2018-2019年高考数学(理)二轮专题复习突破精练专题对点练21 6.1-6.3组合练 及答案
【高考数学】2018-2019学年高三高考数学二轮复习专题训练+08+Word版含答案
7、已知函数 ， 。
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值。
解：（1） ，
因此，函数 的最小正周期为 。
（2）因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又 ， ， ，
故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 。
8、已知 ， 。
求 和 的值。
解：由 得 ，解得 或 ，
。
（2） ， ，
且 ， ，即实数 的取值范围是 。
12、已知函数 。
（1）求 的最小正周期和最小值；
（2）已知 ， ，求证： 。
解析：（1）∵
，
∴ 的最小正周期是 ，当 ，
即 时，函数取得最小值-2。
（2） ， ，
，
，
，
，
，
所以，结论成立。
解析：（1）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，
由 为锐角三角形得 。
（2）根据余弦定理，得 。所以， 。
（3）
。
由 为锐角三角形知， ， ， ，
所以 ，由此有 ，所以 的取值范围为 。
11、已知函数 ， 。
（1）求 的最大值和最小值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围。
解：（1） 。
又 ， ，即 ，
由已知 ，故舍去 ，得 。
因此，
那么 且
故
9、在 中， ， ， 。
（1）求 的值；
（2）求 的值。
解：（1）由余弦定理，
那么，
（2）解：由 ，且 得
由正弦定理， ，解得 ，所以 ，
由倍角公式得 ，且 ，
故 。
10、设锐角 的内角 的对边分别为 ， 。
（1）求 的大小；
【高考数学】2018-2019学年高三高考数学二轮复习专题训练+14+Word版含答案
（2）记 ，求数列 的前 项和 。
解：（1）由 得 ， ，又 ，
数列 是首项为1公比为 的等比数列， ，
；
由 得 ，由 得 ，...，
同理，当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
因此 ， 。
（2） ，
当 为奇数时：
当 为偶数时：
令 ①
①× 得： ②
①—②得
，
。
6、数列 的通项公式为 ，其前 项和为 。
故数列 的通项公式为
（2）由（1）知， ，
......①， ......②
①—②得， ，
所以 ；
要证明当 时， 成立，只需证明当 时， 成立。
令 ，则 ，
当 时， ，因此当 时，
于是当 时， ，
综上所述，当 时， 。
4Hale Waihona Puke 已知数列 的首项 ， ， …。（1）证明：数列 是等比数列；
（2）数列 的前 项和 。
解：（1） ， ， ，
又 ， ，数列 是以为 首项， 为公比的等比数列。
（2）由（1）知 ，即 ， 。
设 … ，①
则 … ，②
由①—②得 … ， 。又 … 。
数列 的前 项和 。
5、设数列 满足 ， ， ， 。数列 满足 是非零整数，且对任意的正整数 和自然数 ，都有 。
数列04
1、已知数列 的首项 ，通项公式 （ 为常数），且 成等差数列，求：
（1） 的值；
（2）数列 的前 项的和 的公式。
解：（1）由 ，得 ，又 ， ，且 ，得 ，解得 ， 。
（1） 。
2、在数列 中， ， 。
（1）设 。证明：数列 是等差数列；
（2）求数列 的前 项和 。
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练三：专题对点练25 7-1~7-3组合练(含解析)
专题对点练257.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)专题对点练第41页一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2017河南焦作二模,理8)已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=()A.45°B.30°C.15°D.60°答案A解析由题意,|MF|=p,则设点M,∵K,∴k KM=1,∴∠MKF=45°,故选A.2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2答案A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.(2017辽宁鞍山一模,理10)已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.(2,1)B.(-2,1)C.D.答案D解析如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x2=4y,可得y=,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为,故选D.4.(2017河北保定二模,理9)当双曲线=1的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案B解析由题意,焦距2c=2=2,当m=1时,双曲线的焦距最小,此时双曲线的方程为=1,其渐近线的方程为y=±x,故选B.5.(2017广西南宁一模,理11)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为cb,则双曲线C的离心率为()A.B.2 C.2D.2答案D解析双曲线C:=1(a>0,b>0)焦点在x轴上,设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称,且|MN|=|OF|=c,∴x0=-,四边形OFMN的面积为cb,∴|y0|c=cb,即|y0|=b,∴M,代入双曲线可得=1,整理得-2=1.由e=,∴e2=12,由e>1,解得e=2,故选D.6.(2017福建厦门二模,理6)已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB 是等边三角形,其面积为48,则p的值为()A.2B.2C.4D.4答案A解析设B(x1,y1),A(x2,y2),∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又∵x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0,∴x2-x1=0,即x1=x2.由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,不妨设直线OB的方程为y=x,联立y2=2px,解得B(6p,2p),∴|OB|==4p,∴·(4p)2=48,∴p=2,故选A.7.(2017河南洛阳三模,理11)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.B.+1 C.D.-1答案B解析过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,∴.设PA的倾斜角为α,则sin α=,当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切.设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,∴Δ=16k2-16=0,∴k=±1,∴P(2,1),∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(-1),∴双曲线的离心率为+1.故选B.8.(2017天津,理5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案B解析设双曲线半焦距为c(c>0),则双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=±x.∵点P的坐标为(0,4),∴直线PF的斜率为k=.由题意得. ①∵双曲线的离心率为,∴. ②在双曲线中,a2+b2=c2,③联立①②③解得a=b=2,c=4.∴所求双曲线的方程为=1.故选B.9.(2017全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为θ.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=.同理可得|BF|=,所以|AB|=.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=≥16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2017河北邯郸一模,理16)已知点A(a,0),点P是双曲线C:-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小值为3,则a= .答案-1或2解析设P(x,y)(x≥2),则|PA|2=(x-a)2+y2=a2-1,当a>0时,x=a,|PA|的最小值为a2-1=3,解得a=2;当a<0时,2-a=3,解得a=-1.故答案为-1或2.11.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x 轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .答案4解析因为|AB|=2,且圆的半径R=2,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-=0的距离为=3.由=3,解得m=-.将其代入直线l的方程,得y=x+2,即直线l的倾斜角为30°.由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|==4.12.(2017北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案(1)Q1(2)p2解析(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然C i的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p==k OC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得,故p1,p2,p3中最大的是p2.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(2017河北保定二模,理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),D(-a,0),△ABD的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,设P(x0,y0)是椭圆C在第二象限的部分上的一点,且直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求四边形ABNM的面积.解(1)由题意得解得a=2,b=.故椭圆C的方程为=1.(2)由(1)知,A(2,0),B(0,),由题意可得S四边形ABNM=|AN|·|BM|,∵P(x0,y0),-2<x0<0,0<y<,3+4=12.∴直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-.从而|BM|=|-y M|=.直线PB的方程为y=x+.令y=0,得x N=-.从而|AN|=|2-x N|=.∴|AN|·|BM|====4.∴S四边形ABNM=|AN|·|BM|=2,即四边形ABNM的面积为2.14.(2017河北邯郸一模,理20)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,直线l:y=kx+交抛物线E于A,B两点.(1)当k=1,|AB|=8时,求抛物线E的方程;(2)过点A,B作抛物线E的切线l1,l2,且l1,l2交点为P,若直线PF与直线l斜率之和为-,求直线l的斜率.解(1)联立消去x得y2-3py+=0,由题设得|AB|=y A++y B+=y A+y B+p=4p=8,∴p=2,故抛物线E的方程为x2=4y.(2)设A,B,联立消去y得x2-2pkx-p2=0,∴x1+x2=2pk,x1·x2=-p2,由y=x2得y'=x,∴直线l1,l2的方程分别为y=x-,y=x-,联立得点P的坐标为,∴k PF=-,∴-+k=-.∴k=-2或,∴直线l的斜率为k=-2或k=.15.(2017天津,理19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,已知A 是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.。
2019高考数学高分突破二轮复习练习：专题二 第1讲 等差数列与等比数列 Word版含解析
