数学史部分4-1-古希腊数学1
《古代希腊数学》PPT课件
一般地由公式
N 1 2 3 n n(n 1) 2
给出的数称为“三角形数”，它们可以用某种三角
点式来表示；
由序列 N 1 3 5 7 (2n 1) 形成一系列“正方形数”。
五边形数和六边形数分别由序列 N 1 4 7 (3n 2) n(3n 1)
• 泰勒斯在数学上的贡献的最可靠的证据 是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家 普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著《欧 几里得<原本>第一卷评注》一书:
• ……（泰勒斯）首先来到埃及，然后将 几何研究引进希腊。他本人发现了许多 命题，并指导学生研究那些可以推出其 他命题的基本原理”。
普罗克鲁斯在《评注》中介绍说泰勒斯曾 证明了下列四条定理：
这类问题激发了古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡献 最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工具只能是圆规和（不 带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。
最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯 （Anaxagoras,约公元前500 –前428），但详情不得 而知。公元5世纪下半叶，开奥斯的希波克拉底 （Hippociates of Chios）解决了与化圆为方有关的化 月牙形为方。但单个圆的化圆为方问题没有解决。
古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可 以追溯到公元前2000年。当时，作为希腊先民 的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定 居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。 到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海 与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起 了新的数学浪潮。
• 这些海滨移民具有两大优势：
在所有的正多面体中，正十 二面体的作图是最为诱人的问题， 因为它是由正五边形围成，而其 他正多面体都是以三角形或正方 形为界面，正五边形的作图则与 著名的“黄金分割”问题有关.
数学史(第2章古希腊数学)
第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。
概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。
三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。
同时也有对前人进行评述和整理工作。
主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。
普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。
（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。
以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。
（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。
该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。
（4）发现了不可公度量。
评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。
加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。
不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。
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2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落
通常从公元前30-公元6世纪的这一段时期，称为 希腊数学的“亚历山大后期”。
亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉。这一时期开 始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦（Heron，公元前1世纪公元1世纪间），代表作《量度》，主要讨论各种几何图形的面 积和体积的计算，其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公 式
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总评
▪ 《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成 就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解 析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的。
▪ 另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年 间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到 17世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后， 才得以来临。
▪ 此书集前人之大成，且提出很多新的性质。他推广了梅内赫莫斯 （公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证 明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、 椭圆、双曲线、正焦弦等名称。
▪ 书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的 垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解 释太阳系内5大行星的运动时， 提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密 的地心说提供了工具。
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《圆锥曲线论》中包含了许多即使是按今天的 眼光看也是很深奥的结果，尤其突出的是第5卷关于 从定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，其中 实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念， 它们是近代微分几何的课题。
第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极限的调和 性质的论述，则包含了射影几何的萌芽思想。
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亚历山大里亚时期的希腊数学
《数学史》古希腊数学(1)解析
轶事典故
▪
欧多克斯是证明一年不是整三百六十五天而是三百
六十五天又六小时的第一个希腊人。既然埃及人对此已
有所了解，那么欧多克斯只不过是把这传到了希腊，而
并不是他发现的。
▪
他接受了柏拉图关于行星必须在正圆轨道上运行的
观点。然而他在观察了行星运动之后不得不承认，行星
的实际运动并不是正圆轨道上的匀速运动。为了当时所
轶事典故
▪ 后来，在今天土耳其西北岸的锡塞克斯创办了他自己 的学校，最后他把学校迁到雅典，在那里任教多年。那 时他已成为公认的有成就的哲学家。他再次拜访了过去 的老师柏拉图，主人专为他举行了宴会。（当公元前367 年柏拉图在西西里时，欧多克斯甚至可能还是柏拉图学 园的积极负责人。）在这些年里，他提出了许多几何证 法，后来被纳入欧几里得所总结的几何学。他还对不能 直接确定其长度和面积的图形的近似值开始进行研究， 这在一百年后由阿基米德作了进一步的发展。
主要贡献：倡导逻辑演绎结构
• 亚里斯多德学派(吕园学派)
代表人物：亚里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322) 欧多谟斯
主要贡献：倡导逻辑演绎结构。
▪ 欧多克斯
欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408 BC - 355 BC） 希腊天文 学家和数学家。
公元前约400年生于奈得斯。欧多克斯在柏拉图学园中学习时， 处境十分困难。他很贫困，故住在雅典的港口比雷埃夫斯，因为这 里可以找到较便宜的的住处。这样他每天往返学校不得不走十英里。 毕业后他到了埃及，进行天文学的我们今天称作研究生的学业。
西比阿斯：发明 “割圆曲线”. 如果这种曲线能够作出，那么它不但能够三等分角，而
且可以任意等分角，并且也可以用来化圆为方。
数学史
