矩形[下学期]--浙教版
浙教版数学八年级下册 5.1 矩形 说课课件(共35张PPT)
教学问题 诊断分析
教学技术 支持条件
【设计意图】数学的学习不应该是单方面的教师授课制度，应该是学生在自 己的操作、实验、合作中完成的更有意义，因此这部分更加强调的是对一个 新的性质探索的路径，学生于此充分的感受活动，独立思考和小组配合以诞 生猜想和结论。
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教学内容
教学目标
教学问题
教学技术
及其解析
教学问题 诊断分析
教学技术 支持条件
【设计意图】首先让学生描述一下生活中能够抽象到的矩形，注重对学生用 数学眼光观察现实世界的培养。再类比已学的几何图形研究视角，归纳几何 图形探究的视角可以从边，角，特殊的线和对称性进行研究，从而让矩形学 习的发生更加自然。
05
教学内容
及其解析
架构体系，启航
教学目标 及其解析
03
教学内容
教学目标
及其解析
及其解析
教学技术 支持条件
教学过程 及其设计
（1）具备的基础（知识、能力） 在知识层面上，八年级的下册学生已经经历第四章平行四边形的推理过程， 也感受过从普通四边形特殊化到平行四边形的过程，本章作为特殊平行四 边形的起始课，学生初步能用特殊化角的视角进行展开；从情感角度看， 作为此阶段的学生，基本的推理能力已经具备，也懂得一定自我探索和总 结的方法，因此需要将过程更多的交给学生.
05
教学内容
及其解析
概念生成，源起
教学目标 及其解析
教学问题 诊断分析
教学技术 支持条件
【设计意图】架设平行四边形的一种特殊化视角，介绍概念，通过定义强调 出矩形和平行四边形的包含关系，作为新概念课程，书写方式的规范性和几 何语言的表达也需要一定强调。
05
教学内容
矩形的性质与判定【八大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题5.1 矩形的性质与判定【八大题型】【浙教版】【题型1 由矩形的性质求线段的长度】 (1)【题型2 由矩形的性质求角的度数】 (2)【题型3 由矩形的性质求面积】 (3)【题型4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】 (4)【题型5 矩形判定的条件】 (6)【题型6 证明四边形是矩形】 (7)【题型7 矩形中多结论问题】 (10)【题型8 矩形的判定与性质综合】 (12)【题型1 由矩形的性质求线段的长度】【例1】（2022春•新泰市期末）如图，在矩形ABCD中，AD=4√2，对角线AC与BD相交于点O，DE ⊥AC，垂足为点E，CE＝OE，则DE的长为（）A．4B．3√2C．2√2D．2【变式1-1】（2022春•开州区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若BD＝2√3，DF＝2，则AF的长为（）A．√6B．2√2C．√7D．3【变式1-2】（2022•碑林区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，O是BD的中点，E为AD边上一点，且有AE＝OB＝2．连接OE，若∠AEO＝75°，则DE的长为（）A．3B．√3C．2D．2√3−22【变式1-3】（2022•南岗区期末）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且CF＝2DF＝2，连接BE，EF，BF，且BF平分∠EBC，∠EFB＝45°，连接CE交BF于点G，则线段EG的长为．【题型2 由矩形的性质求角的度数】【例2】（2022春•溧水区期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（）A．55°B．40°C．35°D．20°【变式2-1】（2022•武昌区期末）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB 的大小是（）A．22°B．34°C．24°D．68°【变式2-2】（2022春•江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．30°【变式2-3】（2022春•莫旗期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的最大内角的大小是．【题型3 由矩形的性质求面积】【例3】（2022春•浦东新区期末）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为cm2．【变式3-1】（2022•成都）如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2；（填“＞”或“＜”或“＝”）【变式3-2】（2022春•成都期末）如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为s1，矩形BEFG的面积为s2，则s1与s2的大小关系是（）A．s1＜s2B．s1＝s2C．s1＞s2D．不确定【变式3-3】（2022春•九龙坡区校级期中）已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF．（1）求证：CF⊥AF；（2）若AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF的面积．【题型4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】【例4】（2022春•潮南区期中）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．√3C．√5D．√10【变式4-1】（2022春•任城区期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA ＝3，OC ＝4，点M （2，0），在边AB 存在点P ，使得△CMP 为“智慧三角形”，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1）或（3，3）B ．（3，12）或（3，3）C ．（3，12）或（3，1）D ．（3，12）或（3，1）或（3，3）【变式4-2】（2022•西平县模拟）已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC =252，O 为BC 上一点，BO =72，如图所示，以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，M 为线段OC 上的一点．