直线与椭圆经典例题
直线和椭圆练习题10道大题
直线战椭圆位子闭系之阳早格格创做1.已知椭圆22:143x y M +=，面1F ，C 分别是椭圆M的左核心、左顶面，过面1F 的直线l （没有与x 轴沉合）接M 于,A B 二面.（Ⅰ）供M 的离心率及短轴少；（Ⅱ）是可存留直线l ，使得面B 正在以线段AC 为直径的圆上，若存留，供出直线l 的圆程；若没有存留，证明缘由.C 的核心正在本面，核心正在x 轴上，短轴少为2，离心率为2．（Ⅰ）供椭圆C 的圆程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 少轴上的一个动面，过P 做斜率为12的直线l 接椭圆C 于A ，B 二面，供证：22||||PB PA +为定值．3.已知椭圆C ：2211612x y +=的左核心为F ，左顶面为A ，离心率为e ，面(,0)(4)P m m >谦脚条件||||FA e AP =.（Ⅰ）供m 的值；（Ⅱ）设过面F 的直线l 与椭圆C 相接于M ，N 二面，记PMF ∆战PNF ∆的里积分别为1S ，2S ，供证：12||||S PM S PN =.2222:1(0)x y C a b a b+=>>过面，离心率为．过椭圆左顶面A 的二条斜率乘积为14-的直线分别接椭圆C 于,M N 二面．（Ⅰ）供椭圆C 的尺度圆程；（Ⅱ）直线MN 是可过定面D ？若过定面D ，供出面D 的坐标；若没有过，请证明缘由．5.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且过面(01)B ，. （Ⅰ）供椭圆的尺度圆程；（Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 接椭圆于P 、Q 二面，若面B 末究正在以PQ 为直径的圆内，供真数k 的与值范畴. 6.（2012北京，19）.已知直线C:()()()22528m x m y m R -+-=∈（I ） 若直线C 是核心正在x 轴上的椭圆，供m 的与值范畴； （II ）设4m =，直线C 与y 轴的接面为,A B （面A 位于面B 的上圆），直线4y kx =+与直线C 接于分歧的二面,M N,直线1y =与直线BM 接于面G .供证：,,A G N 三面同线.xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，且椭圆C上的面到(0,2)Q 的距离的最大值为3； （1）供椭圆C 的圆程； （2）正在椭圆C上，是可存留面(,)M m n 使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相接于分歧的二面,A B ，且AOB ∆的里积最大？若存留，供出面M 的坐标及相对于应的AOB ∆的里积；若没有存留，请证明缘由.8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左核心为F(1，0),且面12⎛- ⎝⎭，正在椭圆C 上.（1）供椭圆C 的尺度圆程.（2）已知动s 直线lx 轴上是可存留定面Q ， 使得716QA QB •=-恒创造？若存留，供出Q 的坐标；若没有存留，请证明缘由.9.设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、左核心分别为12F F 、，上顶面为A ，正在x 轴背半轴上有一面B ，谦脚112BF F F =，且2AF AB ⊥． （Ⅰ）供椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若过2F B A 、、三面的圆与直线033:=--y x l 相切，供椭圆C 的圆程；（Ⅲ）正在（Ⅱ）的条件下，过左核心2F 做斜率为k 的直线l 与椭圆C 接于M N 、二面，线段MN 的中垂线与x 轴相接于面)0,(m P ，供真数m 的与值范畴.10.如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶面为A ，M 是椭圆C 上同于面A 的任性一面，面P 与面A 闭于面M 对于称．，供m的值；（Ⅰ）若面P的坐标为9(,55（Ⅱ）若椭圆C上存留面M，使得OP OM，供m的与值范畴．。
直线与椭圆的位置关系训练题
直线与椭圆的位置关系训练题一、题点全面练1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B 由题意知4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C 由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4 B.3 C ．2D ．1解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→－OF 1―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝(m ＋n )2－m 2－n 2＝4，mn ＝2，∴＝12mn ＝1. 5.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13＜k ＜12，所以13＜a 2－c 2a a ＋c ＜12，化简可得13＜1－e 21＋e ＜12，从而可得12＜e ＜23，选C.6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 21＋1)x2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12. 答案：－128．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为__________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知c ＝1，即a 2－b 2＝1①，设点F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(m ，n )，可得n －0m －1＝－2②.又因为点F 与其对称点的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，n 2，且中点在直线y ＝12x 上，所以有n 2＝12×m ＋12③，联立②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，即对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，代入椭圆方程可得925a 2＋1625b 2＝1④，联立①④，解得a 2＝95，b 2＝45，所以椭圆方程为5x 29＋5y24＝1.答案：5x 29＋5y24＝19．(2019·长春监测)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k2＋4y 2－6ky －9＝0，Δ＝144k2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8， 解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. 