《高等数学教学课件》第十章.10.1-10.2.ppt
高教社2024高等数学第五版教学课件-10.2 线性方程组解的判定
3 − 4 = 3
4 − 5 = 4
5 − 1 = 5
有解的充要条件是1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 0．在有
解的情况下，求出它的全部解。
证明 由矩阵的行初等变换化简增广矩阵
1
0
= 0
0
−1
−1 0
0
0 1
1 −1 0
0 2
0
1 −1 0 3
将后 − 个未知量项移至等号的右侧，有
11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1 − 1,+1 +1 − ⋯ − 1
22 2 + ⋯ + 2 = 2 − 2,+1 +1 − ⋯ − 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
= − ,+1 +1 − ⋯ −
程组无解；
（2）当 = 1时， = = 1 < 3，线性方程
组有无穷多解，即
1 = 1 − 2 − 3 ，这里2 , 3 是自由未知量；
（3）当 ≠ 1且 ≠ −2时， = = 3，线性
方程组有唯一解，即
+1
1 =
+2
1
2 =
+2
( + 1)2
0
0
0
−1
−5
−1 2 + 3 + 4
−1
3 + 4
−1
4
0
0
于是线性方程组在σ5=1 = 0下的解为
1 = 5 − 5
2 = 5 + 2 + 3 + 4
高等数学电子课件第十章 10.4
第十章 无穷级数
例8：将函数 f ( x) x 1 4 x
第一节 数项级数的概念与性质
展开成x=1的幂级数．
解： 1 1 4x 3(x1)
3(1
1 x
1)
,
3
1 3 [ 1 x 3 1 (x 3 1 )2 (x 3 1 )n ]x13
x1(x1) 1
4x
4x
1 3 (x 1 ) (x 3 2 1 )2 (x 3 3 1 )3 (x 3 n 1 )n x13
❖直接展开法的步骤(麦克劳林级数)
第一步 求出f (x)的各阶导数:
f (x), f (x), , f (n)(x), ;
第二步 求函数及其各阶导数在x0 处的值:
f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), ;
第三步 写出幂级数
f(0 )f(0 )x f(0 )x 2 L f(n )(0 )x n L
数, 则在该邻域内有
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(!x0)(xx0)2 f(nn )(!x0)(xx0)nRn(x)
其中 Rn(x)f(n (n 1)1()!)(xx0)n(1介于x与x0之间). 这个公式
称为泰勒公式,其中的Rn(x)称为拉格朗日型余项.
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换,四
则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展
开式.
例如 co x s(sx i)n
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
co x 1 s1x 21x 4 ( 1 )nx 2 n
高教社2024高等数学第五版教学课件-10.1 消元法
1 3
−1
8
−7
+
2
14
−13
2
0
0
0
1
2 2
4
−1
1
1 −1
2
1
4
7
−2 −7 −13
0 9 27 54 0
0 −1 −3 −6 0
1 −2 −7 −13 0
0
0
92
+
1 −22
1 ↔3
+
1 0
0 1
0 0
3
0
0
1
−1
3
0
0
0
0
−1 −3 −6
0 −1 −1
0
0
0
−2
0
0
）的一般步骤为：
首先写出增广矩阵 | （或系数矩阵），并用初
等行变换将其化成阶梯形矩阵，然后判断方程组是否有
解．若方程组有解，则继续用初等行变换将阶梯形矩阵
化成行简化阶梯形矩阵，写求出方程组的一般解．
或简称Gauss消元法．下面举例说明用消元法求一般线性方
程组解的方法与步骤．
例1 解线性方程组
1 + 32 + 3 = 5
ቐ1 + 2 + 53 = −7
21 + 32 − 33 = 14
解 下面我们用定理10.1的方法来求解本题：
1 3
= 1 1
2 3
1
− 2
2
1 3
0 1
则方程组 = 与 = 是同解方程组．
由定理10.1可知，求线性方程组(1)的解，可以利用初等
行变换将其增广矩阵 | 化简成行阶梯形矩阵，再写出该
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
高等数学电子课件第十章 10.3-PPT精选文档
n1
un(x) .
