河南省初中数学竞赛预赛试题及答案

全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9：00--11：00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】（A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ．解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1.∴201520132014c b a ++=201520131020141+⨯+-）（=0.2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，则代数式144+-z x 的值是【 】（A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ．解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】（A ）a （B ）b （C ）c （D ）d图2图1d cb aNM【答】C ．解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图NM B A B A 图2图1dc b aNM （第3题图）2，首先确定B 点，所以线段d 与AM 重合，MN 与线段c 重合.4. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列7个代数式ab ，ac ，bc ，ac b 42-，c b a ++，c b a +-，b a +2中，其值为正的式子的个数为【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）4个以上【答】C ．解：由图象可得：0>a ，0<b ，0>c ，∴0<ab ，0>ac ，0<bc . 抛物线与x 轴有两个交点，∴042>-ac b .当x =1时，0<y ，即0<++c b a .当x =1-时，0>y ，即0>+-c b a .从图象可得，抛物线对称轴在直线x =1的左边，即12<-ab，∴02>+b a .所以7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个. 5. 如图，Rt △OAB 的顶点O 与坐标原点重合，∠AOB =90°，AO =2BO ，当A 点在反比例函数xy 1= （x >0）的图象上移动时，B 点坐标满足的函数解析式为【 】（A ）x y 81-= （x <0） （B ）x y 41-=（x <0）（C ）x y 21-= （x <0） （D ）xy 1-=（x <0）【答】B ． 解：如图，分别过点,A B 分别做y 轴的垂线,AN BM ，那么ANO ∆∽OMB ∆，则.4)(2==∆∆OBOA S S OMB ANO .81,2121=∴=⨯=∆∆OMB ANO S AN ON S （第5题图）-11O yxOABxy41=⨯∴BM OM ，故xy 41-=.6．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为【 】（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）6【答】B ．解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点, 即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 7．已知223<<-x ，化简2)9(32--+x x 得 . 【答】6-3x ． 解：∵223<<-x ，∴032>+x ，09<-x ， 原式=63932-=-++x x x .8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为52，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 . SDC GFEPN Q【答】256． 解：设口袋中蓝色玻璃球有x 个，依题意，得5296=++x x ，即x =10，所以P （摸出一个红色玻璃球）=25610966=++. 9. 若214x x x ++=，则2211x x++== . 【答】8．解：∵412=++x x x ，∴31=+xx . 则9)1(2=+x x ，即7122=+xx .∴.81122=++x x10．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB =30°，AB =2，将Rt △OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt △OCD ，则AB 扫过的面积为 .【答】π．解：∵Rt △OAB 中，∠AOB =30°，AB =2，∴AO =CO =32，BO =DO =4，∴阴影部分面积=AOB COD OBD OAC S S S S +--△△扇形扇形=OBD OAC S S -扇形扇形=360)32(9036049022⨯⨯-⨯⨯ππ=π.11．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上时，CA 1= .【答】122±． 解：过A 1作A 1M ⊥BC ，垂足为M ，设CM =A 1M =x ，则BM =4－x ，在Rt △A 1BM 中，（第10题图）A 1E D CBA （第11题图）222121)4(9x BM B A M A --=-=，∴2)4(9x --=2x ，∴x =A 1M =222±， ∴在等腰Rt △A 1CM 中，C A 1=122±.12．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m 是关于x 的方程（x －a ）（x －b ）（x －c ）（x －d ）=2014中大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，则m 的值为 .【答】20．