第1讲 等差数列与等比数列高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A.－24B.－3C.3D.8解析 根据题意得a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，由a 1＝1及d ≠0解得d ＝－2，所以S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24. 答案 A2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32fB.322fC.1225fD.1227f解析 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f .由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }.则第八个单音频率为a 8＝f ·(122)8－1＝1227f .答案 D3.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63. 答案 －634.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.考 点 整 合1.等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ； (3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，成等差数列.2.等比数列(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；(2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q ；(3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·q n －m ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列.温馨提醒 应用公式a n ＝S n －S n －1时一定注意条件n ≥2，n ∈N *.热点一 等差、等比数列的基本运算【例1】 (1)(2018·潍坊三模)已知{a n }为等比数列，数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为( ) A.3n ＋1 B.3n －1 C.3n 2＋n2D.3n 2－n 2解析 由b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1. ∴{a n }的公比q ＝a 2a 1＝b 2－b 1＝3.从而b n ＋1－b n ＝3，则数列{b n }是首项为2，公差为3的等差数列. 因此{b n }的前n 项和T n ＝2n ＋n （n －1）2×3＝12(3n 2＋n ).答案 C(2)(2018·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. ①求{a n }的通项公式； ②求S n ，并求S n 的最小值.解 ①设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. ②由①得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.探究提高 1.等差(比)数列基本运算的解题途径： (1)设基本量a 1和公差d (公比q ).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.2.第(2)题求出基本量a 1与公差d ，进而由等差数列前n 项和公式将结论表示成“n ”的函数，求出最小值.【训练1】 (1)(2018·郑州调研)已知等差数列{a n }的公差为2，a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A.n (n －2) B.n (n －1) C.n (n ＋1)D.n (n ＋2)解析 依题意a 23＝a 2·a 6，得(a 1＋4)2＝(a 1＋2)(a 1＋10).解得a 1＝－1. 因此S n ＝na 1＋n （n －1）2×2＝n 2－2n .答案 A(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2. ①若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； ②若T 3＝21，求S 3.解 ①设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ， 由题设得⎩⎨⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5 解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎨⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. ②由已知得⎩⎨⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21， 解得⎩⎨⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎨⎧q ＝－5，d ＝8.∴当d ＝－1时，S 3＝－6；当d ＝8时，S 3＝21. 热点二 等差(比)数列的性质【例2】(1)(2018·石家庄调研)在等比数列{a n}中，a6，a10是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则a8的值为()A.2B.－2或 2C. 2D.－ 2(2)(2018·北京海淀区质检)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n－2，若数列{b n}满足b n＝10－log2a n，则使数列{b n}的前n项和取最大值时的n的值为________.解析(1)由题意a6a10＝2，且a6＋a10＝－6，所以a6<0，a10<0，又数列{a n}为等比数列，所以a8<0，所以a8＝－a6a10＝－ 2.(2)∵S n＝2a n－2，∴n＝1时，a1＝2a1－2，解得a1＝2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2－(2a n－1－2)，∴a n＝2a n－1.∴数列{a n}是公比与首项都为2的等比数列，∴a n＝2n.∴b n＝10－log2a n＝10－n.由b n＝10－n≥0，解得n≤10.∴{b n}前9项为正，第10项为0，以后各项为负，∴使数列{b n}的前n项和取最大值时的n的值为9或10.答案(1)D(2)9或10探究提高 1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.【训练2】(1)(2018·湖南六校联考)在等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根，那么S11的值为()A.44B.－44C.55D.－55(2)(2018·石家庄质检)等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和S8为()A.4B.2C.3D.5解析 (1)由题设，a 5＋a 7＝－10，则S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 5＋a 7）2＝11×(－5)＝－55.(2)设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 5＝5，a 4＝2，得5＝2q ，∴q ＝52.∴a n ＝a 4·q n －4＝2·⎝⎛⎭⎪⎫52n －4，且a 1a 8＝a 4a 5＝10. 从而lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，则数列{lg a n }是等差数列，∴S 8＝12(lg a 1＋lg a 8)×8＝4lg(a 1a 8)＝4lg 10＝2. 答案 (1)D (2)B热点三 等差(比)数列的判断与证明【例3】 (2018·成都调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数. (1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.(1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1， ∴S 2n ＝(S n ＋1－S n )2－λS n ＋1，则S n ＋1(S n ＋1－2S n －λ)＝0.∵a n >0，知S n ＋1>0，∴S n ＋1－2S n －λ＝0， 故S n ＋1＝2S n ＋λ.(2)解 由(1)知，S n ＋1＝2S n ＋λ， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋λ，两式相减，a n ＋1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n }从第二项起成等比数列，且公比q ＝2. 又S 2＝2S 1＋λ，即a 2＋a 1＝2a 1＋λ， ∴a 2＝a 1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1.因此a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，（λ＋1）·2n －2，n ≥2. 若数列{a n }是等比数列，则a 2＝1＋λ＝2a 1＝2. ∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{a n }是等比数列.【迁移探究】 若本例中条件“a 1＝1”改为“a 1＝2”其它条件不变，试求解第(2)问. 解 由本例(2)，得a n ＋1＝2a n (n ≥2，n ∈N *). 又S 2＝2S 1＋λ，∴a 2＝a 1＋λ＝2＋λ>0. ∴a n ＝(2＋λ)·2n －2(n ≥2). 又a 1＝2，若{a n }是等比数列， ∴a 2＝(2＋λ)·20＝2a 1＝4，∴λ＝2.故存在λ＝2，此时a n ＝2n ，数列{a n }是等比数列.探究提高 1.判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于任意n ≥1，n ∈N *，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数；(2)中项公式法. 2.a n ＋1a n ＝q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判定时还要看各项是否为零.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝ －6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得 ⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）＝23[(－2)n －1]，则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n －2]＝43[(－2)n －1]＝∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.热点四 等差数列与等比数列的综合问题【例4】 (2018·天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6. (1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值. 解 (1)设等比数列{b n }的公比为q (q >0). 由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0. 因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1. 所以，T n ＝1－2n 1－2＝2n －1.设等差数列{a n }的公差为d . 由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1， 故a n ＝n .所以，S n ＝n （n ＋1）2.(2)由(1)，有T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2×（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 得n （n ＋1）2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4. 所以，n 的值为4.探究提高 1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.2.数列的通项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列【训练4】 (2018·武汉质检)在公比为q 的等比数列{a n }中，已知a 1＝16，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若q <1，求满足a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a 2n －1－a 2n >10的最小正整数n 的值. 解 (1)依题意，2(a 2＋2)＝a 1＋a 3，且a 1＝16. ∴2(16q ＋2)＝16＋16q 2， 即4q 2－8q ＋3＝0. 因此q ＝12或q ＝32. 当q ＝12时，a n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n ；当q ＝32时，a n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.(2)由(1)知，当q <1时，a n ＝25－n . 则a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a 2n －1－a 2n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝323⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122n 由323⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122n >10，得122n <116.∴n >2，正整数n 的最小值为3.1.在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算.2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.应用关系式a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.一、选择题1.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析 设数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1. ∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B2.等差数列{a n }中的a 1，a 4 033是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 017＝( ) A.2B.3C.4D.5解析 因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，依题意，a 1，a 4 033是方程f ′(x )＝x 2－8x ＋6＝0的两根， ∴a 1＋a 4 033＝8，则a 2 017＝4， 故log 2a 2 017＝log 24＝2. 答案 A3.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( ) A.13B.12C.11D.10解析 设等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，由已知得a 1a 2a 3＝2，a n a n －1a n －2＝4，可得(a 1a n )3＝2×4，a 1a n ＝2，∵T n ＝a 1a 2…a n ，∴T 2n ＝(a 1a 2…a n )2＝(a 1a n )(a 2a n －1)…(a n a 1)＝(a 1a n )n ＝2n ＝642＝212，∴n ＝12. 