（1）若点M 的坐标为（1，0），如图1，以OM 为一边作等腰△OMP ，使点P 在矩形ABCD 的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；（2）若将（1）中的点M 的坐标改为（4，0），其他条件不变，如图2，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P 的坐标．【变式4-3】（2022春•浦江县期中）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动（移动一周）．（1）写出点B的坐标；（2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标；（3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，直接写出点P的坐标．【题型5 矩形判定的条件】【例5】（2022春•夏邑县期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90°D．CE⊥DE【变式5-1】（2022春•江油市期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDC．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BDD．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD【变式5-2】（2022春•仙居县期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90°D．BE⊥DC【变式5-3】（2022•西城区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是．（写出一个即可）【题型6 证明四边形是矩形】【例6】（2022春•南谯区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是线段AC上两动点，同时分别从A，C两点出发以1cm/s的速度向点C，A运动．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若BD＝8cm，AC＝14cm，当运动时间t为多少秒时，四边形DEBF是矩形？【变式6-1】（2022春•海陵区期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE ＝OC；③OF＝OC．（1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE＝OF；（2）在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．【变式6-2】（2022春•津南区期末）已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O（AC＞BD），点E，F分别是OA，OC上的动点．（Ⅰ）如图①，若AE＝CF，求证：四边形EBFD是平行四边形；（Ⅱ）如图②，若OE＝OB，OF＝OD，求证：四边形EBFD是矩形．【变式6-3】（2022春•洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是；（直接填序号，不用说理）（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．【题型7 矩形中多结论问题】【例7】（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式7-1】（2022春•南充期末）如图，矩形ABCD中，M，N分别是边AB，CD的中点，BP⊥AN于P，CP的延长线交AD于Q．下列结论：①PM＝CN；②PM⊥CQ；③PQ＝AQ；④DQ＜2PN．其中结论正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【变式7-2】（2022春•泉州期末）如图，点P是矩形ABCD内一点，连结P A、PB、PC、PD，设△P AB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下四个判断：①当∠P AB＝∠PDA时，B、P、D三点共线②存在唯一一点P，使P A＝PB＝PC＝PD③不存在到矩形ABCD四条边距离都相等的点P④若S1＝S2，则S3＝S4其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）【变式7-3】（2022春•兴文县期中）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD 于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③DF＝NF；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中正确的结论是．【题型8 矩形的判定与性质综合】【例8】（2022春•海淀区期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝DC，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，∠DFC＝90°．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）若∠B＝30°，AD＝2，连接BE，求BE的长．【变式8-1】（2022•息烽县二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且BE=1AC，连接EC、ED．2（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．【变式8-2】（2022•开福区校级二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．【变式8-3】（2022•崇左）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．。
浙教版八年级数学下册第5章专题十 矩形的折叠问题
专题
由勾股定理可得 BD＝ AB2＋AD2＝ 42＋32＝5. 设 AG＝x，则 BG＝4－x，A′G＝x. BA′＝BD－A′D＝BD－AD＝5－3＝2. 在 Rt△ BA′G 中，x2＋22＝(4－x)2，解得 x＝32，∴AG ＝32.由勾股定理得 DG＝ AD2＋AG2＝ 32＋322＝32 5.
