2018年高考数学(文)仿真押题 专题9三角恒等变换与解三角形

2018年高考数学（文）仿真押题 专题9三角恒等变换与解三角形1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－717B ．177C ．717D ．－177解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－512＋11＋512＝717，故选C.答案：C2．△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( )A ．2 B.52 C ．3 D.72解析：由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a ＋2)×78⇒a ＝2，故选A.答案：A3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α的值为( ) A ．－15B.75 C ．－75D.34答案：A4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332D.3 3解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①.∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C. 答案 C5.已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365B.3365C.1365D.6365或3365解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513＜sin β，因此有α＋β＞π2(否则，若α＋β≤π2，则有0＜β＜α＋β≤π2，0＜sin β＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)＜sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.答案 A6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43D.437．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34 B ．－14C.34 D.14解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 8．在△ABC 中，若3cos 2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A ·tan B ＝( )A ．4 B.14C ．－4D ．－149．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.10．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.36 D.38解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.11．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b＝1，则角B 为( )A.π4B.π6C.π3 D.π12解析：选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝1×121＝12，∵b＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π6，故选B.12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3，则b ＝________.解析：由题意可得S ＝12ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.答案：713．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2.所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin xsin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－314．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝36565.答案：3656515.若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.16.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米.解析 如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin∠DAB ＝ADsin∠ABD .所以400sin 30°＝ADsin 120°，得AD ＝4003(米).在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2·AC ·CD ·cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米).故索道AC 的长为40013米.答案 4001317．已知△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________．答案：641718．已知函数f (x )＝2cos 2x2＋3sin x .(1)求函数f (x )的最大值，并写出取得最大值时相应的x 的取值集合； (2)若tan α2＝12，求f (α)的值．解析：(1)f (x )＝1＋cos x ＋3sin x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝1，即x －π3＝2k π，x ＝2k π＋π3(k ∈Z)时，函数f (x )的最大值为3，此时相应的x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z. (2)f (α)＝2cos 2 α2＋23sin α2cos α2＝2cos 2 α2＋23sin α2cosα2cos 2 α2＋sin 2α2＝2＋23tanα21＋tan 2α2＝8＋435.19．如图在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－13，AB ＝32，BD ＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．20.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值.解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得 a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.21.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B ＝b cos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c .22．已知f (x )＝2sin(x －π12)－3，现将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数g (x )的图象．(1)求f (π4)＋g (π6)的值；(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＋c ＝4，且当x ＝B 时，g (x )取得最大值，求b 的取值范围．解 (1)因为g (x )＝2sin[(x ＋π4)－π12]－3＋3＝2sin(x ＋π6)，所以f (π4)＋g (π6)＝2sin(π4－π12)－3＋2sin π3＝1.(2)因为g (x )＝2sin(x ＋π6)，所以当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ∈π3＋2k π(k ∈Z)时，g (x )取得最大值．因为x ＝B 时g (x )取得最大值， 又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.而b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ≥16－3·(a ＋c 2)2＝16－12＝4，所以b ≥2.又b <a ＋c ＝4， 所以b 的取值范围是[2,4)．23．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．24．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．解 (1)由(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc 可得a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝37bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－117bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1114，所以sin A ＝1－cos 2A ＝5143，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(1114×12－5314×32)＝17. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝437， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ＝a sin A， 得c ＝a sin C sin A＝8， ∴S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3. 25.已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝1，c ＝3，且f (A )恰是函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得1＝b 2＋3－2×3×b ×cos π6， 所以b ＝1或b ＝2，经检验均符合题意.从而当b ＝1时，△ABC 的面积S ＝12×3×1×sin π6＝34； 当b ＝2时，△ABC 的面积S ＝12×3×2×sin π6＝32. 26.如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B ＝π2，AB ＝a ，BC ＝3a )地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形(△AMN 和△A ′MN )，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M 点与B 点不重合，A ′落在边BC 上，设∠AMN ＝θ.(1)若θ＝π3时，绿地“最美”，求最美绿地的面积； (2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN ，A ′N 的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度.由正弦定理得AN sin θ＝AM sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ， 设AM ＝ax (0<x <1)，则A ′M ＝ax ，BM ＝a －ax ，所以在Rt△MBA ′中，cos(π－2θ)＝a －ax ax ＝1－x x ， 所以x ＝12sin 2θ，即AM ＝a 2sin 2θ， 所以AN ＝a 2sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ. 2sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin 2θ＋3sin θcos θ ＝12＋32sin2θ－12cos2θ＝12＋sin(2θ－π6)， 因为π4<θ<π2，所以π3<2θ－π6<5π6， 所以当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AN 的值最小，且AN ＝23a ，此时绿地公共走道的长度MN ＝23a .27．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．28．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及 sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .由a －c ＝66b ，得a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38. 29．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝23，求AB的长．。