历年全国卷高考数学真题汇编
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编【2023年真题】1. （2023·新课标I 卷 第7题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列：乙：{}n sn为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2. （2023·新课标II 卷 第8题） 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S = ( ) A. 120B. 85C. 85-D. 120-3. （2023·新课标I 卷 第20题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且 1.d >令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和.(1)若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式; (2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求.d4. （2023·新课标II 卷 第18题）已知为等差数列，，记n S ，n T 分别为数列，的前n 项和，432S =，316.T =(1)求的通项公式；(2)证明：当5n >时，n S .n T >【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第17题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)证明：121112.na a a +++< 6.（2022·新高考II 卷 第17题）已知{}n a 为等差数列，{}nb 为公比为2的等比数列，且223344.a b a b b a -=-=-(1)证明：11;a b =(2)求集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素个数.【2021年真题】7.（2021·新高考II 卷 第12题）（多选）设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ，则( ) A.()()2n n ωω=B. ()()231n n ωω+=+C. ()()8543n n ωω+=+D. ()21nn ω-=8.（2021·新高考I 卷 第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____________________；如果对折*()n n N ∈次，那么12n S S S ++= __________2dm . 9.（2021·新高考I 卷 第17题）已知数列{}n a 满足11a =，，记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； 求{}n a 的前20项和.(1)(2)10.（2021·新高考II 卷 第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244.a a S =(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求使n n S a >成立的n 的最小值．【2020年真题】11.（2020·新高考I 卷 第14题、II 卷 第15题）将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{n a }，则{}n a 的前n 项和为__________.12.（2020·新高考I 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8.a a a +==(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100.S13.（2020·新高考II 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38.a =(1)求{}n a 的通项公式；(2)求1223a a a a -+…11(1).n n n a a -++-参考答案1. （2023·新课标I 卷 第7题） 解：方法1:为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1(1)2n n n S na d -=+，111222n S n d d a d n a n -=+=+-，112n n S S dn n +-=+， 故{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件，， 反之，{}n Sn为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t 即1(1)n nna S t n n +-=+，故1(1)n n S na t n n +=-⋅+故1(1)(1)n n S n a t n n -=--⋅-，2n …两式相减有：11(1)22n n n n n a na n a tn a a t ++=---⇒-=，对1n =也成立，故{}n a 为等差数列， 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选.C 方法2:因为甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为.d 即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，故{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，乙：{}n S n为等差数列.即11n n S S D n n +-=+，1(1).n SS n D n =+-即1(1).n S nS n n D =+-当2n …时，11(1)(1)(2).n S n S n n D -=-+-- 上两式相减得：112(1)n n n a S S S n D -=-=+-， 所以12(1).n a a n D =+-当1n =时，上式成立．又1112(2(1))2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数.所以{}n a 为等差数列． 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选C . 2. （2023·新课标II 卷 第8题）解：2S ，42S S -，64S S -，86S S -成等比数列，242224264264262(1)55(21)521S S q S q S S S q S S q S S S⎧-=⎧+=-⎪-==+⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎩从而计算可得24681,5,21,85S S S S =-=-=-=- 故选.C3. （2023·新课标I 卷 第20题）解：因为21333a a a =+，故3132d a a d ==+，即1a d =，故n a nd =，所以21n n n n b nd d++==，(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d +=，又3321S T +=，即34362122d d ⨯⨯+=，即22730d d -+=，故3d =或1(2d =舍)， 故{}n a 的通项公式为：3.n a n =(2)方法一：(基本量法)若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+，即11123123422a d a a d⨯⨯⨯⨯=+++，即2211320a a d d -+=，所以1a d =或12;a d =当1a d =时，n a nd =，1n n b d +=，故(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d+=，又999999S T -=， 即99100991029922d d ⋅⋅-=，即250510d d --=，所以5150d =或1(d =-舍); 当12a d =时，(1)n a n d =+，n n b d=，故(3)2n n n d S +=，(1)2n n n T d +=，又999999S T -=，即99102991009922d d ⋅⋅-=，即251500d d --=，所以50(51d =-舍)或1(d =舍); 综上：51.50d = 方法二：因为{}n a 为等差数列且公差为d ，所以可得1n a dn a d =+-，则211(1)n n n n nb dn a d dn a d++⋅==+-+- 解法一：因为{}n b 为等差数列，根据等差数列通项公式可知n b 与n 的关系满足一次函数，所以上式中的分母“1dn a d +-”需满足10a d -=或者11da d=-，即1a d =或者12;a d = 解法二：由211(1)n n n n nb dn a d dn a d ++⋅==+-+-可得，112b a =，216b a d =+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以满足1322b b b +=，即111212622a a d a d+=⋅++，两边同乘111()(2)a a d a d ++化简得2211320a a d d -+=，解得1a d =或者12;a d =因为{}n a ，{}n b 均为等差数列，所以995099S a =，995099T b =，则999999S T -=等价于50501a b -=， ①当1a d =时，n a dn =，1(1)n b n d =+，则505051501a b d d-=-=，得 250510(5051)(1)0d d d d --=⇒-+=，解得5150d =或者1d =-，因为1d >，所以51;50d =②当12a d =时，(1)n a d n =+，1n b n d =，则505050511a b d d-=-=，化简得 251500(5150)(1)0d d d d --=⇒+-=，解得5051d =-或者1d =，因为1d >，所以均不取; 综上所述，51.50d =4. （2023·新课标II 卷 第18题） 解：(1)设数列的公差为d ，由题意知：，即，解得52(1)2 3.n a n n ∴=+-=+(2)由(1)知23n a n =+，，212121n n b b n -+=+，当n 为偶数时，当n 为奇数时，22113735(1)(1)4(1)652222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-+-=+-， ∴当n 为偶数且5n >时，即6n …时，22371(4)(1)022222n n n nT S n n n n n n -=+-+=-=->， 当n 为奇数且5n >时，即7n …时， 22351315(4)5(2)(5)0.22222n n T S n n n n n n n n -=+--+=--=+-> ∴当5n >时，n S .n T >5.（2022·新高考I 卷 第17题）解：1112(1)(1)33n n S S n n a a +=+-=，则23n n n S a +=①，1133n n n S a +++∴=②; 由②-①得：111322;33n n n n n a n n n a a a a n ++++++=-⇒=∴当2n …且*n N ∈时，13211221n n n n n a a a a aa a a a a ---=⋅⋅ 1543(1)(1)1232122n n n n n n n a n n +++=⋅⋅⋅=⇒=-- ， 又11a =也符合上式，因此*(1)();2n n n a n N +=∈ 1211(2)2((1)1n a n n n n ==-++， 1211111111112(2(12122311n a a a n n n ∴+++=-+-++-=-<++ ， 即原不等式成立.6.（2022·新高考II 卷 第17题） 解：(1)设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知111128(3)a d b b a d +-=-+，故11124(3);a d b d a d +-=-+故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证.(2)由(1)知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：11112(1)k b a m d a -⋅=+-⋅+即111112(1)2k b b m b b -⋅=+-⋅+，即122k m -=，因为1500m 剟，故1221000k -剟，解得210k 剟， 故集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素的个数为9个. 7.（2021·新高考II 卷 第12题）（多选）解：对于A 选项，010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，， 则12101122222kk k k n a a a a +-=⋅+⋅++⋅+⋅ ，，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，，而0120212=⋅+⋅，则，即，B 选项错误；对于C 选项，34302340101852225121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 32k k a ++⋅，所以，，23201230101432223121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 22k k a ++⋅，所以，，因此，，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n --=+++ ，故，D 选项正确.故选.ACD8.（2021·新高考I 卷 第16题）解：对折3次时，可以得到2.512dm dm ⨯，56dm dm ⨯，103dm dm ⨯，20 1.5dm dm ⨯四种规格的图形. 对折4次时，可以得到2.56dm dm ⨯，1.2512dm dm ⨯，53dm dm ⨯，10 1.5dm dm ⨯，200.75dm dm ⨯五种规格的图形.对折3次时面积之和23120S dm =，对折4次时面积之和2475S dm =，即12402120S ==⨯，2180360S ==⨯，3120430S ==⨯，475515S ==⨯，……得折叠次数每增加1，图形的规格数增加1，且()*12401,2nn S n n N ⎛⎫=+⨯∈ ⎪⎝⎭，121111240[234(1)]2482n n S S S n ∴++=⨯⨯+⨯+⨯++⋅+记231242n n n T +=+++ ，则112312482n n n T ++=+++ ， 11111111(224822n n n n n n T T T ++-==++++-113113322222n n n n n ++++=--=-， 得332n nn T +=-，123240(3)2n n n S S S +∴++=⨯-， 故答案为5；3240(3).2n n +⨯-9.（2021·新高考I 卷 第17题）解：⑴12b a =，且21+1=2a a =，则1=2b ， 24b a =，且4321215a a a =+=++=，则25b =；1222121213n n n n n b a a a b +++==+=++=+，可得13n n b b +-=，故{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列； 故()21331n b n n =+-⨯=-.数列{}n a 的前20项中偶数项的和为2418201210109=102+3=1552a a a ab b b ⨯++++=+++⨯⨯ ， 又由题中条件有211a a =+，431a a =+， ，20191a a =+， 故可得n a 的前20项的和10.（2021·新高考II 卷 第17题）解：(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则3335,0a a a =∴=， 设等差数列的公差为d ，从而有22433()()a a a d a d d =-+=-，412343333(2)()()2S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：*3(3)26().n a a n d n n N =+-=-∈(2)由数列的通项公式可得1264a =-=-，则2(1)(4)252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-， 则不等式n n S a >即2526n n n ->-，整理可得(1)(6)0n n -->， 解得1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.(2)11.（2020·新高考I 卷 第14题、II 卷 第15题）解：数列 的首项是1，公差为2的等差数列； 数列 的首项是1，公差为3的等差数列； 公共项构成首项为1 ，公差为6的等差数列; 故 的前n 项和S n 为： .故答案为232.n n -12.（2020·新高考I 卷 第18题）解：(1)设等比数列的公比为q ，且1q >，2420a a += ，38a =，，解得舍)或，∴数列{}n a 的通项公式为2;n n a =(2)由(1)知12a =，24a =，38a =，416a =，532a =，664a =，7128a =，则当1m =时，10b =，当2m =时，21b =， 以此类推，31b =，45672b b b b ====，815...3b b ===，1631...4b b ===， 3263...5b b ===，64100...6b b ===， 10012100...S b b b ∴=+++0122438416532637480.=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=13.