土的自重应力计算公式
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4土中应力(自重-地基附加应力)
水对土体有浮力作用，则下部 分柱体取有效重度，即
cz ( w ) z ' z
当地下水位下降，地基中有效自重应力增加，从而引起地面
大面积沉降的严重后果
当地下水位上升时，水位上升引起地基承载力的减小，湿陷
性土的陷塌
原地下水位
1’
1 1
1’
原地下水位
2’
2
2
2’
4.不透水层的影响
四、公式的应用
1.均质地基土的自重应力stress in homogeneous soil
cz Z
2.成层地基土的自重应力
当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为i，则在深度z处 土的自重应力计算公式为：
式中n为从天然地面到深度z处的 土层数。
3.地下水的影响
计算点在地下水位下时，由于
不透水层层面的自重应力按上覆土层的水土总重计算
5.自重应力图的绘制 ① 建立直角坐标系 ② 确立特征点并编号 （地面、层面、 地下水位面、不透水层层面）
③ 计算各点的竖向自重应力
④ 按比例绘出特征点自重应力的位置 ⑤ 用直线连接各点 ⑥ 校核 （地下水位处，不透水层处）
§4.3 基底压力
一、概述
土力学中应力符号的规定
z
zx
地基：半无限空间
o
∞ x ∞
y yz
xy
x
∞ y
z
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
一. 土力学中应力符号的规定
zx
材料力学
z +
正应力
剪应力
-
zx
土力学
z
土力学完整课件土中应力计算
3dP z 3 3 pxz3 d z 5 dxdy 5 2 R 2bR
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
土中的应力计算
土不能承受拉力
e x
e xL
Ke
L x K=B/2-
L
压力调整 基底压
y
y
e
3K
y
pmin 0
力合力 与总荷
载相等
pmax
pmin
0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
pmax
e=B/6: 三角形
e>B/6: 出现拉应力区
2N
2N
pmax 3KL 3(B 2 e)L
12
2.2.3基底附加压力
H 成层
E1 均匀
E2<E1
25
无限均布荷载作用下的附加应力
当条形荷载在宽度方向增加 到无穷时，此时地基中附加应力 分布仍可按均布条形荷载下土中 应力的公式计算，查表2-10。
相当于薄压缩层：h 0.5b
b，z/b 0， αsz=1.0
基础中点处，任意深度处的附加
应力均等于p0，即在大面积荷载
作用下，地基中附加应力分布与 深度无关。
成层 H
均匀 E1
E2>E1
23
2.变薄交互层地基（各向异性地基） • 当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 • 当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
24
3.双层地基（非均质地基）
(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基 ▪ 中轴线附近σz比均质时明显增大的现象
21
条形荷载与矩形荷载的附加应力对比图
表明荷载作 用面积越大 附加应力传 递的越深。
22
2.3.4 地基附加应力的应用讨论
1.变形模量随深度增大的地基（非均质地基）
B
e x
e xL
Ke
L x K=B/2-
L
压力调整 基底压
y
y
e
3K
y
pmin 0
力合力 与总荷
载相等
pmax
pmin
0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
pmax
e=B/6: 三角形
e>B/6: 出现拉应力区
2N
2N
pmax 3KL 3(B 2 e)L
12
2.2.3基底附加压力
H 成层
E1 均匀
E2<E1
25
无限均布荷载作用下的附加应力
当条形荷载在宽度方向增加 到无穷时，此时地基中附加应力 分布仍可按均布条形荷载下土中 应力的公式计算，查表2-10。
相当于薄压缩层：h 0.5b
b，z/b 0， αsz=1.0
基础中点处，任意深度处的附加
应力均等于p0，即在大面积荷载
作用下，地基中附加应力分布与 深度无关。
成层 H
均匀 E1
E2>E1
23
2.变薄交互层地基（各向异性地基） • 当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 • 当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
24
3.双层地基（非均质地基）
(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基 ▪ 中轴线附近σz比均质时明显增大的现象
21
条形荷载与矩形荷载的附加应力对比图
表明荷载作 用面积越大 附加应力传 递的越深。
22
2.3.4 地基附加应力的应用讨论
1.变形模量随深度增大的地基（非均质地基）
B
土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析
从上式可知，自重应力随深度z线性增
加，呈三角形分布图形。
2019/8/25
土中自重应力的计算
8
3.2 土中自重应力的计算
2. 成层土的压力计算
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层
的厚度为hi，重度为 ，则在i 深度z处土的自重应力计算公式 为：
n
cz ihi i 1
剪应力
xy
yx
3Q xyz
2
R5
1 2 3
xy(2R z)
R3
(
R
z)2
yz
zy
3Q 2
yz 2 R5
ZX
XZ
3Q 2
xz 2 R5
3.4 集中力作用下土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移
分别为：
刚性基础在中心载荷作用下，地基反力呈马鞍形，随着外 力的增大，其形状相应改变。如下图
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
15
3.3 基础底面压力的分布和计算
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
16
3.3 基础底面压力的分布和计算
2. 地基反力的简化计算方法
根据弹性理论的圣维南原理及土中实测结果，当作用在 基础上的总载荷为定值时，地基反力分布的形状对土中 应力分布的影响，只在一定深度范围内，当基底的深度 超过基础宽度的1.5-2.0倍时，它的影响已不显著。因此， 在实用上采用材料力学方法，即将地基反力分布认为是 线性分布的简化计算方法。
因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力 与基底处原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力)(如图)
第3章 土体中的应力计算
Chapter
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
土力学与地基基础土的自重应力计算
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力 2、三角形分布的矩形荷载
x p ? b p0dxdy
? z1 ? ? t1 p0
? z2 ? ? t 2 p0 ? (? c ? ? t1 ) p0
d? z
?
