圆锥曲线的应用(韦达定理,对称)

韦达定理——圆锥曲线硬解定理 联立⎪⎩

⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 122

22消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b

2222212k a b km a x x +-=+；22222221)(k

a b b m a x x +-=+；)(4222222m k a b b a -+=∆ 消去x 得：0)(2)(222222222=-+-+k a m b my b y k a b

2222212k a b m b y y +-=+；222222221)(k

a b b a m b y y +-=+；)(42222222m k a b k a b -+=∆ 韦达定理：主要适用于设而不求，弦长公式，如面积;

2222222222

212)(411k a b m k a b b a k x x k AB +-+•+=-+= 2

2222222222212)(41111k a b m k a b k a b k y y k AB +-+•+=-+=

超级韦达定理——反向点乘双根式 联立⎪⎩

⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 122

22消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b

222222222222

2121212)()())((p k a b kmp a k a b b m a p x x p x x p x p x ++++-=++-=-- 2222222222221)(2)())((k

a b b m a kmp a p k a b p x p x +-+++=-- 2

2222222222221)(2)())((k a b k a m b mq b q k a b p y p y +-+-+=-- 超级韦达定理：主要适用于λ=•→

→MB MA 型，如垂直、圆过定点；

例1、（全国卷）已知)2,0(-A ，椭圆)0(1:22

22>>=+b a b y a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3

32，O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）设过点)2,0(-A 的直线l 与E 相交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．

例2、（上海高考）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，

、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;

(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11

F P FQ ⊥u u u r u u u r ,求直线l 的方程.

例3、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,

最小值为1.

(I)求椭圆C的标准方程;

(II)若直线:l y kx m

=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

对称与对称思想： 1、标准对称

例1、如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率2

1=e 。过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8。

（Ⅰ）求椭圆E 的方程。

（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相较于点Q 。试

探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

2、同理对称（一种对称的理念） （2014•宁波模拟）如图，椭圆1C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 和圆2C ：222b y x =+，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，且圆2C 的面积为π．椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A 、B ，直线EA 、EB 与椭圆1C 的另一个交点分别是点P 、M ． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；

（Ⅱ）（i ）设PM 的斜率为t ，直线l 斜率为1K ，求i

K 1的值； （ii ）求EPM ∆面积最大时直线l 的方程．

三、齐次对称 例3、如图，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率12

e =，直线l 的方程为4x =. （1）求椭圆C 的方程；

（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，

记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k 。问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在， 求λ的值；若不存在，说明理由.

例4、已知椭圆13

42

2=+y x ，直线l ：)0,(≠+=m k m kx y 与椭圆交于B A ,两点，直线BO AO ,的斜率分 别为21,k k 问：是否存在不为零的常数，当k k k λ=+21时，使得直线l 过定点？若存在，求出该定点， 并指出满足条件的λ的范围，若不存在，说明理由。