（2020·新高考II 卷 第18题）解：(1)设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩， {21}n -{32}n -{}n a1q > ，122a q =⎧∴⎨=⎩， 1222.n n n a -∴=⋅=1223(2)a a a a -+…11(1)n n n a a -++- 35792222=-+-+…121(1)2n n -++-⋅，322322[1(2)]82(1).1(2)55n n n +--==----。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷 第1题） 已知集合{2,1,0,1,2}M =--，2{|60}N x x x =--…，则M N ⋂=( ) A. {2,1,0,1}--B. {0,1,2}C. {2}-D. {2}2. （2023·新课标I 卷 第7题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列：乙：{}n sn为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3.（2023·新课标II 卷 第2题）设集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =( ) A. 2B. 1C.23D. 1-【2022年真题】4.（2022·新高考I 卷 第1题）若集合{4}M x =<，{|31}N x x =…，则M N ⋂=( ) A. {|02}x x <…B. 1{|2}3x x <…C. {|316}x x <…D. 1{|16}3x x <…5.（2022·新高考II 卷 第1题）已知集合{1,1,2,4}A =-，{||1|1}B x x =-…，则A B ⋂=( ) A. {1,2}-B. {1,2}C. {1,4}D. {1,4}-【2021年真题】6.（2021·新高考I 卷 第1题）设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B ⋂=( ) A. {2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3,4}7.（2021·新高考II 卷 第2题）设集合{1,2,3,4,5,6},U = {1,3,6},{2,3,4}A B ==，则()U A B ⋂=ð( ) A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}【2020年真题】8.（2020·新高考I 卷 第1题）设集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<，则A B ⋃=( ) A. {|23}x x <…B. {|23}x x 剟C. {|14}x x <…D. {|14}x x <<9.（2020·新高考II 卷 第2题）设集合{2,3,5,7}A =，{1,2,3,5,8}B =，则A B ⋂=( ) A. {1,3,5,7} B. {2,3} C. {2,3,5} D. {1,2,3,5,7,8}参考答案1.（2023·新课标I 卷 第1题）解：(,2][3,)N =-∞-⋃+∞，所以{2};M N ⋂=-故选.C 2. （2023·新课标I 卷 第7题） 解：方法1:为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+，111222n S n d da d n a n -=+=+-，112n n S S dn n +-=+， 故{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件，， 反之，{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t 即1(1)n nna S t n n +-=+，故1(1)n n S na t n n +=-⋅+故1(1)(1)n n S n a t n n -=--⋅-，2n …两式相减有：11(1)22n n n n n a na n a tn a a t ++=---⇒-=，对1n =也成立，故{}n a 为等差数列， 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选.C 方法2:因为甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为.d 即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，故{}n S n为等差数列，即甲是乙的充分条件． 反之，乙：{}n S n为等差数列.即11n n S S D n n +-=+，1(1).n SS n D n =+-即1(1).n S nS n n D =+-当2n …时，11(1)(1)(2).n S n S n n D -=-+-- 上两式相减得：112(1)n n n a S S S n D -=-=+-， 所以12(1).n a a n D =+-当1n =时，上式成立．又1112(2(1))2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数.所以{}n a 为等差数列． 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选C3.（2023·新课标II 卷 第2题）解：A B ⊆，则220a -=，1a =，{0,1}A =-，{1,1,0}B =-，满足，选.B 4.（2022·新高考I 卷 第1题）解：因为{|016}M x x =<…，1{|}3N x x =…， 故1{|16}.3M N x x ⋂=<… 5.（2022·新高考II 卷 第1题）解：方法一：通过解不等式可得集合{|02}B x x =剟，则{1,2}A B ⋂=，故B 正确. 法二：代入排除法.1x =-代入集合{||1|1}B x x =-…，可得|1||11|21x -=--=>，1x =-，不满足，排除A 、;4D x =代入集合{||1|1}B x x =-…，可得|1||41|31x -=-=>，4x =，不满足，排除 C ，故B 正确.6.（2021·新高考I 卷 第1题）解：因为集合{}{}24,2,3,4,5A x x B =-<<=，所以{2,3}.A B ⋂= 故选.B7.（2021·新高考II 卷 第2题） 解：由题设可得U {1,5,6}B =ð， 故U (){1,6}.A B ⋂=ð 故选.B8.（2020·新高考I 卷 第1题）解：因为集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<， ={|14}.A B x x ⋃<…故选.C9.（2020·新高考II 卷 第2题）解：因为集合A ，B 的公共元素为：2，3，5 故{2,3,5}.A B ⋂= 故选：.C。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B 24S R如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334VRn 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn kn nP k C p p k n …普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131i i=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B3C2D 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B ）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，则cos2α=(A)5-3（B）5-9(C)59(D)53（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)
即： sin2 B sin2 C sin2 A sin Bsin C
由正弦定理可得： b2 c2 a2 bc
cos A b2 c2 a2 1
2bc
2
A0, π
A 3
（2） 2a b 2c ，由正弦定理得： 2 sin A sin B 2sin C
又 sin B sin A C sin AcosC cos AsinC ， A
在平面四边形 ABCD 中， ADC 90 ， A 45 ， AB 2 ， BD 5 . （1）求 cosADB ；
（2）若 DC 2 2 ，求 BC
【
解：（1）在△ABD 中，由正弦定理得 BD AB . sin A sin ADB
由题设知， 5
2
，所以 sin ADB
2
.
sin 45 sin ADB
（2018
全国
3
卷文）4.若
sin
1 3
，则
cos
2
(
)
A． 8 9
B． 7 9
【答案】B
C． 7 9
D． 8 9
【解析】 cos 2 1 2sin2 7 9
（2018 全国 2 卷理）15. 已知
【答案】
【解析】分析：先根据条件解出
|
详解：因为
，
所以
，
，则
__________．
再根据两角和正弦公式化简求结果.
