行列式与解线性方程组
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
行列式相等的条件
行列式相等的条件行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程求解中起着关键作用。
在矩阵中，行列式是一个具有特定性质的标量值，它可以用来判断矩阵的性质和解方程的唯一性。
行列式的相等条件是指两个行列式在满足一定条件下取得相等的情况。
下面将介绍一些行列式相等的条件。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的标量值，它可以用来描述矩阵的性质。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示矩阵的阶数。
行列式的计算方法是通过对矩阵的元素进行特定运算得到的。
对于一个2阶矩阵A = [a b; c d]，它的行列式计算公式为：det(A) = ad - bc。
对于一个3阶矩阵A = [a b c; d e f; g h i]，它的行列式计算公式为：det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。
1. 方阵对角线元素相等当两个方阵的对角线元素相等时，它们的行列式一定相等。
例如，对于两个2阶矩阵A = [a b; c d]和B = [d b; c a]，它们的行列式都是ad - bc。
2. 方阵互为转置矩阵当两个方阵互为转置矩阵时，它们的行列式一定相等。
例如，对于一个3阶矩阵A = [a b c; d e f; g h i]和它的转置矩阵A' = [a d g;b e h;c f i]，它们的行列式都是aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。
3. 方阵某两行互换当两个方阵通过互换某两行得到时，它们的行列式相等。
例如，对于一个3阶矩阵A = [a b c; d e f; g h i]，如果将第一行和第二行互换得到矩阵B = [d e f; a b c; g h i]，那么它们的行列式都是aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。
4. 方阵某一行乘以非零常数当两个方阵通过将某一行乘以非零常数得到时，它们的行列式相等。
行列式的历史背景
行列式的历史背景行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的. 1693 年 4 月,莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件.同时代的日本数学家关孝和1683年在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法.1750 年,瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整,明确的阐述,并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则.稍后,数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化,利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.总之,在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外,单独形成一门理论加以研究.在行列式的发展史上,第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述,即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人,是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796) .范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐,但对数学有浓厚的兴趣,后来终于成为法兰西科学院院士.特别地,他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.