高二椭圆-综合讲解
高中椭圆知识点归纳
高中椭圆知识点归纳高中椭圆的知识点归纳如下：1. 椭圆的定义：椭圆由平面上到两个定点的距离之和等于常数2a的点构成，这两个定点称为焦点，距离两焦点的距离称为焦距。
2. 椭圆的性质：- 长轴与短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，短轴是通过椭圆的中心且垂直于长轴的直线段。
- 坐标表示：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a大于b，a为长轴的长度，b为短轴的长度。
- 焦半径：焦半径是焦点到椭圆上一点的距离，满足焦点到点的距离和为2a。
- 离心率：离心率e是焦距与长轴长度之比，满足e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。
- 在x轴上的顶点：椭圆在x轴上两个交点的坐标为（a,0）和（-a,0）。
- 在y轴上的顶点：椭圆在y轴上两个交点的坐标为（0,b）和（0,-b）。
3. 方程的推导与应用：- 椭圆的参数方程：设y=bsinθ，x=acosθ，则θ为参数，椭圆上的点可表示为（acosθ, bsinθ）。
- 椭圆的一般方程：通过平移、旋转和缩放等变换，可以将椭圆的标准方程转化为一般方程Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。
- 椭圆的焦点坐标和离心率：通过参数方程或一般方程可以求得椭圆的焦点坐标和离心率。
4. 椭圆的性质的证明与推导：- 焦点与直径的关系：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
- 焦半径定理：椭圆上任意一条斜线段端点到两个焦点距离之和是一定的，等于椭圆的长轴长度。
- 切线性质：椭圆上任意一点处的切线与椭圆的法线垂直，并且切线过该点和两个焦点的夹角等于椭圆的离心率对应的角。
5. 椭圆的应用：- 圆锥曲线：椭圆是圆锥曲线的一种，与其他圆锥曲线（双曲线和抛物线）一起应用于机械、天文学、光学等领域。
- 椭圆的轮廓：椭圆形状的物体在光学镜头中常出现，因此椭圆的轮廓具有重要的工程应用。
高二椭圆-综合讲解26页PPT
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
必修二椭圆知识点总结
必修二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1. 定义椭圆是一个点到两个给定点的距离之和等于常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，距离之和等于常数称为椭圆的离心率。
2. 公式表示椭圆的一般方程为：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$其中，$(h,k)$为椭圆的中心，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
二、椭圆的性质1. 焦点、离心率和长短轴之间的关系椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=2\sqrt{a^2-b^2}$。
离心率$e$的定义为:$e=\frac{c}{a}$其中，$c$为焦点到中心的距离。
2. 椭圆的对称性椭圆以其中心为中心对称，有两个对称轴，分别为长轴和短轴。
长轴上有两个端点，称为顶点；短轴上也有两个端点。
3. 椭圆的参数方程椭圆可以用参数方程表示为：$x=h+a\cos t$$y=k+b\sin t$其中，$(h,k)$为椭圆的中心，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
4. 椭圆的离心角椭圆上任意一点到两个焦点的连线与椭圆长轴的夹角称为椭圆的离心角。
椭圆的离心角范围在0到$\pi$之间。
三、椭圆的相关定理1. 椭圆的偏心率椭圆的偏心率为：$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$其中，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
2. 椭圆的焦点、半焦距和离心率的关系椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=2\sqrt{a^2-b^2}$。
离心率$e$的定义为:$e=\frac{c}{a}$其中，$c$为焦点到中心的距离。
3. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程为：$\frac{xh}{a^2}+\frac{yk}{b^2}=1$四、椭圆的应用1. 物理学中的应用椭圆在天体运动、热力学等领域都有广泛的应用。
例如，行星绕太阳的运动轨迹就是一个椭圆。
2. 工程学中的应用椭圆在工程学中也有着重要的应用，例如在建筑设计、轨道运输等方面。
高中椭圆知识点归纳
高中椭圆知识点归纳椭圆是高中数学中一个重要的曲线类型，在解析几何中占据着重要的地位。
下面我们来对高中椭圆的知识点进行一个全面的归纳。
一、椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
用数学语言表述为：＄｜PF_1| ＋｜PF_2| ＝ 2a$（＄2a ＞｜F_1F_2| ＝ 2c$）其中，＄P$为椭圆上的动点，＄F_1$、＄F_2$为焦点，＄a$为长半轴长，＄c$为半焦距。
二、椭圆的标准方程1、焦点在$x$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）其中，＄a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄。
2、焦点在$y$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）同样，＄a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄。
三、椭圆的性质1、范围对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点焦点在$x$轴上的椭圆顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
4、离心率椭圆的离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），它反映了椭圆的扁平程度。
＄e$越接近$0$，椭圆越接近圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。
5、焦半径焦点在$x$轴上，若点$P(x_0, y_0)＄在椭圆上，则$｜PF_1| ＝ a ＋ex_0$，＄｜PF_2| ＝ a ex_0$；焦点在$y$轴上时，焦半径公式类似。
高二选修一椭圆的知识点
高二选修一椭圆的知识点椭圆是高中数学的重要内容之一，作为高二学生选修的数学课程之一，椭圆的知识点对于学生的数学素养和理解力有着重要的影响。
本文将介绍高二选修一中涉及的椭圆的知识点。
一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上一点到两个给定定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定定点分别称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆具有如下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且等于0时为圆。
2. 椭圆的中心即为焦点所连直线的垂直平分线的交点。
3. 椭圆的长半轴和短半轴分别是焦点所连直线的垂直平分线与椭圆的交点到焦点的距离。