， ，
因此
点睛：三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编【2023年真题】1. （2023·新高考II 卷 第6题） 已知函数()ln x f x ae x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（ ） A. 2eB. eC. 1e -D. 2e -2.（2023·新课标I 卷 第11题）（多选） 已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（ ） A. (0)0f = B. (1)0f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点3.（2023·新课标II 卷 第11题）（多选）若函数2()ln (0)b cf x a x a x x=++≠既有极大值也有极小值，则( ) A. 0bc >B. 0ab >C. 280b ac +>D. 0ac < 4. （2023·新课标I 卷 第19题） 已知函数(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，3()2ln a+.2f x >5.（2023·新高考II 卷 第22题）(1)证明：当01x <<时，2x x sinx x -<<；(2)已知函数2()(1)f x cosax ln x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.【2022年真题】6.（2022·新高考I 卷 第7题）设0.10.1a e =，19b =，ln 0.9c =-，则( ) A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a c b <<7.（2022·新高考I 卷 第10题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则( )A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线8.（2022·新高考I 卷 第15题）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是__________. 9.（2022·新高考II 卷 第15题）曲线ln ||y x =经过坐标原点的两条切线方程分别为__________，__________.10.（2022·新高考I 卷 第22题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值.(1)求a ；(2)证明：存在y b =直线，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.11.（2022·新高考II 卷 第22题）已知函数().ax x f x xe e =-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性;(2)当0x >时，()1f x <-，求实数a 的取值范围; (3)设*n N ∈ln(1).n ++>+【2021年真题】12.（2021·新高考I 卷 第7题）若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<13.（2021·新高考I 卷 第15题）函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________. 14.（2021·新高考II 卷 第16题）已知函数，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.15.（2021·新高考I 卷 第22题）已知函数()(1ln ).f x x x =-(1)讨论()f x 的单调性.(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112.e a b<+< 16.（2021·新高考II 卷 第22题）已知函数2()(1).x f x x e ax b =--+(1)讨论()f x 的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点.①21,222e a b a <>…； ②10,2.2a b a <<…【2020年真题】17.（2020·新高考I 卷 第21题、II 卷 第22题）已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若()1f x …，求a 的取值范围.参考答案1. （2023·新高考II 卷 第6题） 解：由题意，1()0xf x ae x'=-…对(1,2)x ∀∈恒成立， 1x a xe ∴…，由于1()xg x xe =在(1,2)单调递减，1()(1)g x g e∴<=，1.a e ∴…故答案选：.C2.（2023·新课标I 卷 第11题）（多选）解：选项A ，令0x y ==，则(0)0(0)0(0)f f f =⨯+⨯，则(0)0f =，故A 正确; 选项B ，令1x y ==，则(1)1(1)1(1)f f f =⨯+⨯，则(1)0f =，故B 正确; 选项C ，令1x y ==-，则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =-⨯-+-⨯-，则(1)0f -=， 再令1y =-，则22()(1)()(1)f x f x x f -=-+-，即()()f x f x -=，故C 正确; 选项D ，不妨设()0f x =为常函数，且满足原题22()()()f xy y f x x f y =+， 而常函数没有极值点，故D 错误. 故选：.ABC3.（2023·新课标II 卷 第11题）（多选） 解：因为2()ln (0)b cf x a x a x x=++≠，所以定义域为(0,)+∞， 得232()ax bx c f x x'--=，由题意知220ax bx c --=有两个不相等的正解12,.x x 则，易得0.bc <故选.BCD4. （2023·新课标I 卷 第19题） 解：(1)()1x f x ae '=-，当0a =时()10f x '=-<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减， 当0a <时0x ae <，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，当0a >时，令()0f x '=，=-ln x a ，(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减. (ln ,)x a ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增， 故当0a …时()f x 在(,)-∞+∞单调递减，当0a >时， () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减，在区间(ln ,)a -+∞单调递增.(2)由(1)知当0a >时， () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减，在区间(ln ,)a -+∞单调递增.故，令，221()a g a a -'=，令()0g a '=，因为0a >，故2a =，() g a 在区间(0,2单调递减，在区间(,)2+∞单调递增，，即 >?0,()?>?0a g a 时恒成立， 即min 3()2ln 2f x a >+，即当0a >时，3()2ln a+.2f x > 5.（2023·新高考II 卷 第22题）(1)证明：构造函数2()g x sinx x x =-+，则()12g x cosx x '=-+， 令()()h x g x ='， 则()20h x sinx '=-+>，所以()h x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0g x g '>'=，所以()g x 在(0,1)上单调递增，所以()(0)0g x g >=，即2x x sinx -<；构造函数()G x x sinx =-，则()10G x cosx '=->，所以()G x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0G x G >=，即sinx x <， 综上，当01x <<时，2x x sinx x -<<；(2)解：由210x ->，得函数()f x 的定义域为(1,1).-又()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以只需考虑区间(0,1).22()1xf x asinax x'=-+-， 令()()F x f x ='，则222222()(1)x F x a cosax x +'=-+-， 其中，①若，记a <<时，易知存在0δ>，使得(0,)x δ∈时，，()f x ∴'在(0,)δ上递增，()(0)0f x f ∴'>'=，()f x ∴在(0,)δ上递增，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.②若，记a <或a >存在0δ'>，使得(,)x δδ∈-''时，，()f x ∴'在(,)δδ-''上递减，注意到(0)0f '=，∴当0x δ-'<<时，当0x δ<<'时，，满足0x =是()f x 的极大值点，符合题意.③若，即a =时，由()f x 为偶函数，只需考虑a =.此时22())1xf x x '=+-，(0,1)x ∈时， 2221()22(1)011x f x x x x x'>-+=->--，()f x ∴在(0,1)上递增， 这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.综上：a 的取值范围为(,).-∞⋃+∞ 6.