就对行列式本身这一点来说,他是这门理论的奠基人.1772 年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则,推广了他的展开行列式的方法.继范德蒙之后,在行列式的理论方面,又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西. 1815 年,柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的,几乎是近代的处理.其中主要结果之一是行列式的乘法定理.另外,他第一个把行列式的元素排成方阵,采用双足标记法;引进了行列式特征方程的术语;给出了相似行列式概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等.19 世纪的半个多世纪中,对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士.西尔维斯特(J.Sylvester,1814-1894) .他是一个活泼,敏感,兴奋,热情,甚至容易激动的人,然而由于是犹太人的缘故,他受到剑桥大学的不平等对待.西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想,他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去x 的方法,他称之为配析法,并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果,但没有给出证明.继柯西之后,在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851) ,他引进了函数行列式,即"雅可比行列式",指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用,给出了函数行列式的导数公式.雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成.由于行列式在数学分析,几何学,线性方程组理论,二次型理论等多方面的应用,促使行列式理论自身在19 世纪也得到了很大发展.整个19 世纪都有行列式的新结果.除了一般行列式的大量定理之外,还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到.。
方程组的行列式解法和高斯消元法
方程组的行列式解法和高斯消元法方程组是我们学习高等数学的基础，而解方程组的方法则是数学研究的重点之一。
其中，行列式解法和高斯消元法是两种常见的解方程组的方法。
本文将会介绍这两种方法的具体操作和优缺点。
一、行列式解法行列式解法是一种基于行列式的方法，它适用于二元线性方程组和三元线性方程组。
对于二元线性方程组：$$\left\{\begin{aligned}&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2\end{aligned}\right.$$我们可以将这个方程组转换为矩阵形式：$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} &a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1 \\b_2\end{pmatrix}$$然后，我们可以求出系数矩阵的行列式$D$以及增广矩阵的行列式$D_x$和$D_y$，其中$D_x$和$D_y$分别表示将系数矩阵中第一列和第二列替换为增广矩阵的列向量得到的矩阵的行列式。
这个过程可以表示为：$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix},D_x=\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix},D_y=\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}$$最后，我们可以通过克拉默法则得到方程组的解：$$x_1=\frac{D_x}{D},x_2=\frac{D_y}{D}$$对于三元线性方程组，我们可以采用类似的方法求解。