古典时期的希腊数学摘要:本节主要讲述了巧辩学派的产生和它的历史背景，并由此引出了几何作图三大问题的出现过程，以及尺规作图出现的原因，并由许许多多的前人研究得出的结论：几何三大作图问题是不能由尺规作图解出．同时，许多人由于有尺规的限制而闯入了其他的数学领域，从而发现了许许多多新的数学问题．下面我将对此做个详细介绍．一：历史背景和巧辩学派希波战争以后，希腊城邦经济进入繁荣时期，农业、手工业、商业、航海业高度发达．雅典成为经济、政治和文化的中心．在雅典，仅手工业就有数十种分工，冶金、造船、制陶和建筑业都很兴旺．随着生产力的迅速提高，海外贸易也盛极一时．雅典的昌盛是和它在希波战争之后掌握海上霸权分不开的．公元前478年，当希腊人在希波战争中稳操胜券时，以雅典为首的城邦缔结了一个共同抗击波斯的海上同盟，因盟址在提洛岛而称为提洛同盟，入盟的城邦达二百个．雅典控制了财政、军事大权，为商品生产的市场、原料和粮食提供了方便条件．在政治上，雅典实行民主政治．在历史上，雅典素有民主的传统．公元前594年，雅典由选举产生的执政官梭伦实行一系列的改革，打击了氏族贵族的势力，维护了平民的利益，为民主政治开辟了道路．公元前509年，平民领袖克利斯提尼实行民主改革，推翻贵族统治，奠定了雅典民主政治的基础．从公元前444年起，民主政治家伯利克利进一步完善民主制度．制定雅典民主宪法，加强公民大会的权力，实行公职，向全体公民开放，发展工商业，鼓励科学文化．伯利克利时代是雅典经济文化发展的极盛时代．希腊光辉灿烂的文化，是和民主制度分不开的．新思想的萌芽和成长，需要有一个自由的气氛，要允许发表不同的一件，不压制“离经叛道”的言论．这就必须要有政治上的民主．我国“五四运动”时期提出只有民主和科学才能救中国，是有深刻意义的．民主制度的精髓，是崇尚公开精神．在公开的讨论或辩论中，要想取得胜利，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等方面的知识．于是“桥边学派”应运而生．“巧辩”一次，希腊文是使人智慧的意思．也意为“诡辩学派”、“智人学派”或“哲人学派”．巧辩学派的学者经常出入群众的集会场所，发表应时的演说．他们以教授学生雄辩术、修辞学、文法、逻辑、数学、天文等科为职业．最著名的有普罗泰戈拉，高尔吉亚，希比阿及安蒂丰等人．这个学派的数学研究中心是三大问题：1化圆为方—求做一正方形，使其面积等于一已知圆；2：三等分任意角；3：倍立方——求做一立方体，使其体积等于已知立方体的2倍这些问题的难处，是作图只许用直尺和圆规．在整个数学史上很难找出像这三个问题那样具有历久衰的魅力．希腊人的巧思，阿拉伯人的学识，西方文艺复兴时期大师们的睿智，都曾倾注于此而得不到丝毫结果．实际上这三大问题都是不可能用尺规经有限次步骤来解决的．二：尺规作图的来历几何作图，规定只能用直尺圆规，为什么要这样限制呢？原来这是希腊人遗留下来的习惯．他们这样规定有下列的原因：(1)自从泰勒斯在数学中引入了逻辑证明之后，经过两三个世纪的演变，几何逐渐发展成为一门独立的、演绎的科学．这一点突出体现在欧几里得《几何原本》之中．这本书从不多的几个基本假定出发，推导出一系列的定理，这就是希腊数学的基本精神．它要求基本假定越少越好，而推出的命题则越多越好．对于作图工具，自然也相应地限制到不能再少的程度．在欧几里得之前，早已有这种思想．到欧几里得时代，才成功的建立里这样的演绎体系．《几何原本》对作图作了几条规定：1.任何两点之间可联一直线；2.直线可以任意延长；3.以任何中心，任何半径可做一圆．根据这几条共设，作图工具就只能用尺规．由于这本书的巨大影响，尺规作图边成为希腊几何学的金科玉律，一直沿用至今．(2)和希腊人一贯提倡的奥林匹克精神有关．从公元前776年开始，希腊每4 年在伊利斯的奥林匹亚举行竞技大会．吧宗教祭祀和体育竞技结合起来，认为这是神圣的、至高无上的．他们崇尚公开平等的竞赛．要做到公开平等，就一定要共同遵守某些规则，对器械也要有所限制．智力也是一样．几何学除了有实用价值之外，还有训练智力的巨大作用．这一点充分反映在帕拉图的著作中．他主张通过几何的学习达到训练逻辑思维的目的．训练逻辑思维为什么不直接学习逻辑规律而要借助几何学呢？理由是几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．逻辑的推理和结论，还可以通过实际的观测来印证，是抽象的规律和感情认识结合起来，收到想得益彰之效．两千多年来的实践证明，通过几何学习来培养逻辑思维能力的确是行之有效的办法．同样锻炼智力也应该有某种器械的限制，这种限制最好是简单可行，容易检验的．于是就想到使用最基本的作图工具直尺和圆规．(3)以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形．圆和直线是几何学最基本的研究对象．有了尺规，圆和直线已经能够作出，因此就规定作图只能使用这两种工具了．三：三大作图问题的起源(1)化圆为方问题——圆和正方形都是最常见的几何图形，自然会想到可否作一个正方形和已知圆等面积．这就是化圆为方问题．他相当于用尺规作出π的值．