学案简单的线性规划问题
2022高考数学文人教A版一轮复习学案：7.1-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-【含解析】
第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识预案自诊知识梳理1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的相关概念1.二元一次不等式表示的平面区域二元Ax+By+C ≥0(A>0,B>0)Ax+By+C≤0(A>0,B>0)Ax+By+C ≥0(A>0,B<0)Ax+By+C≤0(A>0,B<0)平面 区域考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的上方. ( ) (2)两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )<0.( )(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (5)在目标函数z=ax+by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax+by-z=0在y 轴上的截距. ( ) 2.不等式组{x -3y +6<0,x -y +2≥0表示的平面区域是( )3.(2020湖南长沙一中第三次调研)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x +3y -6≤0,x +y -2≥0,y ≥0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是( ) A.1B.√2C.2D.2√24.(2020福建漳州二模,文14)若实数x ,y 满足{x +y ≥2,x +3y -3≤0,y ≥0,则yx 的最大值是 .5.(2020全国2,文15)若x ,y 满足约束条件{x +y ≥-1,x -y ≥-1,2x -y ≤1,则z=x+2y 的最大值是 .关键能力学案突破考点二元一次不等式(组)表示的平面【例1】(1)(2020河南天一大联考)不等式组{x -2≤0,x -2y +4≥0,-x -y +2≤0表示的平面区域的面积为 .(2)已知实数x ,y 满足{x ≥1,x -2y +1≤0,x +y ≤m ,若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则m的取值范围为 .(组)表示的平面区域的方法是什么?求平面区域的面积的技巧是什么?解题心得1.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法:(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则①当B (Ax+By+C )>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;②当B (Ax+By+C )<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.2.求平面区域的面积的方法:(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;(2)对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高;若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解;若为不规则四边形,则可分割成几个三角形分别求解再求和.(3)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.对点训练1(1)已知不等式组{x ≥0,x -√3y ≤0,x +√3y -2√3≤0,表示的可行域为D ,则可行域D 的面积为( )A.2√3B.2C.√3D.√32(2)设命题p :实数x ,y 满足{x -y ≤0,x +2y ≤2,x ≥-2,命题q :实数x ,y 满足(x+1)2+y 2≤m ,若p 是q 的必要不充分条件,则正实数m 的取值范围是 .考点求目标函数的最值问题 (多考向探究)考向1 求线性目标函数的最值【例2】(1)(2020全国1,文13)若x ,y 满足约束条件{2x +y -2≤0,x -y -1≥0,y +1≥0,则z=x+7y 的最大值为 .(2)(2020福建福州模拟,理13)设x ,y 满足约束条件{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,x ≤2,则z=x-3y 的最小值?求非线性目标函数的最值【例3】(1)(2020河南郑州质检)已知变量x ,y 满足{x -2y +4≤0,x ≥2,x +y -6≥0,则k=y+1x -3的取值范围是( )A.(-∞,-5]∪12,+∞B.-5,12C.(-∞,-5)∪12,+∞D.-5,12(2)(2020安徽马鞍山模拟)已知实数x ,y 满足{x ≤1,y ≤x +1,y ≥1-x ,则x 2+y 2的最大值与最小值之和?求参数值或取值范围【例4】(1)设x ,y 满足不等式组{x +y -6≤0,2x -y -1≤0,3x -y -2≥0,若z=ax+y 的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a 的取值范围为( )A .[-1,2]B .[-2,1]C .[-3,-2]D .[-3,1](2)(2020江西南昌十中月考)若实数x ,y 满足不等式组{x +y -1≥0,x -y +1≥0,x ≤a ,若目标函数z=ax-2y的最大值为13,则实数a 的值是( )B.4C.5D.6?4 最优解不唯一的条件下求参数的值【例5】已知x ,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为 .,目标函数有什么特点?解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.对点训练2(1)(2020山西太原五中二模,理5)若x ,y 满足约束条件{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,则z=3x+2y的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2020浙江衢州二中检测)若实数x,y满足约束条件{x-y+1≥0,2x+3y≤6,y+1≥0,则z=2|x|-y的最小值是()A.-25B.5C.-1D.-2(3)(2020江西高三月考,文7)已知{x-y+1≥0,7x-y-7≤0,x≥0,y≥0表示的平面区域为D,若“∃(x,y),2x+y>a”为假命题,则实数a的取值范围是()A.[5,+∞)B.[2,+∞)C.[1,+∞)D.[0,+∞)(4)(2020重庆一中模拟,文15)已知实数x,y满足{x-y-2≤0,x+2y-5≥0,y-2≤0,则函数z=4x·(18)y的最小值为.考点线性规划的实际应用【例6】某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少???其注意事项是什么?解题心得利用线性规划求解实际问题的一般步骤(1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据;(2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量,设未知量;(3)根据问题的特点,写出约束条件;(4)根据问题的特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解.对点训练3(2020河北张家口二模,理9)某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2 000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5 000斤,成本3 000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为()A.4万元B.5.5万元C.6.5万元D.10万元1.非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.2.线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数的值.第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2.线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值考点自诊1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×2.C3.B 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O 到直线x+y-2=0的距离,所以|OM|min =√2=√2.4.13 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分,设y x =k OP ,P 为可行域上一点,其中O (0,0),P (x ,y ),由{x +y =2,x +3y -3=0,得A32,12,所以由图可知,当P 位于A 时,(y x )max =k OA =13.5.8 作出可行域如图所示(阴影部分).因为z=x+2y ,所以y=-12x+z2.作出直线y=-12x ,平移直线可知,当直线过点A 时,z2最大,即z 最大. 由{2x -y =1,x -y =-1,解得{x =2,y =3,故A (2,3).所以z max =2+2×3=8.关键能力·学案突破例1(1)3 (2)(2,+∞) (1)作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,平面区域为△ABC 及其内部,其中A (2,0),B (0,2),C (2,3), 所以所求面积为12×2×|AC|=3.(2)如图所示,{x ≥1,x -2y +1≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知直线x=1与x-2y+1=0的交点坐标为A (1,1),不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则点A 位于直线x+y=m 下方,据此有1+1<m ,即m 的取值范围为(2,+∞).