10．(2018·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．2．已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6) B.(1,5) C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3＜a 2＜5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)． 3.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a2＋y 22b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5x 1－x 2＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b 2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a3a 2－b 2＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2， 所以－2a ＜x 1＋x 2＜2a ，则2a 3a 2－b 2＜2a ，即b 2a 2＜45，所以e 2＝1－b 2a 2＞15. 又0＜e ＜1，所以55＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫55，1 (二)难点专练——适情自主选5．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 6．(2018·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解：由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. (2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k x 1－x 1－3－k (x 2－1)＝3kx 1＋x 2－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .。
直线与椭圆的位置关系-高中数学复习
点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜
1
1
1
1
率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−
c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
4.
2
（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2
2
1 ＋2
2
故椭圆的离心率 e ＝ ＝
1−
2
2
＝ .
2
2
目录
高中总复习·数学
1
2
2
（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
例1 椭圆的一个顶点为()02，A 分析：解：（1）当()02，A 椭圆的标准方程为：11422=+y x （2）当()02，A 为短轴端点时，b 椭圆的标准方程为：116422=+y x 说明：横竖的，因而要考虑两种情况．例2 解：31222⨯⨯=c a c ∴23c =∴3331-=e ． 说明：和c 的齐次方程，再化含e 例3 已知中心在原点，焦点在x 点，OM 的斜率为0.25解：由题意，设椭圆方程为22+ax ）直线与曲线的综合问题，经常要借)22y ，与焦点()04，F 的距离成等差数BT 的斜率k ．（2）因为线段AC 221=+-y y y 又∵点T 在x ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，(2x B ∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ (12221259x y y +-=-将此式代入①，并利用 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT例5 已知椭圆13422=+yx ，距离MN 是1MF 与2MF 解：假设M 存在，设M 2=a ，3=b ，∴=c ∵左准线l 的方程是=x ① ②．k ，利用条件求k ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21x k ．代入椭圆方程，并整理∵P 是弦中点，∴121=+x x 所以所求直线方程为342-+y x 分析二：设弦两端坐标为(11y x ，率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ．将③、④代入⑤得212121-=--x x y y 所求直线方程为0342=-+y x 说明：（1迹；过定点的弦中点轨迹．（2（3线问题也适用．例7 （1）长轴长是短轴长的2（2）在x 12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，1=． ．182=a ．故所求方程为191822=+y x ．MF AM 2+为最小值M 到右准线的距离，从而得最小8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为AQ ，即M 为所求点，因此说明：是M 例9 求椭圆32x 分析：值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧距离为26sin cos 3=+-=θθd 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，d 说明：例10的点的最远距离是7分析：要注意讨论b 提高逻辑推理能力．0>>b a 待定．21<b 矛盾．⎪⎭⎫-21，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==a b a b a a c e 2143112=-=-=e a b ，即a 设椭圆上的点()y x ，到点 ⎝⎛0P 22222cos 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θa y x d sin 3sin 34222--=θθb b b 421sin 3222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当由题设得()22237⎪⎭⎫⎝⎛+=b 于是当b21sin -=θ时2d 由题设知()34722+=b，∴∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧y x 由21sin -=θ，cos θ例11 设x ，R ∈y ，y x 63222=+分析：考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．