)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且=,则=( )A. B. C. D. [答案] C[解析] 当n 为奇数时,等差数列{a n }的前n 项和S n ==n ,同理,T n =n,令n=5,即得====.[第43页 第7题] (2011天津,11,5分,★☆☆)已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,n ∈N +.若a 3=16,S 20=20,则S 10的值为________. [答案] 110[解析] 设{a n }的公差为d,则a 1+2d=16,20a 1+d=20,解得a 1=20,d=-2,所以S 10=10a 1+d=110.[第43页 第8题] (2013云南玉溪期中,★★☆)已知等差数列{a n }的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为35,则这个数列的项数为________. [答案] 20[解析] 设公差为d,因为项数是偶数,所以由题意知a 1+a 3+…+a n-1=15,a 2+a 4+…+a n =35,两式相减得(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n-1)=35-15=20,即d=20,所以n===20.[第43页 第9题] (2015广东湛江月考,★☆☆)若数列{a n }的前n 项和S n =n 2+10n,则a 3=( ) A.16 B.15 C.39 D.14 [答案] B[解析] a 3=S 3-S 2=(32+10×3)-(22+10×2)=15.故选B.[第44页 第12题] (2014广东珠海月考,★☆☆)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n,第k 项满足5<a k <8,求k 的值.[答案] 答案见解析[解析] ∵S n =n 2-9n,∴n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-10. 而n=1时,a 1=S 1=-8∉(5,8).故由5<a k <8得5<2k-10<8,解得7.5<k<9. 又∵k ∈N +,故k=8.[第44页 第13题] (2015山西大同月考,★☆☆)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 5=8,S 3=6,则a 10=( )A.20B.18C.16D.14 [答案] B[解析] 设等差数列的公差为d,则有即解得所以a 10=a 1+9d=18.故选B.[第44页 第14题] (2014广东惠州第二次调研,★☆☆)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 1=2,a 5=3a 3,则S 9=( )A.-72B.-54C.54D.72 [答案] B[解析] 设公差为d,由a 5=3a 3得a 1+4d=3(a 1+2d),∴d=-a 1=-2.∴S n =na 1+×d=2n+×(-2)=-n 2+3n.∴S 9=-92+3×9=-54.故选B.[第44页 第15题] (2012重庆,1,5分,★☆☆)在等差数列{a n }中,a 2=1,a 4=5,则{a n }的前5项和S 5=( )A.7B.15C.20D.25 [答案] B[解析] 设公差为d,∵{a n }是等差数列,∴⇒∴S 5=5a 1+d=5×(-1)+10×2=15,故选B.[第44页 第16题] (2015山东枣庄月考,★★☆)等差数列{a n }中,a 10=33,a 2=1,S n 为其前n 项和,则S 20-2S 10=( )A.40B.200C.400D.20 [答案] C[解析] 设等差数列的公差为d,则d==4.所以S 20-2S 10=-2×=10(a 20-a 10)=100d=400.[第44页 第17题] (2011福建,17,12分,★☆☆)已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值. [答案] 答案见解析[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d,则a n =a 1+(n-1)d.由a 1=1,a 3=-3可得1+2d=-3. 解得d=-2.从而,a n =1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知a n =3-2n,所以S n ==2n-n 2.由S k =-35可得2k-k 2=-35,即k 2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k ∈N +,故k=7.[第45页 第18题] (2015河南郑州月考,★☆☆)已知等差数列{a n }中,a 1=-28,d=4,则使前n 项和S n 取得最小值的n 值为( )A.7B.8C.7或8D.6或7 [答案] C[解析] 由已知得a n =a 1+(n-1)d=-28+(n-1)×4=4n -32.由即解得7≤n ≤8,故n=7或8.[第45页 第19题] (2013浙江嘉兴月考,★☆☆)等差数列{a n }(n ∈N +)中,已知a 1=5,且前n 项和S n 中,仅当n=10时,S 10最大,则公差d 满足( ) A.- <d<- B.- <d<- C. <d< D.