对点训练1(1)C (2)0,12 (1)作出不等式组{x ≥0,x -√3y ≤0,x +√3y -2√3≤0对应的可行域如图,由{x =0,x -√3y =0,得A (0,0),由{x -√3y =0,x +√3y -2√3=0,得C (√3,1),由{x =0,x +√3y -2√3=0,得B (0,2),则区域D 的面积S=12×2×√3=√3.故选C. (2)根据题意,m 为正实数,所以满足q 的点(x ,y )在以(-1,0)为圆心,以√m 为半径的圆周及其内部,记作Q ,满足条件p 的点构成的集合记作P ,因为p 是q 的必要不充分条件,所以Q ⫋P.如图,设直线x=-2和直线x+2y=2的交点为A ,直线x-y=0和直线x+2y=2的交点为B ,直线x=-2和直线y-x=0的交点为C , 则点(-1,0)到直线AC 的距离d 1=1, 点(-1,0)到直线BC 的距离d 2=√1+1=√22,点(-1,0)到直线AB 的距离d 3=√12+22=3√55, 所以点(-1,0)到三角形ABC 边界的最小距离为√22.所以√m ≤√22,即m ∈0,12.例2(1)1 (2)-7 (1)画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y 变形可得y=-17x+17z ,平移直线y=-17x.由图可得z 在点A 处取得最大值. 由{x -y -1=0,2x +y -2=0,得{x =1,y =0,所以A (1,0),所以z max =1+7×0=1.(2)在坐标系中画出x ,y 满足约束条件{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,x ≤2的可行域,如图所示,由z=x-3y 可得y=13x-13z ,则-13z 表示直线z=x-3y 在y 轴上的截距,截距越大,z 越小,平移直线x-3y=0,经过点A 时,z 最小,由{x =2,x -2y +4=0,可得A (2,3),此时z min =2-3×3=-7.例3(1)A (2)112 (1)作不等式组表示的可行域,如图所示.由于k=y+1x -3表示动点M (x ,y )与定点P (3,-1)连线的斜率.又k PA =4-(-1)2-3=-5,且直线x-2y+4=0的斜率为12.所以k 的取值范围为(-∞,-5]∪12,+∞.(2)作出不等式组{x ≤1,y ≤x +1,y ≥1-x 表示的可行域,如图阴影部分所示,x 2+y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方,由图可知,点O 到直线x+y-1=0的距离最小,为√22.可行域内的点B 与坐标原点的距离最大,为√22+12=√5. 所以x 2+y 2的最大值与最小值之和为5+12=112.例4(1)B (2)A (1)由z=ax+y 得y=-ax+z ,如图,作出不等式组对应的可行域(阴影部分),则A (1,1),B (2,4).由题意和图可知,直线z=ax+y 过点B 时,取得最大值为2a+4,过点A 时,取得最小值为a+1,若a=0,则y=z ,此时满足条件,若a>0,k=-a<0,则目标函数的斜率满足-a ≥k BC =-1,即0<a ≤1,若a<0,k=-a>0,则目标函数的斜率满足-a ≤k AC =2,即-2≤a<0.综上,a 的取值范围是[-2,].(2)画出满足条件{x +y -1≥0,x -y +1≥0,x ≤a 的可行域,如下图所示,根据图象可得a>0,目标函数化为y=a2x-z2,当目标函数过A (a ,-a+1)时取得最大值,所以a 2+2a-2=13,a 2+2a-15=0,解得a=3,或a=-5(舍去).故选A.例5-1或2 作出不等式组表示的可行域,如图.目标函数z=y-ax 可化为y=ax+z ,令l 0:y=ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a=-1或a=2.对点训练2(1)C (2)C (3)A (4)116 (1)作出不等式组表示的可行域,如图所示,由z=3x+2y ,得y=-32x+z 2,根据图象可知,当过M 点时,z 取最大值, 联立{x -2y -2=0,y =0,解得x=2,y=0,所以M (2,0),则z 的最大值为6.故选C.(2)作不等式组表示的可行域如图,由z=2|x|-y 可得y=2|x|-z ,作y=2|x|图象,由图象可知,当向上平移y=2|x|过点A 时,-z 最大,即z 最小,令x=0,由y=x+1可得A (0,1),所以z min =2×0-1=-1,故选C.(3)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,令Z=2x+y ,得y=-2x+Z ,结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值,联立直线方程{x -y +1=0,7x -y -7=0,得点A 43,73,所以Z=2x+y 的最大值为5,因为“∃(x ,y )∈R ,2x+y>a ”为假命题,所以“∀(x ,y ),2x+y ≤a ”为真命题,所以实数a 的取值范围是[5,+∞),故选A.(4)作出不等式组所表示的可行域如下,因为z=4x ·(18)y=22x-3y ,令t=2x-3y ,则y=23x-t3,当直线y=23x-t 3过点M 时,在y 轴截距最大,此时t 取最小值,则z=2t 最小. 由{y =2,x +2y -5=0,得M (1,2),所以t min =2-3×2=-4,则z min =116. 例6解由题意可画表格如下(1)设只生产书桌x 个,可获得利润z 元, 则{0.1x ≤90,2x ≤600,解得{x ≤900,x ≤300,则x ≤300. 因为z=80x ,所以当x=300时,z max =80×300=24000(元),即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24000元. (2)设生产书桌x 张,书橱y 个,利润总额为z 元. 由题可得{x +2y ≤900,2x +y ≤600,x ≥0,y ≥0,z=80x+120y.在直角坐标平面内作出不等式组所表示的可行域,如图.作直线l :80x+120y=0,即直线l :2x+3y=0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上的点M (100,400), 此时z=80x+120y 取得最大值. 所以当x=100,y=400时,z max =80×100+120×400=56000(元), 即生产书桌100张、书橱400个,可使所得利润最大.对点训练3B 设冬瓜和茄子的种植面积分别为x ,y 亩,总利润z 万元,则目标函数z=(0.5x ×10000-2000x )+(1.4y ×5000-3000y ) =3000x+4000y=1000(3x+4y ),由题可得{x +y ≤15,2000x +3000y ≤40000,x ≥0,y ≥0,即{x +y ≤15,2x +3y ≤40,x ≥0,y ≥0,作出可行域如图,由{x +y =15,2x +3y =40,可得{x =5,y =10,即A (5,10),平移直线l :3x+4y=0,可知直线l 经过点A (5,10)时,即x=5,y=10时,z 取得最大值5.5万元,即该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为5.5万元.。
3.5.2简单线性规划-王后雄学案
张喜林制3.5.2 简单线性规划教材知识检索考点知识清单1．线性规划问题：(1)线性约束条件： .(2)线性目标函数： .(3)线性规划问题： .(4)可行解： .(5)可行域： .(6)最优解： .2．建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤进行： (1) ； (2) ; (3) ;要点核心解读1．线性规划问题(1)线性约束条件：由关于x ，y 的一次不等式形成的约束条件．(2)线性目标函数：由关于两个变量x ，y 的一次式形成的函数．(3)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．(4)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y).(5)可行域：占所有可行解组成的集合．(6)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．2．目标函数B A C By Ax Z ,{++=不全为零）的理解0=/B 时，由,C By Ax Z ++=得⋅-+-=B C Z x B A y 这样，二元一次函数就可视为斜率为,B A -在y 轴上截距为,BC Z -且随Z 变化的一簇平行线，于是，把求Z 的最大值和最小值的问题转化为：直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值问题．当0>B 时，Z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当0<B 时，Z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小．3．用图解法解决线性规划的一般步骤(1)分析并将已知数据列成表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数（直线）求出最优解；(6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．4．建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤进行(1)明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示；(2)明确问题中所有的限制条件（约束条件），并用线性方程或线性不等式表示；(3)明确问题的目标，并用线性函数（目标函数）表示，按问题的不同，求其最大值或最小值．5．利用线性规划的知识解决(1)数学中关于求给定区域上的最值问题；(2)求区域的面积等；(3)仿线性规划法、解决其他目标函数的最值问题．6．可行域可以是一封闭的多边形，也可以是一侧开放的平面区域而目标函数的最优解一般在边界直线的交点处．其判定方法通常有两种：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的交点便是；二是利用围成可行域的直线斜率来判定．若围成可行域的直线n l l l ,,,21 的斜率分别为<<< 21k k ,n k 目标函数的直线的斜率为k ，则当 1+<<i i k k k 时，直线i l 和1+i l 的交点一般是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条直线平行时),(i k k =其最优解一般有无数个．