广义实正定矩阵
正定矩阵的行列式
正定矩阵的行列式正定矩阵的性质：正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；若a是正定矩阵，则a的逆矩阵也是正定矩阵等等。
在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
（1）正定矩阵的行列式恒为也已；（2）实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；（3）若a就是正定矩阵，则a的逆矩阵也就是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积就是正定矩阵。
判定的方法：根据正定矩阵的定义及性质，辨别等距矩阵a的也已定性存有两种方法：1、求出a的所有特征值。
若a的特征值均为正数，则a是正定的；若a的特征值均为负数，则a为负定的。
2、排序a的各阶主子式。
若a的各阶主子式均大于零，则a就是正定的；若a的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则a为奇函数的。
对于n阶实对称矩阵a，下列条件是等价的：（1）a就是正定矩阵；（2）a的一切顺序主子式均为正；（3）a的一切主子式均为也已；（4）a的特征值均为正；（5）存有实对称矩阵c，并使a=c′c；（6）存在秩为n的m×n实矩阵b，使a=b′b；（7）存有主对角线元素全为正的实三角矩阵r，并使a=r′r矩阵是数学中一个重要的基本概念是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具，而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究,本文主要是通过特征值单位矩阵。
正定矩阵的性质及其应用_____
正定矩阵的性质及其应用姓名： 学号： 指导教师：摘 要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。
本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。
关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract:Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations.Key Words: matrix; positive definite matrix; property; application1. 引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。
正定矩阵
5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵[1] 二次型的分类n 个变数的二次型∑===nj i T j iij n x A x x x ax x q 1,1),,( ，其实就是定义在nR 的一个二次齐次函数，对nR 的每个特定向量q x ,0对应一个函数值)(0x q ，依据)(x q 值的符号，在教材184页上给出了二次型的分类定义：1．正定二次型。
若对一切nR x ∈，当0)(0>=⇒≠Ax x x q x T 称二次型)(x q 正定。
显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。
2．正半定（或半正定）二次型。
若对一切nR x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T ，且至少有一 00≠x 能使0)(0=x q .3．负定。
对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。
4．负半定（或半负定）。
对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。
5．不定二次型。
若二次型Ax x q T =既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。
容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。
若系数全正为正定二次型；若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型；若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。
对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。
例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型212322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++= 是正定二次型。
解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。
但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。
正定矩阵 和实对称矩阵
正定矩阵和实对称矩阵正定矩阵是线性代数中一个很重要的概念，与之相关的概念还有实对称矩阵。
本文将详细介绍正定矩阵和实对称矩阵的定义、性质以及它们之间的关系。
1.正定矩阵的定义在矩阵理论中，正定矩阵是一种特殊的方阵，具有一些重要的性质。
对于一个n阶矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T*A* x>0，那么矩阵A就被称为正定矩阵。
其中，x^T表示向量x的转置，"*"表示矩阵的乘法。
2.正定矩阵的性质正定矩阵具有以下重要性质：-正定矩阵的特征值都是正数。
这是正定矩阵的一个重要性质，可以通过特征值分解来证明。
-正定矩阵的行列式大于0。
正定矩阵的行列式可以看作是矩阵的所有特征值的乘积，由于特征值都是正数，所以行列式也必然大于0。
-正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
逆矩阵的定义与正定矩阵的性质相呼应，两者之间存在密切的关联。
3.实对称矩阵的定义实对称矩阵是指对于一个矩阵A，它的转置矩阵等于它本身，即A^T=A。
实对称矩阵在应用中具有很多重要的特性和性质。
4.实对称矩阵与正定矩阵的关系实对称矩阵和正定矩阵之间存在着紧密的关系。
事实上，一个实对称矩阵是正定矩阵的充分条件是它的所有特征值都是正数。
这可以通过特征值分解和正定矩阵的定义进行证明。
5.应用领域正定矩阵和实对称矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用。
在最优化问题中，正定矩阵是一类重要的关键性质，它们被广泛应用于凸优化、线性规划等领域。
实对称矩阵在物理学、力学、信号处理等领域中也有重要的应用。
本文介绍了正定矩阵和实对称矩阵的定义、性质以及它们之间的关系。
正定矩阵具有特征值全为正数、逆矩阵也是正定矩阵等重要性质；实对称矩阵是指转置矩阵等于本身的矩阵。
实对称矩阵的所有特征值为正则可以称之为正定矩阵。
正定矩阵和实对称矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，对于最优化问题、物理学、力学等领域具有重要意义。
实正定矩阵的若干判定方法
性质和判定作了初步的讨论和研究, 得到 了一般实正定矩阵的几个重要性质和判定定理.
