2019-2020年初中数学竞赛初赛试题(一,含详解)

2019-2020年初中数学竞赛初赛试题（一，含详解）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．要使方程组⎩⎨

⎧=+=+2

3223y x a

y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）

（A ）

334<a （D ）3

43<>a a 或

2．一块含有︒

30AB ＝8cm, 里面空

心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（ ） (A)5cm (B)6cm (C) cm )(36-

(D) cm )(33+

3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )

(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种

4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122

-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是( )

(A)2322

-+-=)x (y (B) 2322

++-=)x (y (C) 2122

---=)x (y (D) 2322

++-=)x (y

5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )

(A)

32 (B) 31 (C) 21 (D) 6

1 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( ) (A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.

7．一元二次方程)a (c bx ax 002

≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( ) (A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根

8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由

54⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )

(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64 二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)

9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.

10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分

比是

11．ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知

232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是

等于 。

12．设直线1-+=k kx y 和直线k x )k (y ++=1(k 是正整数)

及x 轴围成的三角形面积为k s ，则2006321s ...s s s +++的值是 。

13．如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分别是2和3，且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连结MF ，则MF 的长为 。

14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为21:的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 。

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分）

15．(12分)已知c ,b ,a 都是整数，且42=-b a ,012

=-+c ab ,求c b a ++的值。 16. 做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A ，B 两

种款式的服装合计30件，并且每售出一件A 款式和B 款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元。某日王老板进货A 款式服装35件，B 款式服装25件。怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？

17. 如图所示，⊙O 沿着凸n 边形A 1A 2A 3…A n-1A n 的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周

回到原来的位置。

（1）当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，证明⊙O 自身转动了两圈；

（2）当⊙O 的周长是，凸n 边形的周长是时，请写明此时⊙O 自身转动的圈数。

18. 已知二次函数1122

+-++=m x )m (x y 。

（1）随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求

出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由；

（2）如果直线1+=x y 经过二次函数1122

+-++=m x )m (x y 图象的顶点P ，求

此时m 的值。

全国初中数学竞赛初赛试题（一）参考答案

一、选择题 1．答案D

解：解方程组，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=526,5

43a y a x 要使方程组的解是一对异号的数，

只需3340

26043026043><⎩⎨⎧<->-⎩⎨⎧>-<-a a a a a a 或即或

2．答案B

解：连结BE ，分别过E ，F 作AC 的平行线 BC 于点M 和N ，则

EM=1，BM=3，MN=33134-=-- ∴小三角形的周长是MN+2MN+3MN=6cm 3．答案C

解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种 4．答案：D

解：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线y=2(x+1)2

-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2(x-1)2

-2，而抛物线y=2(x-1)2

-2关于x 轴对称的抛物线是y=-2(x-1) 2

+2 5．答案：A

解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是3

2

64=

6．答案：A

解：经实验或按下 方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到

设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次

后走过的总格数是1+2+3+…+k=

)1(21+k k ，应停在第p k k 7)1(2

1

-+格，这是P 是整数，且使0≤p k k 7)1(21-+≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，p k k 7)1(2

1

-+=1

，