7．实际问题中的线性规划问题(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．(2)用图镪珐解决线性规划的一般步骤：①分析并将已知数据列成表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．(3)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找，如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可，典例分类剖析考点1 求目标函数的最值命题规律(1)利用线性规划知识求线性目标函数在约束条件下的最值．(2)利用线性规划知识求非线性目标函数的最值．(3)利用线性规划知识求线性目标函数取得最值时所对应的点的坐标， ．[例1] 设,2y x z +=且y x ,满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求它的最值．[答案] 首先画出不等式组形成的区域，由图3 -5 -2 -1知，(0，0)不在区域内．当,0,0==y x ,02=+=y x z 点(0，O)在直线02=+y x 上作一组平行线t t y x ,2=+是直线2x+y=t 的纵截距，这里 ⋅)2,5(),1,1(B A 显然当直线x 2t y =+过A 点时，t 为最小，过B 点时t 为最大．.3.12min max ==∴z z应注意几点：①线性约束条件除用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示，②最优解有时是唯一的，有时不是唯一的，甚至是无穷多的．如把上述问题中的目标函数改为,53y x z +=那么线段BC 上每一点的坐标都是最优解，因此，最优解有无穷多个，而它们所对应的目标函数值都是25.③对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使+ax by 达到最大或最小的点，那么最值一定在该区域的顶点或边界上达到，④此类问题的讨论，实际上给出了求解线性规划问题的图解方法．母题迁移 1．（2010年东北八校联考题）(1)已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥,022,01,1y x y x x 则22y x +的最小值是(2)平面内满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0,62,4y x y x y x 的所有点中，使目标函数y x z 45+=取得最大值的点的坐标 是考点2 利用线性规划求范围命题规律(1)利用线性规划知识求函数的取值范围．(2)利用线性规划知识确定参数的取值范围．[例2] 已知变量x ，y 满足约束条件≤-≤+≤2,41y x .2≤-y x 若目标函数y ax z +=（其中a>0）仅在点(3，1)处取得最大值，则a 的取值范围为 ．[解析] 由约束条件画出可行域（如图3 -5 -2 -3所示），为矩形ABCD(包括边界)．点C 的坐标 为(3，1)，z 最大时，即平移ax y -=时使直线在y 轴上的截距最大，,1,-<-<-∴a k a CD 即.1>∴a[答案] 1>a[规律方法] 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行或的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解，同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率关系．母题迁移 2．若二次函数)(x f y =的图象过原点，且.4)1(3,2)1(1≤≤≤-≤f f 求)2(-f 的范围． 考点3 寻找整点最优解的方法命题规律(1)利用打网格，描整点，平移直线找整点寻找最优解．(2)借助不定方程的知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．[例3]求y x z 300600+=的最大值，式中的x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,2522,3003y x y x y x 且x 、y 为整数．[解析] 画出约束条件表示的平面区域即可行域再分析求解．[答案] 如图3 -5 -2 -4，可行域为四边形AOBC 内的区域由题意可求得),0,100(),126,0(B A 由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+5191,53692522,3003y x y x y x 得C 点坐标为),5191,5369(因题设要求整点（x ，y ），使y x z 300600+=取得最大值，而整点(69，91)，(70，90)都在可行城内，将两点坐标代入y x z 300600+=可知：当⎩⎨⎧==90,70y x 时z 取得最大值为=⨯+⨯=9030070600z .69000[启示] 如果0l 经过的多边形顶点坐标不是整数，则在这个点附近找出可行域内的整点代入目标函数求出最大值．母题迁移 3．医院用甲、乙两种药片为手术后的病人配营养餐，已知甲种药片每片含5单位的蛋白质和10单位的铁质，售价为3元；乙种药片每片含7单位的蛋白质和4单位的铁质，售价为2元．若病人每餐至少需要35单位的蛋白质和40单位的铁质，应使甲、乙两种药片各几片才能既满足营养需求又使费用最省？考点4 实际问题命题规律(1)利用线性规划知识解决在给定一定数量的人力、物力资源安排如何运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大.(2)对于给定一项任务，利用线性规划的知识进行统：筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．[例4] 某公司的仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现把刁吨、8吨和5吨货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？[答案] (1)模型建立将实际问题的一般语言翻译成数学语言，可得下表（即运费表，单位：元）．设仓库A 运给甲、乙商店的货物分别为x 吨、y 吨，则仓库A 运给丙商店的货物为)12(y x --吨：而从仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为)7(x -吨、)8(y -吨、)]12(5[y x ---吨=)7(-+y x 吨，于是总运费为+-+-+--++=)8(4)7(3)12(968y x y x y x z )7(5-+y x.1262+-=y x从而得到本题的数学模型是求总运费1262+-=y x z 在约束条件⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥-+≥-≥-≥--,0,0,07,08,07,012y x y x y x y x 即在 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+≤≤≤≤,12,7,80,70y x y x y x 下的最小值． (2)模型求解作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图3 -5 -2 -5．作出直线,02:=-y x l 把直线L 作平行移动，显然当直线2移动到过点A(O ，8)时，在可行城内， 1262+-=y x z 取得最小值=min z .110126820=+⨯-即,0=x 8=y 时，总运费最少．(3)模型应用安排的调运方案如下：仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨；仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．[规律方法] 对于线性规划图解法，可概括为如下几道程序．母题迁移 4．某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元／分钟和200元／分钟，已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？优化分层测讯学业水平测试1．能表示图3 -5-2-9中阴影部分的二元一次不等式组是( )：⎩⎨⎧≤+-≤≤022,10.y x y A ⎩⎨⎧≥+-≤022,1.y x y B ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤≤0,022,10.x y x y C ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≤022,0,1.y x x y D2．目标函数,23y x z -=将其看成直线方程时，z 的意义为( )．A ．该直线的横截距B ．该直线的纵截距C ．该直线纵截距的21的相反数 D ．该直线纵截距的2倍的相反数 3．若⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤,2,2,2y x y x 则目标函数y x z 2+=的取值范围是( )．]6,2.[A ]5,2.[B ]6,3[⋅C ]5,3.[D4．已知目标函数,2y x z +=且变量x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥<+-≤-,1,2553,34x y x y x 则( )．3,12.min max ==z z A z z B ,12.max =无最小值z z C m ,3.=ω 无最大值 D.Z 无最大值，也无最小值5．给出平面区域如图3 -5 -2 -10所示，若使目标函数)0(>+=a y ax z 取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )．41.A 53.B 4.C 35.D6．如图3 -5 -2 -11，阴影部分的点满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,62,5y x y x y x 在这些点中，使目标函数y x z 86+=取得最大值的点的坐标是7．可行域D:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,0,04,01y x y x y x 与可行域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤250,40:y x E 对应的点集之间的关系是8．