广东省珠海市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)(b卷)(word版含答案)
2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷 Word版含答案
2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 如果直线032=-+y ax 与20x y -=垂直，那么a 等于_______.11. 已知双曲线2213y x -=，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为_____________ .12. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为_________.13. 如图，在四边形ABCD 中，1AD DC CB ===， AB =，对角线AC 将ACD △沿AC 所在直线翻折，当AD BC ⊥时，线段BD 的长度 为______.ABCD正（主）视图 侧（左）视图14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）已知圆C 经过)1,1(),3,1(-B A 两点，且圆心在直线x y =上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点)2,2(-，且与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.17．（本小题满分13分）如图，在平面ABCD 中，⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，ADE △是等边三角形，22AD DC AB ===，,F G 分别为,AD DE 的中点. (Ⅰ)求证: EF ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求四棱锥E ABCD -的体积；(Ⅲ)判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.A BCDPE EDAB CGF18．（本小题满分13分）过椭圆2212x y +=右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,C D ，与直线2=x 交于点E .(Ⅰ)若直线l 的斜率为2，求||CD ；(Ⅱ)设O 为坐标原点，若:1:3ODE OCE S S ∆∆=，求直线l 的方程． 19．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =,M N 分别为BC 和1AA 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点.(Ⅰ)求证:平面APM ⊥平面11BBC C ；(Ⅱ)若P 为线段1BB 的中点，求证://CN 平面AMP ； (Ⅲ)试判断直线1BC 与PA 能否垂直. 若能垂直，求出PB 的值；若不能垂直，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知抛物线22y x =，两点(1,0)M ，(3,0)N . （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点,A B ，若抛物线上存在一点R ，使得,,,A B N R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率.NA MPCBA 1 C 1B 1北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. C ；5. D ；6. A ；7. B ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 2；y =； 12. 4；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）ABCDPE O解：(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为),(a a ，依题意，有2222)1()1()3()1(-++=-+-a a a a ， ……………2分即22451a a a -+=+,解得1=a ， ……………4分所以222(11)(31)4r =-+-=， ……………5分 所以圆C 的方程为4)1()1(22=-+-y x . ……………6分 (Ⅱ)依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1. ……………8分所以直线2x =符合题意. ……………9分 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为)2(2-=+x k y ， 即022=---k y kx ， 则11|3|2=++k k ， ……………11分解得43k =-， ……………12分 所以直线l 的方程为)2(342--=+x y ，即0234=-+y x ， ……………13分综上，直线l 的方程为2x = 或0234=-+y x .17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为F 为等边ADE △的边AD 的中点，所以 EF AD ⊥. ……………2分 因为⊥AB 平面ADE ，⊂AB 平面ABCD 所以平面ADE ⊥平面ABCD . ……………4分 所以EF ⊥平面ABCD . ……………5分 (Ⅱ)解：因为⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ， 所以//AB CD ，90ADC ∠=，四边形ABCD 是直角梯形， ……………7分 又22AD DC AB ===， 所以1(21)232ABCD S =⋅+⋅=梯形，……………8分又EF =所以13E ABCDABCD V S EF -=⋅=……………9分 (Ⅲ)结论: 直线//AG 平面BCE .证明: 取CE 的中点H ，连结,GH BH ， 因为G 是DE 的中点，所以//GH DC ，且 GH =12DC . ……………11分 DABCGFHE所以//GH AB ，且1GH AB ==，所以四边形ABHG 为平行四边形，//AG BH ， ……………12分 又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE .所以//AG 平面BCE . ……………13分18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，1=c ，)0,1(F ，直线l 的方程为22-=x y . ……………1分设11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立⎩⎨⎧-==+222222x y y x ，消y 得291660x x -+=， ……………3分91621=+x x ，9621=x x ， ……………4分 所以||CD = ……………5分9==. ……………6分 (Ⅱ)依题意，设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立⎩⎨⎧-==+kkx y y x 2222，消y 得0)22(4)212222=-+-+k x k x k （， ……………7分2221214k k x x +=+……①， 22212122k k x x +-=……②……………8分 因为:1:3ODE OCE S S =△△，所以 :1:3DE CE =， 3CE DE =，所以 1223(2)x x -=-，整理得 2134x x -=……③ ……………10分由①③得 212121k x k -=+，2223121k x k +=+， ……………11分 代入②，解得1±=k ， ……………12分 所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. ……………13分19.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥. ……………1分又因为11//BB AA ，且1AA⊥底面ABC ， 所以1BB ⊥底面ABC .NA MPCBA 1 C 1B 1 Q所以1BB AM ⊥， ……………3分 所以AM ⊥平面11BBC C .所以平面AMP ⊥平面11BBC C .……………5分 (Ⅱ)证明：连结BN ，交AP 于Q ，连结MQ ,NP .因为,N P 分别为11,AA BB 中点，所以//AN BP ，且AN BP =.所以四边形ANPB 为平行四边形， ……………7分Q 为BN 中点，所以MQ 为CBN △的中位线，所以//CN MQ . ……………8分 又CN ⊄平面AMP ，MQ ⊂平面AMP ，所以//CN 平面AMP . ……………9分 (Ⅲ) 解：假设直线1BC 与直线PA 能够垂直，又因为1BC AM ⊥，所以⊥1BC 平面APM ，所以1BC PM ⊥. ……………10分 设PB x =，x ∈.当1BC PM ⊥时，11BPM BC B ∠=∠，所以Rt PBM △∽11Rt B C B △，所以111C B PB MB BB =. ……………12分因为111MB C B BB ===，解得3x =. ……………13分 因此直线1BC 与直线PA 不可能垂直. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线22y x =的准线方程为12x =-. ……………2分 所以，点M 到抛物线准线的距离为131()22--=. ……………4分（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1),2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(22)0k x k x k -++=， ……………5分 所以212222k x x k++=，121x x =. ……………6分 ①,N R 在直线AB 异侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AB NR 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，22223R k x k +=+，222R k x k-=. 12122(2)R y y y k x x k=+=+-=. ……………8分将(,)R R x y 代入抛物线方程，得22R R y x =，即222422k k k -=⨯，解得0k =，不符合题意. ……………10分 ②若,N R 在直线AB 同侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AR BN 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，213R x x x =-+，21R y y y =-. ……………12分 代入抛物线方程，得22121()2(3)y y x x -=-+，又2112y x =，2222y x =，所以2222121()2(3)22y y y y -=-+，注意到212y y =-=-，解得211y =，11y =±. ……………13分当11y =时，112x =，2k =-；当11y =-时，112x =，2k =.所以2k =±. ……………14分。
2016-2017学年广东省高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
2016-2017学年广东省高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：“200x x x ∀>+≥，”的否定形式是（ ） A ．200x x x ∀≤+>， B ．200x x x ∀>+≤， C ．200000x x x ∃>+<， D ．200000x x x ∃≤+>，2.抛物线24x y =的焦点坐标是（ ） A ．1(0,)16 B ．1(,0)16C ．(0,1)D ．(1,0) 3.将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为（ ） A ． 12 B ．13 C ．14 D ．154.设x R ∈，则“13x <<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选择简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为a b c 、、，则（ ） A. a b c =< B.b c a =< C.a c b =< D.a b c ==6.执行如图所示的程序框图，则输出结果s 的值为（ ）A ．12- B ．-1 C. 12D ．0 7.若过点(1,3)P 的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．2[,]23ππB ．[,]63ππ C. [,]32ππ D ．[,]62ππ8.某产品的广告费用（万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程y bxa =+ ，其中 0a =.据此模型预报x .当广告费用为7万元时的销售额为（ ） x4 2 35 y38203151A ．60B ．70 C. 73 D ．699.曲线2()3x f x x x e =+-在点(0,(0))f 处的切线的方程为（ ） A ．1y x =- B ．1y x =+ C. 21y x =- D ．21y x =+10.设12,F F 为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上一点，12MF MF ⊥，且2||||MF MO =（其中点O 为椭圆的中心），则该椭圆的离心率为（ ） A ．31- B ．23- C.22 D ．3211.在单位正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，则点1C 到平面1A DM 的距离为（ ）A ．63 B ．66 C.22D ．1212.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 的右支上的点，射线PQ 平分12F PF ∠交x 轴于点Q ，过原点O 作PQ 的平行线交1PF 于点M ，若121||||4MP F F =，则C 的离心率为（ ）A ．32B ．3 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数32()2365f x x x x =++-，则'(0)f = ．14.若五个数1,2,3,4，a 的平均数为4，则这五个数的标准差为 ．15.设实数,a b 均为区间(0,1)内的随机数，则关于x 的不等式2210a x bx ++<有实数解的概率为 ．16.