关键词: 实对称正定矩阵; 实正定矩阵; 严格对角占优阵; Hadamard 积
中图分类号: O151. 21
文献标识码: A
文章编号: 1009 1734( 2004) 02 0125 04
0 引言
二次齐次多项式在实际工作和理论研究中是一种重要的多项式, 它不仅在数学的许多分支中用到, 而且 在物理学中也经常用到, 其中实二次型中的正定二次型占有特殊重要的位置. 正定二次型的系数矩阵就是实 对称正定矩阵, 它是一类特殊的正定矩阵. 在历史上, 正定矩阵的研究最先出现于二次型与 Hermite 型的研究 中, 这种正定只限于对实对称矩阵或 Hermite 矩阵使用, 它在几何学、物理学以及概率论等学科中都有重要的 应用[ 1~ 2] .
A = a21 a22 , a2n , ,, ,
an1 an2 , ann
为一实矩阵, 如果 A 是严格对角占优阵, 那么 | A | X 0. 引理 2[ 3] 设
a11 a12 , a1n
A = a21 a22 , a2n , ,, ,
an1 an2 , ann
为一实矩阵, 如果 A 是严格对角占优阵, 且 aii > 0, i = 1, 2, ,, n , 那么 | A | > 0. 证明 由已知条件可知: A + AT 的各阶顺序主子阵都是严格对角占优阵, 且 aii > 0, i = 1, 2, ,, n. 于
A
m2
1CTCA
m2
1
=
(
CA
m2
1
)
T
(
CA
m2
实正定矩阵的若干判据
根据 文 ［ ５ ， 如下 关 于正定 的刻 画． １— ］有 引 理 １ 设 Ａ∈Ｒ ， 则下列 命 题 ： 正定 矩 阵 ； 是 正定 矩 阵 ； Ｐ是 正定 矩 阵 （ 非奇 异实 矩 Ａ是 ＰＡ Ｐ是
阵）ｓ＝÷（ Ａ ） ； Ａ＋ 是正定矩阵； 存在非奇异实矩阵Ｐ， 使得
由Ａ Ａ 与 Ａ Ｂ Ｂ相 似 即知命 题 成立 ．
推论 １ 设 Ａ、 ∈Ｒ ， Ａ、 都是 正 定对 称 矩 阵 ， Ａ（ Ｂ）是实 数且 Ａ Ａ Ｂ 若 则 Ａ （ Ｂ） ＞０ ． 引理 ３ 若 Ａ ∈ Ｒ 是 规 范矩 阵且 Ｒ Ａ（ … “ ｅ Ａ）＞０ 则 Ａ是 正定 矩 阵． ， 定理 ２ Ａ ∈Ｒ 是正 定矩 阵的充 分 必要 条件 是存 在 实正 定对 称矩 阵 Ｐ， “ 使得 Ｒ ｈ Ｐ ） ＞０ ［ Ａ ］ ：０ ｅ（Ａ ，Ａ， 证明 （） ２ 若 Ａ ：Ｓ＋ 是 正定 矩 阵 ， Ｐ ：Ｓ 则 Ｐ是 实正 定对 称 矩 阵 ， 令 ～， 由引理 ２ 与定 理 １ 即得 （ ） ２ 式．
第３ ２卷 第 ３期
实正 定 矩 阵 的若 干 判 据
詹 仕 林 詹 旭 洲 ，
（ ． 山师范学院 数学系 ， １韩 广东 潮州 摘 ５ １４ ； ． ２ ０ １ ２ 西安 电子科 技大学 理学 院， 陕西 西安 ７０ ７ ） １０ １
要 ： 般 ｎ阶矩阵正定性 的研 究 已在很多领域得 到了重要的应用 ， 一 因而对于一般 实矩阵 的正定
定理 １ 设 Ａ、 ∈Ｒ ， Ａ是 正定 对称 矩 阵 ， 是正 定 矩 阵 ， Ｒ Ａ（ Ｂ）＞０ Ｂ 若 则 ｅ Ａ ． 证 明 因 Ａ是正定对称矩 阵 ， Ａ 存在 ， 由引理 １ Ａ Ａ 是正定矩阵 ， Ｒ Ａ Ａ Ａ ）＞０ 故 且 知 Ｂ 故 ｅ （ Ｂ ．