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则y x z 42+=的最小值为9．有一批钢管，长度都是4000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比大于31 配套，怎样截最合理？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2010年山东省模拟题）已知平面区域D 由以A(l ，3)，B(5，2)，C(3，1)为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数my x z +=取得最小值，则m 等于( )．2.-A 1.-B 1.C 4.D2．（2010年黄冈调考题）在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥42,,0,0x y s x y y x 下当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( )．]15,6.[A ]15,7.[B ]8,6.[C ]8,7[⋅D3．（2009年宁夏、海南高考题）设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22,1,42y x y x y x 则=z y x +( )．A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值4．（2009年天津高考题）设变量x ，y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,32,1,3y x y x y x 则目标函数y x z 32+=的最小值为( )．6.A7.B8.C 23.D5．（2008年北京高考题）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则=z yx 23+的最小值是( )．0.A 1.B 3.C 9.D6．（2009年山东高考题）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--,0,0,02,063y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则ba 32+的最小值为( )． 625.A 38.B 311.C 4.D 7．已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+,033,04,022y x y x y x 则22y x z +=的最小值为( )．13.A 54.B 1.C 56.D8．（2011年四川高考题）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1、名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=( )． A.4650元 B.4700元 C ．4900元 D.5000元 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）9．（2010年山东高考题）设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+1,40,32,102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点P(x ，y)到直线10=+y x 距离的最大值是10.设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--032,04202y y x y x 则x 的最大值是11.某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花 费 元．12．(2010年南京市模拟题)若由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥->+≤0,03),0(y y x n n m y x 确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接，圆的圆心在x 轴上，则实数m=三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（13分）（2010年黄冈模拟题）已知x ，y 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≥--≤--≤-+≤-+,30,0682,0632,082,06y x x y y x y x y x 求的最大值和最小值．14. (13分)甲、乙两公司生产同一种商品，但由于设备陈旧，需要更新．经测算，对于函数)()(x g x f 、及任意的,0≥x 当甲公司投入x 万元改造设备时，若乙公司投入改造设备费用小于)(x f 万元，则乙有倒闭的风险，否则无倒闭风险；同样，当乙公司投入x 万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于)(x g 万元，则甲公司有倒闭的风险，否则无倒闭风险． (1)请解释)0(),0(g f 的实际意义； (2)设,1021)(,5)(+=+=x x g x x f 甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能减少改造设备资金，问此时甲、乙两公司各投入多少万元？15.（14分）已知a ，b 都是正数，△ABC 是平面直角坐标系xOy 内，以两点A （a ，0）和B(O ，b)为顶点的正三角形，且它的第三个顶点e 在第一象限内，如图3 -5 -2 -12．(1)若△ABC 能含于正方形,10|),{(≤≤=x y x D |10≤≤y 内，试求变量a ，b 的约束条件，并在直角坐标系aOb 内画出这个约束条件表示的平面区域；(2)当(a ，b)在(1)所得的约束条件内移动时，求△ABC 面积S 的最大值，并求此时的（a ，b ）的值．单元知识整合二、本章知识整合1．不等式的性质．⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-.0,0,0)1(b a b a b a b a b a b a .)2(a b b a <⇔> .,)3(c a c b b a >⇔>> .)4(c b c a b a +>+⇒> .)5(b c a c b a ->⇒>+.0,;0,)6(bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>.00)7(bd ac d c b a >⇔⎭⎬⎫>>>> ⋅>⇒<<>>db c a d c b a 0,0)8( ⋅<⇒>>ba ab b a 110,)9( ⋅∈>⇒>>)(0)10(N n b a b a n n⋅∈>⇒>>)(0)11(N n b a b a n n .)12(d b c a d c b a +>+⇒⎭⎬⎫>>2．重要公式．,,,2)1(22R b a ab b a ∈≥+当且仅当b a =时取“=”．,2,,)2(*ab b a R b a ≥+∈当且仅当b a =时取“=”．3．常用结论．.0)1(2≥a.0||)2(≥a,11222*,,)3(22ba ab b a b a R b a +≥≥+≥+∈当且仅当b a =时取“=”．.,,,)4(222ca bc ab c b a R c b a ++≥++∈.)3(,,,)5(3*c b a abc R c b a ++≤∈ .2)6(22ab b a ≥+.,)]([),()7(max D x x f a D x x f a ∈≥⇒∈≥ .,)]([),()8(min D x x f a D x x f a ∈≤⇒∈≤4．一元二次不等式的解法，对于含有参数的一元二次不等式，在解答时，应对参数进行合理的分类讨论． 5．不等式的应用不等式的应用主要体现在两个大方面：一是不等式作为一种重要工具在研究解答数学学科本身有关问题及其他学科有关问题的应用；二是解决现实生活中、生产及科学技术领域内的实际问题．（l)不等式在研究解答数学学科本身有关问题中的应用，不等式应用主要是：利用不等式求函数的定义域、值域；利用不等式求函数最大值、最小值；利用不等式讨论方程根及有关性质． ①利用不等式求函数的定义域、值域．a.求函数定义域，首先要判断好函数类型，依各种不同函数的要求写出含有x 的不等式，如由几部分经加、减、乘、除等构成的函数，需求不等式组的解．b ．求函数值域，可以从)(x f y =解出)(1y fx -=来，然后由这个函数的定义域来确定原函数的值域；也可以由函数单调性确定值域：还可以将)(x f y =化为关于x 的二次方程形式，即,0)()()(3221=++y f x y f x y f 利用).(4)()(122y f y f y -=∆,0)(3≥y f 解这个不等式来求函数值域.②利用不等式求函数最大值、最小值.函数的最大值和最小值问题是中学数学中一个重要问题，解决函数最大值、最小值问题主要依据实数的有关性质、重要不等式及定理、函数单调性、有界性等．求函数最大值、最小值的主要方法有公式法（利用重要不等式和算术平均数与几何平均数定理）、配方法、判别式法、换元法等，求函数的最大值、最小值一定要注意函数定义域.③利用不等式讨论方程根及有关性质．对于二次方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有⇔>∆0方程有两个不相等的实根；⇔=∆0方程有两个相等的实根； ⇔<∆0方程没有实根．(2)不等式在解实际应用问题中的应用，不等式在解决生产、科研及日常生活的实际问题中有着广泛的应用．近些年来，随着高考对实际应用题考查的力度加大，越来越被人们所重视，一大批以实际问题为背景的应用题陆续问世，从而也推动了对应用题的学习与研究．不等式在实际中的应用主要体现在利用不等式的有关知识求函数的最小值、最大值、范围等． 6．简单的线性规划．(1)二元一次不等式表示平面区域，在平面直角坐标系中，已知直线,0=++C By Ax 坐标平面内的点),,(00y x P 则二元一次不等式0>++C By Ax 或+Ax 0<+C By 表示在直线0=++C By Ax 的某一侧的平面区域.①若,000>++C By Ax 则点),(00y x P 在直线=++C By Ax 0的上方； ②若,000<++C By Ax 则点),(00y x P 在直线=++C By Ax 0的下方： ③通常情况下，点),(00y x P 取原点较方便.另外，对于直线方程0=++C By Ax 中的系数==/B B B ,0(),0将方程留草化，不外乎有两种情形：0>B 或.0<B 对于任意的二元一次不等式0>++C By Ax （或< 0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变为正数．