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
收敛点与收敛域:
如果 x0 I ,数项级数
un ( x0 )收敛, n 1
则称 x0 为级数
un ( x )的收敛点, n1
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n 1
所有发散点的全体称为发散域.
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
和函数
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s( x ) , 称 s( x )为函数项级数的和函数.
s ( x ) u ( x ) u ( x ) u ( x ) (定义域是?) 1 2 n
函数项级数的部分和 s n ( x ),
n0 n0
n a x 对满足不等式|x|<|x0|的任何x，幂级数 n 收敛而且绝
对收敛；
若幂级数
|x|>|x0|的任何x，幂级数
n0
a n x n 在x=x0 时发散，则对满足不等式
n0
a n x n 发散.
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
如果幂级数
n a x n 不是仅在 x 0 一点收敛,也不是在 n 0
n 2 n x 1 x x x n 0
1 ,1 ), 当 它的收敛域是 ( x ( 1 , 1 ) 时 , 1 n 有和函数 x 1 x n0
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [ 1 ， ） ,或写作 x 1.
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
《高等数学教案》课件
《高等数学教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章：积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章：级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章：向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章：多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章：常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章：数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章：概率与统计（续）9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章：高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章：导数与微分重点：理解导数和微分的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数和微分计算。
高等数学 第十章 电子课件
一、常数项级数的概念
（3）同样地，以正十二边形的每一边为底，在弓形内作顶点在圆上的十二个等腰三角形，设 其面积之和为 u3 ，则 u1 u2 u3 （圆内接正二十四边形的面积）仍是 S 的一个近似值，其近似程度 要比 u1 u2 好．
（4）如此继续下去，圆内接正 3 2n 边形的面积为 u1 u2 u3 un ， 其十分逼近圆的面积，当 n 时，该和式的极限就是所要求的圆面积 S ，也就是说圆面积 S 是无穷多个数的累加，即 S u1 u2 u3 un ．
一、函数项级数的概念
函数项级数（10-1）收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域．
在收敛域上，函数项级数（10-1）的和是 x 的函数 s(x) ，称 s(x) 为函数项级数（10-1）的和
函数，并写成 s(x) u1(x) u2 (x) u3(x) un (x) ．
若函数项级数（10-1）前
n
项的部分和记作
sn
(x)
，则在收敛域上有
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
．
记
rn
(
x)
s(
x)
sn
(x)
，称
rn
(
x)
为函数项级数（10-1）的余项，并有
lim
n
rn
(
x)
0
．
二、幂级数及其敛散性
幂级数是一种特殊的函数项级数，其各项都是常数乘幂函数，它的形式是
an xn a0 a1x an xn ，
n0
（10-2）
其中 a0 ，a1 ， ，an ， 都是常数，称为幂级数的系数， an xn 称为幂级数的通项．例如，
高等数学电子课件第十章 10.1精品文档
lim n
1q
即级数发散；
（3） 若q=-1，则级数成为： a a a a ( 1 )n 1a
由于
sn
0,
a
,
当n为偶数 当n为奇数
所以
lim
n
sn
不存在，故级数发散．
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
(3) 若q=1，则级数成为：
a a a a
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
例如：下列各式均为常数项级数
1 1 1
1
2n
n1
24
2n
；
n12 n ；
n1
( 1 )n 1 1 1 1 1 ( 1 )n 1 ；
n 1
cosncos1cos2 cosn .
第一节 数项级数的概念与性质
二、数项级数的基本性质
性质1. 若级数
un
n1
收敛于 S 即, S u n , 则各项
n1
乘以常数
k
所得级数
k un
也收敛 ,其和为 kS .
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
由于 sn
na
所以
lim
n
sn
不存在，
所以级数也发散．
综上
aqnBiblioteka q1时,收敛其和a为 1-q
n0 当q 1时,发散
第十章 无穷级数
1
例如：
2n
n0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(i 1,2,, n)，
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f ( x, y)
在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i
) i .