3
2?
p 0 xz 3 b(x2 ? y2 ?
z 2)5/2
dxdy
? t1
?
mn
[
2?
1
n2
?
]
第三章 土的自重应力计算
§ 3.1 § 3.2 § 3.3 § 3.4
概述 土的自重应力计算 基地压力的分布与计算 地基附加应力计算
3.1 概述
?一 土中应力
?目的
自重应力： 附加应力
?应力—应变关系假设及计算方法
? 目前在计算地基中的应力时，常 假设土体为连续体、线弹性及均 质各向同性体。实际上土是各向 异性的、弹塑性体。
m2 ? n2 (1? n2) m2 ? n2 ? 1
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
(1)以三角形角点1为计算点
2、三角形分布的矩形荷载
dP=
x b
p0dxdy
O
M(0,0,z) z
p0
x
L
dA
1 y
2 b
1
z
p0 b
px=
x b
p0dxdy
?
?
3
2?
1
?
5
? ?1 ?
?
? ห้องสมุดไป่ตู้?
r z
2
? ??
?2 ? ?
一、竖向集中力下的地基附加应力 2、多个竖向集中力下的地基附加应力
?z?
1 z2
3土的应力和地基沉降计算
h
i
d
g f
a
afgh cegi dfgi z (K begh K K K s s s s )p
b
c
e
矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
y
z
B
0
L
0
d z z (p t , m, n)
dP
L
pt
z Kt1 pt
L z Kt1 F ( B, L, z ) F ( , ) F (m, n) B B
s z s x s xz
Kzs为条形面积竖直均布荷载作用时的附加应力分布系数 查表3.6确定，注意坐标原点位置
P z K 2 z
z Kp
•K=F（底面形状；荷载分布；计算点位置）
•K ——竖直集中荷载作用下 •Ks ——矩形面积竖直均布荷载作用角点下 •Kt ——矩形面积三角形分布荷载作用角点下 •Kzs——条形面积竖直均布荷载作用时 •K0 ——圆形面积均布荷载作用时园心点下
z
M
B
x
z
Kt矩形面积竖直三角分布荷载零值角点下的附加应力分布系数 查表3.4，注意坐标原点位置
条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力
p
z K s zp x K s xp xz K p
s xz
xyBzx Nhomakorabeaz
M
x z K , K , K F( B , x , z ) F( , ) F (m , n ) B B
n n e1i e2i ai s si hi ( p2i p1i )hi zi hi i 1 i 1 1 e1i i 1 1 e1i i 1 ESi n n
均质土的自重应力二
w
h w
例题 2-1
某土层及其物理性质指标如图所示，地下水位 在地表下1.0 m，计算土中自重应力并绘出分布
a 点：s cz h 0
b
s
点：
cz 1h1
18.6 1
18.6kpa
s cz 1h1 2h2
c 点： 18.6 (18.8 10) 1
地下水位以上的土层取天然重度γ，地下水位 以下的土层取有效重度γ`( γ` = γsat- γw) γ w=10kN/m3或9.8kN/m3
二、 成层地基土的自重应力
s cz 1h1 2h2 3h3 i hi
成层土地基中，竖 直向自重应力也是 随深度的增加而增 大，但沿铅垂线的 分布图是一条折线， 转折点在不同土层 的分界面上
应力的变化？如何影响？
第三节 基础底面压力
建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为 基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的 反作用力称为地基反力。
F
基础
G
地基
第三节 基础底面压力
建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为
基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的
反作用力称为地基反力。
F
基础
基础
基底压 力
2、偏心荷载作用下基底压力:
A
pmax F G M F G ( 1 6e )
pmin
AW
lb
b
Fk—作用在基础顶面形心的竖向力值. Gk-基础自重及台阶回填土总重，
Gk G Ad G 20kN / m 3
式中l，b为基底平面的长边与宽边尺寸。
在b方向偏心.
荷载偏心方向边长为b.