正定矩阵和正交矩阵
正定矩阵和正交矩阵
正定矩阵和正交矩阵是线性代数中两种非常重要的矩阵。
它们各有自己的特性与应用，理解这两种矩阵、掌握它们的性质对于深入学习线性代数及其在实际问题中的应用都十分关键。
首先，我们来谈谈正定矩阵。
正定矩阵是一种常见的实对称矩阵。
如果实对称矩阵的所有特征值都大于0，则称该矩阵为正定矩阵。
正定矩阵在实际应用中起到了非常重要的作用，如在优化理论、函数空间、平方和表达式等领域都有广泛运用。
同时，性质善良的正定矩阵在确定系统稳定性、信号处理等领域也是无可替代的重要工具。
然后，我们来看看正交矩阵。
正交矩阵是一个元素为实数或复数的矩阵，它满足自身的转置矩阵等于其逆矩阵的性质，即它的列向量和行向量都是单位长度且两两正交，可以视作是把基向量旋转或翻转到新的位置，但这个过程不改变向量的长度或形状。
正交矩阵在许多数学和物理问题中都有极其重要的应用，像线性方程组求解、线性变换等等。
综合来看，正定矩阵和正交矩阵都是线性代数中十分重要的概念，它们不仅在理论上有重大意义，而且在众多实际问题中都起到了不可忽视的作用。
由此可见，对这两种矩阵有深入的理解，可以让人们更好地理解和处理许多实际问题。
关于正定矩阵的性质及应用的研究
，得证。
性质3 、 是正定矩阵，则 证明： 、 是正定矩阵，所以
是实对称矩阵。
对任意的 维列向量 ，
，
，其中 ，因 是任意的，所以
也是正定矩阵。
，
，有
学术研讨 135
，
，所以，
也是正定矩阵，得证。
性质4 是正定矩阵，则
、 、 也是正定矩
阵。
证明： 是正定矩阵，故
，，
， 是实对称矩阵。
若 是 的特征值，则 是 的特征值。由
134
◇朔州师范高等专科学校 董改芳
关于正定矩阵的性质及应用的研究
2019 年 第 6 期
正定矩阵是高等代数矩阵理论中非常重要的内容，本文给出了正定矩阵的一些性 质和判定方法，并在实例中得到了正定矩阵的一些应用。
二次齐次多项式在数学的其它分支、物理以及力学中常常用到，是一类非常重要的多
项式。二次型是数域上的二次齐次多项式，在讨论二次型时，我们把二次型
采用钛酸四丁酯和四氯化钛为钛源可以将TiO2负载在玄武岩纤维 表面，但结合XRD分析，负载型的TiO2可能呈高度分散状态或 者无定形态存在。
4 结论 本文分别以钛酸四丁酯和四氯化钛为钛源，采用湿法化学 发在玄武岩纤维表面负载一层TiO2，采用X射线衍射仪和金相分 析仪对TiO2的负载情况进行初步的探索。实验结果表明，TiO2在 玄武岩纤维表面负载均匀，并且以无定形或者高分散状态存 在。
【参考文献】 [1] 胡显奇, 申屠年. 连续玄武岩纤维在军工及民用领域的应 用[J]. 高科技纤维与应用, 2005, 30(6): 7-13 [2] 曹海琳, 郎海军, 孟松鹤. 连续玄武岩纤维结构与性能试 验研究[J]. 高科技纤维与应用, 2007, 32(5): 8-13 [3] 姚勇, 徐鹏, 刘静, 等. 国内外玄武岩纤维耐腐蚀性能对比 研究[J]. 合成纤维工业, 2015, 38(5): 9 [4] Sim J, Park C. Characteristics of basalt fiber as a strengthening material for concrete structures[J]. Composites Part B: Engineering, 2005, 36(6): 504-512 [5] 王广健, 尚德库, 胡琳娜, 等. 