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达
极限就定义为所求曲顶柱体的体积
zz f (x, y)
o
•
(i ,i )
i
综合起来：分割、近似、求和、取极限.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
i 1
(i ,i )
•
i
x
3.二重积分的定义
定义 设 f ( x, y)在有界闭区域D 上有定义，将闭区
域D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ， n ，其
中 i 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个
i 上任取一点(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
n
并作和 f (i ,i ) i ，第十 Nhomakorabea 重 积 分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
第一节 二重积分的概念与性质
• 二重积分的引入 • 二重积分的概念 • 二重积分的性质
一、问题的提出 1．平顶柱体的体积 =底面积× 高 特点：平顶.
2．曲顶柱体的体积 =？ 特点：曲顶.
z
二、二重积分的概念
1．什么是曲顶柱体？
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
步骤如下：
(1)先分割曲顶柱体的
z
底，并取典型小区域 i
z f (x, y)
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D ，在
点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在D 上
连续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块， y
小块将其近似看作均匀薄 片，所有小块质量之和近 似等于薄片总质量（极限）
n
o
M lim 0
(i ,i ) i .
由第五章求曲边梯形面积的方法就不难想到下 面的解决办法：
用一组曲线网将xoy面上的区域D划分为n个小区域
, 1
2
(sigma(西格玛) 小写σ 大写Σ) n
分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线
平行于z轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为 n个小曲顶柱体．当这些小闭区域的直径很小时，
这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体．在每个
从而 ( x y )2 ( x y )3
( x y )2 d ( x y )3 d
D
D
y 1D o1 x
x y 1
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
D
D
性质２ [ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
性质４ 若 为D的面积， 1 d d .
D
D
性质５ 若在D上 f ( x, y) g( x, y),
则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
例1. 比较下列积分的大小:
( x y )2 d 与 ( x y )3 d
D
D
其中D由x轴、y轴与直线
所围成区域.
解： 由已知得积分区域D ：
x y 1, x 0, y 0.
D
y
记f R(D).
(5) 面积元素为 d dxdy
D
可写为 f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
o
x
(6)v f(x,y)dσ, m ( x, y)d D D
P136：2、
设 I1 （x2 y2 )3 d ,其 中D1 {( x , y ) | 1 x 1,2 y 2 };
面
积 元 素
积 分 和
式
(2)当 f ( x, y)在闭区域上连续时，或分片连续且有界，定
义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. (3)几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱 体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值．
(4) 若 f ( x, y)d存在，称f ( x, y)在D上可积，
(2)近似:vi f (i ,i )i
(3)用若干个小平顶柱体
体积之和近似表示曲顶
o
y
柱体的体积，
v n vi n f (i ,i )xi
D
(i ,i )
•
i
i1
i1
n
(4)取极限:曲顶柱体的体积
其中
max 1in
i
V
lim 0
i1
f
(i ,i )i.
２．求平面薄片的质量
D1
又 I2 （x2 y2 )3 d ,其 中D2 {( x , y ) | 0 x 1,0 y 2 }.
D2
试
用
二
重
积
分
的
几
何
意义
说
明I1与I
之
2
间
的
关
系.
答：I1与I2之间关系为：I1 4I2
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
o
y
x
的边以界x曲oy线平C面作的准有线界而闭母区线域平D行为于底轴、z的侧柱面面是，以D
顶是曲面 z f ( x, y ), 这里 f ( x, y ) 0.
且在D上连续所形成的立体称为曲顶柱体（如上图）。
2. 其体积V怎样计算？
显然，平顶柱体的体积=底面积×高，而曲顶 柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计 算呢？
i ( i 1,2, ,n ) 中各任取一点 p(i ,i )
以f ( i ,i ) 为高,底为 i 小平顶柱体体积为:
vi f ( i ,i ) i ( i 1,2, ,n )
这n个平顶柱体体积之和
n
f ( i ,i ) i
i 1
n个小闭区域的直径中最大值记作λ
当λ →0时，取和的极限存在，所得的 xD