0，0）点和（3，0）点． )1->．0，0）点时，半径最41=+m ，∴15=m ．a 、b 如何变化， 120≠∠APB ．（2分析：22222y ba a x -=解：（1 ⎩⎨⎧b x 2于是k AP=∵APB ∠∴tan ∠∵22c a >∴tan ∠故tan ∠（2）设∴tan ∠12-=k c ．由21=e ，得4=k ． k -1．8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 例14 已知椭圆142222=+by b x 分析：解法一：由142222=+by b x ，得由椭圆定义，a PF PF 221=+b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32解法二：∵e d PF =22，2d 为P ∴b ePF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为c a 22=⋅∴P 到左准线的距离为b 338说明：圆的第二定义．3π=∠POx ，求P 点坐标．3π， 552， )0>上的一点，P 到左焦点1F 和右焦．ca 20+，∴01ex a PQ e r +==说明：例17 已知椭圆15922=+y x 上一点．(1) 求1PF PA +(2) 求223PF PA +分析：即代数方法．二是数形结合，解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22AF PF PA -≥，∴1+PF PA 22AF PF PA -=时成立，此时P 、由22AF PF PA +≤，∴+PA 22AF PF PA +=时成立，此时P 、==45,02得两交点 ，P 点与2P 重合时，2PF PA +取Q 为垂足，由3=a ，2=c ，PQ PA PF PA +=+223，要使29=x ．1，代入椭圆得满足条件的A 向相应准线作垂线段．巧用(2)分析：解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S )sin 2,cos 3(θθ则2sin 12sin 2cos 34=⨯⨯=θθS 故椭圆内接矩形的最大面积为说明：问题，用参数方程形式较简便．例19 已知1F ，2F (1)(2)求证21F PF ∆分析：12222=+b y a x （0>>b a ）),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F 方程联立消去21x 得2312212-+cy b y c 出1y 可以求出21F PF ∆思路二：利用焦半径公式1PF =再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率a 2求解．),11y ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，(1)在21F PF ∆︒==60sin 2sin sin cn m βα∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα∴sin sin 60sin βα=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=(2)在21F PF ∆-+=2)2(222mn n m c mn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即∴60sin 2121mn S F PF ︒=∆即21F PF ∆说明：椭圆上的一点P 21PF PF +的结，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥，转化为P 点坐的一个不等式，转化为关于e 的不等222ba b -=θ， ，又222c a b -= P 使AP OP ⊥．如何证明？。
高中数学《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --． 解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-． 所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ．（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ，将22222y ba a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九 例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12FPF ，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=．∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
直线与椭圆关系试题
直线与椭圆一．选择题1．椭圆两焦点F1、F2，过F1作直线AB与椭圆交于A、B两点，△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2．过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两，F2为椭圆的右焦点，则△ABF2的周长为（）A．4B．8C．12 D．16二．解答题3．已知椭圆的中心在原点，左焦点F1（﹣2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过（﹣3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．4．如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，离心率，三角形△BF1F2的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（1）求该椭圆的标准方程．（2）求四边形AEBF面积的最大值．、5．已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为6，（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交与A、B两点，若，求直线l斜率k的取值范围．6．过椭圆x2+2y2=2的左焦点引一条倾斜角为450的直线，求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积．7．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为（1）求椭圆的标准方程；（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．