第6章_行列式、矩阵与线性方程组
线性代数
第1章 矩阵与行列式
>> AB=A*B 运行结果： AB = 6 2 6 1 8 -1 >> D=6*A 运行结果： D= 18 6 12 6 6 12
-2 0 2
6 12 18
第1章 矩阵与行列式
>> sym c; >> cA=c*A 运行结果： cA = [ 3*c, c, c] [ 2*c, c, 2*c] [ c, 2*c, 3*c] >> F=A' 运行结果： F= 3 2 1 1 1 2
第1章 矩阵与行列式
【矩阵与行列式简介】
在计算机日益发展的今天，线性代数起着越 来越重要的作用。线性代数起源于解线性方程组 的问题，而利用矩阵来求解线性方程组的Gauss消 元法至今仍是十分有效的计算机求解线性方程组 的方法。矩阵是数学研究和应用的一个重要工具 ，利用矩阵的运算及初等变换可以解决求解线性 方程组等问题。特殊的矩阵方阵的数字特征之一 是方阵的行列式，使用行列式可以描述方阵的一 些重要的性质。通过计算行列式可求逆矩阵，n个
第1章 矩阵与行列式
>>C=A(2:end,[1,4]) 运行结果： C= 5 8 9 12 13 16 3．>> A=[0 1 2;1 1 4;2 -1 0]; >>E=eye(3); >>B=[A,E] 运行结果： B= 0 1 2 1 1 1 4 0 2 -1 0 0
0 1 0
0 0 1
第1章 矩阵与行列式
；
2 x1 4 x 2 x3 x 4 5 （2） x1 2 x2 2 x3 x 4 4 ． x 2x x 2x 1 2 3 4 1
线性方程组的矩阵行列式与解性质
线性方程组的矩阵行列式与解性质线性方程组是数学中的重要概念，它描述了多个线性方程的集合，我们可以通过矩阵行列式与解的性质来研究线性方程组的解的存在性、唯一性以及可解性等问题。
本文将介绍线性方程组的矩阵行列式与解的性质，以便更好地理解和解决线性方程组的问题。
一、矩阵行列式与解的存在性对于一个线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
当且仅当矩阵A的行列式不等于零时，线性方程组有解。
这是线性代数中的克拉默法则。
克拉默法则是一种基于行列式的方法，它可以通过计算矩阵的行列式来判断线性方程组是否有解。
如果矩阵A的行列式等于零，即|A|=0，则线性方程组无解。
这意味着系数矩阵的行向量是线性相关的，存在某个向量可以表示为其余向量的线性组合。
二、矩阵行列式与解的唯一性当线性方程组的系数矩阵A满足行满秩条件时（即A的行向量线性无关），线性方程组的解是唯一的。
行满秩条件可以用行列式来刻画。
如果A的行列式不等于零且行满秩，则线性方程组有唯一解。
这也称为克拉默法则的第二部分。
当矩阵A的行列式不等于零时，我们可以使用矩阵的逆来求解线性方程组的唯一解。
设A的逆矩阵为A^-1，则方程组的解可以表示为x=A^-1b。
三、矩阵行列式与解的可解性对于一个线性方程组Ax=b，如果系数矩阵A的行数小于列数，即m<n，那么线性方程组可能有无数个解，也可能无解。
当m<n时，矩阵A是一个矩形矩阵，存在自由变量。
这意味着线性方程组具有无穷多个解。
我们可以使用参数化的方法来表示解。
例如，考虑一个二维线性方程组的例子：x + 2y = 32x + 4y = 6该方程组的系数矩阵A为[[1, 2], [2, 4]]，行列式为0。
系数矩阵的秩为1，小于列数2。
因此，这个方程组有无穷多个解，可以表示为x=a，y=3-2a，其中a为任意实数。
总结起来，线性方程组的矩阵行列式与解的性质是线性代数中的重要概念。
通过计算矩阵的行列式，我们可以判断线性方程组的解的存在性。
第6章 求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法
数值计算与MATLAB1《数值计算与MATLAB 》第6章求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法§1 求解线性代数方程组的迭代法§2 方阵特征值和特征向量的计算§3 矩阵一些特征参数的MATLAB计算《数值计算与MATLAB 》6.1 求解线性代数方程组的迭代法1、迭代法的基本原理如果线性方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，则方程组有唯一解。
把这种方程中的方阵A分解成两个矩阵之差：A=C-D若方阵C是非奇异的，把A它代入方程Ax=b中，得出 (C-D)x=b，两边左乘C-1，并令 M=C-1D，g= C-1b，移项可将方程Ax=b变换成：x=Mx+g据此便可构造出迭代公式： xk+1=Mx k+g，M=C-1D称为迭代矩阵。
《数值计算与MATLAB 》2. 雅可比（Jacobi）迭代法如果方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，aii≠0，若可以把A 分解成： A=D-L-U=D+(-L)+(-U)，D=diag(a11,a22,…,a nn)；-L是严格下三角阵；-U是严格上三角矩阵；x= D-1((L+U)x +b)=D-1(L+U)x+ D-1bx k+1=D-1((L+U)x k+b)= D-1(L+U)x k + D-1bMM=D-1(L+U)称为雅可比迭代矩阵《数值计算与MATLAB 》⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=67-4121-26-3-115-12A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61-3-2D⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=74-1-2-1-L⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2-61-51-UM=D-1(L+U)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7/62/3-1/6-222-1/31/2-5/21/2-《数值计算与MATLAB 》雅可比迭代公式的向量形式x k=[( x k) 1,( x k) 2, …,(x k) n]T, k=0,1,2,……，D-1=diag( , ,… ,)，11a122a1nna1))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxk《数值计算与MATLAB》3. 