设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(3,1)，则2||||PM PF +的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分），得袋中有大小、形状完全相同的红球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，得到红球或绿球的概率是23.到红球或黄球的概率是512（1）从中任取一球，求分别得到红球、黄球、绿球的概率；（2）从中任取一球，求得到不是“红球”的概率.18. （本小题满分12分）设命题2++++≥，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取q x a x a a:(2)1:(21)(1)0p x-≤，命题2值范围.19. （本小题满分12分）从某高一年级1000名学生中随机抽取100名测量身高，测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之间，将测量结果分为八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190,195)，得到频率分布直方图如图所示：（1）计算第三组的样本数；并估计该校高一年级1000名学生中身高在170厘米以下的人数；（2）估计被随机抽取的这100名学生身高的中位数，平均数.20. （本小题满分12分）已知圆22:(1)9C x y +-=，直线:20l x my m -+-=，且直线l 与圆C 相交于A B 、两点. （1）若||42AB =，求直线l 的倾斜角；（2）若点(2,1)P 满足AP PB =，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()x f x e ax =-，（e 为自然对数的底数）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分12分）已知点(2,0),(2,0)A B -，P 是平面内的一个动点，直线PA 与PB 的斜率之积是12-.（1）求曲线C 的方程；（2）直线(1)y k x =-与曲线C 交于不同的两点M N 、.当AMN ∆的面积为1225时，求k 的值.2016-2017学年广东省高二上学期期末考试数学（文）试题答案（时间120分钟，满分150分）一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C A C D B D B C A A C二、填空题：13. 6 14. 15. 16. 9三、解答题：17.(本题满分10分)解：（I）从个球中任取一个，记事件“得到红球”，事件“得到黄球”，事件“得到绿球”，则事件、、两两互斥，由题意有：即．．．．．．．．3分解之，得，，，故得到红球、黄球、绿球的概率分别为、、．．．．．．．．．．．．．．6分（II）事件“不是红球”可表示为事件“”，由（1）及互斥事件概率加法公式得：，．．．．．．．．．．．．．．．．9分故得到的不是“红球”的概率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：互斥事件的概率公式及概率的关系．18.(本题满分12分)解：设,,易知,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由是的充分不必要条件知A B ，∴或．．．．．．．．．．．9分故所求实数的取值范围是或.．．．．．．．．．．．．．．．12分19.(本题满分12分)解：（Ⅰ）由第三组的频率为，则其样本数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由，则高一年级1000名学生身高低于170厘米的人数约为（人）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）前四组的频率为，，则中位数在第四组中，由, 得，所以中位数为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分经计算得各组频数分别为平均数约为：．．．．．．．．12分20.(本题满分12分) 解：（Ⅰ）因为圆心到直线的距离，圆的半径为，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以直线的斜率为，直线的倾斜角为.．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）联立方程组消去并整理，得 ..．．．．．．．．．8分所以，. ①设，，由知点P为线段AB的中点.所以，解得,..．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以所求直线方程为..．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.(本题满分12分)解：（Ⅰ）（1）当时，在R上单调递增；．．．．．．．．．．．2分（2）当时，令得，令得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分综上知（1）当时，在R上单调递增；（2）当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值，由题意，只需，解得；．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当时，在R上单调递增，而当时，满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当时，对于给定的，若，则，而，故必存在使得，不合题意.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上知，满足条件的实数的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.(本题满分12分)解：（I）设点P(x,y)为曲线上的任意一点，则，，由题意，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以，化简得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（II）由，得，设点，则，，,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以，又因为点到直线的距离为，．．．．．．．．．．．．9分所以的面积为，由．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分解得.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
广东省湛江市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)(word版含答案)
2016-2017学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．1．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2+x≤0 B．∀x≤0，x2+x＞0C．∃x0＞0，x02+x0≤0 D．∃x0≤0，x02+x0＞02．已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长是（）A．20 B．16 C．8 D．64．已知定点F1（﹣2，0）与F2（2，0），动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．y=0（|x|≥2）D．y=0（x≥2）5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．6．抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y7．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件8．设S n是等差数列{a n}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，设S12=λS8，则λ=（）A．B．C．2 D．39．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）﹣ac=2b2，则sinB=（）A．B．C．D．10．方程表示的曲线是（）A．一条直线和一个圆B．一条直线和半个圆C．两条射线和一个圆D．一条线段和半个圆11．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，∞）D．（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）12．已知点M是抛物线x2=4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x ﹣1）2+（y﹣4）2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是．14．函数f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是．15．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长是．16．已知点P是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且=0，若PF2的中点N在第一象限，且N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•cosA+a•cosC=2b•cosA．（Ⅰ）求cosA；（Ⅱ）若，b+c=4，求△ABC的面积．=3a n+2．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1（Ⅰ）证明：{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n=，求S n．19．（12分）如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（Ⅰ）证明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为F（，0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OA⊥OB，求l的方程．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足=，设动点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．2016-2017学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．1．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2+x≤0 B．∀x≤0，x2+x＞0C．∃x0＞0，x02+x0≤0 D．∃x0≤0，x02+x0＞0【考点】命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x＞0“的否定是：∃x0＞0，x02+x0≤0，故选：C【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2．已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【考点】正弦定理．【分析】根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B．【解答】解：由题意得，△ABC中，a=1，，A=30°，由得，sinB===，又b＞a，0°＜B＜180°，则B=60°或B=120°，故选：D．【点评】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．3．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长是（）A．20 B．16 C．8 D．6【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义及其标准方程即可得出．【解答】解：∵椭圆，可得a=4．过右焦点F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知定点F1（﹣2，0）与F2（2，0），动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．y=0（|x|≥2）D．y=0（x≥2）【考点】轨迹方程．【分析】设出M的坐标，利用两点间的距离公式和题设等式建立方程，平方后化简整理求得y=0，同时|MF1|＞|MF2|，可推断出动点M的轨迹，是一条射线，起点是（2，0），方向同x轴正方向．【解答】解：假设M（x，y），根据|MF1|﹣|MF2|=2，可以得到：﹣=2，两边平方，化简可以得到y=0，又因为|F1F2|=2，且|MF1|＞|MF2|，所以：动点M的轨迹，是一条射线，起点是（2，0），方向同x轴正方向．故选D【点评】本题主要考查了轨迹方程．考查了学生分析问题和解决问题的能力．5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．∴k=，故选D．【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．6．抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据准线方程，可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为x2=﹣2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，设抛物线标准方程为：x2=﹣2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=，∴=，∴p=1，∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y．故选B．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．7．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．8．设S n是等差数列{a n}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，设S12=λS8，则λ=（）A．B．C．2 D．3【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，由此能求出λ的值．