<d< [答案] A[解析] 由题意得a 10>0,a 11<0.即解得-<d<-.故选A.[第45页 第20题] (2013浙江温州月考,★☆☆)数列{a n }满足a n =-2n+11,则使得其前n 项和取得最大值的n 等于( )A.4B.5C.6D.7 [答案] B[解析] 由a n ≥0得n ≤,因为a 5=1>0,所以该数列的前5项为正数,所以前5项的和最大.[第45页 第21题] (2010福建,3,5分,★☆☆)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 [答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列,∴a 4+a 6=2a 5=-6,即a 5=-3,公差d===2,∴{a n }是首项为负数的递增数列,所有的非正项之和最小.∵a 6=-1,a 7=1,∴当n=6时,S n 最小.故选A.[第45页 第22题] (2013山东青岛调研,★★☆)已知等差数列{a n }的公差d>0,且a 2 012,a 2 013为方程x 2+5x-3=0的两根,则使得其前n 项和取得最小值的n 等于( )A.2 012B.2 013C.4 024D.4 025 [答案] A[解析] 因为d>0,所以a 2 012<a 2 013,由根与系数的关系得所以a 2 012<0,a 2 013>0,所以该数列的前2 012项和最小.故选A.[第45页 第23题] (2015山西太原检测,★★☆)若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 014+a 2 015>0,a 2 014·a 2 015<0,则使其前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是________. [答案] 4 028[解析] 由已知得a 2 014>0,a 2 015<0. 而S 4 028==>0,S 4 029==4 029a 2 015<0. 故使S n >0的最大正整数n 为4 028.[第45页 第24题] (2014北京海淀一模,★★☆)等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n 最大? [答案] 答案见解析[解析] 解法一:由S 3=S 11得3a 1+d=11a 1+d,则d=-a 1.从而S n =n 2+n=- (n-7)2+a 1,又a 1>0,所以-<0. 故当n=7时,S n 最大.解法二:由于S n =an 2+bn 是关于n 的二次函数,S 3=S 11,可知S n =an 2+bn 的图象关于n==7对称.同解法一可得d=-·a 1,则a=-<0,故当n=7时,S n 最大.解法三:同解法一可得,d=-a 1.因为a 1>0,所以d<0. 要使S n 最大,则有即解得6.5≤n ≤7.5,故当n=7时,S n 最大. 解法四:由S 3=S 11,可得2a 1+13d=0, 即(a 1+6d)+(a 1+7d)=0,故a 7+a 8=0,又由a 1>0,S 3=S 11可知d<0, 所以a 7>0,a 8<0,所以当n=7时,S n 最大.[第46页 第10题] (2015河北“五个一名校联盟”质检,★☆☆)已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且S n = (n ∈N +). (1)求证:数列{a n }是等差数列; (2)设b n =,T n =b 1+b 2+…+b n ,求T n . [答案] 答案见解析 [解析] (1)证明:S n = (n ∈N +),①S n-1=(n ≥2),②①-②得a n = (n ≥2),整理得(a n +a n-1)(a n -a n-1)=a n +a n-1(n ≥2). ∵数列{a n }的各项均为正数,∴a n +a n-1≠0,∴a n -a n-1=1(n ≥2),当n=1时,a 1=1,∴数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列. (2)由(1)得S n =,∴b n ===2, ∴T n =2×+++…+=2=.[第46页 第1题] (2014山东潍坊期末,★☆☆)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 8=13,S 7=35,则a 8=( )A.8B.9C.10D.11 [答案] B[解析] 设公差为d,由已知得S 7==7a 4=35,故a 4=5.又因为a 3+a 8=(a 4-d)+(a 4+4d)=2a 4+3d=13,解得d=1. 故a 8=a 4+4d=5+4=9.选B.[第46页 第5题] 在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n=( )A.9B.10C.11D.12 [答案] B[解析] 由题意知奇数项共(n+1)项,首项为a 1,末项为a 2n+1;偶数项共n 项,首项为a 2,末项为a 2n ,故奇数项的和S 奇==(n+1)a n+1, 偶数项的和S 偶==na n+1,∴=,所以=,解得n=10.[第46页 第6题] (2014山东师大附中质检,★★☆)等差数列{a n }中,a 5+a 6=4,则log 2(··…·)=( )A.10B.20C.40D.2+log 25 [答案] B [解析]log 2(··…·)=a 1+a 2+…+a 10==5(a 1+a 10),∵a 1+a 10=a 5+a6=4,故原式=5×4=20.