赛德尔（Seidel）迭代法))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxkM= (D-L)-1U称为赛德尔迭代矩阵《数值计算与MATLAB 》4. 迭代法的敛散性方阵的谱半径《数值计算与MATLAB 》向量范数非负性：||x||≥0齐次性：||ax||=|a|||x||；三角不等式：||x||+||y||≥||x+y||。
大学高等数学第六章2矩阵及其运算
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
编辑ppt
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
D4 2
要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵
来表示。
编辑ppt
● 矩阵的概念
矩阵的定义（见书P233定义1） 矩阵的一般形式如下：
a11 a12 ......a1n
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
a 其中：i j 称作矩阵的元素。
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C） 编辑ppt
●矩阵的减法
a11
设
A
a m1
a1n
a mn
Am nAm nO m n
，则称矩阵
a11 a m1
a1n
为A
的负矩阵，记作
A
。
a mn
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n编辑ppt
作AB 。
注意：同型是相等的必要条件。 如：
2 0 0
0
0
2 0
0
2
2 0
线性代数重点知识总结
说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。
2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。
3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。
第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。
2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。
总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。
第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。
2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。
4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。
5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A 可逆，则)A -(1|A |A -1T T αααα=+。
第三章 线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n 21,,,ααα ，右边常则看作一个向量β，1）若向量β被向量组n 21,,,ααα 表出唯一（即满足关系：n n n ==),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，因为只有向量组n 21,,,ααα 线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若β不能由向量组n 21,,,ααα 线性表出（即满足条件),,,,(r 1),,,(r 2121βααααααn n =+时）则无解；3）若β由向量组n 21,,,ααα 表出不唯一（即满足条件n n n <=),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，只有n 21,,,ααα 线性相关才表出不唯一）有无穷解。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
(NEW)同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录
第1章 行列式
1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 考研真题详解
第2章 矩阵及其运算
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 考研真题详解
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 考研真题详解