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，S12=λS8，∴由等差数列的性质得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，∴2（S8﹣S4）=S4+（S12﹣S8），∴2（3S4﹣S4）=S4+（λ•3S4﹣3S4），解得λ=2．故选：C．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）﹣ac=2b2，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理，结合条件，两边除以ac，求出cosB，即可求出sinB的值．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2accosB=ac，即cosB=，∴sinB==，故选：C．【点评】此题考查了余弦定理，考查学生的计算能力，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．方程表示的曲线是（）A．一条直线和一个圆B．一条直线和半个圆C．两条射线和一个圆D．一条线段和半个圆【考点】曲线与方程．【分析】将方程等价变形，即可得出结论．【解答】解：由题意方程可化为=0或x+y﹣2=0（x2+y2﹣9≥0）∴方程表示的曲线是两条射线和一个圆．故选：C．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．11．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，∞）D．（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】方程表示焦点在x轴上的椭圆，可得m2＞m+2＞0，解出即可得出．【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴m2＞m+2＞0，解得m＞2或﹣2＜m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知点M是抛物线x2=4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x ﹣1）2+（y﹣4）2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：MP=MF当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x轴CM所在的直线方程为：x=1与x2=4y建立方程组解得：M（1，）|CM|=4﹣，点M到圆C的最小距离为：|CM|﹣|AC|=3抛物线的准线方程：y=﹣1则|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4．故选B．【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是120°．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．【分析】先分别求出与的坐标，再根据空间两向量夹角的坐标公式求出它们的夹角的余弦值，从而求出与的夹角θ．【解答】解：=（﹣2，﹣1，3），=（﹣1，3，﹣2），cos＜，＞===﹣，∴θ=＜，＞=120°．故答案为120°【点评】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角、距离，考查空间想象能力，属于基础题．14．函数f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是﹣5．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，则f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]，由基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，则f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]≤1﹣2=1﹣6=﹣5，当且仅当lgx=﹣3即x=10﹣3，取得等号，即有f（x）的最大值为﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．15．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长是．【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据=++，求模长即可．【解答】解：∵=++，∴||2=12+12+12+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°+2×1×1cos90°=5，∴||=，即A1C的长是．故答案为：．【点评】本题考查了线段长度的求法，解题时应利用空间向量的知识求模长，是基础题目．16．已知点P是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且=0，若PF2的中点N在第一象限，且N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得n﹣m=2a，再由向量垂直的条件，结合勾股定理和直角三角形的正切函数定义，可得m，n的方程，解方程可得m，n，再代入勾股定理，可得a，b，c的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得n﹣m=2a，①设F1（﹣c，0），F2（c，0），由=0，可得三角形F1PF2是以P为直角顶点的三角形，即有m2+n2=4c2，②直线ON的方程为y=x，由题意可得在直角三角形ONF2中，|ON|=m，|NF2|=n，即有=，③由①③可得m=，n=，代入②可得+=4c2，由c2=a2+b2，可化为a2=（b﹣a）2，可得b=2a，c==a，则e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义和性质的运用，注意运用中位线定理和勾股定理，以及定义法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016秋•湛江期末）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•cosA+a•cosC=2b•cosA．（Ⅰ）求cosA；（Ⅱ）若，b+c=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、和差公式与诱导公式即可得出．（Ⅱ）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：c=2rsinC，a=2rsinA，b=2rsinB（其中r为外接圆半径）．…（1分）代入c•cosA+a•cosC=2b•cosA得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA即：sin（A+C）=2sinBcosA⇒sin（π﹣B）=2sinBcosA．…（3分）∴sinB=2sinBcosA，…（4分）∵B∈（0，π）∴sinB≠0．∴．…（Ⅱ）由余弦定理，即（b+c）2﹣3bc=7…（7分）上式代入b+c=4得bc=3．…（8分）∴．所以△ABC的面积是．…（10分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其诱导公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•湛江期末）已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=3a n+2．（Ⅰ）证明：{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n=，求S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由a n+1=3a n+2，变形为a n+1+1=3（a n+1），利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．（Ⅱ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：由a n+1=3a n+2⇒a n+1+1=3（a n+1）．…（1分）∵a1=2，∴a1+1=3≠0且a n+1≠0．…（2分）∴．…（3分）所以{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列．…（4分），得．即{a n}的通项公式是．…（6分）（Ⅱ）解：=…（9分）=．…（11分）∴．…（12分）【点评】本题考查了“裂项求和方法”、等比数列的通项公式的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•湛江期末）如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（Ⅰ）证明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1N∥平面AMD1．（Ⅱ）求出平面ADD1的一个法向量和平面AMD1的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立如图直角坐标系．…（1分）则A1（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2）．．…（2分）设平面AMD1的法向量是．则．…（3分）取x=1，得．…（4分）所以，即．…又A1N⊄平面AMD1．∴A1N∥平面AMD1．…（6分）解：（Ⅱ）平面ADD1的一个法向量为，…（8分）平面AMD1的法向量是．由（Ⅰ）得．…（11分）由图形得二面角M﹣AD1﹣D的平面角是锐角，所以二面角M﹣AD1﹣D的余弦值是．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016秋•湛江期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为F（，0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OA⊥OB，求l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线的几何性质求p的值；（Ⅱ）设直线的方程为y=2x+t，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的几何性质知．…（3分）（Ⅱ）设直线的方程为y=2x+t．…（4分）由得4x2+（4t﹣2）x+t2=0，由题（4t﹣2）2﹣4•4t2＞0．解得．…设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（6分）∵．…（8分）∴，解得t=0或﹣4，4．…（9分）由题意直线l不过原点且得t=﹣4符合题意．…（11分）所以所求直线方程为y=2x﹣4．…（12分）【点评】本题主要考查抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．属于综合题．21．（12分）（2014•长葛市三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而得到BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，从而得到∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵CD2=BC2+BD2．∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD．∴PD⊥BC．又∵PD∩BD=D．∴BC⊥平面PBD．而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=．而，所以．∵底面ABCD为平行四边形，∴DA⊥DB，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），，，，所以，，，，设平面PBC的法向量为，则即令b=1则，∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22．（12分）（2016秋•湛江期末）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足=，设动点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）A（x0，y0），先求出圆C1的方程，再根据动点N满足=，得到关于x0，y0的方程组，解得即可．（Ⅱ）设直线l与椭圆交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程组求出x1，x2，再根据点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式解得即可．【解答】解：（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x0，y0），因为AM⊥x轴于M，所以M（x0，0），设圆C1的方程为x2+y2=r2．…（1分）由题意得．…（2分）所以圆C1的程为x2+y2=9．…（3分）由题意，=（0，y0），=（x﹣x0，y）），=．…（4分）所以…将A（x0，y0），代入圆x2+y2=9，得动点N的轨迹方程为．…（6分）（Ⅱ）由题意可设直线l：2x+y+m=0，设直线l与椭圆交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程．得13x2+12mx+3m2﹣9=0．…（7分）△=144m2﹣13×4（3m2﹣9）＞0，解得m2＜39．…（8分）．…（9分）又因为点O到直线l的距离，，…（10分）．（当且仅当m2=39﹣m2即时取到最大值）∴△OBD面积的最大值为．…（12分）【点评】本题考查了向量，圆的方程，椭圆的方程，点到直线的距离，基本不等式，是一道综合题，需要认真仔细．。
广东省珠海市普通高中2017_2018学年高二数学上学期期末模拟试题02Word版含答案
A． (2 ，0)
B． ( 2 ，0)
C． (0 ，2)
D． (0 ， 2)
4．已知直线经过点 A(0 ，4) 和点 B(1，2) ，则直线 AB 的斜率为（
）
A． 2
B． 2
C． 1 2
5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
是
1
A．
2
B． 3 2
C． 2 2
D． 6
6．双曲线 x 2 4
③ a1 b1 a2 b2
④ a1 a2 b1 b2
A．②③④
B.
①③④
C
．①②④
D.
①②③
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．把答案填在题中横线上．
13．如果复数 z 2 i ，则 z =________ ， z i 3 =________.