9．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；（2）求证：线段EF被直线AC平分．10．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．11．已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．12．椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny﹣4=0与圆C′：x2+y2=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．13．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B 的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）P是椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AP，BP分别与直线x=3相交于点M，N，直线BM与椭圆C 相交于异于点B的另一点Q．（i）求的值；（ii）求证：A，Q，N三点共线．14．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长与焦距相等，直线x+y﹣1=0与E相交于A，B两点，与x轴相交于C点，且．（1）求椭圆E的方程；（2）如果椭圆E上存在两点M，N关于直线l：y=4x+m对称，求实数m的取值范围．15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．椭圆两焦点F1、F2，过F1作直线AB与椭圆交于A、B两点，△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，AB⊥F1F2，则，由此可得a，c的方程，即可求得椭圆的离心率．解答：解：由题意，AB⊥F1F2，则∵，∴∴∴∴e=故选A．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2．过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两，F2为椭圆的右焦点，则△ABF2的周长为（）A．4B．8C．12 D．16考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：首先根据椭圆方程求出椭圆的长半轴a，再根据椭圆的定义得到AF1+AF2=BF1+BF2=2a=4，最后将此式代入到三角形ABF2的周长表达式中，即可得到答案．解答：解：∵椭圆方程为：+y2=1∴椭圆的长半轴a=2由椭圆的定义可得，AF1+AF2=2a=4，且BF1+BF2=2a=4∴△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=（AF1+BF1）+（AF2+BF2）=4a=8故选：B点评：本题以椭圆中的三角形为例，考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆简单性质的应用，属于基础题．二．解答题（共13小题）3．已知椭圆的中心在原点，左焦点F1（﹣2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过（﹣3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，表示出通径，由其长等于，联立c=2及a2=b2+c2求解a，b的值，所以椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到两交点A，B的纵坐标的和与积，代入向量数量积等于0求解答案．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为．令x=﹣c，代入椭圆方程得，．所以，又a2=b2+c2，解得．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my﹣3，A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与椭圆的方程，得（m2+3）y2﹣6my+3=0，，由题意可知AF1⊥BF1，即，∴=整理得：（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1=0．∴，解得m=．代入△=36m2﹣12（m2+3）=24×3﹣36=36＞0．所以直线l的方程为或x﹣+3=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，直线和圆锥曲线的关系问题，常采用根与系数的关系来解决，考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．4．如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，离心率，三角形△BF1F2的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（1）求该椭圆的标准方程．（2）求四边形AEBF面积的最大值．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程，焦距为2c．由题意可得a，c的关系，结合a2=b2+c2，可求a，b，c进而可求椭圆的方程；（2）解法一：将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程：（16+25k2）x2=400如图，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），表示出四边形AEBF的面积，最后利用基本不等式求S的最大值；解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．再设y1=kx1，y2=kx2，表示出四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=4x2+5y2，最后利用基本不等式求其最大值即可．解答：解：（1）设椭圆的方程为，焦距为2c，依题意有，解得∴椭圆的方程为，（5分）（2）解法一：由消去y，得（16+25k2）x2=400如图，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，∴．①（8分）∵直线AB的方程分别为即4x+5y﹣20=0，∴点E，F到AB的距离分别为，（10分）又，所以四边形AEBF的面积为====，当且仅当16=25k2即时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，y2=﹣y1＞0，且故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=4x2+5y2（10分）===，当且仅当4x2=5y2时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的应用，体现了方程的思想的应用，要注意弦长公式的应用．