形沿AC折叠，使点D落在点E处，CE与AB交于点F，
则S△ACF为(
)
A．12
B．15
C．6D．10源自题由折叠可知∠DCA＝∠ACE. ∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB， ∴∠ACE＝∠CAB，∴AF＝FC. 设 AF＝FC＝x，则 FB＝8－x， 由勾股定理得 x2＝(8－x)2＋42， 解得 x＝5，∴S△ACF＝12×5×4＝10. 【答案】D
专题
设 AF＝x，则 DF＝10－x. 在 Rt△ BAF 中，BF2＝x2＋42. 在 Rt△ B′DF 中，B′F2＝(10－x)2＋12， ∴x2＋42＝(10－x)2＋12， 解得 x＝147.∴AF＝147.
专题
变式3如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为 BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的 点F处，连结CF.求CF的长．
浙教版 八年级下
第5章 特殊平行四边形
专题十 矩形的折叠问题
专题
1 母题 【教材第5.1节作业题】已知：如图，将矩形纸 ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无 重叠的四边形EFGH.
专题
【方法点拨】 在折叠问题中，折叠前后的图形是全等图形，折
叠前后的对应点的连线被折痕所在直线垂直平分， 由此可得线段相等、角相等，结合勾股定理等知识 可求线段长．
专题
变式2如图，在矩形ABCD中，BC＝10，AB＝4，点E， F分别是BC，AD上的动点，将四边形CDFE沿EF折叠， 点C，D的对应点分别为C′，D′，当线段C′D′恰好过点 B，且BC′＝3BD′时，求AF的长．
浙教八年级下册数学第五章第1节《矩形的性质与判定》复习课件(浙教版)
（1）求证：DE＝BF；
（2）若四边形 BEDF是 菱形，则四边形 AGBD是什么特殊 四边形？并证明 你的结论．
A
2.如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?
墙
3.2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a％后售价为148元，下面所列方程正确的是( )A.200(1+a％)2=148; B.200(1-a％)2=148; C.200(1-2a％)=148; D.200(1+a2％)=148;
当a=3,则PA+PB=____
拓展题:
①则AD=____ BC=____
1
2
②
当a=1 时，则PA+PB=____,
③
2、如图，P是矩形ABCD内一点， PA＝3，PD＝4，PC＝5， 则PB＝ 。
E
F
提示：过点P作其中一边的垂线，利用勾股定理来解。
1.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
A
D
B
C
P
Q
分类讨论思想
A
B
P
D
C
已知△ABP的一边AB=
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为
浙教版初中数学八年级下册矩形(基础)知识讲解
矩形（基础）【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】【特殊的平行四边形（矩形）知识要点】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P 是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【特殊的平行四边形（矩形）例7】【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.（2）四边形AECF是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形.∵CA＝CB，E是AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形.【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三：【变式】（2016·黄冈二模）在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE 、CF.（1）求证：△BDF ≌△CDE ；（2）若DE=12BC ，试判断四边形BFCE 是怎样的四边形，并证明你的结论.【答案】（1）证明：∵CE ∥BF∴∠CED=∠BFD ，∵D 是BC 边的中点∴BD=DC ．∴在△BDF 与△CDE 中，BFD CED BDF CDE BD DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BDF ≌△CDE （AAS ）；（2）四边形BFCE 为矩形．证明：∵△BDF ≌△CDE ，∴DE=DF ，又∵BD=DC ，∴四边形BFCE 是平行四边形，∵BD=DC ，DE=12BC, ∴BD=DC=ED ，∴∠BEC=90°，∴平行四边形BFCE 为矩形．3、如图所示，ABCD 四个内角的角平分线分别交于点E 、F 、G 、H ．求证：四边形EFGH 是矩形．【思路点拨】AE 、BE 分别为∠BAD 、∠ABC 的角平分线，由于在ABCD 中，∠BAD+∠ABC ＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】解：连接OP．∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AO＝CO，BO＝DO，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴ OP＝12AC，OP＝12BD，∴ AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．。
八年级数学下册 5.1.1 矩形的定义与性质课件 (新版)浙教版
这节课你学到了什么? 还有什么困惑吗？
※ 矩形(jǔxíng)的性质 定矩理形1(jǔxíng)的四个角都
是直角.