设圆的半径是一个单位，那么面积就是π．若能作出一个长度为π的线段，以这个线段为矩形的一边，单位线段为另一边，这个矩形的面积就和圆相等．再将这矩形改为面积相等的正方形，就达到化圆为方的目的．在历史上，也许没有任何一个几何问题像化圆为方问题那样强烈地引起人们的兴趣．化圆为方的最早研究者是安纳萨格拉斯，以后有希波克拉底．巧辩学派的代表人物安蒂丰提出一种“穷竭法”，具有划时代的意义，它是近代极限论的雏形．关于安蒂丰的生平，，各家说法不一．他大概是和苏格拉底同时代的人，在雅典以教授雄辩术为职业，积极参加政治活动，后以失败而告终．他提出用“穷竭法”解决化圆为方的问题，记在在亚里士多德《物理学》一书中．所谓穷竭法，是先做圆内接正方形，将边数加倍，得内接正八边形，在加倍的正十六变形．这样继续下去，安蒂丰深信到“最后”，正多边形必与圆周重合，也就是多边形与圆的“差”必会“穷竭”，于是便可以化圆为方了．结论虽然是错误的，但却提供了一种求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导．安蒂丰的说法和我国刘徽的“割圆术”不谋而合．刘徽从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，边数越多，多边形越与圆周接近．刘徽说：“割之弥细，所失越少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”意思是割的越细，正多边形与圆周的“差”也越少．最后于圆周重合，便没有差了．这和安蒂丰的说法一致．比安蒂丰稍晚的巧辩学派另一个成员是布里松提过类似的说法，他指出圆内接正多边形的面积小于圆的面积，而外切正多边形的面积大于圆的面积．因此有一个介于两者之间的多边形，恰好等于圆的面积．至于怎样找出这个多边形却没有说清楚．(2)三等分任意角——用尺规二等分一个角是轻而易举的，自然会提出三等分一个角的问题．对于某些角如90°，135°，180°，三等分并不难，是否所有的角都是这样的？比如60°，它的1/3是20°，如果尺规可以作出，那么正9边形，正18边形也都可以作出来了．在历史上，三等分角问题就是由求作多边形这一类问题引起的．(3)倍立方——埃拉托塞尼在他的《帕拉图》一书中记述一个神话故事，后来为塞翁所引用．说是鼠疫袭击提洛岛，一个先知者说已得到神的谕示，必须将立方形的祭坛的体积加倍，瘟疫方可停息．建筑师很为难，不知怎样才能使体积加倍．于是将这个“提洛问题”去请教哲学家帕拉图．帕拉图对他们说：神的真正意图不在于神坛的加倍，而是想使希腊人为忽视几何学而感到羞愧．另一个故事也是埃拉托塞尼记述的，说古代一位悲剧诗人描述克里特王谜诺斯为格劳科斯修坟．他嫌造的太小，命令说：“必须将体积加倍，但是要保持立方的形状．”接着又说：“赶快将每边的边长加倍．”埃拉托塞尼指出这样是错误的，因为边长加倍，体积就变成原来的8倍．他接着叙述了解决这问题的历史，最后给出自己的器械解法．这些内容它是用短诗的形式写成一封信，奉献给国王托勒密三世的．并郑重其事地刻在国王圣殿的大理石板上，还附有一个解决倍立方问题的器械模型．埃拉托塞尼这封信记载在欧托基奥斯为阿基米德《论球与圆柱》所作的注释中，这两个传说都表明倍立方问题起源于建筑的需要．倍立方问题的起源还有几种说话．例如说神坛的形状和大小问题见于早期的印度文献，有可能通过毕达哥拉斯等人传到欧洲去．四：三大问题的解决一个人不管力气多大，也不可能把自己高举起来．一个学科的问题，往往要借助别的学科的知识才能解决．尺规能作出那些图形？反过来，哪些图形可以用尺规作出？这个问题欧几里得几何本身不能解决．1637年笛卡儿创建解析几何以后，尺规作图的可能性才有了准则．许多几何问题可以转化为代数问题来研究．1837年，旺策尔给出三等分任意角及倍立方不可能用尺规作图的严格证明；1882年，林德曼证明了π的超越性(即π不可能是任何整系数多项式的根)，化圆为方的不可能性也得以确立．1895年，德国现代数学家兼教育家克莱因总结了前人的研究，给出三大问题不可能用尺规作图的简明证明，著《几何三大问题》一书，，彻底解决了两千多年来的悬案．除此之外，还是有很多书和文章给出不可能性的证明．虽然如此，还是有许多人不开这些证明，想独步古今中外，压倒所有前人的工作．他们宣称自己已经解决了三大问题中的某一个．实际上他们并不了解所设的条件和问题之所以不可解的道理，也分不清不可能与困难的本质区别．三大问题不能解决，关键在工具及作图共设的限制．如果不限制工具，那就根本不是什么难题，而且早已解决．五：其它解法三大问题的难处，是工具的限制．如不限制工具或不必遵守作图公设，三大问题是可以解决的，事实上早在古希腊时代已有各种各样的解法．正因为只有冲破尺规限制才能解决问题，所以常常使人闯入未知的领域里去，有所新的发现．门奈赫莫斯为了解倍立方问题而发现圆锥曲线便是最突出的例子．除此以外，还有很多出色的例子,下面再举几个：(1)割圆曲线——关于这曲线的发明人有两种说法，第一种认为是希比阿，这首先为蒙蒂克拉所提倡，以后为希思等人所采用；另一种说法认为是蒂诺斯特拉托斯，这是奥尔曼等人的主张．