土中应力计算
基底压力旳简化计算
1. 中心荷载下旳基底压力
F G p
A A l b
2．偏心荷载下旳基底压力
三角形形心点 三角形形心点
pk max Fk Gk M k
pk min
lb
W
M k (Fk Gk )e
W bl 2 6
pk max Fk Gk (1 6e )
pk min
lb
l
e Mk Fk Gk
d z
3
2
b(x 2
p0 xz 3 y 2 z 2)5/2
dxdy
z1 t1 p0
z2 t2 p0 (c t1) p0
t1
mn 2
[
1
m2 n2 (1 n2 )
n2 ]
m2 n2 1
3. 均布旳圆形荷载
z
d z
A
3 p0 z 3
2
2
0
r0 rddr
0 (r 2 z 2 )5 / 2
z
p0 [arctan 1 2n
2m
arctan
1
2n 2m
4m(4n2 4m2 1) (4n2 4m2 1)2 16m
2
]
sz
p0
均布条形荷载下地基中附加应力旳分布规律：
(1) 地基附加应力旳扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴
线处最大，伴随距离中轴线愈远愈小； (3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向旳任意点，随深度愈
e>L/6, 应力重新分布
pk max
2(Fk Gk ) 3bk
k l e 2
3.2.4 基底附加压力
p0 p ch p 0h
土力学与地基基础第三章土的自重应力计算
土力学与地基基础第三章土的 自重应力计算
3.1 概述
一 土中应力
目的
自重应力： 附加应力
应力—应变关系假设及计算方法
目前在计算地基中的应力时，常 假设土体为连续体、线弹性及均 质各向同性体。实际上土是各向 异性的、弹塑性体。
自重应力：地基中源于土体自身重量的应力。
基底压力：建筑物的荷载通过基础传递给地基，在基础底面与地基之间产 生的接触应力。
二、基底压力分布
基础按刚度分为： （1）柔性基础（抗弯曲变形能力为0） （2）刚性基础（抗弯曲变形能力为∞） （3）有限刚性基础（弹性地基上梁板分析方法）
（1）柔性基础。基底压力大小、分布状况与上部荷载的大小、 分布状况相同。
荷载
变形地面
反力
二、基底压力分布
（2）刚性基础。基底压力大小、分布状况与上部荷载的大小、分布状
d
c
d
c
Ⅱ o
Ⅰ
ⅤⅢ o
ⅠⅡ
a
b
a
b
(1)o点在荷载面边缘
σz＝（αcⅠ＋αcⅡ）p0
(2)o点在荷载面内
σz＝(αcⅠ＋αcⅡ＋αcⅢ＋αcⅣ)p0 o点位于荷载面中心，因αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣ
σz=4αp0
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
d
c
Ⅳ
Ⅲ
o
Ⅱ
Ⅰ
d
c
Ⅰ Ⅲ
a
b
Ⅳa
1
1
p 0 [1
( z2
1 1 / r0 2
1) 3 / 2
]
r
p0
] r p0
1)3 / 2
/ r0 2
3.1 概述
一 土中应力
目的
自重应力： 附加应力
应力—应变关系假设及计算方法
目前在计算地基中的应力时，常 假设土体为连续体、线弹性及均 质各向同性体。实际上土是各向 异性的、弹塑性体。
自重应力：地基中源于土体自身重量的应力。
基底压力：建筑物的荷载通过基础传递给地基，在基础底面与地基之间产 生的接触应力。
二、基底压力分布
基础按刚度分为： （1）柔性基础（抗弯曲变形能力为0） （2）刚性基础（抗弯曲变形能力为∞） （3）有限刚性基础（弹性地基上梁板分析方法）
（1）柔性基础。基底压力大小、分布状况与上部荷载的大小、 分布状况相同。
荷载
变形地面
反力
二、基底压力分布
（2）刚性基础。基底压力大小、分布状况与上部荷载的大小、分布状
d
c
d
c
Ⅱ o
Ⅰ
ⅤⅢ o
ⅠⅡ
a
b
a
b
(1)o点在荷载面边缘
σz＝（αcⅠ＋αcⅡ）p0
(2)o点在荷载面内
σz＝(αcⅠ＋αcⅡ＋αcⅢ＋αcⅣ)p0 o点位于荷载面中心，因αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣ
σz=4αp0
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
d
c
Ⅳ
Ⅲ
o
Ⅱ
Ⅰ
d
c
Ⅰ Ⅲ
a
b
Ⅳa
1
1
p 0 [1
( z2
1 1 / r0 2
1) 3 / 2
]
r
p0
] r p0
1)3 / 2
/ r0 2
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土的自重应力计算公式
土的自重应力计算公式是指在土体中，由于自身重力作用所引起的应力大小的计算公式。
该计算公式是土力学中重要的一部分，其公式如下：
σ = γ * z
其中，σ表示土体中的自重应力，γ表示土体的单位重量，z表示土体距离地面的深度。
在实际应用中，土的自重应力计算公式的使用范围非常广泛，例如在岩土工程中用于计算土体的稳定性和承载力；在地下建筑工程中用于设计基础和支护结构等。
因此，掌握土的自重应力计算公式对于土木工程师和岩土工程师来说是非常重要的。
- 1 -。