玄武岩纤维的表面修饰及生 态环境复合过滤材料的制备与性能研究[J]. 复合材料学报, 2004, 21(1): 38-44 [6] 董丽茜, 陈进富, 郭春梅,等. 玄武岩纤维在环保领域的应 用研究现状及展望[J]. 当代化工, 2018(2) [7] 余娟, 周蓉, 邢建民. 耐高温针刺毡脱硝催化剂负载预处 理工艺探讨[J]. 山东纺织科技, 2018, 59(2): 1-5 [8] 耐高温玄武岩覆膜滤料的制备与性能的研究[D]. 浙江理 工大学, 2013 [9] 强降解VOC纳米TiO2光催化剂的制备及机理研究[D]. 华 中科技大学, 2015 基 金 项目：1、国家级大学生创新创业训练计划项目 （201810649050）；2、乐山师范学院引进教师科研启动项目 （Z16024）；3、乐山市科技重点研究项目（17GZD051）。 通讯作者：徐要辉，男，工学博士，乐山师范学院讲师， 主要从事功能材料的研究。
正定矩阵证明题
正定矩阵证明题什么是正定矩阵？在线性代数中，正定矩阵是一种特殊的方阵，具有重要的性质和应用。
一个n×n 的实对称矩阵A被称为正定矩阵，如果对于任意非零向量x∈ℝn，都有x T Ax>0。
简单来说，一个矩阵是正定的意味着它对所有非零向量的内积都是正数。
正定矩阵的性质正定矩阵具有以下几个重要的性质：1.所有的特征值都大于零：如果A是一个n×n的正定矩阵，则它所有的特征值λi都满足λi>0。
2.对称性：正定矩阵必须是实对称矩阵。
这意味着对于任意i,j(1≤i,j≤n)，都有a ij=a ji。
这个条件保证了所有特征值都是实数。
3.正定子矩阵：如果将一个正定矩阵中的某些行和列去掉，得到的子矩阵仍然是正定的。
4.正定矩阵的逆矩阵也是正定的：如果A是一个正定矩阵，则它的逆矩阵A−1也是正定的。
正定矩阵的证明方法证明一个矩阵是正定的通常需要使用一些特殊的技巧和性质。
判别法判别法是最常用的证明方法之一。
根据判别法，我们只需要检查矩阵中所有顺序主子式（顺序主子式是指从左上角开始，连续取出前k行和前k列所得到的子矩阵）是否大于零，即可判断一个实对称矩阵是否为正定矩阵。
例如，对于一个3×3的实对称矩阵：A=[a b cb d ec e f]我们可以计算出三个顺序主子式：D1=a>0D2=ad−b2>0D3=af−c2−(ae−bc)2>0如果这三个顺序主子式都大于零，则可以得出结论：A是一个正定矩阵。
特征值法另一种证明正定矩阵的方法是使用特征值的性质。
根据正定矩阵的性质，所有特征值都大于零。
因此，我们只需要证明矩阵的所有特征值都大于零，就可以得出结论：该矩阵是正定的。
特征值法通常需要对矩阵进行特征值分解，然后证明所有特征值都大于零。
由于这种方法比较复杂，我们这里不再详细展开。
正定矩阵的应用正定矩阵在数学和工程领域中具有广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用场景：1.优化问题：正定矩阵在优化问题中起到重要作用。
浅谈广义次正定矩阵.