4. 椭圆的顶点是和焦点在同一直线上的两个点。
二、椭圆的方程表达椭圆的方程表达有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F均为常数。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是将椭圆的坐标表示为参数θ的函数形式。
椭圆的参数方程为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ为参数。
四、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是指离心率所决定的椭圆上两个特殊的点，位于椭圆的长轴上。
椭圆的直径是从椭圆上一点到椭圆的另一点的最长线段。
五、椭圆与切线椭圆上的任意一点处都存在切线。
椭圆的切线与椭圆的法线垂直。
六、椭圆的重要参数椭圆的重要参数包括离心率、焦距、短半轴、长半轴、准线等，这些参数可以通过椭圆的方程表达或者几何性质求解。
七、椭圆的应用椭圆在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
例如，椭圆的形状可以模拟行星的轨道，从而研究天体运动；椭圆的形状也可以用来设计汽车、船舶和建筑物等工程项目。
高二数学椭圆基础知识点总结大全
高二数学椭圆基础知识点总结大全椭圆是高中数学中的一种重要的曲线，它具有许多独特的性质和特点。
本文将对高二数学中椭圆的基础知识点进行全面总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、椭圆的定义和特征椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a 的点P的轨迹。
F1和F2被称为椭圆的焦点，a被称为椭圆的半长轴。
椭圆的离心率定义为ε = c/a，其中c为焦点之间的距离。
离心率表示了椭圆的扁平程度，ε<1时为椭圆，ε=1时为抛物线，ε>1时为双曲线。
二、椭圆的方程和参数椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
参数方程为x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数。
三、椭圆的图形性质1. 椭圆关于x轴和y轴对称；2. 椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行；3. 椭圆的左右焦点分别在x轴上方和下方；4. 椭圆的离心率ε满足0 < ε < 1；5. 椭圆的离心率越小，椭圆越圆。
四、椭圆的参数方程以椭圆的中心为原点，a为半长轴，b为半短轴建立直角坐标系，则椭圆上任意一点P(x, y)的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中0 ≤ θ ≤ 2π。
五、椭圆的焦点和准线1. 椭圆的焦点是椭圆上两个固定点F1和F2，它们满足F1F2 = 2a；2. 椭圆的准线是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线。
六、椭圆的方程一般形式当椭圆的中心不在坐标原点时，椭圆的方程为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
七、椭圆的主要性质1. 椭圆的周长公式为C = 4a(E(ε^2))，其中E为椭圆的第一类完全椭圆积分函数；2. 椭圆的面积公式为S = πab；3. 离心率ε和焦距f之间的关系为ε^2 = 1 - (b^2/a^2) = 1 -(f/a)^2。
八、椭圆在几何和物理中的应用椭圆在几何和物理中有许多应用，如天体运动轨迹的研究、光学系统的设计等。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结椭圆是一个在数学中经常被研究的几何图形。
它有许多重要的性质和特点，是高中数学中的重要知识点之一、在以下的总结中，我将介绍椭圆的定义、方程、性质、焦点及其应用等方面的知识点。
一、椭圆的定义：椭圆可以通过两个焦点和一个定长的线段来定义。
具体地说，椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于定长的点的集合。
这两个给定点称为焦点，定长称为焦距。
二、椭圆的方程：椭圆的标准方程为：[(x-h)^2/a^2]+[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
三、椭圆的性质：1.椭圆的长半轴和短半轴之间存在关系：c^2=a^2–b^2，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
2.椭圆是对称图形，具有关于x轴和y轴的对称性。
3.椭圆的离心率e满足0<e<1，且离心率越大，椭圆越扁平；离心率为0时，椭圆退化成为一个点。
4.椭圆的周长可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：L=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第一类型椭圆积分。
5. 椭圆的面积可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：S =πab。
四、椭圆的焦点：椭圆上有两个与焦点有关的重要的点，分别是两个焦点的位置。
焦点到椭圆上任一点的距离之和等于椭圆的焦距。
焦距与椭圆的半轴之间的关系为c^2=a^2–b^2五、椭圆的应用：1.椭圆在天文学中被广泛应用，用于描述行星和卫星的轨道形状。
2.椭圆在工程学中用于设计椭圆形的机械零件。
3.椭圆在地理学中用于描述地球的地理形状和地球上的纬度和经度线。
4.椭圆在艺术和建筑设计中被用于创作椭圆形的艺术品和建筑结构。
总结：椭圆是一个广泛应用于数学和其他科学领域的重要几何图形。
通过椭圆的定义、方程、性质和焦点等方面的知识点，我们可以更好地理解和应用椭圆。
椭圆的应用广泛，涉及到天文学、工程学、地理学、艺术和建筑设计等不同领域。
掌握椭圆的相关知识，对于我们理解和应用数学都有很大的帮助。
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(a＞b＞0)
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变式训练
2.(1)(2013·四川卷)从椭圆
(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，
2．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋|PF2|2＝ (|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，可求焦点三角形的周长和面 积．
3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为
(m＞0，n＞
0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．
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二、椭圆的几何性质
y p
· · F1
o F2 x
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1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆 有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1等，在求与椭圆有关的 一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常 用到这些不等关系．