线性代数齐次方程组解法
D =)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------按第一列展开，再将各列的公因子提出来D =)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------=(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)2232232111---k kk k ka a a a a a得到的k －1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为∏≤<≤-ki j j ia a2)(于是 D =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)∏≤<≤-ki j j ia a2)(=∏≤<≤-ki j j ia a1)(因此，对于任意正整数n ≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。
证毕 例1.14 计算n 阶三对角行列式：D n =2112000002100012100012------解 由行列式的性质1.4，将D n 的第一列的每个元看成两个元之和，得D n =21001200000210012000011-----+2112000002100012100011------第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得D n =D n －1+11100000100011000011---=D n －1+1 反复利用上面的递推公式，得到D n =D n －1+1=D n －2+2=…=D 1+n －1=2+n －1=n +1例1.15 计算n 阶行列式D n =n a bbba b bb a21 (a i ≠b , i =1,2,…,n ) 解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。
线性方程组有解的条件
线性方程组有解的条件
R(A)=R(AB)=n是线性方程组有解的充要条件，齐次方程组有唯一零解的充要条件是系数行列式的值为0，不为0就有无穷多解。
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。
齐次线性方程组求解步骤
1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
1、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。
行列式发展历史
行列式发展历史一、行列式的起源和发展概述行列式是线性代数中的重要概念，最早由日本数学家关孝和在18世纪末提出。
行列式的发展经历了多个阶段，逐渐形成了现代线性代数的基础。
二、行列式的起源行列式最早起源于代数学中的消元法，用于解决线性方程组的问题。
在17世纪末，法国数学家Cramer提出了Cramer法则，通过行列式的计算来求解线性方程组。
这标志着行列式作为一个独立的数学概念开始被正式研究。
三、行列式的初步发展18世纪末，日本数学家关孝和进一步发展了行列式的理论。
他提出了行列式的定义和性质，并给出了行列式的计算方法。
关孝和的研究成果为后来的数学家们提供了重要的理论基础。
四、行列式的矩阵表示19世纪初，数学家Cauchy将行列式的概念与矩阵相结合，引入了矩阵的概念。
他将行列式看作是一个方阵，通过矩阵的运算来计算行列式的值。
这一创新为后来的矩阵论奠定了基础。
五、行列式的性质和应用随着对行列式理论的深入研究，人们逐渐发现了行列式的一些重要性质。
行列式具有可加性、齐次性、交换性等基本性质，这些性质使得行列式在线性代数中具有广泛的应用。
六、行列式在线性代数中的应用行列式在线性代数中有着广泛的应用。
首先，行列式可以用来求解线性方程组的解，通过计算行列式的值，可以判断线性方程组是否有唯一解。
其次，行列式可以用来计算矩阵的逆和行列式的秩，这对于矩阵的求逆和判断线性相关性非常重要。
此外，行列式还可以用来计算向量的叉乘和面积、体积等几何量。
七、行列式的发展现状和展望目前，行列式的理论已经非常成熟，已经成为线性代数的基础知识之一。