5．已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为6，（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交与A、B两点，若，求直线l斜率k的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）直接利用离心率为，以及三角形的周长为6列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得椭圆的标准方程；（2）先设直线l的方程为y=k（x﹣1），再把直线方程与椭圆的标准方程联立求出A、B两点的坐标与k之间的关系，代入，整理后即可直线l斜率k的取值范围．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为，依题有2a+2c=6，即a+c=6，又因为，所以a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，所以椭圆的标准方程为（2）设过点N（1，0）的斜率为k直线l的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）由可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0∴，∵=（1+k2）[x1•x2﹣（x1+x2）+1]=，∴，∴点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，韦达定理是一个必不可少的工具，比如本题的第二问．6．（2007•汕头二模）过椭圆x2+2y2=2的左焦点引一条倾斜角为450的直线，求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化椭圆的方程为标准方程，求出椭圆的左焦点坐标，写出直线l的方程，和椭圆方程联立后求出两个交点的横坐标，由此可得三角形是以半短轴为底的三角形，直接利用面积公式求面积．解答：解：由x2+2y2=2，得椭圆方程，∴a2=2，b2=c2=1，∴c=1，∴左焦点为F1（﹣1，0），∴过左焦点F1的直线为y=tan45°（x+1），即y=x+1．代入椭圆方程得3x2+4x=0，∴，∴所求三角形以半短轴为底，其面积为．点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了方程思想方法，训练了学生的计算能力，是中档题．7．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设使成立的直线l存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，由，，知x1x2+y1y2=0．将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2﹣8）=0，由韦达定理能够导出k2=﹣1，即此时直线l不存在；当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=﹣1，由此能够导出此时直线l不存在．所以使成立的直线l不存在．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知所以，又a2=b2+c2，因此b=2故椭圆的标准方程为（6分）（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设使成立的直线l存在，（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，即m2=k2+1∵，，∴==1+0+0﹣1=0，即x1x2+y1y2=0将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2﹣8）=0由求根公式可得，0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2因此（1+k2）（2m2﹣8）﹣4k2m2+m2（1+2k2）=0将m2=k2+1代入上式并化简得k2=﹣1，即此时直线l不存在；（10分）（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=﹣1，当x=1时，A，B，P的坐标分别为，∴，∴当x=﹣1时，同理可得，矛盾，即此时直线l不存在综上可知，使成立的直线l不存在．（14分）点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意计算能力的培养，提高解题能力和解题技巧．8．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）将y=k（x+1）代入椭圆方程，利用韦达定理，及线段AB中点的横坐标为，可求斜率k的值．解答：解：（Ⅰ）由题意，满足a2=b2+c2，，…（3分）解得，则椭圆方程为…（6分）（Ⅱ）将y=k（x+1）代入中得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…（8分）△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，所以…（10分）因为AB中点的横坐标为，所以，解得…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．9．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；（2）求证：线段EF被直线AC平分．考点：圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题；分类讨论．分析：（1）先设出椭圆的标准方程，根据抛物线的方程求得其焦点坐标，进而求得椭圆的c，短半轴b求得a，则椭圆的方程和离心率可得．（2）根据（1）中的椭圆方程求得其准线l的方程，求得点E的坐标，设EF的中点为M，则M的坐标可得，先看当AB垂直于x轴，则设出点A，B，C的坐标，求得AC中点的坐标，判断出线段EF的中点与AC的中点重合；再看AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，可表示出AM和CM的斜率，求得二者相等，进而推断出A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，最后综合证明题设．