a ．当B>0时，0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的上方区域；0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的下方区域．b ．当B<O 时，,00<---⇔>++C By Ax C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的下方区域；,00>---⇔<++C By Ax C By Ax 表示直线=++C By Ax 0的上方区域．(2)线性规划．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．实际生产中的许多问题都可以归结为线性规划问题．(3)画二元一次不等式0>++C By Ax 表示的平面区域时，把直线0=++C By Ax 画成虚线表示区域不包括直线；当我们画不等式0≥+⋅+C By Ax 所表示的平面区域时，把边界直线画成实线，表示包括边界直线．(4)确定区域时只需在某区域内取一个特殊点),,(00y x 看此点是否能使不等式或不等式组都成立．若成立，则此点在区域内：若不成立则此区域非可行域，特殊地，当0=/C 时，常把原点作为此特殊点． (5)可行域一般用阴影部分表示．(6)求目标函数by ax +在线性约束条件下的最大值或最小值时，一般先画出直线,0=+by ax 作一组平行于直线0=+by ax 的直线，当直线经过可行域上的点且距原点最远或最近时，+ax by 的值即为最大值或最小值．(7)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，理解上述问题是本课时的重点，而难点在于将实际问题转化为数学问题（即线性规划问题），关键在于确定约束条件和目标函数．①生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题．②解题时应注意先把众多的数据列成一个表格，再写约束条件、目标函数、作可行域． ③作可行域时图形应尽量正确规范，一般要求把可行域用阴影涂出来， ④实际问题的最优解一般都为正整数，最后要有回答． 三、重要专题选讲专题1 基本不等式的应用 专题详解：运用基本不等式及其变形形式可以比较两实数大小，证明不等式，求函数的最值（或值域），求某些参变量的取值范围等．在运用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”是否同时具备，否则易出现错误．[例1] 已知,,02,0222a bc c ab a a >=+->试比较a ，b ，c 的大小．[解析] 条件中合有等式与不等式两种结构，可考虑从等式出发，求得某些量，代入不等式运算．[答案] 解法一：由,0222=+-c ab a得.2,22222ab c a ac a b =++=.0,0.0,02>∴>>>∴>c a Rbc b a ,0)(2≥-c a 即,0222≥-+ac c a.022≥-∴ac ab即.0.0)(2.≥-∴≥-c b c b a若,0=-c b 即.c b =则由,0222=+-c ab a 得,c b a ==.2a bc =∴这与2a bc >矛盾，,0>-∴cb 即.c b >由ac a b 222+=及,2a bc >得..2222a c a c a >+ .0)2)((22<++-∴c ac a c a,0,0,0,0<-∴>>>c a c b a 即.c a < .b c a <<∴解法二：由,0,0222>>=+a ab c a 得.0>b 由2,0a bc b >>得.0>c又,2222ac c a ab ≥+=当且仅当c a =时，取等号..c b ≥∴若,c b =则,,2a bc c b a =∴==这与2a bc >矛盾．.c b >∴由,,2a bc c b >>得.,22a b a bc b >∴>> 又,22222a ab c a >=+.,22a c a c >∴>∴综上可知：.a c b >>[启示] 本例两种解法均综合应用了不等式的性质，可见不等式的性质在比较大小和判断不等关系中的应用．[例2] 设,1,0,0=+>>b a b a 求证：++2)1(a a ⋅≥+225)1(2b b [证明] ,21,1,0,0ab b a b a b a ≥+=∴=+>> .41,21≥∴≤ab ab ,22ba ba +≤+ .)2(2222b a b a +≥+∴2)1()1(22≥+++∴b b a a =+++2]211[b b a a 2)121(2)111(22ab b a +≥++ ≥+++∴≥22)1()1(225b b a a 225（当且仅当21==b a 时同时取等号）． [启示] 本题用了常见结论,222b a b a +≤+记住这一结论可帮我们找到解题思路，但此不等式要给予证明.强化练习11．比较)(22b a b a +++与的大小⋅>>)0,0(b a[答案] 因为,112b a b a +++=++由于,21a a ≥+,21b b ≥+所以=+≥++b a b a 222)(2b a +所以+2⋅+≥+)(2b a b a2．已知,,,+∈R c b a 且,1=++c b a 求证：.9111≥++cb a [答案] 证明：=++++++++=++c c b a b c b a a c b a c b a 111+++)(3b a a b ≥+++)()(cbb c c a a c .92223=+++当且仅当31===c b a 时，取等号．3．设,0,1,0>=/>t a a 比较t a log 21与21log +t a 的大小，并证明你的结论． [解析] 比较两数大小关系，有作差和作商两种方*法，本题可以通过作差来比较。
学案4简单的线性规划
y+1-x-y＞x
1
{ x+y＞2 , x＜ 1 , 2 y＜ 1 . 2
名师伴你行
再分别在同一坐标系中作直线x=
1 2
，y=
1 2
，
x+y= 1 ，易知A正确.
2
故应选A.)
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考点二 平面区域的面积问题
名师伴你行
{ y≥0 y≤x 如果由约束条件
y≤2-x
所确定的平面区域的面积
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＊对应演练＊
名师伴你行
设集合A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}， 则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是 （）
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名师伴你行
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A(由于x，y，1-x-y是三角形的三边长，
故有
{ x+y＞1-x-y x+1-x-y＞y
角形区域（包括边界），其中三个顶点坐标分别是 O
（0，0） ， C（-2，0）， B（0，2）. 再画出直 线
x+y=-2与x+y=1，记直线x+y=1与y-x=2、y轴的交 点
分别为点D，E，则点D(- 1 ，3 )，E（0，1）.结合图 22
形可知，当a从-2连续变化到1时，动直线扫过A中的那
部分区域是四边形OCDE，因此所求区域的面积等于
(x,y)叫作 可行解 ，由所有可行解组成的集合叫
作 可行域 .分别使目标函数取得最大值和最小值的解，
叫作这个问题的
最优解.
(3)设目标函数z=ax+by+c,当b＞0时，把直线l0:ax+by=0 向 上 平移时，所对应的z随之增大；把l0向 下 平移时， 所对应的z随之减小.
学案6：3.5.2 简单线性规划
3.5.2 简单线性规划学习目标导航1．了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．(重点)2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 简单的线性规划 阅读教材，完成下列问题． 1．线性规划中的基本概念如果两个变量x ，y 满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的 ，那么我们称这个线性函数为目标函数，称 为约束条件，像这样的问题叫作 问题．在线性规划问题中，满足约束条件的 称为可行解，由所有可行解 称为可行域，使目标函数取得 称为这个问题的最优解． 2．求目标函数最值的步骤在约束条件下，当b ＞0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为： (1)作出 ；(2)作出直线l 0： ；(3)确定l 0的 ，依可行域判断取得最优解的点；(4)解相关方程组，求出 ，从而得出目标函数的最小值或最大值．随手练判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x 或y 的值．( ) (2)线性目标函数的最优解是唯一的．( )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )类型1求线性目标函数的最值例1 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．[再练一题]类型2已知最值求参数例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3[再练一题]2．已知x ，y ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k 等于( )A ．2B ．9C ．310D ．0 [探究共研型]探究点非线性目标函数的最值探究1 若(x ，y )为可行域内的任意一点，能否求出x 2＋y 2的最值？怎样求？探究2 若(x ，y )为可行域内的任意一点，能否求出y －ax －b类型的最优解？怎样求？例3 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．[再练一题]当堂检测1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．22．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．123．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 的值为________.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域内到直线y ＝2x －4的距离最远的点的坐标为________． 