※ 矩形的性质定理2
矩形(jǔxíng)的对角 线相等.
※ 矩形的对称性
矩形是中心对称图形,
又是轴对称图形
第十七页，共19页。
已知:如图,在矩形(jǔxíng)ABCD中,M为BC的 求证: （1）AM=DM.
D
C
A
B
E
第十四页，共19页。
如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折 (duìzhé)，使点A落在点E处，BE交CD于点F 。已知∠ABD=30度.
求∠ABD的度数；
A
求证：EF=FC
B
D
F
C
E
第十五页，共19页。
某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建 花坛，现征集设计方案，要求设计的图案，由圆 和正方形组成（圆和正方形个数不限），并且使 整个(zhěnggè)矩形地成轴对称图形，请在矩形中 画出你的设计方案。
一、矩形的两组对边分别平行
二、矩形的两组对边分别相等
三、矩形的两组对角分别相等
四个角都是直角。
四、矩形的邻角互补
且对角线相等。
五、矩形(jǔxíng) 两条Fra bibliotek角线互六相、平矩分形是一个中心对称图形。
A
D
O
E。
B
C
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矩形(jǔxíng)特
定命理题殊1(m: 性ìng质tí)：矩形的四个角都是
(1)求AC=-1--0-，BD=-1--0-，
(2)矩形(jǔxíng)ABCD的周28长是------，面4积8 是--
【本地研发】浙江省杭州市浙教版初中八年级下册数学第五章矩形（教师版）
【本地研发】浙江省杭州市浙教版初中⼋年级下册数学第五章矩形（教师版）矩形____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.能够认识矩形的定义以及矩形的特殊性质；2.能够把握矩形和平⾏四边形的区别和联系；3.能够根据矩形的性质判定出矩形；【知识提要】⼀：1．矩形的定义：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形叫做矩形。
2．矩形的特殊性质：定理1：矩形的四个⾓都是直⾓。
定理2：矩形的对⾓线相等。
3.矩形具有平⾏四边形的所有的性质。
⼆：矩形的判定：1．矩形的定义是：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形叫做矩形。
2.定理1：矩形的四个⾓都是直⾓。
3.定理2：对⾓线相等的平⾏四边形是矩形。
【注意】⼀、矩形的定义：1.矩形是特殊的平⾏四边形，它的对边分别平⾏且相等，四个⾓都是直⾓，对⾓线相等且互相平分（若矩形ABCD的对⾓线AC，BD相交于点O，则OA=OB=OC=OD）。
2.矩形既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形，它⾄少有两条对称抽，分别是每⼀组对边中点的连线躲在的直线。
3.矩形的每条对⾓线把它分成两个全等直⾓三⾓形，它的两条对⾓线把它分成4个等腰三⾓形。
⼆：矩形的判定：1.对⾓线相等且互相平分的四边形是矩形。
2.⽤定义判断四边形是矩形需要满⾜两个条件：⼀是平⾏四边形，⼆是有⼀个⾓是直⾓，缺⼀不可。
3.顺次连结对⾓线互相垂直的四边形的各边中点得到的四边形是矩形。
4.四个⾓都相等的四边形是矩形。
知识点⼀矩形的定义和性质定义：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形叫做矩形。
矩形的特殊性质：定理1：矩形的四个⾓都是直⾓。
定理2：矩形的对⾓线相等。
【例1】如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上⼀点，且DE=DA，AF⊥DE，垂⾜为点F，在下列结论中，不⼀定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF解析：解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．⼜∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不⼀定等于30°，∴直⾓三⾓形ADF中，AF不⼀定等于AD的⼀半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，⼜∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选B．【点评】本题主要考查了矩形和全等三⾓形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个⾓都是直⾓，矩形的对边相等．解题时注意：在直⾓三⾓形中，若有⼀个锐⾓等于30°，则这个锐⾓所对的直⾓边等于斜边的⼀半．练1、如图，矩形的两条对⾓线的⼀个交⾓为60°，两条对⾓线的长度的和为20cm，则这个矩形的⼀条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm练2、（2016春?祁阳县期末）如图，矩形ABCD的对⾓线AC，BD交于点O，AC=4cm，∠AOD=120°，则BC的长为（）A．4cm B．4cm C．2cm D．2cm【例2】（2016春?顺义区期末）如图，矩形ABCD的两条对⾓线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的边长BC的长是（）A ．2B ．4C ．2D ．4【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD ，AC=2AO ，BD=2B0，∴AO=BO ，∵∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三⾓形，∴AO=AB=2，∴AC=2AO=4，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：BC===2，故选C ．