随着计算机技术的发展，人们可以通过计算机程序来计算行列式的值，大大提高了计算的效率。
未来，行列式的研究还将与其他数学分支相结合，进一步拓展行列式的应用领域。
八、总结行列式作为线性代数中的重要概念，经历了从起源到发展的过程。
通过对行列式的研究，人们发现了行列式的性质和应用，为线性方程组的求解和矩阵运算提供了重要的工具。
行列式定义性质与计算
行列式与逆序数的计算
总结词
行列式的逆序数与计算顺序有关。
详细描述
对于任何给定的方阵A，其逆序数与计算行列式的顺序有关。换句话说，如果你 改变计算行列式的顺序，那么逆序数也会相应地改变。这是因为行列式的定义涉 及对行和列的操作，而行和列的顺序会影响到这些操作的顺序和结果。
03
行列式的计算方法
二阶行列式的计算方法
矩阵逆运算中行列式的应用
总结词
行列式在矩阵逆运算中扮演关键角色。
详细描述
在求解矩阵的逆时，行列式是一个关键因素 。只有方阵才可能有逆矩阵，而判断一个方 阵是否可逆的方法之一就是查看其行列式值 。如果行列式值等于零，那么这个方阵就是 不可逆的；反之，如果行列式值不等于零， 那么这个方阵就是可逆的。因此，行列式在
用代数余子式展开，然后进行简单的 代数运算。
03
例子
对于三阶行列式
三阶行列式的计算方法
```
|abc| |def|
三阶行列式的计算方法
01
|ghi|
```
02
03
其值为 a*e*i + b*f*g + c*d*h c*e*g - b*d*i - a*f*h。
n阶行列式的计算方法-展开法
定义
n阶行列式是所有位于对角线上 的元素和它们不相邻的元素的总 和，共有n!项，每个项都是不同 行不同列的n个元素的乘积。
行列式定义性质与计算
2023-11-06
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的计算方法 • 行列式在解线性方程组中的应用 • 行列式在矩阵运算中的应用
01
行列式的定义
二阶行列式定义
01
二阶行列式是由2行2列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子 式决定。
二阶、三阶行列式
1 − 2 =
例5用三阶行列式解线性方程组ቐ2 − 3 = 的值。
1 + 3 =
解
由于
1
= 0
1
−1 0
1 −1 =1+1=2≠ 0
0
1
1
2 = 0
1
0
−1 =b−a+c
1
1 =
−1
1
0
1 −1
3 = 0 1
1 0
0
−1 =a+b+c
1
=c−b−a
定行列式等于零。
线 性 代 数
31 32 33
−1322131 −122133 −112332
11 12 13
= 21 22 23 称为三阶行列式，它由三行、三列共9个元素组成，
31 32 33
是6项的代数和，每一项都是三个元素的乘积并适当附上正号或负号，而且
这三个元素必须来自不同的行和不同的列。如图1-2所示，可用对角线法则
2
(1)当λ 为何值时，D=0;
解
λ
1
，问：
(2)当λ 为何值时，D≠0。
λ2 λ
因为 =
= λ2 − λ = λ(λ − 2)，所以
2 1
(1)当λ=0或λ=2时，D=0；
(2)当λ≠0且λ≠2时，D≠0。
3 − 42 = 2
例3用二阶行列式解线性方程组ቊ 1
1 + 22 = 4
解
=
表示a11a22-a12a21，称为
21 22
二阶行列式，即
a11
a12
D
a11a22 - a12 a21
系数行列式解法
系数行列式解法一、系数行列式解法的概念与特点系数行列式解法是指利用行列式性质和矩阵运算来求解线性方程组、矩阵特征值等问题的一种数学方法。
系数行列式解法具有如下特点：1.适用范围广泛：系数行列式解法可以应用于各种线性方程组、矩阵特征值等问题求解。
2.计算过程直观：系数行列式解法通过行列式与矩阵的关系，使得计算过程较为直观易懂。
3.结果唯一：对于线性方程组，系数行列式解法得到的结果是唯一的。
二、系数行列式的计算方法1.直接计算法：直接根据行列式的定义，计算行列式中的元素值并进行运算。
2.扩展法：将行列式扩展为更大的行列式，从而降低原行列式的阶数，简化计算过程。
3.递推法：通过递推关系式，逐步计算出较低阶的行列式值，进而求得高阶行列式的值。
4.高斯消元法：将线性方程组化为阶梯形或行最简形式，从而计算出系数行列式的值。