[第46页 第7题] (2015河北保定重点高中联考,★☆☆)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2(m ≥2),S m =0,S m+1=3,则m=________. [答案] 5[解析] 由已知得a m =S m -S m-1=2(m ≥2),a m+1=S m+1-S m =3,故d=a m+1-a m =1.由S m =0可得=0,所以a 1+a m =0. 故a 1=-2,所以由a m =-2+(m-1)×1=2,解得m=5.[第46页 第8题] 已知等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3+a 4=9,a 5+a 6+a 7+a 8=36,则a 9+a 10+a 11+a 12=________. [答案] 63[解析] 由题意得S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等差数列,且S 4=9,S 8-S 4=36,故2(S 8-S 4)=S 4+(S 12-S 8), 即S 12-S 8=2(S 8-S 4)-S 4 =2×36-9=63.[第46页 第8题] (2014广东珠海期末,★★☆)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =3n+1,则a n =________.[答案][解析] 当n=1时,a 1=S 1=31+1=4.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(3n +1)-(3n-1+1)=2·3n-1. 显然,当n=1时,不满足上式.所以a n =[第46页 第9题] 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,已知=,则=________.[答案][解析] =====.[第46页 第9题] (2014浙江温州十校联考,★★☆)等差数列{a n }中,a 1=2 013,前n 项和为S n , -=-2,则S 2 013的值为________. [答案] 2 013[解析] 由等差数列前n 项和性质知,是一个等差数列.设其公差为d,则由已知得-=-2=2d,解得d=-1.∴=+(2 013-1)×d=2 013+2 012×(-1)=1. ∴S 2 013=2 013.[第47页 第11题] (2013北京东城检测,★☆☆)已知数列{a n }是等差数列,a 1=50,d=-0.6. (1)从第n 项开始有a n <0,求n; (2)求此数列前n 项和S n 的最大值. [答案] 答案见解析[解析] (1)∵a 1=50,d=-0.6, ∴a n =50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6. 令-0.6n+50.6≤0,则n ≥≈84.3, 又n ∈N +,故n ≥85时,a n <0, 即n=85.(2)∵a 1=50>0,d=-0.6<0, 由(1)知a 84>0,a 85<0,∴S 1<S 2<…<S 84且S 84>S 85>S 86>…,∴(S n )最大=S 84=50×84+×(-0.6)=2 108.4.[第47页 第12题] (2015山东实验中学第二次诊断,★★☆)已知数列{a n }满足a n+1+a n =4n-3(n ∈N +). (1)若数列{a n }是等差数列,求a 1的值; (2)当a 1=2时,求数列{a n }的前n 项和S n . [答案] 答案见解析[解析] (1)若数列{a n }是等差数列,设公差为d,则a n =a 1+(n-1)d,所以a n+1=a 1+nd.由a n+1+a n =4n-3,得(a 1+nd)+[a 1+(n-1)·d]=4n -3, 得解得 (2)①当n 为奇数时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a n-1+a n ) =2+(4×2-3)+(4×4-3)+…+[4(n -1)-3] =2+4[2+4+…+(n -1)]-3× =2+4×-3×=.②当n 为偶数时,S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n-1+a n ) =(4×1-3)+(4×3-3)+…+[4(n -1)-3] =4[1+3+…+(n -1)]-3×=4×-=.[第49页 第1题] (2013山东胶南月考,★☆☆)已知数列{a n }为等比数列,则下列说法正确的是( ) A.数列{a n +1}不可能是等比数列B.数列{ka n }(k 为常数)一定是等比数列C.若a n >0,则{ln a n }一定是等差数列D.数列{}是等比数列,其公比与数列{a n }的公比相等[答案] C[解析] A 项,若数列{a n }为非-1的常数列,则{a n +1}是非零的常数列,显然是公比为1的等比数列,故该项不正确;B 项,若k=0,则ka n =0,此时数列{ka n }不是等比数列,所以该项不正确;D 项,因为=,所以若数列{a n }为等比数列,则数列{}是等比数列,其公比为数列{a n }的公比的平方,所以该项也不正确,所以选C.