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三⾓形的性质和判定，勾股定理的应⽤，解此题的关键是能根据矩形的性质和等边三⾓形的性质求出AC 的长，注意：矩形的四个⾓都是直⾓，矩形的对⾓线互相平分且相等．练3、（2016春?嘉祥县期末）如图，O 是矩形ABCD 对⾓线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC=8，OB=5，则OM 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4练4、如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过点O 且EF ⊥AC 分别交DC 于点F ，交AB 于点E ，点G 是AE 中点且∠AOG=30°，给出以下结论：①∠AFC=120°；②△AEF 是等边三⾓形；③AC=3OG ；④S △AOG =S △ABC其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）知识点⼆矩形的判定1、有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形叫做矩形2、有三个⾓是直⾓的四边形是矩形3、对⾓线相等的四边形是矩形【例1】（2016?厦门校级⼀模）在数学活动课上，⽼师和同学们判断⼀个四边形门框是否为矩形，下⾯是⼀个学习⼩组拟定的⽅案，其中正确的是（）A．测量对⾓线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对⾓线是否相等D．测量其中三个⾓是否都为直⾓【解答】解：A、对⾓线是否相互平分，能判定平⾏四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平⾏四边形；C、对⾓线相等的四边形不⼀定是矩形，不能判定形状；D、其中四边形中三个⾓都为直⾓，能判定矩形．故选D．练1、如图，在?ABCD中，对⾓线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．（1）求证；四边形OBFE是平⾏四边形；（2）当线段AD和BD之间满⾜什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．练2 、在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．【例2】如图，四边形ABCD的对⾓线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【解答】解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对⾓线互相平分，∴四边形ABCD是平⾏四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：D．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形；②有三个⾓是直⾓的四边形是矩形；③对⾓线相等的平⾏四边形是矩形练3、如图，要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2D．AC⊥BD练4、如图，将?ABCD的边BA延长到点E，使AE=AB，连接EC，交AD于点F，连接AC、ED．（1）求证：四边形ACDE是平⾏四边形；（2）若∠AFC=2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．⼀、选择题（共5⼩题）1．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上⼀点，且DE=DA，AF⊥DE，垂⾜为点F，在下列结论中，不⼀定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF2．如图，矩形的两条对⾓线的⼀个交⾓为60°，两条对⾓线的长度的和为20cm，则这个矩形的⼀条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm3．如图，将矩形纸⽚ABCD沿其对⾓线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（）A．11B．16C．19D．224．如图，在矩形ABCD中，点O为对⾓线AC、BD的交点，点E为BC上⼀点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三⾓形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对5．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．1．如图，在矩形ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=cm．2．如图：在矩形ABCD中，对⾓线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有条．（填具体数字）3．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过点O 且EF ⊥AC 分别交DC 于点F ，交AB 于点E ，点G 是AE 中点且∠AOG=30°，给出以下结论：①∠AFC=120°；②△AEF 是等边三⾓形；③AC=3OG ；④S △AOG =S △ABC其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）4．