当Δ＝0时，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，直线与椭圆相离． 2．直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|
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3.已知椭圆C：
(a＞b＞0)的离心率为 ，以原点
为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x－y＋ ＝0相切，
过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两
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三、直线与椭圆的位置关系
(2013·全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
(a＞b＞0)
右焦点的直线x＋y－ ＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜
率为
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形
ACBD面积的最大值．
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考向大突破一：椭圆的定义及标准方程
例1：(1)(2013·长治调研)设F1，F2是椭圆:
的两个
焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面
积为( )
A．30
B．25
C．24
D．40
解析： (1)∵|PF1|＋|PF2|＝14， 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.
失
解答本题的失分点是：
分
警
示
解决直线与椭圆的综合问题时，还易出现下列问题：
学
(1)求圆锥曲线方程时，易出现对曲线的焦点位置判断
习
不明，导致所求方程错误．
建
(2)求直线与圆锥曲线的关系时，易忽视对直线斜率不
议
存在的情况进行讨论．
(3)把直线方程代入曲线方程时，易出现计算性错误.
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点．
(1)求椭圆C的方程；(2)求
的取值范围．
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考向大攻略：直线与椭圆综合问题的规范解答
(12分)(2013·天津卷)设椭圆
(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率
为
，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交
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2．牢记椭圆的标准方程及其几何意义
条件 2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
标准方程 及图形
范围 对称性
顶点
|x|≤a；|y|≤b
曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b)
|x|≤b；|y|≤a
曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b,0)
焦点
(±c,0)
(0，±c)
通径 离心率
∣AB∣=2b²/a
准线方程
X=-a²/c 返回x导=a航²/页c
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3.灵活选用求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再 结合焦点位置，直接写出椭圆方程．
(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上， 设出相应形式的标准方程， 然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2， b2，从而写出椭圆的标准方程．
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(2013·全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
(a＞b＞0)右焦点
的直线x＋y－ ＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面
积的最大值．
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归纳升华
1.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤 第一步：确定直线与椭圆的方程； 第二步：联立直线方程与椭圆方程； 第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程； 第四步：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；
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考点 • 大整合
1．把握椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距．
[说明] 当常数＝|F1F2|时，轨迹为线段|F1F2|；当常数＜|F1F2| 时，轨迹不存在．
于C，D两点，若
求k的值．
思维导图
过点F且与x轴垂 直的直线
x=-c
与椭圆方程联立
焦点坐标
弦长
b的值
椭圆
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考向大攻略：直线与椭圆综合问题的规范解答
思维导图
由（1）知
A,B坐标
设出CD的方程
k的值
关于x的一元二 次方程
关于k的等 式
x1＋x2，x1x2的值
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考向大攻略：直线与椭圆综合问题的规范解答
∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2.
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(2)(2013·全国大纲卷)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2 且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
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归纳升华
1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程； 二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴 的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
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(2)底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个 椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为 ________．