答案 B4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则此人第4天和第5天共走的路程为( )A.60里B.48里C.36里D.24里解析 由题意，每天走的路程构成公比为12的等比数列.设等比数列的首项为a 1，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 4＝192×18＝24，a 5＝24×12＝12，a 4＋a 5＝24＋12＝36.所以此人第4天和第5天共走了36里.答案 C5.(2018·北京燕博园能力测试)数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *)，设b n ＝na n ，则数列{b n }的项的最大值为( )A.8164B.2716C.32D.2解析 由条件可知：3a n ＋S n ＝4，3a n －1＋S n －1＝4(n ≥2).相减，得a n ＝34a n －1.又3a 1＋S 1＝4a 1＝4，故a 1＝1.则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.设{b n }中最大的项为b n ，则⎩⎨⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －2，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫34n . 解之得3≤n ≤4.∴{b n }的项的最大值为b 3＝b 4＝2716.答案 B二、填空题6.(2018·北京卷)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________.解析 设等差数列的公差为d ，∵a 1＝3，且a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝36，∴d ＝6，∴a n ＝3＋(n －1)·6＝6n －3.答案 a n ＝6n －37.(2018·福州质检)数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 3＝15，则a 1＝________. 解析 易知a n ≠0，且a n ＋1＝a n 2a n ＋1. ∴1a n ＋1－1a n ＝2，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为2的等差数列，又a 3＝15，知1a 3＝5，∴1a 1＋2×2＝5，则a 1＝1.答案 18.(2018·石家庄质检)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为________. 解析 由题意知⎩⎨⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5， 由d ≠0，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2，∴S n n ＝na 1＋n （n －1）2d n ＝n －4.由n －4≥0，得n ≥4，且S 44＝0，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 的值为3或4. 答案 3或4三、解答题9.(2018·北京卷)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2.(1)求{a n }的通项公式；(2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n .解 (1)设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2.又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝ln 2＋(n －1)ln 2＝n ln 2.(2)因为e a 1＝e ln 2＝2，e a n e a n －1＝e a n －a n －1＝e ln 2＝2，所以{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列.所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×1－2n1－2＝2n ＋1－2.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且1，a n ，S n 成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ·b n ＝1＋2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由已知1，a n ，S n 成等差数列得2a n ＝1＋S n ，① 当n ＝1时，2a 1＝1＋S 1＝1＋a 1，∴a 1＝1，当n ≥2时，2a n －1＝1＋S n －1，②①－②得2a n －2a n －1＝a n ，∴a n ＝2a n －1(n ≥2)，且a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝a 1q n －1＝1·2n －1＝2n －1.(2)由a n ·b n ＝1＋2na n 得b n ＝1a n＋2n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1a 1＋2＋1a 2＋4＋…＋1a n＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＋(2＋4＋…＋2n ) ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋（2＋2n ）·n 2＝n 2＋n ＋2－12n －1. 11.已知{a n }是递增数列，其前n 项和为S n ，a 1>1，且10S n ＝(2a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)是否存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )＝a k 成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由10a 1＝(2a 1＋1)(a 1＋2)，得2a 21－5a 1＋2＝0，解得a 1＝2或a 1＝12.又a 1>1，所以a 1＝2.因为10S n ＝(2a n ＋1)(a n ＋2)，所以10S n ＝2a 2n ＋5a n ＋2.故10a n ＋1＝10S n ＋1－10S n ＝2a 2n ＋1＋5a n ＋1＋2－2a 2n －5a n －2，整理，得2(a 2n ＋1－a 2n )－5(a n ＋1＋a n )＝0，即(a n ＋1＋a n )[2(a n ＋1－a n )－5]＝0.因为{a n }是递增数列且a 1＝2，所以a n ＋1＋a n ≠0，因此a n ＋1－a n ＝52.所以数列{a n }是以2为首项，52为公差的等差数列，所以a n ＝2＋52(n －1)＝12(5n －1).(2)满足条件的正整数m ，n ，k 不存在，理由如下： 假设存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )＝a k ，则5m －1＋5n －1＝12(5k －1)，整理，得2m ＋2n －k ＝35，(*)显然，(*)式左边为整数，所以(*)式不成立. 故满足条件的正整数m ，n ，k 不存在.。
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练：专题对点练18 5.1-5.3组合练 Word版含解析
专题对点练185、1~5、3组合练(限时90分钟，满分100分)一、选择题(共9小题，满分45分)1、(2017浙江，3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A、+1B、+3C、+1D、+3答案 A解析 V=×3××π×12++1，故选A、2、已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A、α∥β，且l∥αB、α⊥β，且l⊥βC、α与β相交，且交线垂直于lD、α与β相交，且交线平行于l答案 D解析因为m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以l∥α、同理可得l∥β、又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线、故选D、3、(2017河北邯郸一模，理10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A、πB、πC、πD、π答案 A解析由三视图可得，该几何体的直观图为圆锥的与圆柱的的组合体，由图中数据可得，该几何体的体积为×π×12×π×12×2=π，故选A、4、如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A、B、C、D、答案 C解析由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示、切削掉部分的体积V1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm3)，原来毛坯体积V2=π×32×6=54π(cm3)、故所求比值为、5、(2017四川成都三诊，理11)如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形、若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A、27πB、48πC、64πD、81π答案 C解析由三视图可知，该几何体为三棱锥，三棱锥的高VA=4，直观图如图所示、∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，连接OA，DA，则DE=OA=×3=2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，∴r==4，∴该球的表面积S=4πr2=64π、故选C、6、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( ) A、B、C、D、答案 C解析如图，以点C1为坐标原点，C1B1，C1A1，C1C所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设BC=CA=CC1=1，可知点A(0，1，1)，N，B(1，0，1)，M、∴、∴cos<>=、根据的夹角及AN与BM所成角的关系可知，BM与AN所成角的余弦值为、7、(2017辽宁沈阳三模，理10)已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线成的角的余弦值为( )A、B、C、D、答案 A解析由三视图还原原几何体如图、几何体是三棱锥A-BCD，满足平面ACD⊥平面BCD，且AD⊥CD，BC⊥CD，则最短棱为CD，最长棱为AB、在平面BCD内，过B作BE∥CD，且BE=CD，连接DE，∴四边形BEDC为长方形，可得AE=2、在Rt△AEB中，求得AB==3，∴cos∠ABE=、即最短的棱和最长的棱所在直线成的角的余弦值为、故选A、8、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示、若该几何体的表面积为16+20π，则r=( )A、1B、2C、4D、8答案 B解析由条件知，该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成，其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得，所以表面积为S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π，解得r=2、9、(2017河南新乡二模，理10)已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O，半径为3的球面上，且三棱锥O-ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为( )〚导学号16804204〛A、B、4πC、D、3π答案 