若矩形的对⾓线长为2cm ，两条对⾓线的⼀个交⾓为60°，则该矩形的较长的边长为 cm ．5．如图，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点P 在矩形ABCD 内．若AB=4cm ，BC=6cm ，AE=CG=3cm ，BF=DH=4cm ，四边形AEPH 的⾯积为5cm 2，则四边形PFCG 的⾯积为 cm 2．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．如图，在△ABC中，D是BC边上的⼀点，E是AD的中点，过A点作BC的平⾏线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．2．已知四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上⼀点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点，（1）如图1，当AD=DC时，连接CF交AB于M，求证：BM=BE；（2）如图2，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB、AC于G、H，连接GC，若∠FDB=30°，S四边形GBOH=，求线段GC的长．3．如图，在?ABCD中，对⾓线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．（1）求证；四边形OBFE是平⾏四边形；（2）当线段AD和BD之间满⾜什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．4．已知：如图，矩形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC=EC．5．在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．课程顾问签字：教学主管签字：参考答案知识点⼀：练1：【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三⾓形，∴AB=OA=5cm，故选D．【点评】本题考查了矩形的性质和等边三⾓形的性质和判定的应⽤，解此题的关键是求出等边三⾓形OAB和求出OA的长，题⽬⽐较典型，是⼀道⽐较好的题⽬．练2：练3：练4：知识点⼆：当堂练习：1．（2016?荆门）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上⼀点，且DE=DA，AF⊥DE，垂⾜为点F，在下列结论中，不⼀定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF【分析】先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三⾓形的对应边相等进⾏判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．⼜∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不⼀定等于30°，∴直⾓三⾓形ADF中，AF不⼀定等于AD的⼀半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，⼜∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选B．【点评】本题主要考查了矩形和全等三⾓形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个⾓都是直⾓，矩形的对边相等．解题时注意：在直⾓三⾓形中，若有⼀个锐⾓等于30°，则这个锐⾓所对的直⾓边等于斜边的⼀半．2．（2016春?张家港市期末）如图，矩形的两条对⾓线的⼀个交⾓为60°，两条对⾓线的长度的和为20cm，则这个矩形的⼀条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm【分析】根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三⾓形OAB，求出AB=OA，代⼊求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三⾓形，∴AB=OA=5cm，故选D．【点评】本题考查了矩形的性质和等边三⾓形的性质和判定的应⽤，解此题的关键是求出等边三⾓形OAB和求出OA的长，题⽬⽐较典型，是⼀道⽐较好的题⽬．3．（2017?河北⼀模）如图，将矩形纸⽚ABCD沿其对⾓线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（）A．11B．16C．19D．22【分析】⾸先由四边形ABCD为矩形及折叠的特性，得到B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，∠B′EC=∠DEA，得到△AED≌△CEB′，得出EA=EC，再由阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，即矩形的周长解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°∵∠B′EC=∠DEA，在△AED和△CEB′中，，∴△AED≌△CEB′（AAS）；∴EA=EC，∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，=AD+DC+AB′+B′C，=3+8+8+3，=22，故选D．【点评】本题主要考查了图形的折叠问题，全等三⾓形的判定和性质，及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的⾓是解题的关键．4．（2017?