5．若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，求目标函数z ＝x ＋3y 的最大值与最小值．参考答案[基础·初探]教材整理 简单的线性规划阅读教材，完成下列问题． 1．线性规划中的基本概念最大值或最小值，一次不等式组 二元线性规划 解(x ，y ) 组成的集合 最大值或最小值的解 2．求目标函数最值的步骤(1)可行域； (2) ax ＋by ＝0； (3)平移方向 (4)最优解随手练【解析】(1)最优解指的是使目标函数取得最值的可行解(x ，y )． (2)最优解不一定唯一，可能有无穷多个．(3)z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上截距得b 倍． 【答案】(1)× (2)× (3)×类型1求线性目标函数的最值例1 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.【答案】－5 [再练一题]1．【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.【答案】－10类型2已知最值求参数例2 【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B. 【答案】B [再练一题]2．【解析】先根据约束条件画出可行域，设z ＝2x ＋4y ，将最大值转化为y 轴上的截距，当直线z ＝2x ＋4y 经过点A 时，z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，2x ＋4y ＝－6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，代入直线x ＋y ＋k ＝0得，k ＝0.【答案】D[探究共研型]探究点非线性目标函数的最值探究1 【提示】可以求，利用几何意义求解，x 2＋y 2可以看作可行域内的任意一点到原点的距离的平方．探究2 【提示】可以求，利用几何意义求解，y －a x －b 可以看作可行域内的任意一点与Q (b ，a )连线的斜率．例3【解】依约束条件作出可行域为图中阴影部分，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故z min ＝d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－5＋2|12＋(－1)22＝92.(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2×y ＋12x ＋1可以看作可行域内的点(x ，y )与点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率k 的2倍，其范围是k QB ≤k ≤k QA ，而k QB ＝1－⎝⎛⎭⎫－123－(－1)＝324＝38，k QA ＝3－⎝⎛⎭⎫－121－(－1)＝722＝74.故z ＝2k ∈⎣⎡⎦⎤34，72. [再练一题]3．【解析】画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. ∴A (1,3)． ∴yx的最大值为3.【答案】3当堂检测1．【解析】约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数y ＝2x ＋z 经过直线x －y －2＝0和y ＝3的交点(5,3)时，z 取得最小值－7.【答案】A2．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.【答案】C3．【解析】可行域如图所示，设x ＋y ＝9.显然只有在x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点处满足要求．解得此时x ＝4，y ＝5，即点(4,5)在直线x －my ＋1＝0上，代入得m ＝1.【答案】14．【解析】在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)及直线y ＝2x －4，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，点(－1,0)到直线y ＝2x －4的距离最远．【答案】(－1,0)5．【解】满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6的可行域如图阴影部分所示，作出直线x ＋3y ＝0，通过平移直线可知当直线过点A (2,2)时，z 取最小值，z min ＝2＋3×2＝8，过点B (2,4)时，z 取最大值z max ＝2＋3×4＝14，∴z ＝x ＋3y 的最大值为14，最小值为8.。
高一数学复习学案：第6课时 简单的线性规划问题(1)
【学习目标】1． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2． 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题。
【学习重点】体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题。
【学习难点】培养学生问题转化的能力。
【预习内容】1、判断下列求法是否正确若实数 x, y 满足 ① 求2x+y 的取值范围. ② 解：由①、②同向相加可得：6≤2x ≤10 ③由②得：-4≤y-x ≤-2将上式与①式同向相加得 0≤y ≤2 ④③+④得 6≤2x+y ≤12如果错误错在哪？如何来解决这个问题呢？【新知学习】 本题即求在满足 的前提下，求2x+y 的最大和最小值 问：求2x+y 的最大、最小值x 、y 要满足什么条件？问题1：在坐标系中代表哪部分平面区域？问题2：在这个区域中，如何取到2x+y 的最大最小值？令Z=2x+y ，得到y=-2x+Z,斜率是 ，纵坐标上截距是 要求Z 的最大（最小）值就是使直线y=-2x+Z 的 最大（最小）问题:3：如何作出这条直线？【新知深化】1.方法总结：在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为：2.概念剖析：⑴线性目标函数：关于 x 、y 的一次式 z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．⑵线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ⑶可行解、可行域和最优解：①满足线性约束条件的解(x , y ) 叫可行解．②由所有可行解组成的集合叫做可行域．③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．⎩⎨⎧≤-≤≤+≤.42,64y x y x ⎩⎨⎧≤-≤≤+≤.42,64y x y x练习 1.：求 z = 2 x + y 的最大值，其中x 、 y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩变式训练：已知实数x 、y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，求2Z x y =-的取值范围【新知巩固】1、 已知x 、 y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩求z = 2x + 4 y 的最小值2、 已知31<+<-b a 且42<+<b a ，求b a 32+的取值范围。
简单线性规划导学案(含答案).doc
简单线性规划（导学案）【知识梳理】1.判别不等式Ax + By + C> O（£^A X + fiy + C < 0）表示的平面区域时，只要在直线Ax + By+ C = 0的一侧任取一点（x0, y0）（一般当直线不经过原点时，代入原点检验），将它的坐标代入不等式，如果该点坐标满足不等式，不等式就表示该点_______________________ 的平面区域，如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的___________ 的平面区域。
由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
2.不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.3.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题•满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域. 其中可行解（孔,儿）和（勺」2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行4.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.（2）设z=0,画出直线厶.（3）观察、分析，平移直线厶，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.1.重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域，掌握线性规划的图解法2.难点：如何确定不等式+By +C > 0（或〈0）表示Ax +By +C =0的哪一侧区域，如何寻求线性规划问题的最优解.课前预习：变1.x - y + 5 > 0.不等式组x+y>0 表示的平面区域的面积为x<01212A.一B. "\/2 — 152. 360 p n2自主学习2, pt示c.兰25D.1.不等式2.x - y-4 > 0表示的平面区域在直线2.x- y -4 = 0的（）（A）左上方（B）右上方（C）左下方（Q）右下方2.表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（）2x - y + 2 < 02x-y + 2>02x-y+2>02x-y+ 2 V 03) <x-l>0 (B)<x-l>0(C)x-l<0(D)x —IVO 丿<20< y <20< y <20< y <2x+y <4,3.已知点P（x,y）的坐标满足条件< y > x,则%2 + y2的最大值为（A ）x > 1.A. A/10B. 8C. 16D. 104.360p II2自主学习1, pm自主学习1、2考点一：不等式（组）表示的平面区域的求法例1. 360 p II2示范1, PM展示1，2.课时作业0364 1、7考点二：求最值问题x+y>2例2. （07福建）已知实数x、y满足<x-y<2 ,则Z = 2x-y的取值范围是0 < y < 3例3.示范2,展示2 '^>0变式：1.已知满足约束条件,<3x + 4y24则H + y2 + 2x的最小值是（y>0考点三：最优解问题例3.（北京市崇文区2009年3月高三统一考试文）在如下图A(2A. 12万20万元 25万元 27万元所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z=x+ay 取 得最小值的最优解有无数个，则&等于（） A. 1B. -1C. 3D. -3变式.给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数z = ax+y （.a>0）取得 最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（）1 3 5 （A ） - （S ） - （C ） 4 （D ） j考点四：可转化为线性规划解决的不等式问题例4. 360 pi”示范2变式：1.设函数 /(X )= ax 2 -c(a,c & R,a ^0 )又-4 < /(-I) < 1, -1 < /(2) < 5 , 求几3）的最小值、最大值以及取得最小值、最大值时a,c 的值. 2.课时作业几64 4考点五：线性规划解决应用问题 例5. 刃14示范1，展示1变式：（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