解答：解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）∵y2=4x的焦点为F（1，0）∴c=1，又2b=2，∴b=1，a2=b2+c2=2，所以，椭圆的标准方程为其离心率为e=（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则M（，0）若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，﹣y1），C（2，﹣y1）∴AC的中点为N（，0）∴线段EF的中点与AC的中点重合，∴线段EF被直线AC平分，若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）则C（2，﹣y2）把y=k（x﹣1）代入得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0则有x1+x2=，x1x2=∴k AM==，k CM=，∵k AM﹣k CM=2k\frac{（{x}_{1}﹣1）﹣（{x}_{2}﹣1）}{2{x}_{1}﹣3}2（{x}_{1}﹣3）=0=∴k AM=k CM∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，∴线段EF被直线AC平分．点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合运用．考查了学生综合分析问题和分类讨论思想的运用．属中档题．10．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可知b和c，利用隐含条件求出a，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A与B的横坐标的和与积，讨论O与A（或B）为直角顶点两种情况，O为直角顶点时，直接由列式求解k的值，若A（或B）为直角顶点时，由斜率之积等于﹣1求出OA的斜率，由两直线联立解出A点（或B）点坐标，代入椭圆方程求得k的值．解答：解：（Ⅰ）因为焦点与短轴的端点都在圆x2+y2=1上，∴c=1，b=1，∴a2=b2+c2=1+1=2．则椭圆方程为：；（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣2）．联立，得（1+k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．由△=64k4﹣4（1+k2）（8k2﹣2）＞0，得．所以k．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．若O为直角顶点，则，即x1x2+y1y2=0．y1y2=k（x1﹣2）k（x2﹣2）．所以上式可整理得：．解得k=．满足k．若A或B为直角顶点，不妨设A为直角顶点，，则A满足，解得代入椭圆方程得k4+2k2﹣1=0．解得k=．满足k．综上，k=或k=时三角形OAB为直角三角形．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法哈数学转化思想方法，训练了平面向量在解题中的应用，考查了学生的计算能力，是难题．11．已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得c=1，利用离心率公式及a2=b2+c2，即可．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x﹣1，与椭圆方程联立得到根与系数的关系．利用点斜式分别写出直线AP、AQ的方程即可得出点M，N的坐标．只要证明k BM﹣k QB为0，即可得到三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．解答：解：（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得，解得．∴椭圆E的标准方程为．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x﹣1．联立．消去x得到（3m2+4）y2+6my﹣9=0．∴，．直线AP的方程为，令x=4，得到y=，∴M．直线AQ的方程为：，令x=4，得到，∴N．∴k BM﹣k QB=﹣==，其分子=3y1（my2+1﹣2）﹣y2（my1+1+2）=2my1y2﹣3（y1+y2）==0，∴k BM﹣k QB=0，即k BM=k QB，∴三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．点评：本题中考查了椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、利用斜率相等证明三点共线等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．12．椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny﹣4=0与圆C′：x2+y2=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．考点：椭圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）依题意可求得a=2，再利用其离心率e===可求得b，从而可求得椭圆C的方程；（2）设圆心O到直线L的距离为d，可求得d=，结合n∈（0，1]，可求得d的范围；利用基本不等式可求得S△OAB最大值为2，继而可得n，m的值，从而可求得直线L的方程．解答：解：（1）由椭圆定义知2a=4，∴a=2，又e===得b=1，∴所求椭圆方程为+y2=1．（2）设圆心O到直线L的距离为d，则d=，又有+n2=1，所以d==，又n∈（0，1]，∴d∈[1，2），S△OAB=|AB|•d=•d=≤=2（当d2=4﹣d2即d=时S△OAB最大），∴S△OAB最大值为2，d=⇒=，n＞0，∴n=，m2=4﹣4n2=，又m＞0，∴m=．所以直线L的方程为x+y﹣12=0，即x+y﹣3=0．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，突出考查基本不等式的应用，考查分析、运算的能力，属于难题．13．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B 的距离为1．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P是椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AP，BP分别与直线x=3相交于点M，N，直线BM与椭圆C 相交于异于点B的另一点Q．（i）求的值；（ii）求证：A，Q，N三点共线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），利用右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）（i）设出直线AP，BP的方程，求出M，N的坐标，利用向量的数量积公式，结合P在椭圆上，即可求的值；（ii）设出直线MB，AN的方程，求出交点坐标，验证在椭圆上，即可证明A，Q，N三点共线．