[第49页 第2题] (2014重庆,2,5分,★★☆)对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( ) A.a 1,a 3,a 9成等比数列 B.a 2,a 3,a 6成等比数列 C.a 2,a 4,a 8成等比数列 D.a 3,a 6,a 9成等比数列 [答案] D[解析] 不妨设公比为q,则=q 4,a 1·a 9=q 8,a 2·a 6=·q 6,当q≠±1时,A 、B 均不正确;又=q 6,a 2·a 8=q 8,同理,C 不正确;由=q 10,a 3·a 9=q 10,知D 正确.[第50页 第3题] (2014安徽示范高中联考,★★☆)已知数列{a n }中,a 1=2,a n+1=+2a n (n ∈N +). (1)证明:数列{lg(1+a n )}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式. [答案] 答案见解析[解析] (1)证明:由a n+1=+2a n得:a n+1+1=+2a n +1=(a n +1)2. 两边取常用对数,得:lg(a n+1+1)=lg(a n +1)2=2lg(a n +1).又a 1=2,∴数列{lg(1+a n )}是以lg 3为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知lg(1+a n )=2n-1×lg 3=lg , ∴1+a n =,即a n =-1.[第50页 第4题] (2013山东青岛月考,★★☆)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n +S n =n,c n =a n -1.求证:数列{c n }是等比数列. [答案] 答案见解析 [解析] 当n=1时,a 1=S 1. 由a n +S n =n ①,得a 1+S 1=1,即2a 1=1,解得a 1=. 又因为a n+1+S n+1=n+1②,所以由②-①得:a n+1-a n +(S n+1-S n )=1,即2a n+1-a n =1. 因为c n =a n -1,所以a n =c n +1,所以a n+1=c n+1+1, 所以2(c n+1+1)-(c n +1)=1,整理得:2c n+1=c n ,故=(常数),又c 1=a 1-1=-≠0,所以数列{c n }是一个首项为-,公比为的等比数列.[第50页 第5题] (2015山西太原检测,★☆☆)已知正项等比数列{a n }中,a 4=a 3+2a 2,则其公比q=( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.1或-2 [答案] B[解析] 由已知得q>0,由a 4=a 3+2a 2得a 2·q 2=a 2·q+2a 2,即q 2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍).[第50页 第6题] (2015广东汕头检测,★☆☆)在等比数列{a n }中,a 2=,a n =,公比q=,则n=( ) A.3 B.5 C.4 D.2 [答案] B[解析] 由通项公式的变形得a n =a 2·q n-2,即=×,化简得=,解得n=5.[第50页 第7题] (2013江西,3,5分,★☆☆)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 [答案] A[解析] 设公比为q,由题意得q===2.故==2,解得x=-3.所以a n =-3×2n-1,a 4=-3×24-1=-24.选A.[第51页 第10题] (2012辽宁,14,5分,★☆☆)已知等比数列{a n }为递增数列.若a 1>0,且2(a n +a n+2)=5a n+1,则数列{a n }的公比q=________. [答案] 2[解析] ∵2(a n +a n+2)=5a n+1,∴2a n +2a n q 2=5a n q,化简得,2q 2-5q+2=0, 即(2q-1)(q-2)=0, 由题意知,q>1, ∴q=2.[第51页 第11题] (2015广东梅州摸底,9,★☆☆)在等比数列{a n }中,a n >0,且a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,则a 4+a 5=( )A.27B.16C.81D.36 [答案] A[解析] 设公比为q,由已知得q>0,因为a 1+a 2=1,a 3+a 4=9,所以q 2==9,解得q=3或-3(舍),故a 4+a 5=(a 1+a 2)·q 3=1×33=27.[第51页 第12题] (2015山东德州测试,★☆☆)已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( ) A.5 B.7 C.6 D.4 [答案] A[解析] 设公比为q,由已知得q>0.由等比数列的性质得a 1·a 2·a 3=,a 7a 8a 9=,所以===q 18=2,∴q 9=.而==q 9=,所以a 4a 5a 6=5.[第51页 第13题] (2014浙江湖州八校联考,★☆☆)已知数列{a n }为等比数列,若a 4+a 6=10,则a 1a 7+2a 3a 7+a 3a 9的值为( )A.10B.20C.60D.100 [答案] D[解析] 由等比数列的性质可知a 1·a 7=,a 3·a 7=a 4·a 6,a 3·a 9=,故a 1a 7+2a 3a 7+a 3a 9=+2a 4·a 6+=(a 4+a 6)2=102=100.故选D.