第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 考研真题详解
第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 考研真题详解
第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 考研真题详解
第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列。
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
线性代数目录
线性代数目录前言
第1章行列式
1 二阶与三阶行列式
2 全排列和对换
3 n 阶行列式的定义
4 行列式的性质
5 行列式按行（列）展开
习题一
第2章矩阵及其运算
1 线性方程组和矩阵
2 矩阵的运算
3 逆矩阵
4 克拉默法则
5 矩阵分块法
习题二
第3章矩阵的初等变换与线性方程组
1 矩阵的初等变换
2 矩阵的秩
3 线性方程组的解
习题三
第4章向量组的线性相关性
1 向量组及其线性组合
2 向量组的线性相关性
3 向量组的秩
4 线性方程组的解的结构
5 向量空间
习题四
第5章相似矩阵及二次型
1 向量的内积、长度及正交性
2 方阵的特征值与特征向量
3 相似矩阵
4 对称矩阵的对角化
5 二次型及其标准形
6 用配方法化二次型成标准形
7 正定二次型
习题五
∗第6章线性空间与线性变换
1 线性空间的定义与性质
2 维数、基与坐标
3 基变换与坐标变换
4 线性变换
5 线性变换的矩阵表示式
习题六
部分习题答案。
线性代数
线性代数一、线性代数的形成和发展历史在代数学发展的第二个时期，即在19世纪时，线性代数就获得了光辉的成就。
线性代数内容广泛，而行列式、矩阵、线性方程组等只是线性代数的初等部分，线性代数还有更深入的内容，如线性空间、欧式空间、酉空间、线性变换和线性函数、 －矩阵、矩阵的特征值等等以及与其相关联的一系列理论。
有材料说，在代数学的所有分支中，线性代数的这些理论按其应用的重要性和广泛性来说，是第一位的，很难指出数学、理论力学、理论物理等学科中有不用到线性代数的结果和方法的。
例如，线性代数对于泛函分析的发展就有着决定性的影响。
下面着重对线性代数的初等部分的形成和发展简述如下：1．行列式最早引入行列式概念的，是十七世纪的日本的数学奠基人关孝和。
他1383年著《解优题之法》一书，对行列式及其展已经有了清楚的叙述。
但是在公元一世纪(东汉初年)。
中国古算术《九章算术》中已有用矩阵(当时称为“方程”)的初等变换来解线性方程组的内容了。
关孝和的思想的产生，大概多受惠于中国而非西方的影响。
1693年，莱不尼兹用指标数的子统集合表示含两个未知量和三个线性方程组所组成的系统，他从三个方程的系数中消去两个未知量，得到一个行列式，就是现在所称的方程组的法式。
用行列式去解含二、三、四个未知量的方程组，可能在1729年由马克劳林所首创，且于1748年发表在他的遗作《代数绝著》中，其法则基本就是现在所使用的法则。
瑞士数学家克莱姆(Cramer)于1750年把马克劳林的法则发表在他的《线性代数分析导言》中，这就是现在所谓的克莱姆法则。
1772年，范德蒙(Vander monde)把行列式脱离开线性方程组作为一个独立的理论研究。
给出行列式的定义与确立符号的法则，被认为是行列式理论的奠基人。
1812年，柯西(Cauchy)首先采取“行列式”(Determinant)这一名称。
他还于1815年把行列式的元素记为a ij，带双重足码。
他的著作给出行列式第一个系统的也几乎是近代的处理，其中一个主要结果之一是行列式的乘法规则。
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124第6章 行列式、矩阵与线性方程组本章教学要求：了解行列式、矩阵的基本概念，并会计算行列式、矩阵的计算题。
在一个函数、方程或不等式中，如果所出现的数学表达式是关于未知数或变量的一次式，那么这个函数、方程或不等式就称为线性函数、线性方程或线性不等式。
在经济管理活动中，许多变量之间存在着或近似存在着线性关系，使得对这种关系的研究显得尤为重要，许多非线性关系也可转化为线性关系。
线性代数是高等数学的又一个重要内容，与微积分有着同样的地位和同等的重要性．行列式、矩阵与线性方程组（即一次方程组）的理论是线性代数的一个基本内容，也是主要内容．线性代数在许多实际问题中有着直接的应用，并为数学的许多分支和其它学科所借鉴．行列式、矩阵与线性方程组在数据计算、信息处理、均衡生产、减少消耗、增加产出等方面有着广泛应用，是我们改善企业生产经管管理、提高经济效益很有用的工具。
在这一章里，我们将介绍行列式和矩阵的一些基础知识，并讨论线性方程组的解法，以及行列式、矩阵与线性方程组的一些相关经济应用。
６．１ n 阶行列式及性质行列式是在讨论线性方程组时建立起来的一个数学概念，是我们解线性方程组的一个有力工具．6.1.1 二阶行列式二元线性方程组的一般形式是)(Ⅰ ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a ②① 利用消元法求解：1222a ②a ①⨯-⨯，得 122221112212211)(a b a b x a a a a -=-． 2111a ①a ②⨯-⨯，得 121211212212211)(b a b a x a a a a -=-．当012212211≠-a a a a 时，方程组)(Ⅰ的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=122122112111122122122111222211a a a a a b a b x a a a a a b a b x ③． 