实际的情况可能是希比阿较早认识这种曲线，以后蒂诺斯特拉托斯在祥加研究．(2)尼科米迪斯的蚌线——尼科米迪斯描述这样一种曲线：设OY⊥OX，EF∥OX，与OX的距离是a．过O作直线OAP交EF于A，在此直线上取P，M两点，使AP=AM=b(定长)，则P及M的轨迹称为蚌线，蚌线分上线两支，P 的轨迹叫上蚌线，M的轨迹叫下蚌线．O称为极点，EF称为准线，b称为模．在笛卡尔直角坐标系中，蚌线的方程是2)2222x=-+y(y)(bay*(3)埃拉托塞尼方法——希波克拉底已将倍立方问题归结为求线段a与2a 之间的两个等比中项x，y的问题．埃拉托塞尼发明一种巧妙的器械求出这两个等比中项．制造三个相同的矩形薄片AF，MG，NH，镶嵌在两条平行的沟槽AQ、EH内．薄片可以彼此独立左右平行滑动，也可以重叠．三条对角线永远是平行的．左边第一个薄片不动，向左移动第二片，使它的一部分重叠在第一片下面，对角线MG与FM交与B点．再移动第三片，使它的一部分重叠在第二片下面，对角线NH交第二片的GN边于C．设D是HQ中点，HD=a，则EA=2a．先调整薄片的位置，使A,B,C,D在一条直线上．由于所构成的三角形的相似性，记FB=y，GC=x，则a：x=x：y=y：2ax，y就是所求的等比中项．三大问题还有多种解法，或是用特殊曲线，或是用尺规以外的特殊器械．如化圆为方问题有阿基米德的螺线解法，倍立方问题有门奈赫莫斯解法、怕波斯解法、阿尔希塔斯的圆柱解法．帝俄克利斯的蔓叶线可接倍立方问题和三分角问题．近代人研究的更多，可列出一长串名单，如韦达、笛卡尔、费马、斯吕塞、维维亚尼、惠更斯、牛顿等都提出过解法．时至今日，三大问题可以说已经彻底解决．可是仍然有人试图用尺规去解，他们不了解问题的实质和它的历史，白白浪费了许多时间和精力，这是很可惜的．理学院08数学05号房振2010-1-13Some people who against occupying seats argue that it's a bad manner to do so有些人对谁占用座位认为，这是一个糟糕的方式这样做We often see there is a table cloth, a book or something else on the desk in the classroom or library, indicating the seat is taken.我们经常看到有台布，一本书或什么就在教室或图书馆服务台否则，说明座位的意见。
数学史--第二讲-古希腊数学--课件
• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占 领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说 ：“几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些 我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“ 给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中 捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就 欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在 前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲 线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪 笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几 何学的萌芽思想。
古希腊数学发展史
欧几里得《原本》可以说是数学史上的 第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在 于数学中演绎范式的确立，这种范式要 求一门学科中的每个命题必须是在它之 前已建立的一些命题的逻辑结论，而所 有这样的推理链的共同出发点，是一些 基本定义和被认为是不证自明的基本原 理—公设或公理。这就是后来所谓的公 理化思想。
毕达哥拉斯学派第一次数学危机
毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572～497年)出 生于靠爱奥尼亚沿海的萨摩斯岛．青年时代， 毕达哥拉斯曾就学于泰勒斯．以后他曾到亚洲 和埃及旅行，特别是在埃及，他学到了很多数 学知识．约在公元前530年，毕氏返回到故里， 并建立了毕达哥拉斯学派。致力于哲学与数学 的研究，相传“哲学”(意为“智力爱好”)和 “数学”(意为“可 学到的知识”)这两个词正 是毕达哥拉斯本人所创。 大约在公元前五世纪末传说由希帕苏斯 (Hippasus)发现了不可通约量的存在，这对毕 氏学派的“一切量均可通约”的观念是一个莫 大的打击．数学史上把这称为第一次数学危