（2022·新高考I 卷 第7题）解：0.10.1a e =，0.110.1b =-，ln(10.1)c =--，①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-， 令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则1()1011x f x x x-'=-=<--， 故()f x 在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即ln ln 0a b -<，所以a b <； ②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-， 令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则1(1)(1)1()11x xxx x e g x xe e x x+--'=+-=--， 令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->， 所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k >=，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0g g >=，即0a c ->，所以.a c > 故.c a b <<7.（2022·新高考I 卷 第10题）（多选）解：32()1()31f x x x f x x =-+⇒'=-，令()0f x '=得：3x =±，()03f x x '>⇒<-或3x >；()033f x x '<⇒-<<，所以()f x 在(,3-∞-上单调递增，在(,)33-上单调递减，在(,)3+∞上单调递增，所以()f x 有两个极值点(3x =为极大值点，3x =为极小值点)，故A 正确;又((1103939f -=---+=+>，(1103939f =-+=->， 所以()f x 仅有1个零点(如图所示)，故B 错;又3()1()()2f x x x f x f x -=-++⇒-+=，所以()f x 关于(0,1)对称，故C 正确;对于D 选项，设切点00(,)P x y ，在P 处的切线为320000(1)(31)()y x x x x x --+=--， 即2300(31)21y x x x =--+，若2y x =是其切线，则2030312210x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，方程组无解，所以D 错. 8.（2022·新高考I 卷 第15题）解：(1)x y x a e '=++，设切点为00(,)x y ， 故0000(1)x y x a e x =++， 即0000()(1).x x x a e x a e x +=++ 由题意可得，方程(1)x a x x a +=++在(,0)(0,)-∞⋃+∞上有两个不相等的实数根.化简得，20x ax a +-=，240a a =+> ，解得4a <-或0a >，显然此时0不是根，故满足题意. 9.（2022·新高考II 卷 第15题）解：当0x >时，点111(,ln )(0)x x x >上的切线为1111ln ().y x x x x -=- 若该切线经过原点，则1ln 10x -=，解得x e =， 此的切线方程为.x y e=当0x <时，点222(,ln())(0)x x x -<上的切线为()()2221ln y x x x x --=-若该切线经过原点，则2ln()10x --=，解得x e =-， 此时切线方程为.x y e=-10.（2022·新高考I 卷 第22题） 解：(1)由题知()x f x e a '=-，1()g x a x'=-， ①当0a …时，()0f x '>，，()0g x '<，则两函数均无最小值，不符题意; ②当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；()g x 在1(0,a单调递减，在1(,)a +∞单调递增；故min ()(ln )ln f x f a a a a ==-，min 11()()1ln g x g a a==-，所以1ln 1ln a a a a -=-，即1ln 01a a a --=+， 令1()ln 1a p a a a -=-+，则222121()0(1)(1)a p a a a a a +'=-=>++， 则()p a 在(0,)+∞单调递增，又(1)0p =，所以 1.a =(2)由(1)知，()x f x e x =-，()ln g x x x =-，且()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且min min ()() 1.f x g x ==①1b <时，此时min min ()()1f x g x b ==>，显然y b =与两条曲线()y f x =和()y g x = 共有0个交点，不符合题意；②1b =时，此时min min ()()1f x g x b ===，故y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1； ③1b >时，首先，证明y b =与曲线()y f x =有2个交点， 即证明()()F x f x b =-有2个零点，()()1x F x f x e '='=-， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 又因为()0b F b e --=>，(0)10F b =-<，()20b F b e b =->，(令()2b t b e b =-，则()20b t b e '=->，()(1)20)t b t e >=->所以()()F x f x b =-在(,0)-∞上存在且只存在1个零点，设为1x ，在(0,)+∞上存在且只存在1个零点，设为2.x其次，证明y b =与曲线和()y g x =有2个交点， 即证明()()G x g x b =-有2个零点，1()()1G x g x x'='=-， 所以()(0,1)G x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又因为()0b b G e e --=>，(0)10G b =-<，(2)ln 20G b b b =->，(令()ln 2b b b μ=-，则1()10b bμ'=->，()(1)1ln 20)b μμ>=-> 所以()()G x g x b =-在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为3x ，在(1,)+∞上存在且只存在1个零点，设为4.x再次，证明存在b ，使得23:x x =因为23()()0F x G x ==，所以2233ln x b e x x x =-=-， 若23x x =，则2222ln x e x x x -=-，即2222ln 0x e x x -+=， 所以只需证明2ln 0x e x x -+=在(0,1)上有解即可， 即()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上有零点，因为313312()30e e e eϕ=--<，(1)20e ϕ=->，所以()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上存在零点，取一零点为0x ，令230x x x ==即可， 此时取00x b ex =-则此时存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点， 最后证明1402x x x +=，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列， 因为120304()()()0()()()F x F x F x G x G x G x ====== 所以100()()(ln )F x G x F x ==，又因为()F x 在(,0)-∞上单调递减，10x <，001x <<即0ln 0x <，所以10ln x x =， 同理，因为004()()()xF xG e G x ==，又因为()G x 在(1,)+∞上单调递增，00x >即01x e >，11x >，所以04xx e =，又因为0002ln 0xe x x -+=，所以01400ln 2x x x ex x +=+=，即直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.11.（2022·新高考II 卷 第22题）解：(1)1()(1)()x x x x a f x xe e x e f x xe =⇒=-=-⇒'= 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减; 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.(2)令()()11(0)()(0)0ax x g x f x xe e x g x g =+=-+⇒=厔对0x ∀…恒成立 又()(0)0ax ax x g x e axe e g ''=+-⇒=令()()()()(2)ax ax ax x ax ax x h x g x h x ae a e axe e a e axe e ='⇒'=++-=+-，则(0)21h a '=- ①若(0)210h a '=->，即12a >，00()(0)()(0)limlim 00x x g x g g x h x x ++'→→'-''==>- 所以00,x ∃>使得当时，有()0()0()g x g x g x x'>⇒'>⇒单调递增0()(0)0g x g ⇒>=，矛盾 ②若(0)210h a '=-…，即12a …时，1111ln(1)ln(1)2222()0()x x x x ax ax x ax ax xxx g x e axe e ee eeee g x +++'++=+-=---=⇒剟在[0,)+∞上单调递减，()(0)0g x g =…，符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是1.2a …(3)求导易得12ln(1)t t tt->>令112ln ln(1tn =⇒->⇒>+111231ln(ln()ln(ln(1)12n nk kn k nnn k n==+++⇒>⇒>=⋅=+∑()ln1n++⋅⋅⋅>+，证毕.12.