三、系数行列式在实际问题中的应用1.线性方程组求解：系数行列式解法可以方便地求解线性方程组，得到方程组的解。
2.矩阵特征值求解：通过计算矩阵的系数行列式，可以求得矩阵的特征值和特征向量。
3.线性变换与矩阵乘法：系数行列式在线性变换和矩阵乘法中起到重要作用，可以用于分析线性变换的性质。
四、系数行列式的优缺点分析优点：1.计算过程简洁；2.适用范围广泛；3.结果唯一。
缺点：1.对高阶行列式的计算效率较低；2.在实际应用中，可能存在计算误差。
五、提高系数行列式计算效率的方法1.矩阵分解：将矩阵进行分解，降低矩阵的阶数，从而提高计算效率。
2.算法优化：针对不同问题，采用合适的算法进行优化，提高计算速度。
六、总结与展望系数行列式解法作为一种数学方法，在实际问题中具有广泛的应用。
通过对系数行列式的计算方法、应用领域以及优缺点的分析，可以更好地理解和运用系数行列式解法。
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中国人民公安大学学报（自然科学版）
２０１０年第１期Ｎｏ．１ ２０１０ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｐｅｏｐｌｅ’Ｓ Ｐｕｂｌｉｃ Ｓｅｃｕｒｉｔｙ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ） 总第６３期Ｓｕｍ６３
行列式与解线性方程组
李排昌， 左 萍
（中国人民公安大学，北京１０００３８）
摘 要线性代数的核心内容是解线性方程组。在寻求线性方程组解的存在定理和求解方法的过程中而产生的
行列式理论和矩阵理论构成了线性代数的基本理论。这本来是一个纯代数问题，如果把这个纯代数问题与几何结
合起来，在求解线性方程组的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系，就产生了求解线性方程组的行列式理论
和矩阵理论。通过说明把几何概念引入解线性方程组的过程以及认真细致的分析、基本的归纳、简明的例子，为初
学者正确认识行列式理沦、准确应用行列式理论提供帮助。
关键词 标准形式线性方程组；行列式
中图分类号ｏ１５１
０ 引言
显然，线性方程组的解与其系数和常数项有关。
这本来是一个纯代数问题，如果我们把这个纯代数
问题与几何结合起来，在求解线性方程组的过程中
从整体上考虑系数与常数项的关系，就产生了求解
线性方程组的行列式理论和矩阵理论。
１标准形式的２元线性方程组
定义１如果线性方程组的未知数的个数与方
程的个数相等，则称其为标准形式的线性方程组。
已知标准形式的２元线性方程组
ａｌｌ－￣ｌ＋。ｌ２ ｂｌ
（１）
Ｌａ２１ １＋ａ２２ ２＝ｂ
用加减消元法消去（１）式中的一个未知数，若ａ ａ：
（／１２ｏ：。≠０，则得线性方程组（１）式的惟一解及求解
公式
（２）
定义２结合几何概念，我们把（１）式中的２×
２个系数按其相对位置构成的如下数学表达式
０ｌＩ（／２２－－ａ１２（／２Ｉ
＋
（３）
作者简介 李排昌（１９５７一），男，教授，理科摹础课教研部主任。
１００·
。，＝
Ｉ： ： Ｉ＝６ 。２２一 ：ｒ上。：， ｃ４，
。：＝
Ｉ。ａ ｌ。ｌ： ｌ ｌ＝。。。 一。 ６。。 ｃ５
Ｄ
ｂ Ｄ（／２ ｂ２
ａｌｌ ａ１２
Ｉ ｌ 。 ｌ— Ｉ ，
。。 门
５ １
１ —３
２ １ ｌ
１ —３ ｌ
二 一，＇
７一厶’
李排昌 左 萍：行列式与解线性方程组
２ ５
ｌ 一１ —７ ．
＿＝＝ ｌ。
故２直线的交点为（２，１）。
２标准形式的３元线性方程组
已知标准形式的３元线性方程组
ⅡＩｌ ｌ＋。ｌ２ ２＋ｎｌ３ ３＝６ｌ
ａ２１戈ｌ＋ｎ２２ ２＋ ２３ ３＝ｂ２。 （７）
【Ⅱ， ＋ｎ， 戈 ＋ｎ，， ，＝６，
定义３结合几何概念，我们把（７）式中的３×
３个系数按其相对位置构成的如下数学表达式
ａｌ１ａ２２ａ３３＋ｒ上ｌ ２ａ２３ａ３ｌ＋ｎＩ３ａ２ｌａ３２
ｎ１３ｎ２２ｎ３１一ｒ上１２ｎ２１ｒ上３３一ｒ上ｉｉｎ２３ｎ３２
＋ （８）
称为由３×３个系数排定位置的３阶行列式（也
称为（７）式的系数行列式）。
由３阶行列式的定义，将（８）式中Ｄ的第１、２、３
列的数分别换成（７）式中的常数项，则得３个新的３
阶行列式
Ｄｌ＝
ｂｌ ａｌ２
ｂ２。２２
ｂ３ ａ３２
ａｌ３ｂ２ａ３２
Ｄ２＝