A解析设正三角形ABC的中心为O1，连接O1O，O1C，O1D，OD，∵O1是正三角形ABC的中心，A，B，C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC、又O1C⊂平面ABC，∴O1O⊥O1C、∵球的半径R=3，O1O=2，∴在Rt△O1OC中，O1C=、又D为BC的中点，∴在Rt△O1DC中，O1D=O1C=、∴在Rt△OO1D中，OD=、过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r=，可得截面积为S=πr2=、故选A、二、填空题(共3小题，满分15分)10、已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为、答案解析如图，设球O的半径为R，则AH=，OH=、∵π·EH2=π，∴EH=1、∵在Rt△OEH中，R2=+12，∴R2=、∴S球=4πR2=、11、(2017山西太原二模，理15)已知三棱锥A-BCD，AB=AC=BC=2，BD=CD=，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，则该三棱锥外接球的表面积为、答案解析由题意，得△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心、∵点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，∴BF=，∴AF=、设球心O到平面BCD的距离为h，则1+h2=，解得h=，r=，故该三棱锥外接球的表面积为4π×、12、(2017全国Ⅲ，理16)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论:①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°、其中正确的是、(填写所有正确结论的编号)答案②③解析由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由AC⊥a，AC⊥b，得AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b、连接AD，在等腰三角形ABD中，设AB=AD=，当直线AB与a成60°角时，∠ABD=60°，故BD=、又在Rt△BDE中，BE=2，∴DE=，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF=DE=，∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF=60°，即AB与b成60°角，②正确，①错误、由最小角定理可知③正确;很明显，可以满足直线a⊥平面ABC，直线AB与a所成的最大角为90°，④错误、故正确的说法为②③、三、解答题(共3个题，分别满分为13分，13分，14分)13、(2017河南郑州一中质检，理18)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知AC=2AB=4，BC=2AD=2DC=2、(1)求证:平面SAB⊥平面SAC;(2)求二面角B-SC-A的余弦值、(1)证明在△BCA中，∵AB=2，CA=4，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC、又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，∴AC⊥平面SAB、又AC⊂平面SAC，故平面SAB⊥平面SAC、(2)解如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，S(1，0，)，C(0，4，0)、=(1，-4，)，=(-2，4，0)，=(0，4，0)、设平面SBC的法向量n=(x，y，z)，由则取n=、设平面SCA的法向量m=(a，b，c)，由则取m=(-，0，1)，∴cos<n，m>=-，∴二面角B-SC-A的余弦值为、14、(2017辽宁沈阳三模，理19)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，△ABC和△ABB1都是边长为2的正三角形、(1)过B1作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB，并证明;(2)求AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值、解 (1)设AB的中点为O，连接OC，OB1，B1C，则截面OB1C为所求、证明:因为OC，OB1分别为△ABC，△ABB1的中线，所以AB⊥OC，AB⊥OB1、又OC，OB1⊂平面OB1C，OC∩OB1=O，所以AB⊥平面OB1C、(2)以O为原点，OB方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易求得B(1，0，0)，A(-1，0，0)，C(0，，0)，B1(0，0，)，C1(-1，)，=(1，-，0)，=(1，0，-)，=(0，)、设平面BCC1B1的一个法向量为n=(x，y，z)，由解得平面BCC1B1的一个法向量为n=(，1，1)，则|cos<，n>|=，所以AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为、15、(2017天津，理17)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC 的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2、(1)求证:MN∥平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长、解如图，以A为原点，分别以方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系、依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)、(1)证明:=(0，2，0)，=(2，0，-2)，设n=(x，y，z)为平面BDE的法向量，则不妨设z=1，可得n=(1，0，1)、又=(1，2，-1)，可得·n=0、因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE、(2)易知n1=(1，0，0)为平面CEM的一个法向量、设n2=(x，y，z)为平面EMN的法向量，则因为=(0，-2，-1)，=(1，2，-1)，所以不妨设y=1，可得n2=(-4，1，-2)、因此有cos<n1，n2>==-，于是sin<n1，n2>=、所以，二面角C-EM-N的正弦值为、(3)依题意，设AH=h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)，进而可得=(-1，-2，h)，=(-2，2，2)、由已知，得|cos<>|=，整理得10h2-21h+8=0，解得h=或h=、所以，线段AH的长为、。
【高考数学】2018-2019学年数学高考(理)二轮专题复习检测：第一部分专题六 解析几何14Word版含答案
(
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.若直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到l的距离为,则l的+4=0
C.3x-y-4=0
D.x-3y-4=0
2.若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()
易知线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4).
设所求圆的圆心为C(a,b),则有
解得a=2,且b=1.
因此圆心坐标为(2,1),半径r=|AC|=.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
11.2解析由题意知,P(1,),A(-1,),B(3,),由OA⊥OB得=-1,所以r2=4,所以r=2,P(1,),kOP=.
5.D解析由题意知圆心(2,3)到直线y=kx+3的距离为d==1,故当|MN|≥2时,d=≤1,解得k∈.故选D.
6.B解析圆C1的方程x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)可化为(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.
圆C2的方程x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)可化为x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为1.
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.
参考答案
专题能力训练
1.C
2.D解析由圆x2+y2-2x-2y+1=0,知圆心(1,1),半径为1,所以=1,解得b=2或b=12.
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析十三
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( ) A．4 B．8 C．9 D．123．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．54．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( ) A．B．3 C．D．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( )A．m∈（0，1）B．m∈（0，1] C．m∈[0，1] D．m∈[﹣1，0）7．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：①CD=3；②BC=5；③BD=2AC；④∠CBD=30°．则所有正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．①②③D．①③④8．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为__________cm3．10．抛物线y=x2与直线2x+y﹣3=0所围成图形的面积等于__________．11．若函数f（x）=log a（ax2﹣x）在上单调递增，则实数a的取值范围是__________．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为__________．13．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C 到直线l距离为__________．14．已知S n=3+7+13+…+（2n+2n﹣1），S10=a•b•c，其中a，b，c∈N*，则a+b+c的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数x+b，x∈R，且．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．16．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．18．已知数列{a n}满足：a1=6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=．过F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF1的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行化简即可．解答：解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi．即a﹣+i=2bi．则a﹣=0且=2b，解得a=，b=，故选：D．点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( ) A．4 B．8 C．9 D．12考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，可得m=4，n=﹣1，结合条件，即可求出z=2x+3y的最大值．解答：解：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，∴m=4，n=﹣1，∴2x+3y=4（x+y）﹣（2x+y）≤12﹣4=8，∴z=2x+3y的最大值为8，故选：B．点评：本题考查目标函数的最大值，考查学生的计算能力，正确运用待定系数法是解题的关键．3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．5考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=11时，满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2，i=1不满足条件i＞10，x=﹣5，i=2不满足条件i＞10，x=﹣，i=3不满足条件i＞10，x=2，i=4不满足条件i＞10，x=﹣5，i=5…观察规律可知x的取值以3为周期，故不满足条件i＞10，x=﹣，i=9不满足条件i＞10，x=2，i=10不满足条件i＞10，x=﹣5，i=11满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识是考查．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( ) A．B．3 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．解答：解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），则，，∴k1•k2===2，∴该双曲线的离心率e==．故选：A．点评：本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．解答：解：∵=+，，∴=+，∵=﹣，，∴=﹣∴=+==+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，则λ+μ=+=，故选：A点评：本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( )A．m∈（0，1）B．m∈（0，1] C．m∈[0，1] D．m∈[﹣1，0）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据指数函数的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解答：解：若f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点，即f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m=0有解，即m=2﹣|x﹣1|，∵2﹣|x﹣1|∈（0，1]，∴m∈（0，1]，故函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为m∈（0，1]，故选：B．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，以及充分条件和必要条件的应用，利用参数分离法是解决本题的关键．7．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：①CD=3；②BC=5；③BD=2AC；④∠CBD=30°．则所有正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．①②③D．①③④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑；推理和证明．分析：①由PB=10，AB=6，可得PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，解得PC，即可得出CD．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2=，解出BC．③由△PCA∽△PBD，可得，即可判断出正误．④连接OD，则△OCD为正三角形，可得∠COD=2∠CBD=60°即可判断出正误．解答：解：①∵PB=10，AB=6，∴PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∴4×10=8PC，解得PC=5，∴CD=PD﹣PC=3，正确．