14．命题“ a ，b R ，如果 a b ，则 a 3 b3 ”的逆命题是 ____________________ ．
15．椭圆 x2 9
y2 2
1 的焦点为 F1 ，F2 ，点 P 在椭圆上，若 | PF1 | 4 ，则 | PF2 | _________ ；
F1PF2 的小大为 __________．
16．如图， 正方体 ABCD - A1B1C 1D1 中， E ， F 分别为棱 DD1， AB 上的点． 已知下列判断：
其中正确的命题是
A．①③
B．②④
C．③
D．①②④
x2 12．若椭圆 C1 ： a1 2
y2 b1 2
1（ a1
b1
0 ）和椭圆
x2 C2 ： a2 2
y2 b2 2
1（ a2
2016-2017学年广东省珠海市高一上学期期末考试B数学试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年广东省珠海市高一上学期期末考试B 数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：75分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数. 若，且，则图像必定经过点 (a ,2b )的函数为( ) A ．B ．y 2xC ．D ．2、设函数,分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且，则( )A ．1B ．2C ．3D ．43、关于x 的函数y =a x ，y =log a x ，其中a >0 ，a 1 ，在第一象限内的图像只可能是( )A． B． C．Array D．4、如图,四棱锥P -ABCD中,所有棱长均为2 ，O是底面正方形ABCD中心，E 为PC 中点，则直线OE 与直线PD 所成角为( )A． B． C． D．5、函数的零点所在的大致区间是( )A． B．C． D．6、空间二直线a ，b 和二平面，，下列一定成立的命题是( )A．若则B．若则C．若则D．若则7、指数函数y = a x(a> 0 ，a1) 的反函数图像过点(9，2) ，则a= ( )A．3 B．2 C．9 D．48、直线被圆截得的弦长为，则 ( )A ．B ．C ．D ．9、，，，则，，的大小关系是A ．c>b>aB ．b>c>aC ．c>a>bD ．a>b>c10、函数的定义域是( )A ．B ．C ．D ．11、已知集合,则等于 ( )A ．1 或 3B ．3 或 5C ．1 或 5D ．1 或 3 或512、直线，直线，若，则实数（ ）A ．B ．C ．或 D ．不存在第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、设是定义在 R 上的偶函数，且，当时，，则_____.14、ABC 是边长为6的等边三角形，P 为空间一点，，P 到平面ABC距离为，则PA 与平面ABC 所成角的正弦值为______.15、则的解集是_______.16、正方体的棱长是2，则其外接球的体积是________.17、函数 是幂函数,且在上是增函数,则实数m 的值为______.18、圆C :关于直线对称的圆的标准方程为_____.19、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为 1 的四分之一个圆弧，则该几何体的表面积为_______.20、的圆心坐标是_______,半径是_________.三、解答题（题型注释）21、定义域为的奇函数，是指数函数，且．(1)求函数的解析式；(2)求不等式的解集．22、如图，正方体的棱长为,分别为的中点． (1)求证：；(2)求二面角的正切值．23、已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．24、一直线过直线和直线的交点，且与直线垂直．(1)求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求．25、求值:.参考答案1、A2、B3、B4、B5、C6、D7、A8、D9、A10、D11、B12、C13、14、15、16、17、18、19、20、21、(1) (2)22、(1) 详见解析，(2)23、(1) (2)24、(1) , (2)625、4【解析】1、由题意得，所以，因此选A.2、由题意得，所以，选B.点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.3、当时,两个函数皆为增函数, 当时,两个函数皆为减函数,所以不选 ,又两个函数分别恒过点 ,所以不选D,选B.点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.4、因为 ,所以直线OE 与直线PD 所成角为直线与直线PD 所成角,即为,选B.5、因为 ,在定义域上单调递增,所以由零点存在定理得函数的零点所在的大致区间是,选C.6、选项中,可能在平面内; 选项中,可能在平面内; 选项中,可能与平行; 选项中,由而 ,所以选D.7、由题意得原函数过点 ,所以 ,选A.8、圆心到直线的距离等于 ,所以 ,选D.点睛：（1）涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线的距离的平方与弦长一半平方的和；（2）直线与圆的位置关系，一般利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断.9、由题意得 ,选A10、由题意得 ,选D.11、由题意得 ,选B.点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.12、由题意得 ,选C.13、由题意得，所以14、因为，所以在底面上射影为正三角形的中心，即,从而与平面所成角为 ,因为,所以所求角的正弦值为15、由题意得，所以解集是16、由题意得外接球的直径等于正方体对角线长，所以外接球的体积是点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．17、由题意得18、因为关于直线对称的，因此所求圆方程为19、几何体为一个柱，底面积为一个边长为1的正方形减去半径为1 的四分之一个圆，侧面展开图为一个矩形，长为1，宽为，所以表面积为点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．20、因为，所以圆心坐标是，半径是点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于的方程组，进而求出的值．21、试题分析（1）先根据指数函数形式，利用待定系数法求的解析式，再根据定义域为的奇函数性质得，进而解出（2）先根据单调性定义研究函数单调性，再利用单调性化简不等式得，从而可解得不等式解集.试题解析：解：(1) 因为是指数函数令因为因为是定义域为的奇函数(2) 因为设, 则则是上的减函数等价于，即不等式的解集是．点睛：函数单调性的常见的命题角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内；（4）求参数的取值范围或值.22、试题分析（1）两直线分别在两个相互平行的平面内，所以先通过平行四边形将它们移到同一平面，再根据平几知识证明垂直关系，（2）求二面角的大小，关键是作出二面角的平面角，而要作出二面角的平面角，需利用线面垂直关系：由于侧棱垂直底面，所以过作，再根据三垂线定理得,进而得到二面角的平面角，最后在直角三角形中求出这个角的正切值.试题解析：(1)证明：连接在正方体中，因为分别为的中点又因为,．(2)解：过作于,连接因为在正方体中, 底面因为平面是二面角的平面角因为正方体的棱长为，为的中点，中,中,二面角的正切值为．23、试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域.试题解析：解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为.24、试题分析（1）先根据两直线方程联立方程组，解方程组得交点坐标，再根据两直线垂直关系得所求直线斜率，最后根据点斜式写出直线方程，（2）由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，列方程，解出的值试题解析：解：(1)由解得又直线与直线垂直，故的斜率为所以即直线的方程为(2) 由题设知,半径因为直线与圆相切，且到直线的距离为得或(舍).25、解:原式。
广东省珠海市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷(b
2016-2017学年广东省珠海市高一（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）1．已知集合A={1，3，5}，B={1，m}，A∩B={1，m}，则m等于（）A．1 或3 B．3 或5 C．1 或5 D．1 或3 或52．函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，4）B．（2，4） C．（0，2）∪（2，4）D．（﹣∞，2）∪（2，4）3．直线l1：（a﹣1）x+y+3=0，直线l2：2x+ay+1=0，若l1∥l2，则a=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1，2 D．不存在4．a=log20.7，b=（），c=（）﹣3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c5．直线l：x+y+a=0与圆C：x2+y2=3截得的弦长为，则a=（）A．B．C．±3 D．6．指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的反函数图象过点（9，2），则a=（）A．3 B．2 C．9 D．47．空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A．若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB．若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC．若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥b D．若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b8．函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E 为PC中点，则直线OE与直线PD所成角为（）A．30°B．60°C．45°D．90°10．关于x 的函数y=a x，y=log a x，其中a＞0，a≠1，在第一象限内的图象只可能是（）A．B．C． D．11．设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g （x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y= B．y=2x C．y=2x D．y=x2二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共40分）13．x2+y2﹣2x+4y=0的圆心坐标是，半径是．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的表面积为．15．圆C：（x﹣1）2+y 2=1 关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为．16．函数f（x）=（m2﹣1）x m是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为．17．正方体的棱长是2，则其外接球的体积是．18．，则的解集是．19．ABC 是边长为6的等边三角形，P 为空间一点，PA=PB=PC，P到平面ABC距离为，则PA与平面ABC 所成角的正弦值为．20．设y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1﹣x），当0≤x≤1时，f（x）=2﹣x，则f（3）=．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．求值：．22．一直线l 过直线l1：2x﹣y=1 和直线l2：x+2y=3 的交点P，且与直线l3：x﹣y+1=0 垂直．（1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C：（x﹣a）2+y 2=8 （a＞0）相切，求a．23．已知x满足．（1）求x 的取值范围；（2）求函数的值域．24．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G 分别为AB、BB1、B1C1的中点．（1）求证：A1D⊥FG；（2）求二面角A1﹣DE﹣A 的正切值．25．定义域为R的奇函数f（x）=，其中h（x）是指数函数，且h（2）=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求不等式f（2x﹣1）＞f（x+1）的解集．2016-2017学年广东省珠海市高一（上）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）1．已知集合A={1，3，5}，B={1，m}，A∩B={1，m}，则m等于（）A．1 或3 B．3 或5 C．1 或5 D．1 或3 或5【考点】交集及其运算．【分析】由已知条件，利用交集性质能求出m的值．【解答】解：∵集合A={1，3，5}，B={1，m}，A∩B={1，m}，∴由交集性质得m=3或m=5．故选：B．2．函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，4）B．（2，4） C．（0，2）∪（2，4）D．（﹣∞，2）∪（2，4）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x＜4且x≠2．∴函数f（x）=的定义域是（﹣∞，2）∪（2，4）．故选：D．3．直线l1：（a﹣1）x+y+3=0，直线l2：2x+ay+1=0，若l1∥l2，则a=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1，2 D．不存在【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由l1∥l2，可得，解得a．【解答】解：∵l1∥l2，∴，解得a=﹣1，2．故选：C．4．a=log20.7，b=（），c=（）﹣3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：a=log20.7＜0，0＜b=（）＜1，c=（）﹣3＞1，故c＞b＞a，故选：A5．直线l：x+y+a=0与圆C：x2+y2=3截得的弦长为，则a=（）A．B．C．±3 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据弦长和圆半径，求出弦心距，结合点到直线距离公式，构造关于a 的方程，解得答案．【解答】解：∵直线l：x+y+a=0与圆C：x2+y2=3截得的弦长为，∴圆心（0，0）到直线x+y+a=0的距离为：=，即=，解得：a=，故选：D6．指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的反函数图象过点（9，2），则a=（）A．3 B．2 C．9 D．4【考点】反函数．【分析】根据反函数与原函数的定义域和值域的关系求解即可．【解答】解：指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的反函数图象过点（9，2），根据反函数的值域是原函数的定义域，可知：指数函数图象过点（2，9），可得，9=a2，解得：a=3故选：A．7．空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A．若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB．若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC．若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥b D．若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，B，若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b、β的位置关系不确定；对于C，若α⊥β，a∥α，b∥β，则a、b的位置关系不确定；对于D，若α∥β，a⊥α，则a⊥β，∵b⊂β，∴a⊥b，正确．故选D．8．函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的单调性以及函数的连续性，利用零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数是单调增函数，也连续函数，因为f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，可得f（2）f（3）＜0，所以函数的零点所在区间为（2，3）．故选：C．9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E 为PC中点，则直线OE与直线PD所成角为（）A．30°B．60°C．45°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】可连接BD，AC，OP，由已知条件便知这三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设棱长为2，从而可求出图形中一些点的坐标，据向量夹角的余弦公式便可求出【解答】解：根据条件知，P点在底面ABCD的射影为O，连接AC，BD，PO，则OB，OC，OP三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：设棱长为2，则：O（0，0，0），C（0，，0），PP（0，0，），E（0，，A（0，﹣，0），B（，0，0），D（﹣，0，0）∴，，∴∴OE与PD所成角为60°．故选：B．10．关于x 的函数y=a x，y=log a x，其中a＞0，a≠1，在第一象限内的图象只可能是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】利用赋值法，分析判断函数的图象即可．【解答】解：令a=2，则函数y=a x，y=log a x，化为：函数y=2x，y=log2x，三个函数的图象没有满足的图象；当a=时，函数y=a x，y=log a x，化为函数y=（）x，y=log x，分别为减函数、减函数，只有图象B满足题意．故选：B．11．设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g （x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件即可得到，从而可解出函数f（x）的解析式，从而便可求出f（1）的值．【解答】解：根据条件，f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x）；∴由f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1①得，f（﹣x）﹣g（﹣x）=x2+x+1=f（x）+g（x）；即f（x）+g（x）=x2+x+1②；①+②得，2f（x）=2（x2+1）；∴f（x）=x2+1；∴f（1）=2．故选：B．12．已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y= B．y=2x C．y=2x D．y=x2【考点】函数的图象．【分析】画出函数f（x）=|log2x|的图象，可得b＜1＜a，且log2b=﹣log2a，结合对数的运算性质和反比例函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：函数f（x）=|log2x|的图象如下图所示：若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则b＜1＜a，且log2b=﹣log2a，即ab=1，故图象必定经过点（a，2b）的函数为y=，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共40分）13．x2+y2﹣2x+4y=0的圆心坐标是（1，﹣2），半径是．【考点】圆的一般方程．【分析】由方程x2+y2﹣2x+4y=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=5，即可得到圆心的坐标、半径．【解答】解：由方程x2+y2﹣2x+4y=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心坐标为（1，﹣2），半径为．故答案为：（1，﹣2），．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的表面积为4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积为：1×1﹣=1﹣，底面周长为：1+1+，柱体的高为1，故该几何体的表面积S=2×（1﹣）+（1+1+）×1=4，故答案为：4．15．圆C：（x﹣1）2+y 2=1 关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为（x+1）2+y2=1．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆C：（x﹣1）2+y 2=1的圆心为原点（1，0），半径为1，可得对称的圆半径为1，圆心为（﹣1，0），由此结合圆的标准方程即可得到所求圆的方程．【解答】解：∵圆C：（x﹣1）2+y 2=1的圆心为原点（1，0），半径为1，∴已知圆关于直线l：x=0对称的圆半径为1，圆心为（﹣1，0），因此，所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=1．故答案为：（x+1）2+y2=1．16．函数f（x）=（m2﹣1）x m是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】只有y=xα型的函数才是幂函数，当m2﹣1=1函数f（x）=（m2﹣1）x m 才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣1）x m在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0．【解答】解：∵函数f（x）=（m2﹣1）x m是幂函数，∴m2﹣1=1，解得：m=±，m=时，f（x）=在（0，+∞）上是增函数，m=﹣时，f（x）=在（0，+∞）上是减函数，则实数m=，故答案为：．17．正方体的棱长是2，则其外接球的体积是．【考点】球的体积和表面积．【分析】正方体的外接球的直径是正方体的体对角线，由此能求出正方体的外接球的体积．【解答】解：正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：=2，所以球的半径为：，∴正方体的外接球的体积V=π（）3=，故答案为．18．，则的解集是（﹣1，1]∪（3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据指数函数的图象和性质，分析偶函数f（x）的单调性，结合f（x ﹣1）＜f（2），可得|x﹣1|＜2，解得答案．【解答】解：当x≤1时，f（x）=2x为增函数，，可得：2x，可得1≥x＞﹣1；故当x＞1时，f（x）=log9x，，可得：log9x，可得x＞3；解得：x∈（3，+∞），故答案为：（﹣1，1]∪（3，+∞）．19．ABC 是边长为6的等边三角形，P 为空间一点，PA=PB=PC，P到平面ABC距离为，则PA与平面ABC 所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】画出图形，过P作底面ABC 的垂线，垂足为O，连接AO并延长交BC 于E，说明∠PAO为所求，然后再通过求三角形PAO的边长即可求出答案．【解答】解：过P作底面ABC 的垂线，垂足为O，连接AO并延长交BC于E，因为P为边长为6的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC，P到平面ABC距离为，所以O是三角形ABC 的中心，且∠PAO就是PA与平面ABC所成的角，∵AO=AE==2．且PCA==，∴sin∠PAO===；即PC与平面ABC所成的角正弦函数值为．故答案为：20．设y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1﹣x），当0≤x≤1时，f（x）=2﹣x，则f（3）=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的关系式，求出函数的周期，然后转化f（3），利用已知函数的表达式的自变量的范围中的值，然后求出函数值．【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（1+x）=f（1﹣x），所以f （x+2）=f（﹣x）=f（x），所以函数的周期为2，所以f（3）=f（1），因为0≤x≤1时，f（x）=2﹣x，所以f（3）=，故答案为．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．求值：．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算法则计算即可【解答】解：原式===2+2=422．一直线l 过直线l1：2x﹣y=1 和直线l2：x+2y=3 的交点P，且与直线l3：x﹣y+1=0 垂直．（1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C：（x﹣a）2+y 2=8 （a＞0）相切，求a．【考点】圆的切线方程．【分析】（1）由解得P的坐标，再求出直线斜率，即可求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C：（x﹣a）2+y 2=8 （a＞0）相切，a＞0且C到直线l的距离为，由此即可求a．【解答】解：（1）由解得P（1，1）…又直线l与直线l3：x﹣y+1=0垂直，故l的斜率为﹣1所以l：y﹣1=﹣（x﹣1）…即直线l的方程为x+y﹣2=0 (4)（2）由题设知C（a，0），半径…因为直线l与圆C：（x﹣a）2+y2=8相切，∴a＞0且C到直线l的距离为…∴得a=6或a=﹣2（舍）…∴a=6．…23．已知x满足．（1）求x 的取值范围；（2）求函数的值域．【考点】指、对数不等式的解法；函数的值域．【分析】（1）直接由指数函数的单调性，求得x的取值范围；（2）由（1）中求得的x的范围，得到log2x的范围，令t=log2x换元，再由二次函数的图象和性质求得函数的值域．【解答】解：（1）∵，∴，由于指数函数y=3x在R上单调递增，∴；（2）由（1）得，∴﹣1≤log2x≤1，令t=log2x，则y=（t﹣1）（t+3）=t2+2t﹣3，其中t∈[﹣1，1]，∵函数y=t2+2t﹣3开口向上且对称轴为t=﹣1，∴函数y=t2+2t﹣3在t∈[﹣1，1]上单调递增，∴y的最大值为f（1）=0，最小值为f（﹣1）=﹣4．∴函数y=（log2x﹣1）（log2x+3）的值域为[﹣4，0]．24．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G 分别为AB、BB1、B1C1的中点．（1）求证：A1D⊥FG；（2）求二面角A1﹣DE﹣A 的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）连接B1C、BC1，则FG∥BC1，再由A1D∥B1C，B1C⊥BC1，能证明A1D⊥FG．（2）过A作AH⊥ED于H，连接A1H，推导出∠AHA1是二面角A﹣DE﹣A1的平面角，由此能求出二面角A1﹣DE﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连接B1C、BC1…在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，为F、G分别为BB1、B1C1的中点，∴FG∥BC1…又∵A1D∥B1C，B1C⊥BC1∴A1D⊥FG．…解：（2）过A作AH⊥ED于H，连接A1H…∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥ED∵AH⊥ED∴ED⊥平面A1AH…∴ED⊥A1H，∴∠AHA1是二面角A﹣DE﹣A1的平面角…∵正方体的棱长为2，E为AB的中点，∴AE=1，AD=2，∴R t△EAD中，，∴R t△A1AH中，…∴二面角A1﹣DE﹣A的正切值为．…25．定义域为R的奇函数f（x）=，其中h（x）是指数函数，且h（2）=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求不等式f（2x﹣1）＞f（x+1）的解集．【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据h（2）=4求得指数函数h（x）的解析式，再根据f（0）=0，求得b的值，可得f（x）的解析式．（2）根据f（x）在R上单调递减，可得2x﹣1＜x+1，求得x的范围．【解答】解：（1）由于h（x）是指数函数，可设h（x）=a x，a＞0，a≠1，∵h（2）=a2=4，∴a=2，∴函数f（x）==．∵函数f（x）=是定义域为R的奇函数，故有f（0）==0，∴b=1，∴f（x）=．（2）∵f（x）==﹣1，在R上单调递减，故由不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），可得2x﹣1＜x+1，求得x＜，即原不等式的解集为{x|x＜}．2017年2月24日。
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于 （A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为 (A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数 （3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成 （A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立 （C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有 （A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种 (5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X 服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为 (A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 (A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38 (12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(m o d 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省惠州市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)