[第51页 第14题] (2014广东,13,5分,★☆☆)若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________. [答案] 50[解析] 因为等比数列{a n }中,a 10·a 11=a 9·a 12,所以由a 10a 11+a 9a 12=2e 5,可解得a 10·a 11=e 5. 所以ln a 1+ln a 2+…+lna 20=ln(a 1·a 2·…·a 20)=ln(a 10·a 11)10=10ln(a 10·a 11)=10·l n e 5=50.[第51页 第15题] (2012广东,12,5分,★☆☆)若等比数列{a n }满足a 2a 4=,则a 1a 5=________. [答案][解析] 由等比数列的性质可得=a 2a 4=a 1a 5=,所以a 1a 5=()2=.[第51页 第8题] (2011辽宁,5,5分,★☆☆)若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n,则公比为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 [答案] B[解析] 设公比为q,由a n a n+1=q=16n>0知q>0,∵=q 2==16, ∴q=4,故选B.[第51页 第9题] (2014江苏,7,5分,★☆☆)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是________. [答案] 4[解析] 设公比为q,由a 8=a 6+2a 4得a 4q 4=a 4q 2+2a 4,两边都除以a 4,得q 4=q 2+2,即q 4-q 2-2=0⇔(q 2-2)(q 2+1)=0,∴q 2=2.∵a 2=1,∴a 6=a 2q 4=1×22=4.[第52页 第16题] (2011江西,18,12分,★★☆)已知两个等比数列{a n },{b n },满足a 1=a(a>0),b 1-a 1=1,b 2-a 2=2,b 3-a 3=3. (1)若a=1,求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{a n }唯一,求a 的值. [答案] 答案见解析[解析] (1)设{a n }的公比为q,b 1=1+a=2,b 2=2+aq=2+q,b 3=3+aq 2=3+q 2.由b 1,b 2,b 3成等比数列得(2+q)2=2(3+q 2),即q 2-4q+2=0,解得q 1=2+,q 2=2-,所以{a n }的通项公式为a n =(2+)n-1或a n =(2-)n-1.(2)设{a n }的公比为q,由(2+aq)2=(1+a)·(3+aq 2),得aq 2-4aq+3a-1=0.(*)由a>0得Δ=4a 2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根, 由{a n }唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=.[第52页 第17题] (2015山西太原质检,★☆☆)设等差数列{a n }的公差不为0,a 1=9d,若a k 是a 1与a 2k 的等比中项,则k=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 [答案] B[解析] 由题意得a k =a 1+(k-1)d=(k+8)d,a 2k =a 1+(2k-1)d=(2k+8)d.又=a 1·a 2k ,所以(k+8)2d 2=9d(2k+8)d,即k 2-2k-8=0. 解得k=4或k=-2(舍).[第52页 第18题] (2014山东济南外国语学校质检,★☆☆)各项均为正数的等比数列{a n }的公比q≠1,且a 2, a 3,a 1成等差数列,则的值为( ) A.B.C.D.或[答案] C[解析] 由已知可得q>0.∵a 2, a 3,a 1成等差数列,∴a 3=a 2+a 1,即q 2=q+1,。
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高一数学A参考答案整理人尼克高一数学A参考答案一、选择题二、填空题13. 14. 24/25 15.或16. －1三、解答题17.【解析】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1,∴cos2θ=925. 2分又<θ<π,∴cosθ=-35. 4分. 6分（2） 9分. 12分18.【解析】试题分析：因为，且A为锐角，所以，CosC=cos[π－(A+B)]=－cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=所以C=135°。
19.【解析】试题分析：解：(1)周期为 3分(2) 5分所以g(x)为奇函数 6分20.解：（1）（2）振幅是，最小正周期为，单调递增区间是，递减区间是，其中。