在二元线性方程组)(Ⅰ的解的表达式③中，1x 、2x 的解的分母都是12212211a a a a -．为了便于记忆和讨论，引入一个新的记号22211211a a a a 来表示12212211a a a a -，即22211211a a a a ＝12212211a a a a - (6-1)在22211211a a a a 中，11a 、12a 、21a 、22a 是方程组)(Ⅰ中1x 、2x 的系数，它们按原来的位置125排成一个正方形． 我们称22211211a a a a 为二阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，ij a （2,1=i ；2,1=j ）称为二阶行列式第i 行第j 列的元素．(6-1)式的右端称为二阶行列式的展开式．显然，二阶行列式有二行和二列，共4个元素，记为22个元素，二阶行列式的展开式有两项，记为2!项。
二阶行列式按如下方法展开（图6-1）：2111a a2212a a图6-1 二阶行列式展开方法实对角线（叫做主对角线）上两元素之积取正号，虚对角线上两元素之积取负号，然后相加就是行列式的展开式．这种展开行列式的方法称为对角线展开法．由上可知，二阶行列式等于一个确定的数，这个数称为二阶行列式的值．求二阶行列式的值可用对角线展开法．例6-1 计算下列二阶行列式的值：⑴5342-； ⑵ααααsin cos cos sin -．解：⑴5342-22)4(352=-⨯-⨯=；⑵ααααsin cos cos sin -1cos sin 22-=--=αα．根据对角线展开法，我们再来解决前面给出的二元线性方程组求解的另一种方法。
有：对应于1x 、2x 解的分母和分子的表达式,联系二阶行列式的展开形式,得到如下：122221a b a b -=222121a b a b ，121211b a b a -=221111b a b a ．记：22211211a a a a D =，2221211a b a b D =，2211112b a b a D =，由于行列式D 是由方程组)(Ⅰ中未知数的系数按原来的顺序排列而成，故称D 为系数行列式．显然，行列式1D 、2D 是以1b 、2b 分别替换行列式D 中的第一列、第二列的元素所得126到．因此，当0≠D 时，方程组)(Ⅰ的解可表示为：D D x 11=，DDx 22= (6-2) 例6-2 解方程组⎩⎨⎧=-+=++0134022y x y x ． 解：方程组化为一般形式：⎩⎨⎧=+-=+13422y x y x ． 因为 023412≠==D ，731121-=-=D ，1014222=-=D ，所以，根据(6-2)式，方程组的解为：271-==D D x ，52==DD y ． 6.1.2 三阶行列式三元线性方程组的一般形式为)(Ⅱ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323113123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ③②①与二元线性方程组类似，用消元法可求出解的公式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---++---++=---++---++=---++---++=233211332112312213213213312312332211232113211231221213213121232211323321133211231221321321331231233221123311332113121321313312313321122332113321123122132132133123123322112332133212322132321332312332211aa a a a a a a a a a a a a a a a ab a a b a a a a b a a b a b a b a a x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a a a b a b a a b a a a b a b a x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a b a a b a a a a b x ④ 其中分母0233211332112312213213213312312332211≠---++a a a a a a a a a a a a a a a a a a ．④式比较繁杂，为了便于记忆与讨论，仿照二阶行列式，用记号333231232221131211a a a a a a a a a 来表示233211332112312213213213312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++，即333231232221131211aaaaaaaaa＝213213312312332211aaaaaaaaa++233211332112312213aaaaaaaaa---(6-3) (6-3)式的左边叫做三阶行列式，右边叫做这个三阶行列式的展开式．显然，三阶行列式有三行和三列，共23个元素，其中ij a（3,2,1=i；3,2,1=j）是三阶行列式第i行第j列的元素．三阶行列式的展开式有3!项．三阶行列式的展开可按如下方法展开（图6-2）：图6-2 三阶行列式展开方法实线上三数之积取正号，虚线上三数之积取负号，然后相加就是行列式的展开式，这种展开法则叫做对角线法则．例6-3计算行列式54221312---的值．解：54221312---1432)2()1(5)2(⨯⨯+⨯-⨯-+⨯⨯-=)2(4)2(51)1(23-⨯⨯--⨯⨯--⨯⨯-5=．例6-4展开行列式abccabbca．解：abccabbcaabcabcabcbca---++=333abccba3333-++=．127128与二阶行列式相似，用三阶行列式来求解三元线性方程。
