高等数学上试题和答案解析

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2016~2017学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．函数1ln

1x

y x

-=+的定义域是 。 2．设arcsin y =dy = 。 3．lim(

)x

x x a x a

→∞

+=- 。 4．不定积分21

x

x

e e dx +⎰= 。 5．反常积分1

1

(1)

dx x x +∞

+⎰

= 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．设1sin ,0()1sin ,0

x x

f x x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩

，那么0lim ()

x f x →不存在的原因是 （ ）

A ．(0)f 无定义

B ．0

lim (

)x f x -

→不存在 C ．0

lim ()x f x +→不存在 D ．0

lim ()x f x -→和0

lim ()x f x +

→都存在但不相等 2．设偶函数()f x 二阶可导，且''(0)0f >，那么0x = （ ）

A ．不是()f x 的驻点

B ．是()f x 的不可导点

C ．是()f x 的极小值点

D ．是()f x 的极大值点

3．设20

2()sin x

x t dt Φ=⎰，则'()x Φ= （ ）

A ．42sin x x -

B ．22sin x x

C ．22sin x x -

D ．42sin x x

4．下列函数中不是函数sin 2x 的原函数的有 （ ）

A ．2sin x

B ．2cos x -

C ．1sin 22x

D ．1

cos 22

x -

5．求由曲线xy a =与直线x a =，2x a =（0a >）及0y =所围成的图形绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。 （ ）

A ．12a π

B ．a π

C ．21

2

a π D ．22a π

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

1. 求极限 2

0cos(sin )1

3lim x x x →-。

2. 设2,1

(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩

，试确定a ，b 的值，使得()f x 在1x =可导。

3. 设参数方程(sin )(1cos )

x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 和22d y

dx 。

4．计算不定积分2(ln )x dx ⎰。

5．设方程sin()y e x y =+确定隐函数()y y x =并满足()02

y π

=，求2

'

x y π=

。

6．设曲线322y ax bx cx =+++在1x =处有极小值0，且(0,2)为拐点，求,,a b c 的值。

7．计算定积分1

-⎰。

四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

1．证明不等式：当1x >时，2(1)2

x e

e x >+。

2．一抛物线的轴平行于x 轴，开口向左且通过原点与点(2,1),求当它与y 轴所围的面积最小时的方程。

3. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =。证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-；（2）存在两个不同的点η，(0,1)ζ∈，使得

()()1f f ηζ''=。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2016~2017学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．[1,1]- 2

．

3．2a e 4．arctan x e C + 5．ln 2

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．C 2．C 3．A 4．C 5．D

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

1. 求极限 20cos(sin )1

3lim

x x x →-。

解：20cos(sin )13lim x x x →-0sin(sin )cos 6lim x x x

x

→-=．．．．．．．．．．．．．．．．2分 001sin(sin )sin =cos []6sin lim lim x x x x

x x x →→-⋅⋅．

．．．．．．．．．．．．．．5分 1=6-．．．．．．．．．．．．．．．．7分

2. 设2,1

(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定a ，b 的值，使得()f x 在1x =可导。

解：因为

211()1lim lim x x f x x -

-

→→==．

．．．．．．．．．．．．．．．1分 11()()lim lim x x f x ax b a b +

+

→→=+=+．

．．．．．．．．．．．．．．．2分 而(1)1f =，因为()f x 在1x =处连续，所以1

1

()()(1)lim lim x x f x f x f +-

→→==，故 1a b +=．

．．．．．．．．．．．．．．．3分 2'

00(1)(1)(1)1

(1)lim lim 2x x f x f x f x x

---

→→+-+-===．．．．．．．．．．．．．．．．4.5分

'0

0(1)(1)(1)1

(0)lim lim x x f x f a x b f a x x

+

+

+→→+-++-===．．．．．．．．．．．．．．．．6分 因为()f x 在1x =处可导，所以''(1)(1)f f -+=，从而2a =，所以 1b =-．

．．．．．．．．．．．．．．．7分

3. 设参数方程(sin )(1cos )

x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 和22d y

dx 。

1.5CM