概率论与数理统计第19讲

概率论与数理统计第19讲
本讲义可在网址 或 ftp:// 下载
1
§5.3 抽样分布
2
一, 抽样分布 有时, 总体分布的类型虽然已知, 但其中 含有未知参数, 此时需对总体的未知参数 或对总体的数字特征(如数学期望, 方差 等)进行统计推断, 此类问题称为参数统 计推断. 在参数统计推断问题中, 常需利 用总体的样本构造出合适的统计量, 并使 其服从或渐近地服从已知的分布. 统计学 中泛称统计量分布为抽样分布.
10
18
故
10 10 2 2 P ( X i m ) 1.68 P 4 ( X i m ) 6.72 i 1 i 1
查2分布表知: 所以

2 0.75
(10) 6.737
10 2 P ( X i m ) 1.68 0.75; i 1
3
讨论抽样分布的途径有两个. 一是精确地 求出抽样分布, 并称相应的统计推断为小 样本统计推断; 另一种方式是让样本容量 趋于无穷, 并求出抽样分布的极限分布. 然后, 在样本容量充分大时, 再利用该极 限分布作为抽样分布的近似分布, 进而对 未知参数进行统计推断, 称与此相应的统 计推断为大样本统计推断. 这里重点讨论 正态总体的抽样分布, 属小样本统计范畴, 此外, 也简要介绍一般总体的某些抽样分 布的极限分布, 属大样本统计范畴.
17
解 若m未知, 由于Xi~N(m,0.52), 所以 Xi m ~ N (0,1). 0.5
10 X m i 2 2 4 ( X i m ) ~ (10). 0.5 i 1 i 1 10 2
4 ( X i X ) ~ (9).
2 2 i 1
1 1 D( X ) D X i 2 D( X i ) n i 1 n i 1 2 1 s 2 2 ns n n
n n
5
而
n 1 2 2 2 E (S ) E X i nX n 1 i 1 1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1 2 1 n s 2 2 2 (s m ) n m n 1 i 1 n
例如若s=0.1, n=10. 则
于是我们以99.7%的概率断言, X与物体 真正重量m的偏差不超过0.09. 如果将称 量次数n增加到100, 则
3 0.1 P | X m | P{| X m | 0.03} 99.7% 100

这时我们以同样的概率断言, X与物体真 正重量m的偏差不超过0.03.
2 2
0.95 0.01 0.94.
25
三, 双正态总体的抽样分布 2 2 定理 4 设 X ~ N ( m1 ,s 1 )与Y ~ N ( m 2 ,s 2 ) 是两 个相互独立的正态总体, 又设 X 1 ,, X n1 是 取自总体 X 的样本, X 与 S 分别为该样本的 样本均值与样本方差. Y1 ,, Yn2 是取自总体 Y 的样本, Y 与S 分别为此样本的样本均值 与样本方差. 再记 S 是 S 与S 的加权平均, 即
14
例3 在设计导弹发射装置时, 重要事情之 一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方 差. 对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目 标中心的距离服从正态分布N(m,s2), 这里 s2=100米2, 现在进行了25次发射试验, 用 S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的 距离的样本方差, 试求S2超过50米2的概率.
26
2 1
2 2
2 w
2 1
2 2
(n1 1) S (n2 1) S S . (3.6) n1 n2 2 则 ( X Y ) ( m1 m2 ) (1) U ~ N (0,1); (3.7) 2 2 s 1 / n1 s 2 / n2
2 w 2 1 2 2
s
s
i 1
(3.3)
(2) X与S2相互独立.
(证略)
8
定理3 设总体X~N(m,s2), X1,X2,, Xn是取 自X的一个样本, X与S2分别为该样本的 样本均值与样本方差, 则有 n 1 2 2 2 (1) 2 ( X i m ) ~ (n) (3.4)
s
i 1
11
例 2 假设某物体的实际重量为m, 但它是未 知的. 现在用一架天平去称它, 共称了 n 次, 得到 X1,X2, ,Xn. 假设每次称量过程彼此独 立且没有系统误差, 则可以认为这些测量值 2 2 都服从正态分布 N(m,s ), 方差s 反映了天 平测量过程的总精度, 通常我们用样本均值 2 s X 去估计m, 根据定理 1, X ~ N m , . n
27
2
证明 (1) 因 2 2 X ~ N ( m1 ,s 1 / n1 ), Y ~ N ( m 2s 2 / n2 ). 相互独立, 故 2 2 s1 s 2 X Y ~ N m1 m2 , n1 n2 即 ( X Y ) ( m1 m 2 ) U ~ N (0,1) 2 2 s 1 / n1 s 2 / n2
12
再从正态分布的 3s性质知 3s P | X m | 99.7%. n 这就是说, 我们的估计值 X 与真值m的偏差 不超过3s / n 的概率为 99.7%, 并且随着称 量次数 n 的增加, 这个偏差界限3s / n 愈来 愈小.
13
3 0.1 P | X m | P{| X m | 0.09} 99.7% 10
19
10 10 2 2 P ( X i X ) 2.85 1 P ( X i X ) 2.85 i 1 i 1 10 2 1 P 4 ( X i X ) 11.4 i 1
查2分布表知, 所以
(3) 由于
s 2 16 Xi m 2 ~ (16), s i 1
2
Xi m
~ N (0,1), (i 1,2,, n)
s 1 16 2 2 P ( X i m ) 2s 2 16 i 1 2 P{8 (16) 32} P{ (16) 8} P{ (16) 32}
15
解 因为 于是
(n 1) S
2
s
2
~ (n 1).
2
2 ( n 1) S (n 1)50 2 P{S 50} P 2 2 s s 24 50 2 P (24) 100