简单线性规划学案含答案
)(一3.5.2简单线性规划自主学习知识梳理线性规划中地基本概念在线性目标函数z＝Ax＋By (B≠0)中,目标函数z地最值与截距之间有怎样地对应关系？请完成下面地填空．1．线性目标函数z＝Ax＋By (B≠0)对应地斜截式直线方程是__________________,在y轴上地截距是________,当z变化时,方程表示一组____________地直线．2．当B>0时,截距最大时,z取得________值,截距最小时,z取得________值；当B<0时,截距最大时,z取得________值,截距最小时,z取得________值．对点讲练知识点一求线性目标函数地最值问题12y≥x＋3???10≤＋xy 地最大值和最小值．－y＝,1例线性约束条件求z2x下??12y ≥3x＋，≥3x＋y???，≥－1x－y地最小值为3x,y满足约束条件yz＝2x＋则目标函数变式训练1设变量??，y≤32x－)(23．8D．A．6B．7C 知识点二求非线性目标函数地最值问题0≥x＋y－22??1y＋?04≥x－2y＋＝地最大值和最小值．,例2已知实数x、y满足试求z1＋x??0≤3x－y－3b－y 两点连线地斜率．x,y)(a,b)与(总结若目标函数为形如z＝,可考虑ax－)b(y－＝(x－a)＋若目标函数为形如z22 b)两点距离地平方．a,y)与(,,可考虑(x05≥2x＋y－??22?0－y－5≤3x ________＋y．地最小值和最大值分别是,则变式训练2已知x??02－y＋5≥x和平面区域有关地参数问题知识点三0≥2y－19x＋??x?0≥＋8x－y y＝a例3设二元一次不等式组,所表示地平面区域为M,使函数??02x＋y－14≤地取值范围是()地图象过区域M地a≠(a>0,a1)A．(1,3] B．[2,10] C．[2,9]D．[10,9]地图象特征是解决本题地关键．x a,熟知指数函数y＝总结准确作出可行域，≥0x－y??，2＋y≤2x?地取值范围a则变式训练3若不等式组,表示地平面区域是一个三角形，≥0y??，x＋y≤a ．是________轴上地截距y总是与直线在z,地含义z要搞清楚,用图解法求线性目标函数地最值时．1．有关．还要给可行域地各顶点标上注意标出相应地直线方程,2．作不等式组表示地可行域时,确定最要注意线性目标函数地斜率与可行域中边界直线地斜率进行比较,,平移直线时,字母优解．利用数形结合方法首先考虑目标函数地几何意义,3．在解决与线性规划相关地问题时,.可迅速解决相关问题课时作业一、选择题，4＋y≤x???，y≥x )地坐标满足条件x,y1．已知点P(??，≥1x22)＋y地最大值为(则x10 ．16D．A.10B．8C，≤402x＋y??，≤50x＋2y?则z＝3x＋2x,y满足y地最大值是()2．若变量，0x≥??，0y≥40．70D．A．90B．80C??0≥y?????x≤yN?,|区域M＝＝其中区域3．在坐标平面上有两个???xy≤2－{(x,y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1},区域M和N公共部分地面积用函数区域M和N,?x，y?f(t)表示,则f(t)地表达式为()122＋2t2tt ＋t＋B．－A．－21122 2)(t．1－t－D.C22x－y＋1≤0，?y?4．若实数x,y满足则地取值范围是()?1－xx>0，??A．(－1,1) B．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C．(－∞,－1) D．[1,＋∞)二、填空题，≥xy???，≤2＋2yx则z＝x满足约束条件5．设变量x,y－3y地最小值为________． ??2.x≥－，≤0yx＋－1??22?，1≥0－xy＋－4x－4y＋8,则u＝且uxy＋6．已知地最小值为________．??，1≥－y三、解答题7．已知1≤x＋y≤5,－1≤x－y≤3,求2x－3y地取值范围．0?≥y＋5x?＋y??x－??．求不等式组表示地平面区域地面积．8?3x≤－3≤??3．5.2简单线性规划(一)知识梳理不等式或方程一次一次线性约束条件可行解最大值或最小值线性约束自主探究Azz1．y＝－x＋互相平行BBB2．最大最小最小最大对点讲练例1解如图作出线性约束条件?12≥x＋3y??下地可行域,包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于10y≤x＋??12≥3x＋y(3,3),A点x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1),x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9),作一组与直线2x－y＝0平行地直线l：2x－y＝z即y＝2x－z,然后平行移动直线l,直线l在y轴上地截距为－z,当l经过点B时,－z取最小值,此时z最大,即z＝2×9－1＝17；当l经过点C时,－z取最大值,此时z最小,即z＝minmax＝17,z＝－7.z∴＝－7.2×1－9minmax变式训练1B[作出可行域如图所示：由图可知,z＝2x＋3y经过点A(2,1)时,z有最小值,z地最小值为7.]例2解由题意知,作出线性约束条件下地可行域如图所示,且可求得y＋1y－?－1?＝,＝zC(1,0)．由于A(2,3),B(0,2),?1－?x＋－1x所以z地几何意义是点(x,y)与点M(－1,－1)连线地斜率,y＋1因此地最值就是点(x,y)与点M(－1,－1)连线地斜率地最值,1＋x结合图可知,直线MB地斜率最大,直线MC地斜率最小,即z＝k＝3,此时x＝0,y＝MBmax2；1＝k＝,此时x＝z1,y＝0.MCmin225,25变式训练?05≥2x ＋y －??地可行域如图所示,0－y －5≤3x 作出不等式组解读??0≥＋5yx －2?0＋y5＝x－2?由?,?0＝x2＋y－5?(1,3),A得?x－2y＋5＝0?由?, ?3x－y－5＝0?(3,4),B得．?05＝x－y－3?由?,?0＝＋y－52x?(2,1),得Cyx＋设z＝22地距原点到点B,结合图形知,,则它表示可行域内地点到原点地距离地平方, 离最大C地距离最小．,∴原点到点注意到OC⊥AC→→5.＝＝|OCzz＝|OB＝25,故22||minmax,作二元一次不等式组地可行域如图所示3C[例．(1,9),C(3,8)由题意得A ；＝9a取最大值,此时aA当y＝a过(1,9)时,x2, ＝此时a,a取最小值,a 当y＝过C(3,8)时x9.]a≤≤∴24 a≥a≤1或变式训练30< 3 解读,不等式表示地平面区域如图所示22??,AOB时表示地区域是a＋y＝过A△当x??334 ；此时a＝34 ；△AOB>时,表示区域是a当 3 ；1＝a此时,DOB△时表示地区域是(1,0)B过a＝y＋x当时可表示三角形；a当0<<1, 当a<0时不表示任何区域4 区域是四边形．,<1<当a时34≥1a故0<≤或a.3 课时作业画出不等式组对应地可行域如下图所示：[D．1．OC＝C(1,3),OA＝B(2,2),OB＝A易得(1,1),＝＝OC＝10. ＋y2222)∴(x max＋y＝OC＝＝10.] 2222)∴(x max2．C[作出可行域如图所示.13由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50地斜率分别为－2、－,而3x ＋2y ＝0,故线性22目标函数地倾斜角大于2x ＋y ＝40地倾斜角而小于x ＋2y ＝50地倾斜角,由图知,3x ＋2y ＝z 经过点A(10,20)时,z 有最大值,z 地最大值为70.]0y ≥??xy ≤所表示地平面区域． 作出不等式组3．A [?x ≤2－y得t≤1,x≤t＋1,0≤≤由tS－－S (tS)＝f△△BFCAODOEF△111＋tt－＝－＋＝1222 )(1－t222B．4y地几何意义是区域内点与(1,0)连线地斜率,易求得,[可行域如图阴影部分所示x－1yy>1或<－1.] x－1x－15．－8作出可行域如图所示．解读8. 3×2＝－2时,z有最小值,此时z地最小值为－－y可知当x－3＝z经过点A(－2,2)96.2, ,y)在图中阴影部分解读点(x)＝x－2)＋(y－2)由已知得(222, 1|－|2＋293＝＝＝则,u minmin221＋17．解作出一元二次方程组?5y≤≤x＋1? )即可行域．所表示地平面区域(如图?3≤－≤xy－1??12＝yy,把它变形为z＝2x－3考虑得到斜率为－z,3312当直线截距最大且满足约束,y 轴上地截距变化地一组平行直线,－z是直线在,且随z33x2z＝－3y取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数条件时目标函数z＝2x 取得最大值．3y－z最小．,截距最大,即2x－3y经过可行域上地点A时由图可知,当直线z＝?1y＝－x－?解方程组?,?5＝x＋y?．A地坐标为(2,3)得5.＝－×3×2－32＝所以z2x－3y＝min最大．z截距最小,即yx－3经过可行域上地点B时,2当直线z＝?3＝x－y?解方程组?,?1y＝x＋?7.＝1)－(×3－2z1),(2,B得地坐标为－所以×2＝y3－x2＝max∴2x－3y地取值范围是[－5,7]．?0≥5?x－y＋???x＋y??不等式组8．解3x≤－3≤??,所表示地可行域如图所示111与高分别为与11,,其可行域为两个等腰直角三角形其底边长分别为1 226111111＝＋,可行域地面积为所以.×11××1×22222。
《简单的线性规划问题》课件ppt.