解：∵（m －a ）（m －b ）（m －c ）（m －d ）=2014，且a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，因为m 是大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，∴（m －a ）、（m －b ）、（m －c ）、（m －d ）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，∴（m －a ）+（m －b ）+（m －c ）+（m －d ）=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5，∴m =20.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x 本，大笔记本y 本，钢笔z 支，则有3461075=++z y x ，z y 2=.易知0＜x ≤69，0＜y ≤49，0＜z ≤34, ……………………………………4分∴34610145=++z z x ，346245=+z x ，即524346zx -=.∵x ，y ，z 均为正整数，z 24346-≥0，即0＜z ≤14∴z 只能取14，9和4. …………………………………………………8分①当z 为14时， 524346zx -==2，z y 2==28. 44=++z y x .②当z 为9时， 524346zx -==26，z y 2==18. 53=++z y x .③当z 为4时， 524346zx -==50，z y 2==8. 62=++z y x .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. ……………………………………………………………………14分14.如图，在矩形ABCD 中，AD =8，直线DE 交直线AB 于点E ，交直线BC 于F ，AE =6.（1）若点P 是边AD 上的一个动点（不与点A 、D 重合），,H DE PH 于⊥设DP 为x ,四边形AEHP 的面积为y ,试求y 与x 的函数解析式； （2）若AE =2EB .①求圆心在直线BC 上，且与直线DE 、AB 都相切的⊙O 的半径长； ②圆心在直线BC 上，且与直线DE 及矩形ABCD 的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在Rt AED ∆中，.10,8,6=∴==ED AD AE290,,.43.,.108655624.25AED PHD PHD EAD PDH EDA PHD EAD x DH PH DH x PH x y S S x ∆∆∠=∠=︒∠=∠∴∆≅∆∴==∴==∴=-=-…………………………………………………………5分（2）①//,AD BC EBF ∴∆∽EAD ∆.3.1068EF BF∴== 5, 4.EF BF ∴==………………………7分若⊙1O 与直线DE 、AB 都相切，且圆心1O 在AB 的左侧，过点1O 作DF G O ⊥11于1G ，则可设.1111r B O G O ==1111111,5334222EO F EBO EBF S S S r r ∆∆∆+=∴⋅+⋅=⋅⋅. 解得.231=r …………………10分若⊙2O 与直线DE 、AB 都相切，且圆心2O 在AB 的右侧，过点2O 作DF G O ⊥22于2G ，则可设.2222r B O G O ==.5102136)4(21.2121222222r r G O DF DC FO S D FO ）（）（+=++∴⋅⋅=⋅⋅=∆解得.62=r即满足条件的圆的半径为23或6.…………………………………………13分②6个.………………………………………………………………………………………16分15. 如图1，等腰梯形OABC 的底边OC 在x 轴上，AB ∥OC ，O 为坐标原点，OA = AB =BC ，∠AOC =60°，连接OB ，点P 为线段OB 上一个动点，点E 为边OC 中点.（1）连接P A 、PE ，求证：P A =PE ；（2）连接PC ，若PC +PE =32，试求AB 的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB 取最大值时，如图2，点M 坐标为（0，－1），点D 为线段OC 上一个动点，当D 点从O 点向C 点移动时，直线MD 与梯形另一边交点为N ，设D 点横坐标为m ，当△MNC 为钝角三角形时，求m 的范围.解：（1）证明：如图1，连接AE.....22.90.30,60.,//.,PE PA AE OB OAE OA BC OC OC E OBC BOC AOB AOC BOC ABO OC AB ABO AOB AB OA =∴∴∴==∴︒=∠∴︒=∠=∠∴︒=∠∠=∠∴∠=∠∴=垂直平分线段为等边三角形的中点，为…………………………………………………………5分(2)∵PC +PE =32，∴PC +P A =32.显然有OB=AC ≤PC +P A =32.……………7分在Rt △BOC 中,设AB =OA =BC=x ，则OC=2x ，OB =x 3， ∴x 3≤32，∴x ≤2.即AB 的最大值为2. …………………………10分 (3) 当AB 取最大值时，AB =OA =BC =2，OC =4. 分三种情况讨论：①当N 点在OA 上时，如图2，若CN ⊥MN 时，此时线段OA 上N 点下方的点（不包括N 、O ）均满足△MNC 为钝角三角形. 过N 作NF ⊥x 轴，垂足为F ， ∵A 点坐标为（1，3），∴ 可设N 点坐标为（a ，a 3），则DF =a －m ，NF =a 3，FC =4－a . ∵△OMD ∽△FND ∽△FCN ，.FC NF NF DF OM OD ==∴ ∴aa a m a m -=-=4331. 解得，13434+-=m ，即当0<m <13434+-时，△MNC 为钝角三角形；…14分②当N 点在AB 上时，不能满足△MNC 为钝角三角形；………………15分③当N 点在BC 上时，如图3，若CN ⊥MN 时，此时BC 上N 点下方的点（不包括N 、C ）均满足△MNC 为钝角三角形..3,1.30.//,,==∴=︒=∠=∠∴∴⊥⊥m OD OM BOC ODM OB MN MN CN BC OB ∴当3<m <4时，△MNC 为钝角三角形. 综上所述，当0<m <13434+-或3<m <4时，△MNC 为钝角三角形. …18分。