第二讲 古希腊数学
论证数学的发端
古代希腊的地理范围，包括希腊半岛、爱琴
海诸岛和小亚细亚西部沿海地带
希腊数学一股指从公元前600年至公元600年 间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿 与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及 非州北部的数学家们创造的数学。 大批游历 埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回 了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦 社会特有的唯理主义气氛中，这些经验的算 术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结 构的论证数学体系。
2、无限性概念的早期探索
希腊人在理性数学活动的早期，已经接触 到了无限性、连续性等深刻的概念，对 这些概念的探讨，也是雅典时期希腊数 学的特征之一。
1数学起源与古希腊数学
古典时期的希腊数学
柏 拉 图 学 派
雅典学院
柏拉图：雅典学术走向系统化
柏拉图（公元前427-327年）出生于雅典的名门世家， 他从小受到了最好的教育。他是苏格拉底最好的学生。 苏格拉底死后，柏拉图离开雅典、周游世界。十年后， 约于公元前387年回到了雅典。在阿长德圣城开设学园， 招生讲学。 柏拉图本人的哲学受毕达哥拉斯学派影响很大。在柏拉 图哲学中，有一种神圣和高贵的东西：追求纯粹的理想。 真实的实在是理念，哲学目的就是把握理念。 柏拉图本人对数学演绎方法的建立和完善起了重要作用。 他对立体几何的研究，最重要的发现是圆锥曲线。 柏拉图学培养了许多优秀的人物。
尊师而不盲从
柏拉图与亚里士多德师徒关系
亚里士多德非常热爱自己的老师，柏拉图 去世之后，他写了一首情真意切的挽歌，赞颂 其师是一个“坏人甚至无权称颂的人”。然而， 亚里士多德并不盲目崇拜自己的老师，他虽然 受到老师的巨大影响并将后者的许多思想继承 下来，但他的著作中常有对老师观点的严厉批 评。这种批评在柏拉图还活着的时候就已经出 现了，以至于柏拉图经常善意地称他为“小 驹”，这个称呼的来源是因为小驹吃足了奶就 会乱踢它的母亲。正是这种不迷信、不盲从、 敢创新、善开拓的精神，使亚里士多德在学术 研究上做出了前无古人的贡献。
古典时期的希腊数学
雅典时期：开创演绎数学
帕提农神庙
(前447－前432年）
古典时期的希腊数学
爱 奥 尼 亚 学 派
创数学命题逻 辑证明之先河
泰勒斯 (约公元前624-前547年)
第一个自然哲学家泰勒斯 泰勒斯诞生于地中海东岸爱奥尼亚地区的希腊殖民城邦 米利都（今土耳其境内）。他既是西方第一个哲学家也是 第一个科学家，是西方科学—哲学的开创者。并形成了西 方哲学史上第一个哲学学派——米利都学派。 泰勒斯曾观测到太阳在冬至点和夏至点之间运行时速度 并不均匀，还发现了小熊星座，方便了导航，预言过一次 日食。 泰勒斯本人还亲自观察星象。 泰勒斯第一个把埃及的测地术引进希腊，并将之发展为 一般性的几何学。 泰勒斯作为第一个自然哲学家留下了一句名言：“万物 源于水。”首先它是一个普通性命题，追究万物的共同本 原是哲学思维的开始；其次它开创了唯物主义传统。它可 找的是物质性的本原，而不是其它精神性东西。这种创新 思维方式对后世科学与哲学的发展有导向性作用。
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V外接圆柱；
④球缺,球冠,球心角体表面积及体积的研究；
⑧、圆的周长与直径之比小于 22 7 而大于
223
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⑨、利用“穷竭法”研究椭圆,双曲面,抛物面 被一平面所截的体积,与“积分法”十分相似, 这是积分的早期来源之一.利用上,下界来确定 一个量的近似值,还提供了一个误差的估计. ⑩、旋转抛物体被垂直于轴的平面所截取的部 分的体积等于同底等高的圆锥体的3/2；
五、灿烂辉煌的古希腊数学：
• 杰出的数学家有：
Thales，Phthagoras，Plato，Eudoxus，
Aristotle，Euclid，Archimedes，Apollonius • 古希腊文明大体分为两个时期： （1） 古典时期的希腊数学（-6～-3世纪） （2）后希腊时期的数学——亚里山大里亚时期
2.利用金字塔的影长测量金 字塔的高度 （1）Thales在他的影子和他 自己一样长的时候记下金字 塔影子的长.
（2）Thales立下一根竿，然 后利用相似三角形 . 3.天文学：地球的形状，一 年约为365天.
