现代控制理论实验

现代控制理论实验

实验一 线性定常系统模型

一 实验目的

1. 掌握线性定常系统的状态空间表达式。学会在MATLAB 中建立状态空间模型的方法。

2. 掌握传递函数与状态空间表达式之间相互转换的方法。学会用MATLAB 实现不同模型之间的相互转换。

3. 熟悉系统的连接。学会用MA TLAB 确定整个系统的状态空间表达式和传递函数。

4. 掌握状态空间表达式的相似变换。掌握将状态空间表达式转换为对角标准型、约当标准型、能控标准型和能观测标准型的方法。学会用MATLAB 进行线性变换。

二 实验内容

1. 已知系统的传递函数 (a) )

3()1(4)(2++=s s s s G (b) 3

486)(22++++=s s s s s G

（1）建立系统的TF 或ZPK 模型。

（2）将给定传递函数用函数ss( )转换为状态空间表达式。再将得到的状态空间表达式用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。

（3）将给定传递函数用函数jordants( )转换为对角标准型或约当标准型。再将得到的对角标准型或约当标准型用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。

（4）将给定传递函数用函数ctrlts( )转换为能控标准型和能观测标准型。再将得到的能控标准型和能观测标准型用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。

2. 已知系统的状态空间表达式

(a) u x x

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=106510 []x y 11=

(b) u x x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=7126712203010 []111=y

(c) u x x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=357213********* []x y 101= (d) u x x ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=011310301100 []x y 210-= （1）建立给定系统的状态空间模型。用函数eig( ) 求出系统特征值。用函数tf( ) 和zpk( )将这些状态空间表达式转换为传递函数，记录得到的传递函数和它的零极点。比较系统的特征值和极点是否一致，为什么?

（2）用函数canon( )将给定状态空间表达式转换为对角标准型。用函数eig( )求出系统特征值。比较这些特征值和（1）中的特征值是否一致，为什么? 再用函数tf( )和zpk( )将对角标准型或约当标准型转换为传递函数。比较这些传递函数和（1）中的传递函数是否一致，为什么?

（3）用函数ctrlss( )将给定的状态空间表达式转换为能控标准型和能观测标准型。用函数eig( )求系统的特征值。比较这些特征值和（1）中的特征值是否一致，为什么?再用函数tf( )将它们转换为传递函数。比较这些传递函数和（1）中的传递函数是否一致，为什么?

3. 已知两个子系统

4

41)(21+++=s s s s G 6

11653)(232++++=s s s s s G （1）建立两个子系统的传递函数模型。求它们串联、并联、反馈连接时, 整个系统的传递函数模型。然后将所得传递函数模型转换为状态空间模型。

（2）将两个子系统的传递函数模型转换为状态空间模型。求它们串联、并联、反馈连接时, 整个系统的状态空间模型。然后将所得状态空间模型转换为传递函数模型。比较（1）和（2）所得的相应的结果。

（3）将（2）中所得的整个系统的状态空间模型的系数矩阵与教材中推导出的整个系统的状态空间表达式的系数矩阵比较，是否符合？

三 附录

1. 线性定常系统的数学模型

在MA TLAB 中，线性定常（linear time invariant, 简称为 LTI ）系统可以用4种数学模型描述，即传递函数(TF)模型、零极点增益(ZPK)模型和状态空间(SS)模型以及SIMULINK 结构图。前三种数学模型是用数学表达式表示的，且均有连续和离散两种类型，通常把它们统称为LTI 模型。

1) 传递函数模型（TF 模型）

令单输入单输出线性定常连续和离散系统的传递函数分别为

11101)()()(a s a s a s b s b s b s b s U s Y s G n n n m m m m ++++++++==---- (1-1) 和

11101)()()(a z a z a z b z b z b z b z U z Y z G n n n m m m m ++++++++==---- 。 (1-2) 在MA TLAB 中，连续系统和离散系统的传递函数都用分子/分母多项式系数构成的两个行向量num 和den 表示，即

[]01b b b num m =，[]011a a den n -=

系统的传递函数模型用MATLAB 提供的函数tf( )建立。函数tf ( )不仅能用于建立系统传递函数模型，也能用于将系统的零极点增益模型和状态空间模型转换为传递函数模型。该函数的调用格式如下：

),(d e n n u m

tf G = 返回连续系统的传递函数模型G 。 ),,(Ts den num tf G = 返回离散系统的传递函数模型G 。Ts 为采样周期，当Ts =-1或者Ts =[]时，系统的采样周期未定义。

)(G tf Gtf = 可将任意的LTI 模型G 转换为传递函数模型Gtf 。

例1-1 已知一个系统的传递函数为

6

1166)(23+++=s s s s G 建立传递函数模型。

在命令窗中运行下列命令

>>num=6;den=[1 6 11 6];G=tf (num, den)

返回

Transfer function:

6

----------------------

s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

2) 零极点增益模型（ZPK 模型）

系统的零极点增益模型是传递函数模型的一种特殊形式。令线性定常连续和离散系统的零极点形式的传递函数分别为

)

())(()())(()()()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s U s Y s G ++++++== (1-3)