P{ (24) 12} P{ (24) 12.401}
4
二, 单正态总体的抽样分布 设总体X的均值为m, 方差为s2, X1,X2,, Xn 是取自X的一个样本, X与S2分别为该样本 的样本均值与样本方差, 则有 n n 1 1 1 E ( X ) E X i E ( X i ) nm m n n i 1 n i 1

2 0.25
(9) 11.4,
10 2 P ( X i X ) 2.85 1 0.25 0.75 i 1
20
例5 从正态总体X~N(m,s2)中抽取容量为 16的一个样本, X, S2分别为样本均值和 样本方差, 若m, s2均未知, 求S2的方差 D(S2)及概率 2 S (1) P 2 2.041 ; s s 2 1 16 2 2 (2) P ( X i X ) 2s ; 2 16 i 1
2 2
0.975.
于是我们以超过97.5%的概率断言, S2超 过50米2.
16
例4 从正态总体N(m,0.52)中抽取容量为 10的样本X1,X2, …, Xn. X是样本的均值. 若m未知, 计算概率 10 2 P ( X i m ) 1.68 i 1 10 2 P ( X i X ) 2.85 i 1 [分析] 计算与随机变量有关的事件的概 率, 必须知道该随机变量的分布.
s 1 16 2 2 (3) P ( X i m ) 2s 2 16 i 1
2
21
解
n 1
s
2
S ~ (n 1)
2 2
n 1 2 n 1 2 E 2 S n 1, D 2 S 2(n 1), s s
2 2
23
s 2 1 16 2 2 (2) P ( X i X ) 2s 2 16 i 1 2 P{8 (15) 32} P{ (15) 8} P{ (15) 32} 0.95 0.005 0.945.
2 2
24
X m (2) T ~ t (n 1). S/ n
(3.5)
证明 结论(1)是2分布定义的直接推论.
9
对结论(2), 前面已知 X m n 1 2 2 U ~ N (0,1) S ~ (n 1) 2 s/ n s 由t分布的定义有
U n 1
s
2
S
2
X m n 1 s/ n
n 1
s
2
S
2
n 1
X m T ~ t (n 1) S/ n
10
例1 设X~N(21,22), X1,X2,,X25为X的一个 样本, 求 (1) 样本均值X的数学期望与方差; (2) P{|X21 |0.24}. 2 2 解 (1) 因为 E ( X ) 21, D( X ) 2 / 25 0.4 . X ~ N 21,0.42 (2) X 21 P{| X 21| 0.24} P 0.6 0.4 2 (0.6) 1 0.4504.