绕轴旋转体的体积

所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
yba2x2 ( axa) a
o x ax
则
V
2
a
0
y2 dx
(利用对称性)
2ba22
a(a2x2)dx
0
2ba22a2x13x3
a 0
4 ab2
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法2 利用椭圆参数方程
x a cos t
第八章
第五节 定积分的应用
求旋转体的体积
一 旋转体的体积
圆柱
圆锥
圆台
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直线 x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
转一周而成的立体，体积为多少？
在[ a , b ] 上任取小区间[x,xdx]
yf(x)
取积分变量为 x x[a,b]
o
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴
上连续, 则对应于小区间[x,xdx]的体积元素为
dVA (x)dx
y
yf(x)
因此所求立体体积为
b
V a A(x)dx
oa
bx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 x2y2R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x)1(R2x2)tan(RxR)
2 利用对称性
V20 R1 2(R 2x2)tan dx
2tanR2x1x3R 2R3 tan
3 03
y
ox
R x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
x
x xdx
旋转而成的薄片的体积为体积微元，
dV[f(x)]2dx
V b[f(x)]2dx by2dx
a
a
类似的当考虑连续曲线段 x (y )(c y d )
绕y 轴旋转一周所形成的立体体积为
V d[(y)]2 d y c
y
d
y x(y) c ox
例1 由曲线
x2 a2
y2 b2
1
0
2
x5
2
8
16 5
5
y
0
绕 y 轴旋转体的体积
1
Vy
(
0
4y)2dy
1
4 ydy
0
4
Hale Waihona Puke Baidu
y2
1
2
2
0
例3 计算摆线 yxaa((1tcsiontts)) (a0)的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2ay2dx
0
y
o a 2a x
绕 x 轴旋转 一周所得的旋转体的体积. 解: 利用公式有
V a2sin7t3acos2tdt 0
6a3 2(sin7tsin9t)dt32a3
0
105
2a2(1cot)s2a(1co t)d st 0
利用对称性
2a30 (1cot)3 sdt16a30si6n2 t dt
(令u
t) 2
32a3 2sin6udu32a3 0
5 6
3 4
1 2
2
52a3
1应用平行截面函数求旋转体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), A(x)在[a,b]
A(y)2xytan
2tan yR2y2
V 2tan
R
y
R2y2dy
0
y
o
R (x, y) x
练习题
1.求ysix,n y0,0x绕 x 轴和 y 轴旋转一周的旋转体 的体积. 解：由公式有
V x 0 si2x nd 2 x 0 (1 co 2 x)d s x 2 2
例20. 求由星形线xaco 3t,syasi3tn0t
y
b sin
t
则
V2 ay2dx 2
2
ab2sin3tdt
0
0
2ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求由曲线 y , 直x 线 及 x轴 所1 围x成的平面图形 绕 轴旋转x一周所生成的旋转体的体积.
解：选为积分变量，由旋转体的体积公 式，得到
1
Vx
(
0
x)2dx
1
xdx
0
x2
1
2
0
2
例3 求由曲线 x 2 4 y ，直线y 1 及 y 轴所围成的图形
分别绕 x 轴，y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积
y
y
x x
解：绕 x 轴旋转体的体积
Vx
122 2(x2)2dx
04
2
16
2 x4dy