21.解(1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以所求的单调递增区间为(k∈Z)．(2)变换情况如下：y＝sin 2x y＝sin ――――――――――――――――――――――――――→y＝sin＋. 22.解(1)由图象易知函数f(x)的周期为T＝4×＝2π，A＝1，所以ω＝1.法一由图可知此函数的图象是由y＝sin x的图象向左平移个单位得到的，故φ＝，所以函数解析式为f(x)＝sin.法二由图象知f(x)过点.则sin＝0，∈－＋φ＝kπ，k∈Z.∈φ＝kπ＋，k∈Z，又∈φ∈，∈φ＝，∈f(x)＝sin.(2)方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sin在上的图象，当x＝0时，f(x)＝，当x ＝时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈∈(－1,0)．高一数学龙虎参考答案一、选择题二、填空题13. 14. −1215. 16. 6三、解答题17．【解析】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1,∴cos2θ=925. 2分又<θ<π,∴cosθ=-35. 4分. 6分（2） 9分. 12分18．试题解析：（1）因为函数f(x)=asinx+cosx的图象经过点(π2,−1)，所以f(π2)=−1 1分即asinπ2+cosπ2=−1，解得：a=−1 2分f(x)=cosx−sinx=√2cos(x+π4) 4分T=2π1=2π所以函数f(x)的最小正周期为． 5分因为函数y=cosx的单调递增区间为[−π+2kπ,2kπ],k∈Z所以−π+2kπ≤x+π4≤2kπ解得：−5π4+2kπ≤x≤2kπ−π46分所以函数f(x)的单调递增区间为[−5π4+2kπ,−π4+2kπ],k∈Z 7分（2）解法1：∵，∴．∴． 9分∴ ． 12分解法2：∵，∴∴．∴． 9分两边平方得． 11分∴ ． 12分19．【解析】解：（1） 2分4分最小正周期为， 6分（2）因为，所以 8分所以 10分所以，所以取值范围为． 12分20.解：化简4分（1）当时，取得最小值，此时即，故此时x的集合为{x|x=kπ−π12,k∈Z} 6分（2）当x∈[0,π2]时，所以2x−π3∈[−π3,2π3]，所以，从而即f(x)∈[−√3+1,3] 8分（3）由知1 1 310分故在区间上的图象如图所示：21.试题分析（1）函数，，，得；即，由题意得，得，所以函数的单调递增区间为T n−nS n=2n2+4n≥6．（2）由题意得，所以有，又由得，解得，即，，故所有根之和为0≤m≤2．22．解：（1），由于的最大值为2且A>0，所以即A=2得，又函数的图象过点(1,2)则…4分（2）由(1)知且周期为4，2010=4×502+2………6分故8分(3) 由在区间[1,4]上恰有一个零点知：函数的图象与直线恰有一个交点。
高中必修1-5错误解题分析系列-《4.3数列的综合应用》
第四章 数列§4.3数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n 还是求a n .一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n na a a a 或解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想； 3.等差数列中, a m =a n + (n －m)d, nm a a dn m --=; 等比数列中，a n =a m q n-m ; mn mn a a q=-4.当m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈+N ）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +a n =a p +a q ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =a p a q ；5.若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +bb n }(k 、b 是非零常数)是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛ka n ｝、{a n b n }等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶-S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈+N ）；8.若一阶线性递推数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11-+=-+-k b a k k b a n n(n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲[例1]设{}n a 是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和.证明：12122121l o g 2l o g l o g +++n n n S S S ＞。
高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题13空间向量与立体几何(2021学年)
高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题1３空间向量与立体几何编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题13 空间向量与立体几何)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题13 空间向量与立体几何【标题0１】对于空间直角坐标系的对称性质理解错误【习题０１】点(123)A ，，关于xoy 平面对称的点B 的坐标是( ）A.(1,2,3)- B 。
(1,2,3)- C ． (1,2,3)- D 。