问题1:画出下列不等式组所表区域.x+2y<84x<16v4y<12x>0问题2：求z=2x+3y 的最大值.।y问题：求z=2x+3y 的颦本值.x+2y<84x<16在y 轴上的截距为2的O<4y<12x>0X+京这是 JEz=2x+3y^^^5?^|x^x+2j<84x<16 <4y<12x>0”0|yix+2y<84x<16<4y<12=0x>0解线性规划问题的步期(1)画：画出线性约束条件所表示(2)移：在线性目标函数所表示的-线中，利象这样关于x,yf»约束条件称为线性Z=2x+3麻为目标函数，（因为关于x,y的一次式,又变式:求线性目标函数，在线性约1统称为线性规划问用平移的方法找域有公共点且纵截距最大或最体验:一、先定可行域和平移方向，屑二、最优解一般在可行域的顶点三、在哪个顶点取得不仅与B的;而且还与直线Z=Ax+By的小结本节主要学习了线性约束下1标函数的最值问题正确列出变量的不等关系式:可行域是解决目标函数最值的关大、r..>fc*4f(类型一求线性目标函数的最【例1】(2010・全国I)若变量n人满<，则z=jc—2y的最大值为、之一?一2式0(A)4(B)3(02【思路探索】先根据约束条件画出可行域¥法.求得最值.把求最大值或求最小值的的函数称为I满足线4距为一二,随这变化的一组平行直线.由医为它是关于变量X 、y 的一次解析式，又称在线性约束条件下求线性目标函数的胄问题，统称为线性规划问题N相关概念一组关于变量x 、y 的一次不等式，称条件。
(x,y)叫做可行解。
【自主解答】选B,画出约束条件表示的可行域,如图所示，把£=4—2y 变形为y，得到斜率为3.在y 轴的截工.广2=6z 2。
人教a版必修5学案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。
习题课：简单的线性规划 学案(含答案)
习题课：简单的线性规划学案（含答案）习题课简单的线性规划学习目标1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的非线性函数的最值.预习导引1.二元一次不等式的几何意义对于任意的二元一次不等式AxByC0或0，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B0时，1AxByC0表示直线AxByC0上方的区域；2AxByC0表示直线AxByC0下方的区域.2.用图解法解线性规划问题的步骤1确定线性约束条件；2确定线性目标函数；3画出可行域；4利用线性目标函数直线求出最优解.3.线性规划在实际问题中的题型主要掌握两种类型一是给定一定数量的人力.物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力.物力资源最小.题型一二元一次不等式表示的平面区域在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分xm逐条分段统计.例1画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题1指出x，y 的取值范围；2平面区域内有多少个整点解1不等式xy50表示直线xy50上及右下方的点的集合，xy0表示直线xy0上及右上方的点的集合，x3表示直线x3上及左方的点的集合.所以，不等式组表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x，y3,8.2由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；平面区域内的整点共有2468101242个.跟踪演练1在平面直角坐标系中，有两个区域M，N，M是由三个不等式y0，yx和y2x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式txt10t1所确定.设M，N的公共部分的面积为ft，则ft等于A.2t22tB.t22C.1t2D.t2t答案D解析作出由不等式组组成的平面区域M，即AOE 表示的平面区域，当t0时，f011，当t1时，f111，当0t1时，如图所示，所求面积为ftSAOESOBCSFDE21t22t12t2t，即ftt2t，此时f0，f1，综上可知选D.题型二生活实际中的线性规划问题1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值.2.线性目标函数zaxby取最大值时的最优解与b 的正负有关，当b0时，最优解是将直线axby0在可行域内向上平移到边界一般是两直线交点的位置得到的，当b0时，则是向下方平移.例2医院用甲.乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问应如何使用甲.乙原料，才能既满足营养，又使费用最省解将已知数据列成下表原料/10g蛋白质/单位铁质/单位甲510乙74费用32设甲.乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，那么目标函数为z3x2y，作出可行域如图所示把z3x2y变形为yx，得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一簇平行直线.由图可知，当直线yx经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小.由得A，3，zmin32314.4.甲种原料1028g，乙种原料31030g，费用最省.规律方法数学应用题解决的关键就在于正确地审清题意，正确地建模，切忌对题意盲加猜测，不按题意去解.另外解决这类题目时，要特别注意，目标函数所代表的直线斜率与边界直线斜率大小的比较，忽视了这一点，往往会出错.跟踪演练2某工厂有甲.乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个按工作日计算；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大.答案2024解析设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，依题意约束条件为目标函数为S7x12y.可行域如图所示，从图中可以看出，当直线S7x12y经过点A时，直线在y轴上截距最大，所以S也取最大值.解方程组得A20,24，故当x20，y24时，Smax7xx24428万元.题型三数形结合思想的应用1.求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是2.常见代数式的几何意义主要有以下几点1表示点x，y与点a，b的距离；表示点x，y与原点0,0的距离.2表示点x，y与点a，b连线的斜率；表示点x，y与原点0,0连线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.例3变量x.y满足1设z4x3y，求z的最大值；2设z，求z的最小值；3设zx2y2，求z的取值范围.解由约束条件作出x，y的可行域如图所示.由解得A.由解得C1,1.由，解得B5,2.1由z4x3y，得yx.当直线yx过点B时，最小，z最大.zmax453214.2z，z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zminkOB.3zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.跟踪演练3已知实数x.y满足求zx2y2的最大值，并求出z取最大值时x.y的值.解根据条件，作出可行域，如图，zx2y2可看成可行域内的点x，y到原点的距离的平方，因此，要使z最大，只需在可行域内找出到原点距离最大的点即可.显然，A3,5到原点的距离最大，因此最优解为3,5，即x3，y5时，zmax325234.课堂达标1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元.70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有A.5种B.6种C.7种D.8种答案C解析设购买软件x片，磁盘y盒.则画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示.落在阴影部分含边界区域的整点有3,2，3,3，3,4，4,2，4,3，5,2，6,2，共7个整点.2.已知点Px，y的坐标满足条件则x2y2的最大值为A.B.8C.16D.10答案D解析画出不等式组对应的可行域如图所示易得A1,1，|OA|，B2,2，|OB|2，C1,3，|OC|.x2y2max|OC|2210.3.若x，y满足则z的最大值是________.答案3解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示包括边界.z可看作可行域上的点x，y与定点B1,1连线的斜率.由图可知z的最大值为kAB3.4.已知实数x，y满足则zx2y2的最小值为____________.答案解析实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin2.课堂小结1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解比如人数.车辆数等而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.。
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学案 简单的线性规划问题与基本不等式
一简单的线性规划问题
（一）、自主梳理
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)判断不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax ＋By ＋C 的正负．当C ≠0时，常选用______________．
(2)画不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域时，其边界直线应为 ；画不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域时，边界直线应为 ．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定 、特殊点定
2．线性规划的有关概念
(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．
(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．
(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．
(4)可行解：满足________________的解(x ，y )．
(5)可行域：所有________组成的集合．
(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解．
（二）、巩固练习
1．图中表示的区域满足不等式( )
A ．2x ＋2y －1＞0
B ．2x ＋2y －1≥0
C ．2x ＋2y －1≤0
D ．2x ＋2y －1＜0
2．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，则满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( )
A ．10
B ．9
C ．3
D ．无数
3．已知点(－3,1)和(0，－2)在直线x －y －a ＝0的一侧，则a 的取值范围是( )
A ．(－2,4)
B ．(－4,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
4. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0x ＋y ≥0
2≤x ≤3表示的平面区域是一个( )
A ．三角形
B ．直角梯形
C ．梯形
D ．矩形
5．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
6.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，
则z ＝2x －y 的最大值为________.
7．在平面直角坐标系中， 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0
(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为
3．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧ 0≤x ≤
2，y ≤2，x ≤2y
给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为
9.变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1，
(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值；
(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围
10．某家具厂有方木料90 m 3 ，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2；生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元；出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所获利润最大？
二、基本不等式
（一）、自主梳理
1． 基本不等式
(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥________ (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b
≥____(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a 2＋b 22.
3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.
4．利用基本不等式求最值问题
已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最____值是________(简记：积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________(简记：和定积最大)．
5.双钩函数)0()(>+=a x
a x x f 的图像 （二）、巩固练习
1．下列函数中，最小值为4的函数是( )
A ．y ＝x ＋4x
B ．y ＝sin x ＋4sin x
(0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 81 2.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b
的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92
D ．5 3．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b
的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.14
4．给出下面四个推导过程：
①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b
＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a
·a ＝4； ④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2(－x y )(－y x
)＝－2. 其中正确的推导过程为( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
5．设函数f (x )＝2x ＋1x
－1(x <0)，则f (x )有最________值为________ 6．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围为________________．
7.若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值________
8.求函数y ＝x 2＋8x －1
(x ＞1)的最值
9.若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________
10.（1）求x x y 1+
=的取值
(2)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5
的最大值；
（3）求4
14)(22++
+=x x x f 的取值范围
（4）已知0<x <43
，求x (4－3x )的最大值 11．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．
(三)反思与总结。