（2021·新高考I卷第7题）解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，易知xxe bex a-=-，整理得：000x x xe b x e ae--+=有两解，令()x x xg x e b xe ae=--+，()()xg x a x e'=-，易知()g x最大值为().g a即，解得bae>，又因为当x趋近正无穷时()0g x<，当x趋近负无穷时，()g x趋近0b-<，则0.b>综上，a0b e<<故选.D13.（2021·新高考I卷第15题）解：已知函数，易知函数定义域为(0,)+∞，①：当1(0,]2x∈时，，所以2()2f xx'=--，在1(0,]2x∈单调递减，②当1(,)2x∈+∞时，，所以22(1)()2xf xx x-'=-=，所以()f x在1(,1]2x∈单调递减，在(1,)x∈+∞单调递增，又因为12ln 2<，所以最小值为1. 故答案为1.14.（2021·新高考II 卷 第16题） 解：由题意，，则，所以点和点，12,xxAM BN k e k e =-=，所以12121,0xx e e x x -⋅=-+=，所以，所以，同理，所以故答案为：15.（2021·新高考I 卷 第22题）(1)解：的定义域为，，由解得1x >， 由解得01x <<， 在上单调递增，在上单调递减；(2)证明：由ln ln b a a b a b -=-可得ln ln 11a b a b b a-=-， 整理得：11lnln 11a b a a b b -=-，即，不妨设1211,x x a b==，且120x x <<，即，即证明122x x e <+<， 由在上单调递增，在上单调递减，且，可得1201x x <<<，()f x ()f x先证明122x x +>， 令，02x <<，，在上单调递增，又1201x x <<< ，，，即，由(1)可知在上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>；下面再证明12x x e +<， 不妨设21,x tx = 则1t >，由可得，化简1ln ln 11t tx t =-- ， 要证12x x e +<，即证，即证，即证，即证， 设，1t >，，令，1t >， ，， 在上单调递减， ，，在上单调递减，()fx，即，12x x e ∴+<，故112.e a b<+< 16.（2021·新高考II 卷 第22题） 解：(1)由函数的解析式可得：， 当0a …时，若，则单调递减，若，则单调递增； 当102a <<时，若，则单调递增，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当12a =时，在R 上单调递增； 当12a >时，若，则单调递增，若，则单调递减， 若，则单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a <…，故212a e <…，则，又((1)0f e=<，由(1)可知函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于212a e <…，故，(0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，()f x 有一个零点. 若选择条件②： 由于102a <<，故021a <<，则，当0b …时，24,42e a ><，，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当0b <时，构造函数，则，当时，单调递减， 当时，单调递增，注意到，故恒成立，从而有：1x e x +…，此时：，当x >，取01x =+，则，即：，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于102a <<，021a <<，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，()f x 有一个零点.17.（2020·新高考I 卷 第21题、II 卷 第22题）(0,)x ∈+∞解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x'=-='=-=+，所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--， 即(1)2y e x =-+，所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e， 所以三角形的面积1222.211S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，要使()1f x …，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+…，即ln 1ln -1ln a x e a x +-+…，即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+…， 令()x g x e x =+，，()g x 单调递增，故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-…， 因为()g x 为增函数， 只需证ln 1ln a x x +-…，即ln ln 1a x x +-…， 设()ln 1h x x x =+-，11()1xh x x x-'=-=， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)0h x h ==，所以ln 0a …，1a …， 即a 的取值范围为[1,).+∞。
近七年(2013-2019)全国高考(1卷)真题整理汇编(理科数学)
2013-2019近七年全国高考(1卷)真题整理汇编(理科数学)一、集合与逻辑用语【2019，1】已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =（ ）A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<1、【2018，2】 已知集合A ={x |x 2−x −2>0}，则∁R A = A.{x |−1<x <2} B. {x |−1≤x ≤2}C. {x|x <−1}∪{x|x >2}D. {x|x ≤−1}∪{x|x ≥2}2、【2017，1】已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅3、【2016，1】设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =（ ）A ．)23,3(--B ．)23,3(-C ．)23,1(D ．)3,23(4、【2015，3】设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n = 5、【2014，1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( )A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）N |{-=x −2>0得{AB x x ={AB x x =32AB x ⎧=⎨⎩6、【2013，1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |x ，则( )A ．A ∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B二、函数及其性质【2019，3】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<【2019，5】函数f(x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．1、【2018，9】 已知函数f(x)={ex，x ≤0，lnx ，x >0，g(x)=f(x)+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A. –1（0（ B. 0（+∞（ C. –1（+∞（ D. 1（+∞（2sin cos ++x xx x 0，∴x ＜0或x ＞2，∴由图象可以看出2、【2018，16】已知函数f (x )=2sinx +sin2x ，则f (x )的最小值是_____________（3、【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]4、【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5zC 详解：画出函数f(x)的图像，y =e x 在y 轴右侧的去掉，再画出直线y =−x ，之后上下移动， 可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f(x)=−x −a 有两个解，也就是函数g(x)有两个零点， 此时满足−a ≤1，即a ≥−1，故选C.&公众号则知教育.&5、【2016，7】函数x exy-=22在]2,2[-的图像大致为（）A．B．C．D．6、【2016，8】若1>>ba，10<<c，则（）A．cc ba<B．cc baab<C．cbcaabloglog<D．ccbaloglog<7、【2015，13】若函数f(x)=x ln（x a=8、【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数9、【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]三、导数及其应用【2019，13】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．1、【2018，5】设函数f(x)=x 3+(a −1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为A. y =−2xB. y =−xC. y =2xD. y =x时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除－2x .故由|f (x )|≥ax 得∵x －2＜－2，∴a ≥－2、【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．3、【2015，12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ． 