2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0 2．（5分）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶3．（5分）“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n=（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．86．（5分）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．327．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．2 B．C．3 D．68．（5分）在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（）A．11 B．12 C．13 D．1410．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）=（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）12．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足，，则三棱锥P﹣AMD与三棱锥P﹣ABC的体积比为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上，则此抛物线的标准方程是．14．（5分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：则该产品的成本y 与产量x 之间的线性回归方程为 ．15．（5分）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，平面OAB 的一个法向量为=（2，﹣2，1），已知点P （﹣1，3，2），则点P 到平面OAB 的距离d 等于 ． 16．（5分）已知函数f （x ）=4|a |x ﹣2a +1．若命题：“∃x 0∈（0，1），使f （x 0）=0”是真命题，则实数a 的取值范围为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A={y |y=x 2﹣x +1，x ∈[，2]}，B={x |x +m 2≥1}，若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．19．（12分）从抛物线y2=32x 上各点向x 轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E ．（Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知直线l ：y=k （x ﹣2）（k ＞0）与轨迹E 交于A ，B 两点，且点F （2，0），若|AF |=2|BF |，求弦AB 的长．20．（12分）已知椭圆的两焦点为F 1（﹣1，0）、F 2（1，0），P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|． （1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．（1）求证：CE∥平面A1BD；（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．22．（12分）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．【解答】解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．故选C【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题．2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用互斥事件的概念求解．【解答】解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误；“两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误；“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误；“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确．故选：D．【点评】本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要熟练掌握互斥事件的概念．3．“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的方程进行判断即可．【解答】解：若方程+=1表示双曲线，则k（1﹣k）＜0，即k（k﹣1）＞0，解得k＞1或k＜0，即“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义和方程是解决本题的关键．4．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：∵袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，∴由题意知：，解得n=2．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【考点】椭圆的简单性质．【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．6．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．32【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．7．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．2 B．C．3 D．6【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得圆的圆心和半径r，双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到所求值．【解答】解：圆（x﹣3）2+y2=r2的圆心为（3，0），半径为r，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，由直线和圆相切的条件：d=r，可得r==2．故选：A．【点评】本题考查直线和圆相切的条件：d=r，同时考查双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．8．在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】函数f（x）=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．【解答】解：∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1若函数f（x）=x2+ax+b2无零点，则△=a2﹣4b2＜0，对应的区域为直线a﹣2b=0的上方，面积为1﹣=，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为．故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决本题的关键．9．程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行可得程序框图的功能，用裂项法可求S的值，进而解不等式可求k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…≥时k的值，由于：S=+++…=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=，所以：由≥，解得：k≥12，所以：当时，输出的k的值为12．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．10．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）=（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），由此能求出结果．【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，∴P（A）=，P（B）=，P（AB）=，P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．11．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）【考点】椭圆的应用．【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．12．在三棱锥P ﹣ABC 中，D 为底面ABC 的边AB 上一点，M 为底面ABC 内一点，且满足，，则三棱锥P ﹣AMD 与三棱锥P ﹣ABC 的体积比为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，结合向量等式可得AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM ，进一步得到△ADM 与△ABC 面积的关系得答案．【解答】解：如图，设三棱锥P ﹣ABC 的底面三角形ABC 的面积为S ，高为h ，∵，，∴AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM ，∴=．∴=．故选：D ．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查平面向量在求解立体几何问题中的应用，是中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上，则此抛物线的标准方程是y2=16x 或x2=﹣8y．【考点】抛物线的标准方程．【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．【解答】解：当焦点在x轴上时，根据y=0，x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为（4，0）∴抛物线的标准方程为y2=16x当焦点在y轴上时，根据x=0，x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为（0，﹣2）∴抛物线的标准方程为x2=﹣8y故答案为：y2=16x或x2=﹣8y【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．14．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为=1.10x+4.60．【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据先求出平均数，再由公式求出a，b的值，即可写出回归直线方程．【解答】解：由题意，计算=×（2+3+5+6）=4，=×（7+8+9+12）=9，b==1.10，且回归直线过样本中心点（，），∴a=9﹣1.10×4=4.60，故所求的回归直线方程为：=1.10x+4.60．故答案为：=1.10x+4.60．【点评】本题考查了利用公式求线性回归直线方程的应用问题，是基础题目．15．在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的一个法向量为=（2，﹣2，1），已知点P（﹣1，3，2），则点P到平面OAB的距离d等于2．【考点】点、线、面间的距离计算；空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间点到平面的距离公式求解即可．【解答】解：平面OAB的一个法向量为=（2，﹣2，1），已知点P（﹣1，3，2），则点P到平面OAB的距离d===2．故答案为：2．【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，公式的应用，是基础题．16．已知函数f（x）=4|a|x﹣2a+1．若命题：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为．【考点】特称命题；命题的真假判断与应用．【分析】由于f（x）是单调函数，在（0，1）上存在零点，应有f（0）f（1）＜0，解不等式求出数a的取值范围．【解答】解：由：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，得：f（0）•f（1）＜0⇒（1﹣2a）（4|a|﹣2a+1）＜0或⇒．故答案为：【点评】本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016秋•惠州期末）已知集合A={y |y=x 2﹣x +1，x ∈[，2]}，B={x |x +m 2≥1}，若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，求实数m 的取值范围．【考点】充分条件．【分析】先求二次函数在区间[，2]上的值域，从而解出集合A ，在解出集合B ，根据“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件即可得到关于m 的不等式，从而解不等式即得实数m 的取值范围．【解答】解：y=； 该函数在[]上单调递增，x=2时，y=2； ∴，B={x |x ≥1﹣m 2}；∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件；∴； 解得m ，或m ；∴实数m 的取值范围为． 【点评】考查二次函数在闭区间上的值域的求法，描述法表示集合，以及充分条件的概念，解一元二次不等式．18．（12分）（2016秋•惠州期末）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．【考点】频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率和为1列出方程即可求出a的值；（Ⅱ）利用表中数据计算数学成绩在[50，90）内的人数，再求在[50，90）之外的人数．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，10×（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005，所以图中a的值为0.005；（Ⅱ）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05×1=5（人）；数学成绩在[60，70）的人数为：100×0.4×=20（人）；数学成绩在[70，80）的人数为：100×0.3×=40（人）；数学成绩在[80，90）的人数为：100×0.2×=25（人）；所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10（人）．【点评】本题考查频率分布直方图的应用问题，也考查了识图、用图的能力，是基础题目．19．（12分）（2016秋•惠州期末）从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=k（x﹣2）（k＞0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长．【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）先设出垂线段的中点为M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；（Ⅱ）根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B 的中点横坐标，即可求出弦AB的长．