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2==，解得BC==，因此②不正确．③∵△PCA∽△PBD，∴=，∴BD=2CA，正确．④连接OD，则△OCD为正三角形，∴∠COD=2∠CBD=60°，∴∠CBD=30°，正确．综上可得：只有①③④正确．故选：D．点评：本题考查了割线定理、圆的性质、相似三角形的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．8考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：通过换元法求解x2﹣1的根，然后求解方程的解的个数．解答：解：令t=|x2﹣1|，方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0化为：t2﹣3t+2=0，解得t=1或t=2，即|x2﹣1|=1，或|x2﹣1|=2，由|x2﹣1|=1，解得x=，x=0，由|x2﹣1|=2解得x=．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是：5．故选：C．点评：本题考查函数的零点以及方程根的个数的求法，考查计算能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图把几何体复原成立体图形，进一步根据立体图形的体积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体的表面积是：上面是一个以1为半径的球体，下面是一个以2为半径，高为2的圆柱的组合体．所以：V=故答案为：点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力．10．抛物线y=x2与直线2x+y﹣3=0所围成图形的面积等于．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：解方程组可得图象的交点，由题意可得积S=dx，计算可得．解答：解：联立可解得或，∴所求面积S=dx=（﹣x2+3x﹣x3）=﹣（﹣9）=故答案为：点评：本题考查定积分求面积，属基础题．11．若函数f（x）=log a（ax2﹣x）在上单调递增，则实数a的取值范围是（2，+∞）．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由复合函数的单调性和二次函数的性质分类讨论可得．解答：解：（1）当a＞1时，令t=ax2﹣x，则由题意可得函数t在区间上单调递增，且t＞0，故有，解得a＞2，综合可得a＞2；（2）当0＜a＜1时，则由题意可得函数t在区间上单调递减，且t＞0，故有，解得a∈∅，故此时满足条件的a不存在．综合（1）（2）可得a＞2故答案为：（2，+∞）点评：本题考查对数函数的单调性，涉及分类讨论思想和二次函数的性质，属中档题．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件求得cosB的值，再根据cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）利用两角和的余弦公式求得cosA，从而求得cosA+cosB的值．解答：解：在△ABC中，∵C=120°，sinB=，∴cosB==，cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）=﹣cos120°cosB+sin120°sinB=+=，故cosA+cosB=+=，故答案为：．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．13．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C 到直线l距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步转换成标准形式，再把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．解答：解：圆C的方程为ρ=2，转化为：ρ=2sinθ+2cosθ，进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，转化为标准形式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2所以：该曲线是以（1，1）为圆心，为半径的圆．直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：2x﹣y+1=0．所以：圆心到直线的距离为：d=．故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线间的距离公式的应用．主要考查学生的应用能力．14．已知S n=3+7+13+…+（2n+2n﹣1），S10=a•b•c，其中a，b，c∈N*，则a+b+c的最小值为68．考点：基本不等式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意得S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+...+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)=211﹣2+100=2146；再求2146的质因子，从而解得．解答：解：由题意，S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+…+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)=211﹣2+100=2146；又∵2146=2×29×37=1×58×37=1×2×1073=1×29×74=2×29×37；∴a+b+c的最小值为2+29+37=68；故答案为：68．点评：本题考查了等差数列与等比数列前n项和的求法，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数x+b，x∈R，且．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先利用函数f（0）=f（）=1，建立方程组求出a和b的值，进一步听过三角函数的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）x+b由于：f（0）=f（）=1，所以：，解得：所以：2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=，所以：函数的最小正周期：T=，（Ⅱ）由于：函数f（x）=，当时，．所以：即：函数的最大值为，函数的最小值为﹣1．点评：本题考查的知识要点：利用待定系数法求函数的解析式，三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期的确定，利用函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的应用能力．16．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，录用古典概率计算公式即可得出；（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．解答：解：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，∴P（A）==．（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P（X）数学期望E（X）=1+×+2×+3×=．点评：本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）求得则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），运用向量垂直的条件，可得法向量，再由法向量和垂直，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量和平面ACD的法向量，运用向量的数量积的坐标表示，求得它们夹角的余弦，即可得到所求；（Ⅲ）求得向量，的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，求得余弦，即可得到所求角．解答：（Ⅰ）证明：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），D（0，1，0），C1（0，2，1），则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），由，，可得﹣2x1+y1=0，且﹣2x1+2y1+z1=0，可取x1=1，y1=2，z1=﹣2．即有=（1，2，﹣2），由于=﹣2+0+2=0，即有，则A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣1，0），由C1C⊥平面ABC，即有平面ABC的法向量为=（0，0，1），由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量为=（1，2，﹣2），由cos＜，＞===﹣．故二面角C﹣AD﹣C1的余弦值为；（Ⅲ）解：E为A1B1的中点，则E（1，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，1），cos＜，＞===，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=，则AE与DC1所成的角为．点评：本题考查线面平行的判定和二面角的平面角以及异面直线所成角的求法，考查向量的运用，考查运算能力，属于中档题．18．已知数列{a n}满足：a1=6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后直接利用=证得数列{}是公差为的等差数列；（2）由（1）中的等差数列求出通项公式，即可得到数列{a n}的通项公式；（3）把{a n}的通项公式代入b n=，整理后利用裂项相消法求得答案．解答：（1）证明：由a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，得，∴，则==，∴数列{}是公差为的等差数列；（2）解：由（1）知，=，∴；（3）解：b n==，则=．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．19．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=．过F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF1的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的定义，可得a=2，再由离心率公式，可得c，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，可得切点P的坐标，再令x=﹣4，可得Q的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．解答：（Ⅰ）解：∵|AB|+|AF1|+|BF1|=8，即|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，而|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，∴4a=8，即a=2．∵，∴c=1，则．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．如图，设P点的坐标为（x0，y0），依题意m≠0且△=0，即△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理得4k2+3=m2．此时，，∴P点的坐标为．由解得y=﹣4k+m．∴Q点的坐标为（﹣4，﹣4k+m）．由F1（﹣1，0），求得，，∴．∴直线PF1垂直于直线QF1．点评：本题考查椭圆的定义和方程，性质，主要考查定义和离心率公式及方程的运用，注意联立直线方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，求出f（x）的导数，令f'（x）=0，列出表格即可得出函数的单调性，极值；（2）问题转化为求函数y=ax2﹣x与y=lnx的解得个数问题，通过讨论a的范围即可求出；≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，令f′（x）=0得：x1=，x2=1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，）（，1） 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增∴f（x）在（0，）单调递增，在（，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，当x=时：f（x）有极大值，且f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2；当x=1时：f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2；（2）∵f（x）=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣（2a+1）x+lnx=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣x=lnx，x∈（0，+∞），显然a≤0时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，当a=1时，函数y=x2﹣x=﹣，x=时：y min=﹣，而y=ln＜ln，∴0＜a＜≤1时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，a＞1时，画出函数y=ax2﹣x与y=lnx的图象，如图示：，图象有2个交点，综上：a＞1；（3）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，f′（x）=，（1）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，f′（x）=，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．（3）当a＞0时，f′（x）=，f′（x）=0得：x1=，x2=1，a＞时，0＜x1＜1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理0＜a≤时也不成立．综上所述：a的取值范围为[﹣1，0]．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．。