ａ１３ａ２ｌ ｂ３ Ｄ３＝ ａｌ ３ａ２２ｂ３ ｂｌ ａｌ３ ｂ２ ａ２３ ｂ３ ａ３３ ａ１３ｂ２。３ｌ
ａＩｌ ａｌ２ ｂ１
ａ２１ ａ２２ ｂ２
ａ３１ ａ３２ ｂ３
ｂ１ａ２ｌａ３３一ａｌｌａ２３ｂ３，（１０）
ｂｌａ２ｌａ３２一ｂｌａ２２ａ３ｌ—ａ１２ａ２ｌ ｂ３一ａｌｌｂ２ａ３２。（１ １）
当Ｄ≠０时，用适当的加减消元法，可得线性方
程组（７）式的惟一解求解公式
Ｄ． ，） Ｄ
３ｆＩ ， ｚ ， 。 （１２）
例２求３平面 一Ｙ＋２ｚ＝１３， ＋Ｙ＋ ＝１０，
２ ＋３ｙ—ｚ：１的交点。
解此题等价于求解３元线性方程组
， —Ｙ＋２ｚ＝１３
Ｊ ＋Ｙ＋ ＝１０。
【２ ＋３ｙ—ｚ＝１
把具体系数和常数项代入（１２）式得解
ＤＩ
１，ｙ＝ ＝２，ｚ＝ ＝７ ｏ ，ｙ ：２，
故３平面的交点为（１，２，７）。
３排列逆序数与，ｌ阶行列式
定义４ 在ｎ个自然数码１，２，…，ｎ的一个全
排列（ｉ ，ｉ ，…，ｉ ）中，如果某个小数排在了某个大
数之后，就称这个排列中出现了一个逆序。一个全
排列逆序的总数称为该排列的逆序数，记为Ｏｒ（ｉ ，
ｉ２，…，ｉ ）。
例如，５个数码１，２，３，４，５的３个全排列的逆
序数分别为
ｏｒ（１２３４５）＝０，
ｏｒ（５４３２１）＝１０，
（１５４３２）＝６。
分析２阶行列式（３）式
Ｉ ａｌ】口Ｉ ２ Ｉ
，Ｊ＝Ｉ Ｉ＝ｎｌ１Ⅱ２２一。ｌ２血２ｌ
１ ０２１ ａ２２ Ｉ
可知，其数学表达式共有２（２＝２ １）项，１项带正号１
项带负号（１＝ ）；每项２个因子，分别来自Ｄ的
不同的行和不同的列，２个因子的第１下标的数码
排成自然顺序后，第２下标恰为２个数码１，２的某
个全排列（共２：２ １个全排列），逆序数ｏｒ（１２）＝０
（偶数）的项带正号，逆序数ｏｒ（２１）＝１（奇数）的项
带负号。
分析３阶行列式（８）式
｛、一ａＩ １ａ２２ｎ３３＋ｎ１ ２ａ２３ａ３１＋ｎｌ ３ｎ２ｌｎ３２
｝、 ：、、－ａＩ３ａ２２ｒｚ３１一ｎ１２ｎ２１ｎ３３一ｎ１ １ｎ２３ｎ ２
ｉ 、
可得同样的结论，其数学表达式共有６（６＝３ １）项，３
项带正号３项带负号（３＝ ）；每项３个因子，分别
来自Ｄ的不同的行和不同的列，３个因子的第１下
标的数码排成自然顺序后，第２下标恰为３个数码
１，２，３的６个全排列，逆序数ｏｒ（１２３）＝０，ｏｒ（２３１）：
２，ｑ（３１２）＝２（偶数）的项带正号，逆序数ｏｒ（３２１）＝３，
１ ０１．
李排昌 左 萍：行列式与解线性方程组
ｏ＇（２１３）＝１，ｏｒ（１３２）＝１（奇数）的项带负号。
由此，我们给出ｎ阶行列式的定义
定义５结合几何概念，我们把 ×ｎ个排定位
置的数构成的如下数学表达式
Ｄ＝
∑（～１）州 … ，。 （１３）
称为ｎ阶行列式，其中ｏ 为Ｄ的第ｉ行、第 列的元
素，（ｉ ，ｉ ，…，ｉ ）为ｎ个自然数码１，２，…，ｎ的某个
全排列（共有ｎ！个）， 是对这ｎ！项求和。
４标准形式的，ｌ元线性方程组
令
已知标准形式的ｎ元线性方程组
ｌ０２·
ａｌｌ ｌ＋ａ１２Ｘ２＋…＋ａｌ
ｘ ＝ｂ１
ａ２１Ｘｌ＋ａ２２ｘ２ ‘＋ａ２
Ｘ，
ｂ２
（１４）
ａ ｌ 】＋ａｎ２ ２＋…＋ａ
ｘ ＝ｂ
Ｄ＝
Ｄｌ＝
Ｄ ：
ｂ１ ａ１２
ｂ２ ａ２２
ｂ ａ ２
ｂ１
ｂ２
ｂ
（１５）
当Ｄ≠０时，用数学归纳法可以证明：线性方程
组（１４）式的惟一解求解公式为
鲁，． ＝－。ｆ）１ ， ２ ，…， ｎ 。 ，
例３解线性方程组
１
＋ ２—２ ３＋ ４＝１
１
＋ ２＋ ４＝２
ｌ一 ２＋Ｘ３＋２ｘ４＝１
１
＋ ３一 ４：１
解把具体系数和常数项代人（１５）式得解
Ｄｌ 一８ Ｄ２ —９
Ｄ ＝ ，ｘ２。一Ｄ ＝而’
Ｄ３ —５ Ｄ４ —３
， ＝ ＝ 。
５ 结语
行列式是一个特殊的数学表达式，它是一个特
殊的ｎ Ｘ １Ｔ个变量的函数，正是因为其特殊性，它具
有一系列特殊的性质，由此产生了行列式理论，本文
不一一论述。
对标准形式线性方程组其系数行列式等于零以
及非标准形式线性方程组的求解问题的研究，产生
了矩阵理论。矩阵理论的基础仍是行列式理论。
参 考 文 献
［１］谢邦杰．线性代数［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７８．
［２］ 同济大学数学教研室．线性代数［Ｍ］．北京：高等教育
出版社，１９９９．
［３］ 李排昌，左萍．线性代数［Ｍ］．北京：中国人民公安大
学出版社，２００５．
（责任编辑李记松）