新城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点O为对⾓线AC、BD的交点，点E为BC上⼀点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三⾓形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】根据已知及全等三⾓形的判定⽅法进⾏分析，从⽽得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，其矩形的对⾓线相等且相互平分，∴AB=CD，AD=BC，AO=CO，BO=DO，EO=FO，∠DAO=∠BCO，⼜∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB，∠AOE=∠COF，∴△AOB≌△COD（SSS），△AOD≌△COB（SSS），△AOE≌△COF（ASA），△DOE≌△BOF（ASA），△ABC≌△CDA（SSS），△ABD≌△CDB（SSS）．故图中的全等三⾓形共有6对．故选D【点评】本题考查矩形的性质、全等三⾓形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三⾓形的判定⽅法，属于基础题，中考常考题型．5．（2014?宁波校级⾃主招⽣）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件，可得出△AEP∽△ADC；△DFP∽△DAB，从⽽可得出PE，PF的关系式，然后整理即可解答本题．也可以利⽤⾯积法证明PE+PF=BM即可．【解答】解：⽅法⼀：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；∴△AEP∽△ABC，故=①；同理可得△BFP∽△DAB，故=②．①+②得=，∴PE+PF=．⽅法⼆：（⾯积法）如图，作BM⊥AC于M，则BM==，∵S △AOB =S △AOP +S △POB ，∴?AO?BM=?AO?PE +?OB?PF ，∵OA=OB ，∴PE +PF=BM=．故选B ．【点评】本题考查了矩形的性质，⽐较简单，根据矩形的性质及相似三⾓形的性质解答即可，学会利⽤⾯积法证明线段之间的关系．当堂检测：1．（2017?龙岗区⼀模）如图，在矩形ABCD 中，对⾓线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则EF= 2.5 cm ．【分析】根据勾股定理求出AC ，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC ，BO=OD ，求出BD 、OD ，根据三⾓形中位线求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC ，BO=OD ，∵AB=6cm ，BC=8cm ，∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm ），∴DO=5cm ，∵点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，∴EF=OD=2.5cm ，故答案为：2.5．【点评】本题考查了勾股定理，矩形性质，三⾓形中位线的应⽤，关键是求出OD 长．2．（2016?沛县校级⼀模）如图：在矩形ABCD 中，对⾓线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有 6 条．（填具体数字）【分析】根据矩形性质得出DC=AB ，BO=DO=BD ，AO=OC=AC=8，BD=AC ，推出BO=OD=AO=OC=8，得出△ABO 是等边三⾓形，推出AB=AO=8=DC ．【解答】解：∵AC=16，四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB ，BO=DO=BD ，AO=OC=AC=8，BD=AC ，∴BO=OD=AO=OC=8，∵∠AOB=60°，∴△ABO 是等边三⾓形，∴AB=AO=8，∴DC=8，即图中长度为8的线段有AO 、CO 、BO 、DO 、AB 、DC 共6条，故答案为：6．【点评】本题考查了矩形性质和等边三⾓形的性质和判定的应⽤，注意：矩形的对⾓线互相平分且相等，矩形的对边相等．3．（2017?⾩阳⼀模）如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过点O 且EF ⊥AC 分别交DC 于点F ，交AB 于点E ，点G 是AE 中点且∠AOG=30°，给出以下结论：①∠AFC=120°；②△AEF 是等边三⾓形；③AC=3OG ；④S △AOG =S △ABC其中正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都选上）【分析】由矩形的性质得出AB ∥CD ，∠B=90°，得出∠FCA=∠OAG ，由线段垂直平分线的性质得出AF=CF ，得出∠FAC=∠FCA ，由直⾓三⾓形的性质得出OG=AE=AG ，得出∠OAG=∠AOG=30°，求出∠FCA=∠FAC=30°，再由三⾓形内⾓和定理得出①正确；求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°，得出△AEF 是等边三⾓形，②正确；由含30°⾓的直⾓三⾓形的性质和勾股定理得出OA=OE=OG ，得出AC=2OA=2OG ，③不正确；由中点的性质得出S △AOG =S △AOE ，证明△AOE ∽△ABC ，得出=，得出S △AOG =S △ABC ，④正确，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∠B=90°，∴∠FCA=∠OAG ，∵O 为AC 中点，EF ⊥AC ，∴AF=CF ，∴∠FAC=∠FCA ，∵点G 是AE 中点且∠AOG=30°，∴OG=AE=AG ，∴∠OAG=∠AOG=30°，∴∠FCA=∠FAC=30°，∴∠AFC=180°﹣30°﹣30°=120°，①正确；∵∠FAE=30°+30°=60°，∠AEO=90°﹣30°=60°，∴∠AFE=60°，∴△AEF 是等边三⾓形，②正确；∵∠OAG=30°，EF ⊥AC ，∴AE=2OE=2OG ，∴OA=OE=OG ，。