【高考数学】2018-2019学年数学高考(理)二轮专题复习检测：第一部分专题六 解析几何15Word版含答案
专题能力训练15椭圆、双曲线、抛物线
(时间:60分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.方程(x+y-3)=0表示的曲线是()
A.两条射线
B.抛物线和一条线段
C.抛物线和一条直线
D.抛物线和两条射线
2.(2017浙江金丽衢十二校二模)双曲线x2-4y2=4的渐近线方程是()
A.y=±4x
B.y=±x
C.y=±2x
D.y=±x
3.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为1,则p的值为()
A.1 B
C.2
D.4
4.已知双曲线C1:-y2=1,双曲线C2:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是()
A.32
B.16
C.8
D.4
5.如图,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ=60°,且=4,则双曲线C的离心率为()
A B
C D
6.设A,B是椭圆C:=1长轴的两个端点,若C上存在点P满足∠APB=120°,则m的取值范围是。
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练：组合增分练7 解答题组合练C Word版含解析
组合增分练7解答题组合练C1、(2017河南郑州三模，理17)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin B+sin C=m sin A(m∈R)，且a2-4bc=0、(1)当a=2，m=时，求b，c的值;(2)若角A为锐角，求m的取值范围、解(1)∵sin B+sin C=m sin A，由正弦定理得b+c=ma，又已知a2-4bc=0，当a=2，m=时，b+c=，bc=1、解得(2)cos A==2m2-3∈(0，1)、∴<m2<2、又由b+c=ma可得m>0，∴<m<、2、已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且数列是公差为2的等差数列、(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n，求数列{b n}的前n项和T n、解(1)由已知得=1+(n-1)×2=2n-1，∴S n=2n2-n、当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3、a1=S1=2×12-1=1=4×1-3，∴a n=4n-3、(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n·(4n-3)、当n为偶数时，T n=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1-b n+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1、综上，T n=3、(2017山东烟台一模，理17)在如图所示的三棱柱中，侧面ABB1A1为边长等于2的菱形，且∠AA1B1=60°，△ABC为等边三角形，平面ABC⊥平面ABB1A1、(1)求证:A1B1⊥AC1;(2)求侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值、(1)证明取A1B1的中点O，连接OA，OC1，∵△ABC为等边三角形，∴C1O⊥A1B1、∵侧面ABB1A1为边长等于2的菱形，∴△AA1B1是等边三角形，可得OA⊥OA1，∴A1B1⊥C1O，A1B1⊥OA，OA∩OC1=O，∴A1B1⊥平面AOC1、而AC1⊂平面AOC1，∴A1B1⊥AC1、(2)解∵平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，且C1O⊥A1B1，∴C1O⊥平面ABB1A1，OA⊂平面ABB1A1，∴AO⊥OC1、由(1)知OA⊥OA1，OA1⊥OC1，故建立坐标系O-xyz如下图、则A1(1，0，0)，A(0，，0)，C1(0，0，)，B1(-1，0，0)，C(-1，)，=(-1，0，)，=(0，-)、设m=(x，y，z)为平面A1ACC1的法向量，则令y=1可得m=(，1，1)、=(1，0，)，=(-1，，0)、设n=(a，b，c)为平面BCC1B1的法向量，则令b=1，可得n=(，1，-1)、∴cos<m，n>=，故侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值为、4、(2017黑龙江大庆三模，理19)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点、(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;(2)若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值、(1)证明∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC、(2)解如图，以C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，-1，0)、设P(0，0，a)(a>0)，则E，=(1，1，0)，=(0，0，a)，，取m=(1，-1，0)，则m·=m·=0，m为面P AC的法向量、设n=(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·=n·=0，即取x=a，y=-a，z=-2，则n=(a，-a，-2)，依题意，|cos<m，n>|=，则a=1、于是n=(1，-1，-2)，=(1，1，-1)、设直线P A与平面EAC所成角为θ，则sin θ=|cos<，n>|=，即直线P A与平面EAC所成角的正弦值为、〚导学号16804250〛5、(2017山西晋中二模，理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且|PM|=|MN|，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1、(1)求椭圆C的方程、(2)是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1?若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由、解(1)由题意得解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为=1、(2)假设存在这样的直线l:y=kx+m，∴M(0，m)，N，∵|PM|=|MN|，∴P，Q，∴直线QM的方程为y=-3kx+m、设A(x1，y1)，由得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0，∴x1+=-，∴x1=-、设B(x2，y2)，由得(3+36k2)x2-24kmx+4(m2-3)=0，∴x2+，∴x2=-、∵点N平分线段A1B1，∴x1+x2=-，∴-=-，∴k=±，∴P(±2m，2m)，∴=1，解得m=±，∵|m|=<b=，∴Δ>0，符合题意，∴直线l的方程为y=±x±、〚导学号16804251〛6、(2017四川成都二诊，理20)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:=1(a>b>0)，圆O:x2+y2=r2(0<r<b)，若圆O的一条切线l:y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点、(1)当k=-，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程;(2)若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由、解(1)依题意原点O到切线l:y=-x+m的距离为半径1，∴=1，解得m=，即切线l:y=-x+，∴A，B(，0)、∴a=，b=，故椭圆E的方程为=1、(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0、Δ=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)、x1+x2=，x1x2=、∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴=x1x2+y1y2=0、则(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，∴m2(a2+b2)=(k2+1)a2b2、①又∵圆O的一条切线l:y=kx+m，∴原点O到切线l:y=kx+m的距离为半径r，即m2=(1+k2)r2、②由①②得r2(a2+b2)=a2b2，∴以AB为直径的圆经过坐标原点O，则a，b，r之间的等量关系为r2(a2+b2)=a2b2、〚导学号16804252〛。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题十一及答案解析
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x ＜9}，则（∁R A ）∩B=（ ）A ．（0，1]B ．[1，2）C ．（1，2）D ．（0，1）2．实数（a 为实数）的共轭复数为（ ）A ．1B ．﹣5C ．﹣1D ．﹣i3．等比数列{a n }中，a 2=9，a 5=243，则a 1与a 7的等比中项为（ ） A ．±81 B ．81 C ．﹣81 D ．27 4．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）； ③随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件． 其中真命题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若﹣4+3=0，则=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．由曲线y=x 2﹣2x 与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，输出的n 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n ＜0的正整数n 的最小值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．159．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A ．2B ．8C ．D ．10．设当x=θ时，函数f （x ）=2cosx ﹣3sinx 取得最小值，则tan θ等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣D ．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±2xC ．y=±（+1）xD ．y=±（﹣1）x 12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f （x ），对于任意的x ∈（﹣1，+∞），f[f （x ）﹣xe x ]=0恒成立，则方程f （x ）﹣f ′（x ）=x 的解所在的区间是（ ）A ．（﹣1，﹣）B ．（0，）C ．（﹣，0）D ．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f （x ）=奇函数，则a 的值为______．14．若x ，y 满足约束条件，则的最小值为______．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是______．16．已知数列{a n }的通项公式a n =n 22n ，则数列{a n }的前n 项和S n =______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB ）sinC ． （Ⅰ）求证：△ABC 为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC 面积的最大值．18．如图，PA ⊥平面ADE ，B ，C 分别是AE ，DE 的中点，AE ⊥AD ，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A ﹣PE ﹣D 的余弦值；（Ⅱ）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束． （Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．如图，F 1，F 2是椭圆C ：的左、右两个焦点，|F 1F 2|=4，长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求直线AF 1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA 1B 1B 的面积．21．已知函数f （x ）=1﹣x+lnx （Ⅰ）求f （x ）的最大值；（Ⅱ）对任意的x 1，x 2∈（0，+∞）且x 2＜x 1是否存在实数m ，使得﹣﹣x 1lnx 1+x 2lnx 2＞0恒成立；若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n }满足=，且a 1=，数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较2与2n +1的大小并加以证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O 的半径；（Ⅱ）若C 是圆O 上一点，且CA=CB ，线段CE 交AB 于D ．求证：△CAD ～△CEA ．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x ＜9}，则（∁R A ）∩B=（ ）A ．（0，1]B ．[1，2）C ．（1，2）D ．