现代控制理论实验报告3

实验三 利用MATLAB 导出连续状态空间模型的离散化模型
实验目的：
1、基于对象的一个连续时间状态空间模型，导出其相应的离散化状态空间模型；
2、通过编程、上机调试，掌握离散系统运动分析方法。

实验原理：
给定一个连续时间系统的状态空间模型：
()()()()()()
x t Ax t Bu t y t Cx t Du t =+=+ （3.1） 状态空间模型（3.1）的输入信号()u t 具有以下特性：
()(),u t u kT kT t kT T
=≤≤+ （3.2） 已知第k 个采样时刻的状态()x kT 和第k 个采样时刻到第1k +个采样时刻间的输入()()u t u kT =，可得第1k +个采样时刻(1)k T +处的状态
(1)((1))((1))()((1))()k T kT x k T k T kT x kT k T Bu d τττ++=Φ+-+Φ+-⎰
（3.3）
其中： ((1))((1))A k T kT AT k T kT e e +-Φ+-==
((1))((1))A k T k T e ττ+-Φ+-=
由于输入信号在两个采样时刻之间都取常值，故对式（3.3）中的积分式进行一个时间变量替换(1)k T στ=+-后，可得
0((1))()()()AT
A x k T e x kT e d Bu kT τ
σσ+=+⎰ （3.4） 另一方面，以周期T 对输出方程进行采样，得到
()()()y kT Cx kT Du kT =+
在周期采样的情况下，用k 来表示第k 个采样时刻kT 。

因此，连续时间状态空间模型
（3.1）的离散化方程可以写成
(1)()()()()()()()
x k G T x k H T u k y k Cx k Du k +=+=+ （3.5） 其中：
0()()()AT
A G T e H T e d
B τσσ==⎰ （3.6）
已知系统的连续时间状态空间模型，MATLAB 提供了计算离散化状态空间模型中状态矩阵和输入矩阵的函数：
[G ,H]=c2d(A,B,T)
其中的T 是离散化模型的采样周期。

实验步骤
1、导出连续状态空间模型的离散化模型，采用MA TLAB 的m-文件编程；
2、在MA TLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。

例3.1 已知一个连续系统的状态方程是
010()()()2541x t x t u t ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
若取采样周期0.05T =秒，试求相应的离散化状态空间模型。

编写和执行以下的m-文件：
A=[0 1;-25 –4];
B=[0;1];
[G ,H]=c2d(A,B,0.05)
得到
G=
0.9709 0.0448
-1.1212 0.7915
H=
0.0012
0.0448
因此，所求的离散化状态空间模型是
0.97090.04480.0012(1)()()1.12120.79150.0448x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
实验要求
1、 在运行以上程序的基础上，针对线性定常连续系统的状态空间模型
[]100()()(),10021x t x t u t y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
设采样周期1T
=秒，试求离散化状态空间模型。

源代码：
A=[-1 0;0 -2];
B=[0;1];
[G ,H]=c2d(A,B,1)
运行结果：
G =
0.3679 0
0 0.1353
H =
0.4323
2、分析不同采样周期下，离散化状态空间模型的结果。

T=1S ：
G =
0.3679 0
0 0.1353
H =
0.4323
T=0.5S：
G =
0.6065 0
0 0.3679
H =
0.3161
T=0.1S：
G =
0.9048 0
0 0.8187
H =
0.0906
因此得出结论，采样周期越大，求得的采样|G|越大，H越小。