浅谈广义次正定矩阵浅谈广义次正定矩阵摘要广义次正定矩阵是生活与实际中常碰到的问题，特别是工程设计，金融管理等方面。
本文阐述了广义次对称次正定矩阵与广义次正定矩阵的定义，归纳了广义次对称正定矩阵与广义次正定矩阵的有关性质，建立了关于广义次正定矩阵的不等式。
关键词：广义次对称次正定矩阵;广义次正定矩阵;次转置;可交换;行列式不等式。
Talking meta-positive matrices Abstract Meta-positive matrices are some questions which often arise in life and practice, for example, engineering design, finance management etc. In this paper, we gave the define of Meta-positive Sub-defineite matrices, and gave its spectral property and determinant inequqlities.Key words：meta-positive definitematrix,meta-positive sub-definite matrix,determinant inequalities. 前言正定矩阵在矩阵论中占有10分重要的地位，在实际中有非常广泛的应用。
1962年有学者首先引入了次对称矩阵的概念，随后又引入方阵的次转置的定义。
随着对矩阵次对角线上的研究越来越深入，它的重要性也被人们所认识。
由于次正定矩阵在信息论，线性系统论，矩阵方程论，现代经济数学等众多学科中的重要作用，使矩阵的次正定性研究不仅在理论上，而且在应用上都是有意义的。
矩阵的这种常规的正定性，虽然在几何学，物理学以及概率论等学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩阵的其他学科的发展，越来越不能满足人们的需要，于是，有不少人开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。
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广义实正定矩阵【摘要】自1970年Johnson C.R.首次给出广义正定矩阵的概念以来，学者们历经39年的艰苦研究历程，产生了许许多多更加广义的正定矩阵，获得许多丰富的研究成果。
可是，他们对广义正定矩阵的研究，众说纷纭，各执一词，使得正定矩阵的阵容不断扩大，广义度不断增强，到头来何为正定矩阵，没了一个统一的标准。
为改变这种现状，本文给出一种公理性的广义正定矩阵的定义，并对新意义下广义正定矩阵的若干性质进行了分析和研究。
希望为广义正定矩阵概念的规范化探出一条新路。
【Abstract】Since Johnson C.R. gave the concept of Generalized Positive Definite Matrices for the first time in 1970, the scholars, after 39 years’tough research, have put forward many more generalized positive definite matrix and acquired huge achievement. Yet, they had different saying in the research of generalized positive definite matrix, which has widened the definition of generalized positive definite matrix, so ultimately they could not reach an agreement in what generalized positive definite matrix is. In order to change the situation, this article is to give the definition of an axiomatic generalized real positive definite matrices and make analysis into some of the quality of generalized positive definite matrix under the new definition. It wishes to find a new way for normative research into the concept of generalized positive definite matrix.