（0，1）【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解对数不等式和指数不等式化简集合A ，B ，求出∁R A ，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由＞﹣1=，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x ＜1，则A={x|＞﹣1}=（﹣1，1），∴∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B={x|1＜3x ＜9}=（0，2）， ∴（∁R A ）∩B=[1，2）． 故选：B ．2．实数（a 为实数）的共轭复数为（ ）A ．1B ．﹣5C ．﹣1D ．﹣i 【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解： ==为实数，∴=0，解得a=﹣2．∴实数=﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C ．3．等比数列{a n }中，a 2=9，a 5=243，则a 1与a 7的等比中项为（ ） A ．±81 B ．81 C ．﹣81 D ．27 【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项公式可得q ．再利用等比中项的定义及其性质即可得出． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比q ， ∵a 2=9，a 5=243，∴243=9×q 3，解得q=3．又a 1•a 7=，∴a 1与a 7的等比中项为±a 4=±=±9×32=±81．故选：A．4．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据系统抽样的定义进行判断，②根据回归直线的性质进行判断，③根据正态分布的概率关系进行判断，④根据概率和不可能事件的关系进行判断．【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40=20；故①错误，②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1=0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率=圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P=0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误，故故选：C5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3=0，则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的减法运算，及共线向量基本定理可得到：，所以便可得到，=3．【解答】解： ==；∴，∴，∴．故选A．6．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论． 【解答】解：由题意，曲线y=x 2﹣2x 与直线x+y=0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y=x 2﹣2x 与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=故选D ．7．执行如图所示的程序框图，输出的n 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 【考点】循环结构．【分析】算法的功能是求S=++…+，利用等比数列的前n 项和公式即可求得满足条件S 的最小的n 值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S=++…+==1﹣≥⇒n ≥11，∴跳出循环体的n 值为11+1=12， ∴输出n=12． 故选：C ． 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n ＜0的正整数n 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由于S 6＞S 7＞S 5，可得：a 7＜0，a 6+a 7＞0，判断S 12，S 13的符号即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 6＞S 7＞S 5， ∴a 7＜0，a 6+a 7＞0，∴S 12==6（a 6+a 7）＞0，S 13==13a 7＜0，∴则满足S n ＜0的正整数n 的最小值为13． 故选：B ．9．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A ．2B ．8C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥A ﹣CB 1D 1．利用正方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥A ﹣CB 1D 1．∴该四面体的体积V=23﹣=．故选：C ．10．设当x=θ时，函数f （x ）=2cosx ﹣3sinx 取得最小值，则tan θ等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣D ．【考点】三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为f （x ）=﹣cos （x ﹣θ） （其中，cos θ=﹣，sin θ=），根据当x=θ时，函数f （x ）取最小值，可得tan θ的值．【解答】解：∵当x=θ时，函数f （x ）=2cosx ﹣3sinx=（cosx ﹣sinx ）=﹣（﹣cosx+sinx ）=﹣cos （x ﹣θ） （其中，cos θ=﹣，sin θ=）取得最小值，则tan θ==﹣，故选：C ．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±2xC ．y=±（+1）xD ．y=±（﹣1）x 【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，可得|BF 1|=2a ，求出B 的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|， ∴|BF 1|=2a ，设切点为T ，B （x ，y ），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B （，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a ，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x ， 故选：C ． 12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f （x ），对于任意的x ∈（﹣1，+∞），f[f （x ）﹣xe x ]=0恒成立，则方程f （x ）﹣f ′（x ）=x 的解所在的区间是（ ）A ．（﹣1，﹣）B ．（0，）C ．（﹣，0） D ．（）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】由题意，可知f （x ）﹣xe X 是定值，令t=f （x ）﹣xe X ，得出f （x ）=xe X +t ，再由f （t ）=te t +t=0求出t 的值，即可得出f （x ）的表达式，求出函数的导数，即可求出f （x ）﹣f ′（x ）=x 的解所在的区间，即得正确选项．【解答】解：由题意，可知f （x ）﹣xe X 是定值，不妨令t=f （x ）﹣xe X ，则f （x ）=xe X +t ，又f（t）=te t+t=0，解得t=0，所以有f（x）=xe X，所以f′（x）=（x+1）e X，令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xe x﹣（x+1）e x﹣x=﹣e x﹣x，可得F（﹣1）=1﹣＞0，F（﹣）=﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为﹣2 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】可解1﹣x2＞0得到﹣1＜x＜1，从而有|x﹣2|=2﹣x，这便得到，而由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f（x），这样即可得到2+x+a=﹣（2﹣x+a），从而可求出a的值．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|=2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴2+x+a=﹣（2﹣x+a）；∴2+a=﹣2﹣a；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式表示的平面区域，将化成1+，即求过点（1，﹣1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解：=1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C （4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是 4+．【考点】球的体积和表面积．【分析】把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球． 于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，故答案为：4+．16．已知数列{an}的通项公式an=n22n，则数列{an}的前n项和Sn= （n2﹣2n+3）•2n+1﹣6 ．【考点】数列的求和．【分析】两次利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵an=n22n，则数列{an}的前n项和Sn=2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2Sn=22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣Sn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为Tn，则Tn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣Tn=2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴Tn=（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣Sn=（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1=（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴Sn=（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，利用正、余弦定理，得a+b=c，化简整理，即可证明：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）利用a+b+c=1+，a2+b2=c2，根据基本不等式可得1+=a+b+≥2+=（2+）•，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，所以由正、余弦定理，得a+b= c …化简整理得（a+b）（a2+b2）=（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2=c2…故△ABC为直角三角形，且∠C=90°…（Ⅱ）解：因为a+b+c=1+，a2+b2=c2，所以1+=a+b+≥2+=（2+）•当且仅当a=b时，上式等号成立，所以≤．…=ab≤×…故S△ABC即△ABC面积的最大值为…18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）易得=（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量为坐标，由向量的夹角公式可得；（Ⅱ）设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），由夹角公式和二次函数的值域以及余弦函数的单调性可得．【解答】解：以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量， =（0，2，0）．∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，即，令y=1，解得z=1，x=1．∴=（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞==，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），∴cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP==，∴BQ=BP=19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，由此能求出抓鸡3次就停止的事件发生的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P==…（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）•=，P（ξ=1）=••=，P（ξ=2）=••=，P（ξ=3）=•+•••+•••=…随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P…．随机变量ξ的均值为E（ξ）=×0+×1+×2+×3=…20．