(1,2,3)--【经典错解】根据空间直角坐标系的对称性质得选D【详细正解】根据空间直角坐标系的对称性质得,关于xoy 平面对称时，横坐标和纵坐标不变，其它坐标变化，所以选择C 。
【深度剖析】(1）经典错解错在对于空间直角坐标系的对称性质理解错误;(2）空间直角坐标系和平面直角坐标系中的对称性质是一样的，对称轴或对称平面上的坐标不改变,其它坐标要改变。
掌握这个规律就可以了.【习题0１针对训练】点(123)A ，，关于x 轴对称的点B 的坐标是 .【标题02】空间向量和平面平行知识点混乱出错【习题02】已知线段AB 的两端点的坐标为()9,3,4A -,()9,2,1B ,则线段AB 与下列哪个平面平行 （ )A ． xoy B. xoz C 。
yoz D 。
xoz 或xoy【经典错解】()0,5,3AB =-,所以与xoz xoy 或平行,所以选择D 。
【详细正解】()0,5,3AB =-,所以与yoz 平行,所以选择C 。
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练习（第7页）
1．写出集合 的所有子集．
1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得 ；
取一个元素，得 ；
取两个元素，得 ；
取三个元素，得 ，
即集合 的所有子集为 ．
2．用适当的符号填空：
（1） ______ ； （2） ______ ；
（3） ______ ； （4） ______ ；
1． 集合 满足 ，则 ，即集合 是集合 的子集，得 个子集．
2．在平面直角坐标系中，集合 表示直线 ，从这个角度看，
集合 表示什么？集合 之间有什么关系？
2．解：集合 表示两条直线 的交点的集合，
即 ，点 显然在直线 上，
得 ．
3．设集合 ， ，求 ．
3．解：显然有集合 ，
当 时，集合 ，则 ；
当 时，集合 ，则 ；
则 ， ．
1．1集合
习题1．1 （第11页） A组
1．用符号“ ”或“ ”填空：
（1） _______ ； （2） ______ ； （3） _______ ；
（4） _______ ； （5） _______ ； （6） _______ ．
1．（1） 是有理数； （2） 是个自然数；
（3） 是个无理数，不是有理数； （4） 是实数；
4．已知函数 ，求 ， ， ， ．
4．解：因为 ，所以 ，
即 ；
同理， ，
即 ；
，
即 ；
，
即 ．
5．已知函数 ，
（1）点 在 的图象上吗？
（2）当 时，求 的值；
（3）当 时，求 的值．
5．解：（1）当 时， ，
即点 不在 的图象上；
（2）当 时， ，
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第十一章 数系的扩充与复数 §11.1 数系的扩充与复数的概念 一、知识导学
1. 复数：形如bia的数（ba,R），复数通常有小写字母z表示，即biaz,其中a叫做复数的实部、b叫做复数的虚部，i称做虚数单位. 2. 分类：复数bia(ba,R)中，当0b时，就是实数；除了实数以外的数，即当b0时，bia叫做虚数；当0a,b0时，叫做纯虚数. 3. 复数集：全体复数所构成的集合. 4. 复数相等：如果两个复数bia与dic的实部与虚部分别相等，记作：bia=dic.
5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.
6. 复数的模：设oz=bia,则向量oz的长度叫做复数bia的模（或绝对值），记作bia.
(1)22babiaz； (2)21zz=12zz；
(3)2121zzzz； 7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数. 二、疑难知识导析 1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小
2．,Rz则02z，而Cz，则02z不一定成立，如iz时012i；
3．22,zzRz，而Cz则22zz不一定成立； 4．若,,,321Czzz0)()(232221zzzz不一定能推出321zzz； 5．若Rzz21,，则21zz=212214)(zzzz，但若,,21Czz则上式不一定成立. 三、经典例题导讲 [例1]两个共扼复数的差是（ ） A.实数 B.纯虚数 C.零 D.零或纯虚数 错解:当得到bizz2时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件. 正解：设互为共扼的两复数分别为biaz及),(Rbabiaz则bizz2 或bizz2 当0b时，zz，zz为纯虚数 当0b时，0zz，0zz，因此应选D. 注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记 忆有关概念性质. [例2]判断下列命题是否正确
(1)若Cz, 则02z
(2)若,,21Czz且021zz，则21zz (3)若ba，则ibia 错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正 确的 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复 数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的. (3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的 前提条件.
