杨辉三角与二项式定理

卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日 本等国均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》 一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等 于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
8 9 10 11 12 13 14
15
行的
则第2n行的数字有什么特点？ 除两端的1之外都是偶数.
思考：1.求 (1 x)6 (1 x)4 的展开式中的 x3
系数.
2. 在(1 x)3 (1 x)4 ... (1 x)n2 的展
开式中，含 x2 项的系数是多少？
四、总结
1、杨辉三角蕴含的基本性质 2、杨辉三角蕴含的数字排列规律
2、杨辉三角的基本性质和对称性
1.对 称 性：杨辉三角形的每一行中的
数字左右对称.
即Cnr

C nr n
2.基本性质：杨辉三角形的两条斜边都
是数字1，而其余的数都等于它肩上的两
个数字相加.
即Cnr

C r1 n1

Cr n1
性质3：增减性与最大值
二项式系数在对称轴的左边
11
是逐渐增大的.在对称轴右边
第0行
1
第1行 第2行 第3行
11
探
12 1
究 ４
13 3 1
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
杨
一、引入
辉
三
角
一
——
一一
一 二一
一 三 三一
一 四 六 四一
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
二、杨辉简介:
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学 教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷 （1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三 卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二
分析:设第 n 行的第 2 个数为 an ,则a2 = 2 ,
an+1 - an =n
∴ an = 2 + 2 + 3 +…+ ( n-1)=
n2 n 2 2
想一想：将杨ຫໍສະໝຸດ Baidu三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到
如图所示的0——1数表，从上往下数：第一次全行的数
都为1 的是第一行，第二次全行的数都为1 的是第3
121
是逐渐减小的, 且在中间取得 1 3 3 1
最大值.
1 4641
n
当n是偶数时,中间的一项Cn2 1 5 10 10 5 1
取得最大值;当n是奇数时, 1 6 15 20 15 6 1
n1 n1
中间的两项Cn 2 ,Cn 2 相等,
且同时取得最大值.
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
行，……第n次全行的数都为1 的是第 2n－1 行
第一行
11
第二行
101
第三行
1111
第四行
10001
第五行
110011
分析：本题是对杨辉三角的考察，一行全１即本身全 为奇数，因此，我们继续探究下表
探究2、横行规律 1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 各个数字为奇数？ 2n-1
第0行
1 2 3 4 5 6 7
角形中，第3_4____行中从左至右第14与第15
个数的比为 2 : 3
n(n 1)(n 12)
Cn13
: Cn14

13！ n(n 1)（n 13)

14 n 13

2 3
14！
n 34
练习2：
1
2
2
34
3
47
74
5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
则第n 行（n≥ 2 ）第2个数是什么？
f (1) 243
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (3) a1 a3 a5;
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
第n行各数的和为２n
尝 2、对称性：
表中的数字左右对称 ，即
试探 C
r n

C nr n
索
3、结构特征：除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和，
即
Cnr

C r 1 n1

Cr n1
１、杨辉三角第n行各数的特点
第0行
1
第1行 杨辉三角的第1n行1中的数对应于
第2行
121
第二3行项式(a+b)n展1开式3 的二3 项1 式系数
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
(3) f (1) f (1) 2(a1 a3 a5)
a1

a3

a5

244 2
122
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求
C 11＋＋11＋＋11＋＋ ．．．．．．＋＋11＝＝ 1 （（第第11条条斜斜线线 ）） n
C C11

C21

C31

C1 n1

2 （第2条斜线 ）
n
C C22
C32
C42

C2 n 1

3
n （第3条斜线 ）
Crr

Cr r 1

Cr r2


Cr n1

C r1 n
(n>r)
根据对称性Cr0

C1 r 1

C2 r2

C nr1 n1

C nr1 n
(n

r
)
结论：杨辉三角中，第m条斜线(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
即
Crr

Cr r 1
Crr2


Cr n1

Cnr 1 (n
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x L a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
(2) | a0 | | a1 | | a2 | | a5 | a0 a1 a2 a3 a4 a5
a b4
14641
a b5 1 5 10 10 5 1
a b6 1 6 15 20 15 6 1
……
……
a bn
c
0 n
c
1 n
c n2
……
c
r n
……
c n1 n
c
n n
三、教学过程 探究１： 杨辉三角之雾里看花
1、与二项式定理的关系：
表中的每个数都是二项式
C 系数，第n行的第r+1个数是 r n
a0 a1 a2 a3 a4 f (1) 32 31
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (2) | a0 | | a1 | | a 2| | a3 | | a4 | | a5 |;
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x L a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243 (1) a5 25 32
系数相同的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大
的项是( A ).
A.第6项 B.第7项 C.第6和第7项 D.第5和第7项
在(a-b)10展开式中，系数最大的项又是什么？
性质4：各二项式系数的和
(1 x)n Cn0 Cn1x Cnr xr Cnnxn (n N*)

r)
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角 中，第m条斜线(从左上到右下)上前n个数字的 和，等于第m+1条斜线上第n个数。
即
Cr0

C1 r 1

C2 r2

C nr1 n1

C nr n
1
(n

r)
想从一第想三：个如数图起，，写任出一斜数线都上等各于行前数两字个的数和的，和有;什么 规这律就？是著名的斐波那契数列 。
3、利用杨辉三角进行简单的应用
探究２：研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1= 6 C61 第二条斜线上： 1+2+3+4+5= 15 C62 第三条斜线上：1+3+6+10=
20 C63
第四条斜线上：1+4+10= 15 C64
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 杨辉三1 角6 的…1各5…行…20数…字…15的6和等1 于与 第第n之 式n行-1对系行1 应数1Cn1的的CCn1(和a1n2 C+为nb2…1)2…nn…的。C…展nrC11…开nCr nr式…1 的……各C个nn12二Cnn项11 1
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现 的（Blaise Pascal, 1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡 三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可 见我国古代数学的成就是非常值得自豪的．
a b1
11
a b2 a b3
121 1331
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnr ... Cnn ？2n
11
赋值法
121
也就是说, (a+b)n的 展开式中的各个二项式系 数的和为2n
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
性质5：奇数项二项式系数与偶数项二项式系 数的和
Cn0 Cn2 Cn4 ... 2n-1
Cn1 Cn3 Cn5 ... 2n-1
性质1:
Cnm

C nm n
性质2:
Cm n 1

C m1 n

Cnm
性质3：如果二项式的幂指数是偶数，中间一
项的二项式系数最大；如果二项式的
幂指数是奇数，中间两项的二项式系
数最大；
性质4：
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (1) a0 a1 a2 a3 a4;
(a0 a1 a2 a3 a a5 )
f (1) f (1) 243
练习.设 (33 x 1)n 二项式展开式的各项系数的和 为P；二项式系x 数的和为S，且P+S=272，则展开 式的常数项为___1_0_8____．
练习1:
杨辉三角的应用
如上表，在由二项式系数所构成的杨辉三
(4)(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 a5 )2
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x L a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243 (4)(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 a5 )2 (a0 a1 a2 a3 a4 a5 )
C
0 n

C
1 n

C
2 n



Cnk


C
n n

2n
性质5：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数和.
例1.设 (2x 1)5 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5x5， 求：
(1) a0 a1 a2 a3 a4; (2) | a0 | | a1 | | a 2| | a3 | | a4 | | a5 |; (3) a1 a3 a5; (4)(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 a5 )2