解答：（I）解：设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0）∵右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1，∴，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），则直线AP：，联立直线AP与直线x=3，可得M（3，）；直线BP：，联立直线AP与直线x=3，可得N（3，），（i）解：∵F（1，0），∴∴=4+∵∴∴=4+=；（ii）证明：直线MB的方程为y=（x﹣2），直线AN的方程为y=（x﹣2）联立直线MB，NA，可得交点坐标为（，）∵∴∴直线MB，NA的交点在椭圆上，∴A，Q，N三点共线．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线的方程，考查交点坐标的求解，考查学生的计算能力，综合性强．14．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长与焦距相等，直线x+y﹣1=0与E相交于A，B两点，与x轴相交于C点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如果椭圆E上存在两点M，N关于直线l：y=4x+m对称，求实数m的取值范围．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；转化思想；待定系数法．分析：（Ⅰ）根据短轴与焦距相等得到b与c相等，且a等于b，则b2=c2，a2=2c2设出椭圆的标准方程，设出已知直线与E的交点A与B的坐标，然后把直线方程代入到设出的椭圆方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到两个之和和两根之积的关系式，同时利用求出C的坐标，和设出的A和B的坐标，由得到A与B横坐标之间的关系式，三者联立即可求出A与B的横坐标及c的值，把c的值代入所设的椭圆方程即可得到椭圆E的方程；（Ⅱ）设出椭圆E上两点M与N的坐标，把设出的两点坐标分别代入到（Ⅰ）求出的椭圆方程得到两个关系式并设出MN的中点坐标，把两个关系式相减并利用中点坐标公式化简即可得到MN中点横纵坐标之间的关系式，然后根据M与N关于直线l对称得到MN的中点在直线l上，把MN的中点坐标代入直线l的方程又得到中点横纵坐标之间的关系式，两个关系式联立即可求出横纵坐标关于m的中点坐标，然后根据中点在椭圆内部，所以把中点坐标代入椭圆方程后其值小于1，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设所求的椭圆E的方程为（c＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2），将y=x+1代入椭圆得3x2﹣4x+2﹣2c2=0，∵，又C（1，0），∴，∴，∴所求的椭圆E的方程为；（Ⅱ）设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，，又设MN的中点为（x0，y0），则以上两式相减得：，⇒，又点（x0，y0）在椭圆内，∴，即，化简得：9m2﹣8＜0，因式分解得：（3m+2）（3m﹣2）＜0，解得：．点评：此题考查学生会求直线与曲线的交点坐标，掌握椭圆的简单性质，会利用待定系数法求椭圆的标准方程，掌握一点在椭圆的内部所满足的条件，灵活运用中点坐标公式及对称知识解决实际问题，是一道综合题．15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，从而可求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．解答：（1）解：由题意设椭圆的标准方程为，由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆的标准方程为；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，则又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴k AD k BD=﹣1，即∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴∴7m2+16mk+4k2=0解得：，且均满足3+4k2﹣m2＞0当m1=﹣2k时，l的方程y=k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点所以，直线l过定点，定点坐标为点评：本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．。
椭圆与直线间的关系例题祥解
椭圆与直线间的关系例题祥解（1）相离→①相离无解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 22221（2）相切①相切有一解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 22221②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为P x y xx a yy b00002021()+= ()312222相交有两解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b①弦长公式： ||()()AB x x y y =-+-122122=++-14212212kx x x x ()=+-1212k x x || =+12k a ·∆||例题1：椭圆141622=+y x 上的点到直线02y 2x =-+的最大距离是（ ）． A ．3 B ．11 C ．22 D ．10法一，参数方程法设椭圆上的点为P （4cos θ,2sin θ）,P 点到直线的距离为：10522252)4sin(24524)cos 4sin(852)22)cos(22sin(2(452sin 4)2sin(421|2sin 4cos 4|d 22=--≤-θ+π=-πθ+π=-θ-θ+πθ+θ+π=-θ+θ+π=+-θ+θ=法二，数形结合，求平行线间距离设与直线02y 2x =-+平行的直线为x+2y+m=0，与椭圆联立得,016y 4)m y 2(22=-+--，即 0m 16m y 4y 822=+-+，到直线02y 2x =-+的最大距离点是切点，上述方程的判别式0512m 16m 32512m 16222=+-=-+=∆，∴32m 2=，24m ±=两平行线间的距离为：10524221242d 22=--≤+-=即24m =时，距离最大，为10练习1. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y 228840+=-+= 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？ 