正解：(1)错，反例设iz则0122iz
(2)错，反例设iz21，iz12，满足0121zz，但1z2z 不能比较大小. (3)错，ba，Rba,，故ia，ib都是虚数，不能比较大小.
[例3]实数a分别取什么值时，复数iaaaaaz)152(3622是(1)实数； (2)虚数;(3)纯虚数. 解：实部3)3)(2(362aaaaaa，虚部)5)(3(1522aaaa. （1）当 时，z是实数； （2）当 ，且 时，z是虚数； （3） 当 或 时是纯虚数． [例4] 设izRmimmmmz35),()34()32(2221，当m取何值时， (1) 21zz; (2)01z. 分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．
解：(1)由可得：33453222mmmm解之得4m，
即：当 时 (2)当 可得： 或 ，即 时01z. [例5]21,zz是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且024222121zzzz，证明△OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．
分析 本题起步的关键在于对条件024222121zzzz的处理．等式左边是关于21,zz的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．
解：由024222121zzzz（，不为零），得
3sin3cos21431832221221i
z
z
ziziz
即向量OP与向量OQ的夹角为3， 在图中，3POQ，又||21||21zz，设rzrz2||,||21， 在△OPQ中，由余弦定理 △OPQ为直角三角形， ． 四、典型习题导练 1. 设复数z满足关系izz2||，那么z等于（ ）．
A． B． C． D． 2.复数系方程062)1()1(2ixixi有实数根，则这个实数是_________.
3. 实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．
4.已知zzzf1)(且,310)(izf求复数z 5.设复数z满足5z且zi)43(在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，),(252Rmmz求mz和的值
§11.2 复数的运算 一、知识导学 1.复数加、减法的几何意义 (1)加法的几何意义
复数21zz 是以1oz、2oz为两邻边的平行四边形对角线oz所对应的复数. (2)复数减法的几何意义
复数21zz是连接向量1OZ、2OZ的终点，并指向被减数的向量21zz所对应的复数. 2. 重要结论 （1） 对复数z 、1z、2z和自然数m、n，有
nmnmzzz，mnnmzz)(，nnnzzzz2121)(
(2) ii1，12i，ii3，14i； 114ni，124ni，iin34，14ni. (3) ii2)1(2，iii11，iii11.
(4)设231i，2，2，012，nn33，021nnn
二、疑难知识导析 1.对于22zzzz，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会. 2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论. 当Cz时，不总是成立的. (1)),()(为分数时不成立nmzzmnnm； (2))1(时不成立znmzznm； (3)),(0021212221是虚数时不成立zzzzzz； (4))(22为虚数时不成立zzz； (5))(为虚数时不成立zazaaz 三、经典例题导讲 [例1] 满足条件512ziz的点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 错解：选A或B.
错因：如果把iz2看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）
与（-1，0）的距离之和为常数5 动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数. 正解：点（0，2）与（-1，0）间的距离为5， 动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C 评注：加强对概念的理解加深，认真审题.
[例2] 求值：.)1()1(6nnii
错解：原式=1368)2()11()1(nnniiiiii 82时，原式当n 83时，原式当n 错因：上面的解答错在没有真正理解Zn的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i整数幂的运算结果的周期性. 正解：原式=niii)11()1(6 =138)2(nniii
=).4(8,348)(),24(8),14(8kniknkknikn）（为非负整数 评注：虚数单位i整数幂的值具有以4为周期的特点，根据时，求nin必须按被4整除
余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.
[例3]已知iz312，求200021zzz的值.
分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式qqaSnn1)1(1，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简. iiiz23214)31(2312
原式=01111111667*32001zz 评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立. [例4] （06年上海春卷）已知复数w满足i(i)23(4ww为虚数单位），
|2|5wwz，求一个以z为根的实系数一元二次方程.
解法一： i2i21i34,i34)i21(ww， i3|i|i25z.
若实系数一元二次方程有虚根i3z，则必有共轭虚根i3z. 10,6zzzz，
所求的一个一元二次方程可以是01062xx.
解法二：设ibawR)(ba、 baba2i2i34i，