（二）Pythagoras学派：
Pythagroas：-572__-497, 萨摩斯岛(Samos) 克伦吞（Crotona） Pythagroas学派
（-3～6世纪）
欧洲
马其顿
拜占庭
意大利
伊利亚 西西里 斯巴达 克洛吞
雅典 萨摩斯
波斯 帝国
米利都 大马士革
叙拉古 地中海 克里特 亚历山大
亚洲
耶路撒冷
非洲
尼 罗 河
埃及
这种方法可能比它以前的更简洁，但是 使用如此之多的不同符号，必然要给通常的 算术运算带来很大的困难。况且，它也模糊 了数字之间的简单关系，例如奇数和偶数之 间的区别。
加n. 3.从1开始任何两个相继奇数之和是完全平方数.
n( 2n) 1 3 5 ... ( 2n 1) n2 2
4.任何长方形数都是一个三角形数的2倍.
2
• 正方形数:1,4,9,16... 平方数可以看作从1起连续奇数之和
1 3 5 7 9 11 62
• •
3n n ,... 五边形数： 1,5,12,22,35,..., 2
2
六边形数： 1,6,15,28,45,...,2n2 n,...
关于数形有趣的定理： 1.任何一个正方形数都是两个相邻三角形数之和. 2.第n个五边形数等于第(n-1)个三角形数的三倍
1747年，Euler给出了一个62对的亲和数表.
5、证明并发现了5种正多面体：
正4， 6， 8， 12， 20面体
火 土 气 宇宙 水
6、正五边形和相似多边形的作图法，并研究了 黄金分割. 7、证明了 “三角形内角和等于两直角”. 8、最卓越的贡献——不可通约量的发现(希帕 索斯-Hippasus)，导致第一次数学危机.即边长 为1的正方形的对角线与边长的比不能表示为整 数或整数比的形式.
1、金冠之谜：
流体静力学第一定律:
物体在流体中减轻的重
量,等于排去流体的重
量.
2、“给我一个支点，
我可以移动地球.”
—杠杆定律
3、叙拉古保卫战： “布匿战争” -214年，罗马名将马塞勒斯率领大军围攻 叙拉古，Arcihmedes利用自己的发明为国效力， 由于Archimedes的防卫武器，叙拉古抵抗罗马 人的攻击，守了三年之久. （1）类似起重机的器械 （2）抛石机 （3）巨大的火镜 （4）叫”蝎子“的弩炮 （5）阿基米德螺旋泵
火镜
阿基米德螺旋泵
-212年，叙拉古伦陷
墓碑上的墓志铭
世人的评价：
• 哈密顿(Hamilton) ：“谁不认为，Archimedes 的名声比他的战胜者马塞勒斯的名声高？” • 怀特海(Whitehead) ：“没有一个罗马人死于 对几何图形的沉思中.”
• 数学家哈代(Hardy)说：“Archimedes将被人们 记住，而哀斯奇勒斯（希腊悲剧诗人）将被遗忘， 因为语言会死，而数学思想则不.” • 伏尔泰（Voltaire）说：“Archimedes头脑中的 想象力，比荷马头脑中的要多.”
（四）、阿基米德
Archimedes-287_-212
J.策策斯在《史书》 中有记载：“智者 阿基米德是叙拉古 人，著名的机械制 造者，终生研究几 何，活到75岁.” 被称为“数学之神.”
• 数学史家贝尔(Bell)说： “任何一张列出有史以来 三个最伟大数学家的名 单中，必定会包括阿基 米德，另外两位通常是 牛顿和高斯，不过以他 们的丰功伟绩和所处的 时代背景相比，还应首 推阿基米德.”
4、主要数学著作： • 数学阐述的典范，写得完整、简炼，显示出 巨大的创造性；计算计能和证明的严谨性.最 大贡献也许是某些积分方法的早期萌芽. • 《论球与圆柱》On the Sphere and Cylmder • 《论螺线》On Spirals • 《抛物线弓形面积求积法》
Quadrature of the Parabola
Raphael《Athens school》
Palto
Pythagoras
Euclid
• 历史：
• -323～-30年，亚历山大时期
• 世界学术的中心：
托勒密王国的都城－亚历山大里亚 • 藏书75万卷的图书馆 • 研究机构“艺神之宫” • -30年，亚历山大里亚并入罗马帝国版图 • 希腊数学的黄金时代（-300～-200） • 代表人物是三大几何学家： Euclid，Archimedes，Aollonius.