解一 设，由参数方程得P (cos sin )()22θθ则d =-+=--|cos sin ||sin()|2242342θθθϕ 其中，当时，tan min ϕθϕπ=-===2221222d 此时，cos sin sin cos θϕθϕ=-=-==22313即点坐标为，P P ()-8313解二 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l '''即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l →设：，则由消得l x y m x y m x y x '-+=-+=+=⎧⎨⎩0088229280449802222y my m m m -+-==--=，令×∆() 解之得±，为最大，由图得m m =-=-333()此时，，由平行线间距离得P l ()min -=831322附录：1. 点到直线的距离公式: 点),(000y x P 到直线0:=++C By Ax l的距离为：2200||BA C By Ax d +++=2. 两平行线0:11=++C By Ax l 、0:22=++C By Ax l 间的距离公式为：2221||BA C C d +-=3. 三角函数公式：sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sin(2π+a) = cosa 4. 椭圆参数方程如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。
直线与椭圆的位置关系典型例题及答案
直线与椭圆的位置关系典型例题1.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为60o,2AF FB = .（1） 求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.（Ⅰ）直线l 的方程为()y x c -，其中c联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AF FB =，所以122y y -=.即2=得离心率 23c e a ==. ……6分（Ⅱ）因为21AB y y =-2221534a b=+.由23c a =得b =.所以51544a =，得a=3，b =椭圆C 的方程为22195x y +=. ……12分2、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.23、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q，满足=，证明：点Q 总在某定直线上.4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-共线.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈ ，证明22μλ+为定值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【直线与椭圆】典例精讲
已知直线:1l y kx =+与椭圆2
2
:14y C x +=相交于两点,A B .
（1）若AB 的中点的横坐标等于
14，求k 的值；
（2）若AB 的中点在直线14x =
上，求k 的值；
（3）若AB 的中点在直线12y =
上，求k 的值；
（4）若AB 的中点的横坐标大于
15
，求k 的取值范围；
（5）求AB 的中点横坐标的取值范围；
（6）求A B x x 的取值范围；
（7）若AB 的中点在圆2212
x y +=上，求k 的值；
（8）若AB 的中点与短轴右顶点的连线斜率为1-，求k 的值；
（9）若0OA OB =,求k 的值；
（10）设点(2,0)N ,若0NA NB =，求k 的值；
（11）设点(2,0)N ,若ABN 为直角三角形，是否与（13）同解，为什么？
（12）设1(,0)2
P ，若PA PB =,求k 的值；
（13）设过AB 的中点且与l 垂直的直线为m ，求直线m 与x 轴交点横坐标的取值范围；
（14）设直线l 与y 轴交于点M ，若2AM MB =,求k 的值；
（15）若AB 求k的值；
（16）求OAB面积的最大值及此时k的值；
1. 如图，,A B 是椭圆2
2:13
x W y +=的两个顶点，过点A 的直线与椭圆W 交于另一点C . （Ⅰ）当AC 的斜率为3
1时，求线段AC 的长； （Ⅱ）设D 是AC 的中点，且以AB 为直径的圆恰过点D . 求直线AC 的斜率.
2. 已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C .
（Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；
（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程.
3. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的长轴长为22，离心率22=e ，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；（Ⅲ）若以OP ，OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程。
x y O A B C D
4. 已知椭圆22
143
x y +=，经过点(0,3)A 的直线与椭圆交于,P Q 两点. ( I ) 若||||PO PA =，求点P 的坐标；
( II ) 若=OAP OPQ S S △△，求直线PQ 的方程.
5. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，一个顶点是(0,1)B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
6. 椭圆W 的中心在坐标原点O ，以坐标轴为对称轴，且过点0(，其右焦点为10F (，).过原点O 作直线1l 交椭圆W 于,A B 两点，过F 作直线2l 交椭圆W 于,C D 两点,且AB //CD .
（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；
（Ⅱ）求证：2
4AB CD =.
7. 已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b 的离心率为21，其短轴的一个端点到它的左焦点的距离为2，直线kx y l =:与椭圆C 交于N M ,两点，P 为椭圆C 上异于,M N 的一点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线,PM PN 的斜率都存在，判断,PM PN 的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
（Ⅲ）求PMN ∆的面积的最大值.。