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 详解：因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1， 所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1，所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x ，故选D.【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥，36OG BC =， 即OG 的长度与BC 的长度或成正比，设OG x =，则23BC x =，5DG x =-，三棱锥的高22225102510h DG OG x x x x =-=-+-=-，21233332ABC S x x =⋅⋅=△， 则21325103ABC V S h x x =⋅=⋅-△45=32510x x ⋅-，令()452510f x x x =-，5(0,)2x ∈，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>，即4320x x -<，2x <，则()()280f x f =≤，则38045V ⨯=≤，∴体积最大值为3415cm ．4、【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）3113x x -有唯一的正33t t -+有唯一的交点1±，3t +有唯一的正零5、【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大解答题【2019，20】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．1、【2018，21】21. 已知函数f(x)=1x−x+alnx（（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2（2、【2017，12】已知函数()()22x xf x ae a e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．3、【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．4、【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数.5、【2014，21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b b f x ae x e e e xxx--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b ==（Ⅱ）由(Ⅰ)知，12()ln x xe f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->- 设函数()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e=-.设函数2()x h x xe e -=-，则()()1x h x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值1(1)h e=-. 综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >6、【2013，理21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.四、三角函数和解三角形【2019，11】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间（2π,π）单调递增；③f (x )在[,]-ππ有4个零点；④f (x )的最大值为2。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(概率统计)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(概率统计)汇编【2023年真题】1.（2023·新课标II 卷 第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种2. （2023·新课标I 卷 第9题）（多选）一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则( ) A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差3.（2023·新课标II 卷 第12题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1;α-发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1.β-考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码;三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D. 当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率4. （2023·新课标I 卷 第21题）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率. (2)求第i 次投篮的人是甲的概率.(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且111(1)1(0)P X P X q ==-==，1i =，2， ，n ，则11().nni i i i E X q ===∑∑记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ，求().E Y5.（2023·新课标II 卷 第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为().q c 假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()().f c p c q c =+当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.【2022年真题】6.（2022·新高考I 卷 第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A.16B.13C.12D.237.（2022·新高考II 卷 第13题）随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若(2 2.5)0.36P x <=…，则( 2.5)P X >=__________.8.（2022·新高考I 卷 第20题）一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好 病例组 40 60 对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.R()i 证明：(|)(|.;(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =()ii 利用该调查数据，给出(|)P A B ，(|)P A B 的估计值，并利用()i 的结果给出R 的估计值.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k …0.050 0.010 0.001 k 3.8416.63510.8289.（2022·新高考II 卷 第19题）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).【2021年真题】10.（2021·新高考I 卷 第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立11.（2021·新高考II 卷 第6题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是( )A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等12.（2021·新高考I 卷 第9题）（多选）有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中(1,2,,)i i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同13.（2021·新高考II 卷 第9题）（多选）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是( ) A. 样本12,,,n x x x 的标准差 B. 样本12,,,n x x x 的中位数 C. 样本12,,,n x x x 的极差D. 样本12,,,n x x x 的平均数14.（2021·新高考I 卷 第18题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编【2023年真题】1. （2023·新课标I 卷 第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_______种(用数字作答).2. （2023·新课标II 卷 第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种【2022年真题】3.（2022·新高考I 卷 第13题）8(1)y x y x-+的展开式中26x y 的系数为__________(用数字作答).4.（2022·新高考II 卷 第5题）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( ) A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【2020年真题】5.