【解答】解：（Ⅰ）设垂线段的中点M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，D（x0，0），因为M是PD的中点，所以x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，因为点P在抛物线上，所以y02=32x，即4y2=32x，所以y2=8x，所求点M轨迹方程为：y2=8x．（Ⅱ）抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为x=﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），∴x1=2x2+1∵|y1|=2|y2|，∴x1=4x2，∴x1=2，x2=，∴|AB|=x1+x2+p=+4=．【点评】本题主要考查求轨迹方程的方法，考查学生分析解决问题的能力，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键，属于中档题．20．（12分）（2016秋•惠州期末）已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用．【分析】（1）根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求△PF1F2的面积．【解答】解：（1）依题意得|F1F2|=2，又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=4=2a，∵c=1，∴b2=3．∴所求椭圆的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设P点坐标为（x，y），∵∠F2F1P=120°，∴PF1所在直线的方程为y=（x+1）•tan 120°，即y=﹣（x+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解方程组并注意到x＜0，y＞0，可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=|F1F2|•=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴S△PF1F2【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．21．（12分）（2013•广州一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．（1）求证：CE∥平面A1BD；（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角【分析】（1）通过补形，延长延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF，从而可证明CE∥BF，然后由线面平行的判定定理得证；（2）由已知找出C点在平面A1AB上的射影CE，CE为定值，要使直线CH与平面A1AB所成最大角的正切值为，则点H到E点的距离应最小，由此得到H 的位置，进一步求出EH的长度，则在直角三角EHB中可得到BH的长度，利用已知条件证出BF⊥平面A1AB，从而得到∠EBH为平面A1BD与平面ABC所成的二面角，在直角三角形EHB中求其余弦值．本题也可以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决．【解答】法一、（1）证明：如图，延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF．∵CD∥AA1，且CD=AA1，∴C为AF的中点．∵E为AB的中点，∴CE∥BF．∵BF⊂平面A1BD，CE⊄平面A1BD，∴CE∥平面A1BD．（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴AA1⊥CE．∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，∴CE⊥AB，．∵AB⊂平面A1AB，AA1⊂平面A1AB，AB∩AA1=A，∴CE⊥平面A1AB．∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．∵，在Rt△CEH中，tan，∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan=．∴．∵CE∥BF，CE⊥平面A1AB，∴BF⊥平面A1AB．∵AB⊂平面A1AB，A1B⊂平面A1AB，∴BF⊥AB，BF⊥A1B．∴∠ABA1为平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）．在Rt△EHB中，=，cos∠ABA1=．∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为．法二、（1）证明：如图，取A1B的中点F，连接DF、EF．∵E为AB的中点，∴EF∥AA1，且．∵CD∥AA1，且CD=AA1，∴EF∥CD，EF=CD．∴四边形EFDC是平行四边形．∴CE∥DF．∵DF⊂平面A1BD，CE⊄平面A1BD，∴CE∥平面A1BD．（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴AA1⊥CE．∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，∴CE⊥AB，．∵AB⊂平面A1AB，AA1⊂平面A1AB，AB∩AA1=A，∴CE⊥平面A1AB．∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．∵，在Rt△CEH中，tan，∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan=．∴．在Rt△EHB中，．∵Rt△EHB～Rt△A1AB，∴，即．∴AA1=4．以A为原点，与AC垂直的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），A1（0，0，4），B，D（0，2，2）．∴=（0，0，4），=，=（0，2，﹣2）．设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z），由，，得，令y=1，则．∴平面A1BD的一个法向量为n=．∵AA1⊥平面ABC，∴=（0，0，4）是平面ABC的一个法向量．∴cos=．∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为．【点评】本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法．是中档题．22．（12分）（2007•福建）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．【考点】平面向量数量积的运算；轨迹方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质．【分析】解法一：（1）我们可设出点P的坐标（x，y），由直线l：x=﹣1，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，则Q（﹣1，y），则我们根据，构造出一个关于x，y的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；（2）由过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，我们可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求λ1+λ2的值．解法二：（1）由得，进而可得．根据抛物线的定义，我们易得动点的轨迹为抛物线，再由直线l（即准线）方程为：x=﹣1，易得抛物线方程；（2）由已知，，得λ1•λ2＜0．根据抛物线的定义，可们可以将由已知，，转化为，进而求出λ1+λ2的值．【解答】解：法一：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（﹣1，y），由得：（x+1，0）•（2，﹣y）=（x﹣1，y）•（﹣2，y），化简得C：y2=4x．（Ⅱ）设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），又，联立方程组，消去x得：y2﹣4my﹣4=0，∴△=（﹣4m）2+16＞0，故由，得：，，整理得：，，∴===0．法二：（Ⅰ）由得：，∴，∴，∴．所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x．（Ⅱ）由已知，，得λ1•λ2＜0．则：．①过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则有：．②由①②得：，即λ1+λ2=0．【点评】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．。
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学(文)试题Word版含答案
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学（文）试题一、选择题1．设直线，，若，则（）A. B. 1 C. D. 0【答案】A【解析】，解得：，故选A.2．命题“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题“”的否定是“”.故选B.3．空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】点关于平面对称的点横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即，故选C.4．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为（）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】根据抛物线的定义可知，点到焦点的距离和到准线的距离相等，抛物线的准线方程为，所以点到轴的距离为，故选C.5．若圆关于直线对称，则直线的斜率是（）A. B. C. D. 6【答案】A【解析】圆心坐标为，圆心在直线，代入，解得，而直线的斜率为，故选A.6．已知是两个不重合的平面，直线，直线，则“相交”是“直线异面”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“相交”，有可能直线“相交”，所以不是充分条件，反过来，若“不相交”，那，也就能推出，即不异面，这个命题的逆否命题就是“异面”，则相交，所以是必要不充分条件，故选B.7．把双曲线的实轴变虚轴，虚轴变实轴，那么所得到的双曲线方程为（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】焦点在轴，，所以得到的双曲线方程为，故选A.8．下列判断错误的是（）A. 命题“若，则”是假命题B. 直线不能作为函数图象的切线C. “若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题为真命题D. “”是“函数在处取得极值”的充分不必要条件【答案】D【解析】A.若，等式成立，此时为任意实数，所以是假命题，正确；B.，所以函数上任一点的切线斜率都是负数，不可能是，也正确；C.两条直线垂直，解得，原命题正确，那么逆否命题也正确；D.应是既不充分也不必要条件，因为后，还需判断两侧的单调性，判断是否变号，变号才是极值点，反过来，在处取得极值，也不一定，例如：，在处，就不满足，所以D不正确，故选D.9．已知，则（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】，，，那么，故选D.10．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体中最长的棱长等于（）A. B. C. D. 9【答案】B【解析】该几何体如下图红色线所示，最长的棱为，故选B.【点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.除了熟记这些，还需会根据三视图还原几何体的正放，侧放的位置，另外一个比较有效的方法是将几何体放在正方体或长方体中.11．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，那么，，根据对称性可知，，整理为，因为，所以，计算，所以，故选A.【点睛】考查椭圆离心率时，先分析所给的条件是不是有明显的几何关系，如果有就要用上平面几何的性质，比如本题，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，直角三角形内三边的表示，以及椭圆的对称性和椭圆的定义相结合，最后才有用角表示离心率，利用三角函数求范围.二、填空题12．已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由条件可知，是函数的对称轴，并且是函数的顶点，所以是函数的最小值，所以C不正确，故选C.13．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________．【答案】【解析】设该球的半径为，则，所以此球的表面积为.14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是__________．【答案】【解析】将化为，两圆方程相减得，即，即直线的方程是.15．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为__________．【答案】【解析】试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到底面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．【考点】几何体的体积的计算．16．已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：①；②；③；④与的交点在轴上；⑤与交于原点.其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④⑤【解析】因为在抛物线上，由抛物线的定义，得，又分别为在上的射影，所以，即①正确；取的中点，则，所以，即②正确；由②得平分，所以，又因为，所以，即③正确；取轴，则四边形为矩形，则与的交点在轴上，且与交于原点，即④⑤正确；故填①②③④⑤.点睛：要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取轴）.三、解答题17．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）命题是一元二次不等式，解得，即.命题是分数不等式，解得，为真，也就是这两个都是真命题，故取它们的交集得；（2）是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件，即是的真子集，故，即.试题解析：（1）由得,又,所以,当时,1<,即为真时实数的取值范围是1<.为真时等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件,即,且, 等价于,且,设A=, B=, 则B A;则0<,且所以实数的取值范围是.【考点】一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性的判断．18．已知圆，直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点.（1）当与垂直时，求出点的坐标，并证明：过圆心；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）根据两直线垂直，求得直线的斜率为3，这样求出直线的方程，联立两直线方程求交点的坐标，并代入圆心坐标；（2）根据直线与圆相交，求出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，得到直线的方程.