如图，F 1，F 2是椭圆C ：的左、右两个焦点，|F 1F 2|=4，长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求直线AF 1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA 1B 1B 的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由F 1，F 2是椭圆C ：的左、右两个焦点，|F 1F 2|=4，长轴长为6，列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AF 1的方程为y=k （x+2），由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线AF 1的方程． （Ⅲ）由，利用弦长公式能求出四边形AA 1B 1B 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F 1，F 2是椭圆C ：的左、右两个焦点，|F 1F 2|=4，长轴长为6，∴由题意知2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，∵，∴b 2=5…∴椭圆方程为…（Ⅱ）设直线AF 1的方程为y=k （x+2），且交椭圆于A （x 1，y 1），A 1（x 2，y 2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…∵，∴y 1=﹣2y 2③联立①②③消去y 1y 2，得．∴直线AF 1的方程为… （Ⅲ）∵AA 1B 1B 是平行四边形，∴…=∴四边形AA 1B 1B 的面积为．…21．已知函数f （x ）=1﹣x+lnx （Ⅰ）求f （x ）的最大值；（Ⅱ）对任意的x 1，x 2∈（0，+∞）且x 2＜x 1是否存在实数m ，使得﹣﹣x 1lnx 1+x 2lnx 2＞0恒成立；若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n }满足=，且a 1=，数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较2与2n +1的大小并加以证明．【考点】数列与函数的综合． 【分析】（Ⅰ）求得f （x ）的导数，单调区间，可得f （x ）的最大值为f （1）；（Ⅱ）由题意可得恒成立，设φ（x ）=mx 2+xlnx ，又0＜x 2＜x 1，则只需ϕ（x ）在（0，+∞）上单调递减，求得导数，令导数小于等于0恒成立，运用参数分离和构造函数法，求出导数和单调区间，可得最值，即可得到所求m 的范围；（Ⅲ）结论：＞2n +1．运用构造数列法和等比数列的通项公式，可得a n =．运用对数的运算性质和放缩法，结合裂项相消求和，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x ∈（0，1）时，f'（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，f'（x ）＜0， 因此，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f （x ）max =f （1）=0，即函数f （x ）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x ）=mx 2+xlnx ，又0＜x 2＜x 1，则只需ϕ（x ）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x ）=2mx+1+lnx ≤0在（0，+∞）上成立，得：2m ≤，记t （x ）=，则，于是可知t （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 故[t （x ）]min =t （1）=﹣1，因此存在m ≤，使恒成立；（Ⅲ）由==•+得： =，又，知， =，即有a n =．结论：＞2n +1．证明如下：因为a n ∈（0，1），由（1）知x ＞0时x ﹣1＞lnx ，则x ＞﹣1时x ＞ln （x+1）．所以a n ＞ln （a n +1）==ln （2n +1）﹣ln （2n ﹣1+1）故S n =a 1+a 2+…+a n＞[ln （21+1）﹣ln （20+1）]+[ln （22+1）﹣ln （21+1）]…[ln （2n +1）﹣ln （2n ﹣1+1）]=ln （2n +1）﹣ln （20+1）=，即＞2n +1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O 的半径；（Ⅱ）若C 是圆O 上一点，且CA=CB ，线段CE 交AB 于D ．求证：△CAD ～△CEA ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接OA，设OA=r，取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，利用勾股定理求出⊙O的半径；（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠CAD=∠B，利用三角形相似的判定定理证明：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA=r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…又OP=3，Rt△OFP中，OF2=OP2﹣FP2=9﹣2=7，…Rt△OAF中，，…∴r=5证明：（Ⅱ）∵CA=CB，∴∠CAD=∠B又∵∠B=∠E，∴∠CAD=∠E…∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把点P与直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，=9．∴当时，dmax[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）对x讨论，分x≤﹣1，当时，当时去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得f（x）的最大值，即有|a﹣1|≤2a，解出a的范围，可得a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…当时，，得，所以成立．…当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|=|a﹣1|，∴f（x）=|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…2016年10月4日。
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1 专题对点练21 6.1~6.3组合练 (限时90分钟,满分100分) 专题对点练第33页 一、选择题(共9小题,满分45分) 1.(2017河南新乡二模,理6)已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示,为了解该小区户主对户型结构的满意程度,用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查,则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )
A.100,8 B.80,20 C.100,20 D.80,8 答案 A 解析 样本容量为(150+250+100)×20%=100,∴抽取的户主对四居室满意的人数
为100××40%=8.故选A. 2.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 答案 A 解析 由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次. 故P=0.62(1-0.6)+0.63=0.648. 2
3.(2017全国Ⅲ,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 答案 A 解析 由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误. 4.(2017北京丰台一模,理7)小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻,则不同坐法的总数为( ) A.60 B.72 C.84 D.96 答案 C 5.设样本数据x1,x2,„,x10的平均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,„,10),则y1,y2,„,y10的平均值和方差分别为( ) A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a 答案 A 解析 由题意知yi=xi+a(i=1,2,„,10),则 3
(x1+x2+„+x10+10a)=(x1+x2+„+x10)+a=+a=1+a, 方差s2=[(x1+a--a)2+(x2+a--a)2+„+(x10+a--a)2]=[(x1-)2+(x2-)2+„+(x10-)
2
]=s2=4.故选A. 6.4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A. B. C. D. 答案 D 解析 基本事件总数为24=16,周六没有同学参加即4名同学均在周日参加,只有
一种情况;同理,周日没有同学参加也只有一种情况.故所求概率为.故选D. 7.(2017山东,理8)从分别标有1,2,„,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D. 答案 C 解析 从分别标有1,2,„,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,共有种不同情况.其中2张卡片上的数奇偶性不同的有()种情况,则
抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=.故选C. 8. 4
在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值为( ) 〚导学号16804211〛 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ7,P(μ-2σA.2 386 B.2 718 C.3 414 D.4 772 答案 C 解析 由X~N(0,1)知P(-1
∴P(0≤X≤1)≈×0.682 7≈0.341 4,故阴影部分的面积S≈0.341 4.
∴落在阴影部分中点的个数x的估计值满足(古典概型),∴x≈10
000×0.341 4=3 414,故选C. 9.(2017全国Ⅰ,理6)(1+x)6展开式中x2的系数为( ) A.15 B.20 C.30 D.35 答案 C
解析 方法一:(1+x)6=1·(1+x)6+(1+x)6,(1+x)6的展开式中的x2的系数
为=15,(1+x)6的展开式中的x2的系数为=15,所以x2的系数为15+15=30. 方法二:(1+x)6的二项展开式通项为Tr+1=xr,(1+x)6的展开式中含x2
的项的来源有两部分,一部分是1×x2=15x2,另一部分是x4=15x2,故 5
(1+x)6的展开式中含x2的项为15x2+15x2=30x2,其系数是30. 二、填空题(共3小题,满分15分) 10.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= . 答案 4 解析 二项展开式的通项Tr+1=(3x)r=3r··xr,令r=2,得32·=54,解得n=4. 11.(2017浙江,16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 答案 660 解析 由题意可得,总的选择方法为种方法,其中不满足题意的选法有种方法,则满足题意的选法有=660种. 12.(2017河北石家庄二中模拟,理14)已知(ax+1)5的展开式中各项系数和为243,
则的展开式中含x项的系数为 .(用数字作答)
答案 - 解析 ∵(ax+1)5的展开式中各项系数和为243, ∴(a+1)5=243,得a=2,∴的展开式的通项为
Tr+1=(-)r=(-1)r,
令5-=1,得r=3,故二项式的展开式中含x项的系数为-=-.故答案为-. 6
13.(2017北京东城一模,理12)“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星,于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态,使用二进制编码,比如,码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度,码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如图所示.
编码方式1
编码
方式2 码元0 码元1
信号发出后,我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码,比如,信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式1进行解码,这时能够完美解码;信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式2进行解码,这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率是 ;如果发送端发送3个码元,那么恰有两个码元无法获取信息的概率是 . 〚导学号16804212〛
答案 解析 发送端发送一个码元,基本事件总数n=2,接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1,故如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率
p1=.
发送端发送3个码元,恰有两个码元无法获取信息的概率p2=. 7
故答案为. 三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分) 14.为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表: 直径/ mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算,样本的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值. (1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判:①P(μ-σ.②P(μ-2σ评判规则为:
若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断设备M的性能等级. (2)将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品. (ⅰ)从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数Y的数学期望E(Y); (ⅱ)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数Z的数学期望E(Z). 解 (1)P(μ-σ7,P(μ-2σ5,P(μ-3σ满足一个不等式,所以其性能等级为丙.