（2020·新高考I 卷 第3题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种6.（2020·新高考II 卷 第6题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( ) A. 2种 B. 3种C. 6种D. 8种参考答案1. （2023·新课标I 卷 第13题）解：当从这8门课中选修2门课时，共有1144.16C C =； 当从这8门课中选修3门课时，共有12214444..48C C C C +=；综上，共有64种． 2. （2023·新课标II 卷 第3题）解：结合题意初中部和高中部所占的比例为2:1，抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽样结果为4020400200C C ⋅ 种，故选.D3.（2022·新高考I 卷 第13题）解：因为8()x y +展开式的通项818r r r r T C x y -+=，令5r =，则35x y 的系数为5856C =；令6r =，则26x y 的系数为6828C =，所以26x y 的系数为562828.-+=- 4.（2022·新高考II 卷 第5题）解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有23123224A A C =种. 5.（2020·新高考I 卷 第3题）解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安排到丙场馆，安排方法有123653C C C 60.=故选：.C6.（2020·新高考II 卷 第6题）解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：212312 6.C C A =故选：.C。
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全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x1=4，x2=4是函数f(x)=sinx(>0)两个相邻的极值点，则= A．2 B．32 C．1 D．12
答案：A
（2019全国2卷文）11．已知a∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A．15 B．55 C．33 D．255
答案：B
（2019全国2卷文）15.ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
答案：43
（2019全国1卷文）15．函数3π()sin(2)3cos2fxxx的最小值为___________． 答案：-4 （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ）
A．－2－3 B．－2+3 C．2－3 D．2+3 答案：D （2019全国1卷文）11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知CcBbAasin4sinsin ，41cosA，则bc=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3 答案：A （2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsin2ACabA． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且1c，求△ABC面积的取值范围．
（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin2ACABA． 因为sin0A，所以sinsin2ACB． 由180ABC，可得sincos22ACB，故cos2sincos222BBB． 因为，故，因此60B． （2）由题设及（1）知△ABC的面积34ABCSa．
由正弦定理得sinsin(120)31sinsin2tan2cAcCaCCC． 由于△ABC为锐角三角形，故090A，090C． 由（1）知120AC，所以3090C，故122a，从而3382ABCS． 因此，△ABC面积的取值范围是 （2019全国2卷理）15．ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc.若π6,2,3bacB，则ABC△的面积为_________．
答案：36
（2019全国2卷理）9．下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是 A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│ 答案：A （2019全国2卷理）10．已知α∈(0，2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A．15 B．55 C．33 D．255
答案：B （2019全国1卷理）17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC．
（1）求A； （2）若22abc，求sinC．
【答案】（1）3A；（2）62sin4C. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222bcabc，从而可整理出cosA，根据0,A可求得结果；（2）利用正弦定理可得2sinsin2sinABC，利用sinsinBAC、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函
数关系解方程可求得结果. 【详解】（1）2222sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC 即：222sinsinsinsinsinBCABC 由正弦定理可得：222bcabc 2221cos22bcaAbc
0,πA
3A
（2）22abc，由正弦定理得：2sinsin2sinABC 又sinsinsincoscossinBACACAC，3A 3312cossin2sin222CCC 整理可得：3sin63cosCC 22sincos1CC
2
23sin631sinCC
解得：62sin4C或624 因6sin2sin2sin2sin02BCAC所以6sin4C，故62sin4C. （2）法二：22abc，由正弦定理得：2sinsin2sinABC 又sinsinsincoscossinBACACAC，3A 3312cossin2sin222CCC
整理可得：3sin63cosCC，即3sin3cos23sin66CCC 2sin62C
由2(0,),(,)3662CC，所以,6446CC 62sinsin()464C.
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. （2019全国1卷理）11.关于函数()sin|||sin |fxxx有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（2,）单调递增 ③f(x)在[,]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】 化简函数sinsinfxxx，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】sinsinsinsin,fxxxxxfxfx为偶函数，故①
正确．当2x时，2sinfxx，它在区间,2单调递减，故②错误．当0x时，2sinfxx，它有两个零点：0；当0x时，sinsin2sinfxxxx，它有一个零点：，故fx在,有3个零点：
0，故③错误．当2,2xkkkN时，2sinfxx；当
2,22xkkkN时，sinsin0fxxx，又fx为偶函数，
fx的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
（2018全国3卷文）11.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若ABC的面积
为2224abc，则C( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C 【解析】2221sin24ABCabcSabC，而222cos2abcCab
故12cos1sincos242abCabCabC，4C
【考点】三角形面积公式、余弦定理 （2018全国3卷文）6.函数2tan1tanxfxx的最小正周期为( ) A．4 B．2 C． D．2 【答案】C 【解析】
2
222
tantancos1sincossin2221tan1tancosxxxfxxxxxkxxx
，
22T(定义域并没有影响到周期)
（2018全国3卷文）4.若1sin3，则cos2( ) A．89 B．79 C．79 D．89
【答案】B 【解析】27cos212sin9
（2018全国2卷理）15. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果. 详解：因为，， 所以， 因此 点睛：三角函数求值的三种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. （2018全国2卷理）10. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值 详解：因为， 所以由得 因此，从而的最大值为，选A. 点睛：函数的性质： (1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间; 由求减区间. （2018全国2卷理）6. 在中，，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为 所以，选A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. （2018全国I卷理）17．（12分） 在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求 解：（1）在中，由正弦定理得. 由题设知，，所以. 由题设知，，所以. （2）由题设及（1）知，. 在中，由余弦定理得