试题解析：（1）由题意，直线的方程为，将圆心代入方程易知过圆心，联立得，所以.（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由，得，解得.故直线的方程为或.19．已知函数，其中且．（1）求函数的单调区间；（2）当时，若存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，的增区间是，减区间是，当时，的减区间是，增区间是（2）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据的正负讨论导数符号变化规律，进而得单调区间（2）对应不等式有解问题，一般利用变量分离法，转化为对应函数最值问题：最大值，再利用导数求函数最大值，先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而得出单调性，确定极值与最值试题解析：（1）定义域为，当时，时，；时，，当时，时，；时，所以当时，的增区间是，减区间是，当时，的减区间是，增区间是（2）时，，由得：，设，，所以当时，；当时，，所以在上递增，在上递减，，所以的取值范围是【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.20．如图1，在中，，是斜边上的高，沿将折成的二面角.如图2.（1）证明：平面平面；（2）在图2中，设为的中点，求异面直线与所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设及异面直线所成角的定义运用余弦定理求解.试题解析：（1）证明：因为折起前是边上的高，则当△折起后，，，又，则平面，因为平面，所以平面平面．（2）解：取的中点，连结，则，所以为异面直线与所成的角，连结、，设，则，，，，在中，，在中，由题设，则，即，从而，，在△中，，在中，．在△中，，所以异面直线与所成的角为.【考点】面面垂直的判定定理及余弦定理等有关知识的综合运用.21．已知函数.（1）若图象上的点处的切线斜率为，求的极大值；（2）若在区间上是单调减函数，求的最小值.【答案】（1）当时，取极大值；（2）最小值为.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可知，，解得，代入函数后求函数的导数，并根据导数零点判断两侧的单调性，求函数的极大值；（2）将问题转化为，当恒成立，即，这样就转化为关于的二元一次不等式组，求目标函数的最小值. 试题解析：（1）∵，∴由题意可知：，且，∴得：，∴，令，得，由此可知：极小值极大值∴当时，取极大值.（2）∵在区间上是单调减函数，∴在区间上恒成立，根据二次函数图象可知且，得即，作出不等式组表示的平面区域如图：当直线经过交点时，取得最小值，∴的最小值为.【点睛】导数考查三次函数是比较基本的问题，求导后变为二次函数，所以要熟练掌握二次函数的问题，比如开口，以及与轴的交点个数对于函数的单调性和极值的影响，如本题是在某个区间上二次函数恒小于等于0，这样根据二次函数的图象合理转化为不等式组，进行求解.22．已知椭圆经过点，它的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）若点是直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，分别为切点，求证：直线过定点，并求出此定点坐标.（注：经过椭圆上一点的椭圆的切线方程为）.【答案】（1）；（2）定点坐标为.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义可知的周长为，即，解得：，再代入点的坐标，求得椭圆方程；（2）设，写出过这两点的切线方程，并代入点的坐标，得到直线的方程，求出定点.试题解析：（1）由题意得：，又∵椭圆过点，∴，∴，∴椭圆的方程为.（2）由题意得：，设，则直线，直线，又在上述两切线上，∴，∴直线，即：，由得，∴直线过定点，且定点坐标为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的考查是高考的热点，其中会涉及设直线方程或设未知点的问题，当题中涉及多条直线时，需考虑哪条是关键直线，那么这条直线与圆锥曲线的交点就设出来，一般设而不求，利用韦达定理写出根与系数的关系，代入条件表达式；而本题是也是设而不求，利用两点确定直线，所以根据两点满足的方程，写出直线方程求解.。
2016_2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题与答案
试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的、号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的号、和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于 （A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为 (A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数 （3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成 （A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立 （C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有 （A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种 (5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X 服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为 (A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 (A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38 (12)中国南北朝时期的著作《子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2016-2017学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）
（B卷）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∃x0∈A，2x0∈B B．￢p：∃x0∉A，2x0∈B C．￢p：∃x0∈A，2x0∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B 2．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，，若，则常数m=（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9 4．若x＞4，则函数y=x+（ ）
A．有最大值﹣6 B．有最小值6 C．有最大值﹣2 D．有最小值2 5．在△ABC中，已知a=4，b=6，B=60°，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b，则a2＜b2 D．若ab＞0，a＞b则＜
7．在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，则a2+a8=（ ）
A．40 B．80 C．160 D．320 8．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的
余弦值是（ ） A． B． C． D．
9．设两点A、B的坐标为A（﹣1，0）、B（1，0），若动点M满足直线AM与
BM的斜率之积为﹣2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．x2﹣=1 B．x2﹣=1（x≠±1）
C．x2+=1 D．x2+=1（x≠±1）
10．在等比数列{an}中，若a6=6，a9=9，则a3为（ ）
A．2 B． C． D．4 11．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反
映这个命题本质的式子是（ ） A．1+++…+=2﹣ B． ++…+＜1 C． ++…+=1 D． ++…+＞1
12．已知P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲
线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（ ） A．4 B． C．2 D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 13．不等式x2﹣2x＜0的解集为 ．
14．双曲线﹣=1的渐近线方程是 ． 15．已知抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），则焦点坐标为 ．
16．如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地
用来养鸡，所需篱笆总长度最小为 m．
17．若命题：“∀x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是 ．
18．已知点P在圆x2+y2=1运动，点M的坐标为M（2，0），Q为线段PM的中
点，则点Q的轨迹方程为 ． 19．四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD， =， =， =，用基底{，， }表示向量= ．
20．定义：为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的
前n项的“均倒数”为，则数列{an}通项公式为an= ．
三、解答题（本大题共有5小题，每小题10分，共50分） 21．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足：2cosC（acosB+bcosA）
=c．
（1）求C； （2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 22．某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每
车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本
最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？ 23．数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（n=1，2，3，…），且a2=2a1．
（1）求常数c的值； （2）求数列{an}的通项公式；
（3）求数列{}的前n项之和Tn． 24．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB． （1）求证：A1D⊥DC； （2）求直线ED与平面A1BC所成角的正弦值； （3）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值．
25．过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴
交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q． （1）求椭圆的方程； （2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长； （3）当点P异于点B时，求证： •为定值． 2016-2017学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理
科）（B卷） 参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∃x0∈A，2x0∈B B．￢p：∃x0∉A，2x0∈B C．￢p：∃x0∈A，2x0∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B 【考点】命题的否定． 【分析】命题p是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词变化． 【解答】解：命题p∈A，2x∈B是全称命题， 否定时将量词对任意的x变为∃x，再将不等号∈变为∉即可， 即为：￢p：∃x0∈A，2x0∉B， 故选：C
2．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案． 【解答】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}， ∵A⊊B， 故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件． 故选A．
3．已知，，若，则常数m=（ ） A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9 【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直． 【分析】根据时， •=0，列出方程求出m的值． 【解答】解：，， 当时， •=0， 即﹣3×1+2m+5×3=0， 解得m=﹣6． 故选：A．
4．若x＞4，则函数y=x+（ ）
A．有最大值﹣6 B．有最小值6 C．有最大值﹣2 D．有最小值2 【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】先将原函数变换为y=x﹣4++4，然后令t=x﹣4（t＞0），则原函数可化为求函数y=t+4（t＞0）的最值问题，然后利用导数或基本不等式都很容易求解． 【解答】解：原函数可化为y=x﹣4++4，令t=x﹣4（t＞0）， 则原函数可化为求函数y=t+4（t＞0）， 所以，令y′≥0得t≥1；令y′＜0得0＜t＜1， 所以函数y=t+4（t＞0）在区间（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增， 且当x→0或x→+∞时，y都趋向于正无穷大， 当t=1是，函数取得最小值6，无最大值． 故答案选：B 方法二：y=x﹣4++4≥2+4=6
5．在△ABC中，已知a=4，b=6，B=60°，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D． 【考点】正弦定理． 【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解． 【解答】解：∵a=4，b=6，B=60°，
∴由正弦定理可得：sinA===． 故选：C．
6．对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b，则a2＜b2 D．若ab＞0，a＞b则＜
【考点】不等式的基本性质． 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误． 【解答】解：对于A．取c=0时，不正确； 对于B．∵a＞b＞0，则＜，因此不正确； 对于C．取a=﹣2，b=1时，不正确； 对于D．ab＞0，a＞b，则，即＜，正确． 故选：D．
7．在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，则a2+a8=（ ）
A．40 B．80 C．160 D．320 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】运用等差数列的性质，求得a5=80，即可得到所求． 【解答】解：在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=400， 由a3+a7=a2+a8=2a5， 可得5a5=400，a5=80， 则a2+a8=160， 故选：C．