八年级数学下册 5.1 矩形课件1 (新版)浙教版
知∠CAB=40°，则 ∠OBA=____ ∠A4O0D°=____
D
C
80°
O
A
第十四页，共19页。
B
练一练
4、如图，矩形(jǔxíng)ABCD的两条对角线相交于点O
（1）△AOD是什么三角形？并说明理由.图 D
C
中像这样的三角形共有几个(jǐ ɡè)，分别
是？
O
（2）图中有多少对全等三角形？请把它们
例1、已知:矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点0,
∠AOD=120°, AB = 4cm,
求（1）判断(pànduàn)△AOB的形状；（2）矩形对角线
解的:长∵.四边形ABCD是矩形(jǔxíng)
A
D
∴AC = BD( 矩形(jǔxíng)的对角线) 相等
O
∵OA= OC = AC
B
C
求证：OB= AC
2
证结明AD：，延CD长(yáncháng)BO到点D，使OD=OB，A连
D
∵ OA=OC，OD=OB
∴四边形ABCD是平行四边形
O
∵∠ABC=Rt∠
∴四边形ABCD是矩形
（有一个角是直角的平行四边形是矩形） B
C
∴OB= 1 AC
2
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做一做
1、如图，在矩形ABCD中，E，F分别(fēnbié)是AB，CD的中点 求证：四边形AEFD是矩形
∴ AC=BD
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定理(dìnglǐ)1: 矩形的四个角都A
D
是直角
O
∵矩形(jǔxíng)ABCD，
∴ ∠BAD＝∠CDA =∠BCD＝∠ABC ＝Rt∠B
浙教版数学八年级下册5.1.2学案-矩形的判定
5.1.2 矩形的判定学案
我预学
1．给你一块带刻度的直角三角板,你能根据矩形的定义判断一个四边形是否是矩形吗?
如果这块直角三角板不带刻度呢?
2.对角线相等的四边形是矩形吗?如果是请证明.如果不是,请举出反例.
3．阅读教材中的本节内容后回答：
如果给你根足够长的绳子,你能判断出教室的门是矩形吗?说说你的做法和理由?
我求助：预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：
我梳理
个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：
矩形的判定方法 矩形的定义
矩形的判定定理1 有一个角是 的平行四边形是矩形.
矩形的判定定理2
对角线 的平行四边形是矩形.
有 是直角的四边形是矩形.
我达标
1.下列命题中正确的是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．内角都相等的四边形是矩形
2. 如图，过矩形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线交CD的延长线于E，
则△AEC一定是（）
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.无法确定
3.矩形的三个顶点坐标分别是（-2，3），（1，3），（-2，-4），那么第四个顶点坐标是.
4. 如图，在扇形中，∠AOB=90度，OA=5，C是弧AB上一点，且CD⊥OB，CE⊥OA，垂足分别为点D、E，则DE= ．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E、F是AC的三等分点，求△BEF的面积.
6．如图，ABCD，四内角平分线相交于E、F、G、H. 求证：四边形EFGH是矩形.
C D
A
E
F。
矩形的判定与应用ppt 浙教版
D E B
13.02.2019
D
E
G F C P
G
C F
B
P
应用
如图甲,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8, P是AD 上的动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F.则 PE+PF的值为多少?请你试着求一求.
A E O
H
P F
D
B
C
13.02.2019
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相交于点O，且AC⊥BD。E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、AD的中点。
求证：四边形EFGH是矩形
1
4
2
3
13.02.2019
变式：已知，如图．矩形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分 别是AO、BO、CO、DO的中点， 求证：四边形EFGH是矩形．
A E F D H G
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩 形； 13.02.2019
互助探究
E D
A
H F AC⊥BD B G
你能从这张纸中剪出 一个矩形吗？
互助思路:
C
1、你能从这张纸中剪出一个平行四边形吗？
2、 AC⊥BD 能创造一个什么条件？ 想一想:你还有别的方法吗? 13.02.2019
数学化：已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD
探究：线段 EG与FH为矩形的关系．
A
4
H E G F
3
D
2
B
13.02.2019
1
C
互助拓展（二 ）