【Keywords】Positive definite matrix Real symmetric matrix (△)-positive definite factor Changeless factor Alterable factor若无特别声明，本文用R表示实数域；用表示实数域上矩阵的全体；若，则表示A的转置；O表示零矩阵；表示n阶单位矩阵；表示n阶单位矩阵交换(i, j)行后得到的初等矩阵；表示n阶正对角矩阵的全体；表示n阶实对称矩阵的全体；表示n阶实反对称矩阵的全体；表示空集；符号“ ”表示等价；“ ”表示蕴含。
1．广义正定矩阵发展历程简述。
实正定矩阵的概念最初出现在二次型的研究中，其初始定义是：定义1、n阶实对称矩阵A称为正定的，如果有。
本文把这种正定矩阵称为S+-正定矩阵，n阶-正定矩阵的全体记为。
随着数学本身的发展和其它学科应用的需要，许多学者突破常规，研究矩阵的正定性，因而产生了一系列更加广义的正定矩阵，1970年，Johnson.C.R首先提出了广义正定矩阵的概念。
定义2[1]、设，矩阵A称为正定的，如果有。
本文把这种正定矩阵称为J-正定矩阵，n阶J-正定矩阵的全体记为。
1984年，佟文廷在前一概念的基础上，对矩阵的正定性作了如下推广。
定义3[2]、设，矩阵A称为正定的，如果存在正对角矩阵D，使得有。
本文把这种正定矩阵称为D-正定矩阵，n阶D-正定矩阵的全体记为。
1985年李炯生在《实方阵的正定性》[3]一文中，系统地分析了广义正定矩阵的若干性质，尽管他没有在文中正式提出新的广义正定矩阵的概念，但他为后人的研究奠定了较为坚实的基础。
到了1988年，夏长富的研究使矩阵的正定性又有了新的含义。
定义4[4]、设，矩阵A称为正定的，如果存在，使得，有。
本文把这种正定矩阵称为X-正定矩阵，n阶X-正定矩阵的全体记为。
1990年，屠伯埙给出了亚正定矩阵的概念，在矩阵理论中又添新词。
定义5[6]、设，，其中，，如果，那么称A为亚正定矩阵。
本文把n 阶亚正定矩阵的全体记为（这里的K称为A的对称分量，H称为A的反对称分量，并且这种分解式是唯一的）。
杨仕椿、吴文权于2005年对矩阵的正定性再一次进行了推广，提出如下定义。
定义6[7]、设，矩阵A称为正定的，如果存在使得有。
本文把这种正定矩阵称为Y-正定矩阵，n阶Y-正定矩阵的全体记为。
2007年米永生对矩阵的正定性又赋予了新的内容。
定义7[8]、设，矩阵A称为正定的，如果存在，且使得有。
本文把这种正定矩阵称为M-正定矩阵，n阶M-正定矩阵的全体记为。
2．广义正定矩阵的公理性定义。
关于广义正定矩阵的专题研究，众位学者经历了三十九年（从1970年算起）艰苦的研究历程，获得了许许多多很有价值的研究成果，可遗憾的是，什么是正定矩阵（广义的），没有一个统一的说法，学者们都在不断地扩大矩阵正定性的范围，每一个新出现的正定矩阵类都严格地包含以往的正定矩阵类，如今发展到负单位矩阵可以是正定矩阵的地步了（n为偶数的时候，因此，有，所以）。
本文作者在对众学者研究的成果进行分析和研究的时候发现，所有的广义正定矩阵有如下几个共同特征：定理1、（1）是广义正定矩阵的充分必要条件是：存在矩阵（当然Z是具有某种特殊性质的），使得有；（2）是广义正定矩阵的充分必要条件是：A是可逆矩阵，并且以及仍然是同类的广义正定矩阵。
定理2、设，那么（1）存在正对角矩阵D以及，使得存在正对角矩阵D1以及使得；（2）存在以及，使得存在以及，使得；（3）存在以及，使得；（4）存在，使得，，并且。
以上结论表明：广义正定矩阵是广义J-正定矩阵和一个恰当矩阵的乘积。
纵观学者们对广义正定矩阵的研究，全都是围绕这个“恰当”的矩阵“因子”展开的。