• 《数沙器》The Sand-Reckoner • 《论圆锥线体和类球体》On Conoids and Spheroids
• 《圆的度量》Measurement of Circle
• 《平面图形的平衡及其重心》On the Equilibrium
of Planes or the Centres of Gravity of Planes
1）在直角三角形斜边上 的正方形等于直角边上的 两个正方形； 2）直角三角形两个直角 边上的两个正方形面积之 和，等于斜边上正方形的 面积； 3）直角三角形斜边上的 长度的平方等于两个直角 边长度平方之和.
－Plato
3、形数： • 三角形数:1,3,6,10… n( n 1) 第n个三角形数为 1 2 3 ... n
（一）泰勒斯和爱奥尼亚学派(Ionian school) • 泰勒斯 Thales，约-624～-546，出生于米 利都(Miletus，土耳其)，爱奥尼亚学派的 创始人.“希腊哲学，科学之父”.
• 被尊称为“希腊七贤之首”
七贤：Thales，Solon，Chilon，Periander， Pittacus，Cleobulus，Bias
苏格拉底
主要成就：
1、坚持严密定义和逻辑证明，数学的科学化; 2、知道级数的很多重要性质； 3、阐明了负数的概念； 4、发展了分析的证明方法—分析法： 5、 n 1,2n , n 1 构成直角三角形；
2 2 2
6、几何学轨迹；
7、深信数学是抽象的概念.
理念论
• 有四种圆： 1)被世人称为是圆的某种东西； 2)圆的定义：在任何方向上的边界点到中心的 距离都是相等的； 3)画出的一个圆，即旋转圆规所得到的圆； 4)实质性的圆，即圆的理念，它与其他圆的存 在密切相关，但又不同于任何其他的圆 • 他说，1).2).3)都是不完善的圆，许多具体 的数学圆其实介于这些不完善的圆与唯一的 圆的理念之间;4)才是唯一的圆的理念.
⑾、著名的阿基米德螺线—— r = aθ
• 结论：第一面积等于第一圆的１/3.
⑿、《平面图形的平衡及其重心》中的杠杆
定理：若两重物平衡，则所处的距离与重量
成反比.（公理法）
⒀、《数沙器》
• 以万为单位，建立新的记数法，使得任何大
的数都能够表示出来.
⒁、抛物线弓形面积等于同底等高的三角形
面积的4/3.
(6).有无穷多个完全数. (7).Euclid给出的偶完全数公式
If 2n 1 is prime, then 2n1 (2n 1) is a perfect number.
• 亲和数：m和n，m等于n的因子之和，m等于n的因子之和.源自例如：220和284为亲和数
1636年，Fermat宣布17296和18416是亲和数.
上帝用数来统治宇宙
(This is a detail from the fresco The School of Athens by Raphael)
• “四艺”：
算术——数的绝对理论， 几何学——静止的量， 音乐——数的应用， 球面学(天文学)——运动的量. 1.万物皆数： 万事万物都可以表示成整数及整数比的形式. 2.毕氏定理：
Thales of Miletus
传说与轶事：
商旅活动； 炸油机的故事； 梭伦的故事 ； 言谈幽默并常含有哲理 ；
预测了-585年5月28日下午3点的日食 ；
泰勒斯的数学贡献： 1.开创了命题的几何证明 （1）直角都相等 （2）对顶角相等 （3）等腰三角形之底角相等 （4）直径等分圆周 （5）圆周角定理 （6）全等三角形的角边角定理 （7）内接于半圆的角必为直角 （8）两个相似三角形的对应边成比例 （9）三角形的内角和为180度
4、完全数与亲和数：
• 完全数：一个数=除它本身外的所有因子之和.
6=1+2+3, 完全数的相关性质：
28=1+2+4+7+14,
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 (1).完全数可写为连续自然数之和.