既然如此，本文对这个“恰当”的矩阵“因子”给出如下定义：定义8、设是矩阵的某种性质，，A称为关于性质的可正定化因子（简称A为-正定因子），如果满足条件：（1）A具有性质；（2）；（3）具有性质；（4）具有性质。
n阶-正定因子的全体记为，称它为-正定因子类。
并规定：。
许多学者的研究成果已经表明：以及都是-正定因子类。
定义9、设是一给定的正定因子类，，矩阵A称为正定的，如果存在，使得有。
本文把这种正定矩阵称为-正定矩阵，n阶-正定矩阵的全体记为。
有了定义9，定理2的结论可概括为：定理3、（1）存在以及，使得；（2）存在以及，使得。
证明：（1）若，那么存在，使得有，于是，，所以，由Z的性质可知，。
反之，以及，假定，那么，于是，，有，而此时，，所以。
（2）若，则存在，使得有，于是，，即，所以，所以，由Z的性质可知，，所以，于是，存在以及，使得，所以，其中，。
反之，以及，假定，那么有，于是，，有Z的性质可知。
定理4、如果，那么（1）；（2）；（3），所以是-正定因子类。
证明：若，则存在以及，使得，所以，其中，所以，由此A可逆，所以，注意到：、以及定理3（2），可以得到，而在定理3的证明中就已经得证了。
根据以上分析，本文再引入一个记号：设，记。
因此，并且，另外；；；以上的分析，进一步说明，广义正定矩阵其实就是一类特殊矩阵与另一类特殊矩阵的乘积，只是两种类型的矩阵中，有一个始终不改变总体特征性质（因为它始终属于），为此，本文再给出如下定义：定义10、在-正定矩阵的分解式或中，B称作性质不变因子，简称C-因子，Z称作性质可变因子，简称A-因子。
那么-正定矩阵的性质完全取决于这两个因子的性质了。
实对称正定矩阵有一个良好性质：正定矩阵之和仍然为正定矩阵。
可是这一性质对广义正定矩阵来说，是不一定成立的。
例1：设，，存在，使得以及都是-正定矩阵，自然，所以，但是，因此。
由于，因此，关于矩阵的加法都不具有封闭性。
但是，在特定条件下，有定理5、（1）设是给定的A-因子，记，那么，关于矩阵的加法构成加法半群，并且，特别，因此；记，那么，关于矩阵的加法构成加法半群，并且，特别。
（2）设是给定C-因子，记，那么，特别，，因而，并且关于矩阵的加法构成加法半群当且仅当关于矩阵加法是封闭的。
记，那么，特别，，并且关于矩阵的加法构成加法半群当且仅当G(*)关于矩阵加法是封闭的。
（3）如果存在，使得，那么（真子集）；如果存在，使得，那么（真子集）。
证明：（1），存在，使得，注意到，关于矩阵的加法是加法半群，于是，所以所以，是加法半群。
另一方面，因为，所以Z可逆，所以，这说明在与之间可建立一一对应的关系，因此；因为，有，而，，由定义有，所以。
同理可得的相应结论。
（2）同样的道理不难验证以及（因为）；，存在，使得，于是由于，因此B是可逆的，所以，，于是与关于矩阵加法的封闭性是一致的。
同理可得的相应结论。
（3）根据（1）和（2）的结论不难得到（3）的结论。
定理5说明：由某个A-因子生成（假如也用“生成”这个词）的正定矩阵类和是加法半群，于此同时，是加法半群当且仅当任意C-因子B生成正定矩阵类和是加法半群。
另外，定理5再一次说明了广义正定矩阵是两个都可以称作“广义正定矩阵”的矩阵之乘积。
关键的问题是：这个“积”会产生什么样的性质？哪些性质可传递（因子有的性质，积也有），哪些性质不可传递，会产生哪些新的性质等等。
本文在后续的研究中，将逐个解决这些方面的若干问题。
前面的例1已经说明，矩阵加法的封闭性是不可传递的。
定理6、（1）若A-因子Z具有性质：B是C-因子是C-因子，则。
（2）设Z是A-因子，则证明：（1）存在C-因子B使得存在C-因子B使得（因为是C-因子）。
因此，（2）存在C-因子B使得存在C-因子B使得（因为，）。
定理7、证明：若，那么存在，使得，那么，反之，若，那么存在，使得，所以所以定理8、如果具有正交相似封闭性（也就是：若Z为A-因子，则对任意正交矩阵，有仍为A-因子），那么具有正交相似封闭性。
证明：若，那么存在A-因子Z以及C-因子B，使得，因此对任意正交矩阵，有，注意到仍然是A-因子，仍然是C-因子，所以。
值得指出的是：（1）不是所有的正定因子类都具有正交相似封闭性的。
例2：是正定因子类，但它不具有正交相似封闭性，这是因为，是正对角矩阵，令（），那么，U是正交矩阵，但是，不是正对角矩阵。