引入记号D 、1D 、2D 、3D ，其中333231232221131211a a a a a a a a a D =，3332323222131211a a b a a b a a b D =，3333123221131112a b a a b a a b a D =，3323122221112113b a a b a a b a a D =． 行列式D 是由方程组)(Ⅱ中未知数的系数按原来的顺序排列而成，叫做方程组的系数行列式，行列式1D 、2D 、3D 是以1b 、2b 、3b 分别替换行列式D 中的第一列、第二列、第三列的元素所得到．因此，当0≠D 时，方程组)(Ⅱ的解可表示为：D D x 11=，D Dx 22=，DD x 33= (6-4) 例6-5 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=--+01220240523y x z y z y x ．解：方程组化为一般形式：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=-+12224523y x z y z y x 因为 1202214213=-=D ，270211422151-=--=D ， 21012122532=--=D ，601222405133-=-=D ，所以，根据(6-4)式，方程组的解为：491-==D D x ，472==D D y ，53-==DD z ． 6.1.3 n 阶行列式为了定义n 阶行列式及学习行列式的展开定理，我们先介绍代数余子式的概念． 定义6.1 将行列式中第i 行第j 列的元素ij a 所在行和列的各元素划去，其余元素按原来的相对位置次序排成一个新的行列式，这个新的行列式称为元素ij a 的余子式，记作ij M 。
j i j i M ++•-)1(称为元素ij a 的代数余子式，记作ij A ，即129j i j i ij M A ++•-=)1( （6-5）例如，在行列式142102321--中，4141011-=-=M ，41410)1(1111-=-•-=+A ；0422123==M ，04221)1(32=•-=+ij A ．有了代数余子式的概念，我们容易得到三阶行列式按第一行元素展开为131312121111333231232221131211A a A a A a a a a a a a a a a ++= （＊） 若规定一阶行列式a a =，则二阶行列式按第一行元素展开为1212111122211211A a A a a a a a += （＊＊）依照上述（＊）、（＊＊）式来定义n 阶行列式：定义6.2 将2n 个数ij a ),,3,2,1,(n j i Λ=排成一个正方形数表，并在它的两旁各加一条竖线，即nnn n nn a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛ212222111211 （6-6）称为n 阶行列式．当1=n 时，规定一阶行列式1111a a =；当2≥n 时，规定n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛ212222111211n n A a A a A a 1112121111+++=Λ (6-7)例6-6 计算行列式312211013210201---=D 的值．解：根据定义，13018312210121)1()2(31211132)1(130122110132102013111-=--⨯-+--⨯=---++． 在n 阶行列式中，有一类特殊的行列式，它们形如nnn n a a a a a a ΛM M M M ΛΛ2122211100 (6-8)或nnnn a a a a a a ΛM M M M ΛΛ00022211211 (6-9)我们都称它们为三角形行列式，其中式(6-8)称为下三角形行列式，式(6-9)称为上三角形行列式．三角形行列式D 的值等于主对角线上各元素的乘积，即nn a a a D •••=Λ2211．四阶和四阶以上的行列式称为高阶行列式．6.1.4 n 阶行列式的性质按定义计算行列式是一种较复杂的运算方法，下面学习的n 阶行列式性质，能简化行列式的计算．性质１ 行列式所有的行与相应的列互换，行列式的值不变，即nnn nn n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛΛM M M M ΛΛ212221212111212222111211=． 我们把行列式D 的行与列互换后所得行列式称为D 的转置行列式，记作TD ． 这个性质说明，对于行列式的行成立的性质，对于列也一定成立，反之亦然．性质２ 行列式的任意两行（列）互换，行列式仅改变符号．例如， 333231131211232221333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=． 性质３ 若行列式中某两行（列）对应元素相同，则此行列式的值为零．例如， 0333231131211131211=a a a a a a a a a ． 性质４ 行列式中某行（列）的各元素有公因子时，可把公因子提到行列式符号外面．131例如， 333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a k a a a a a a ka ka ka =． 例6-7 计算下列行列式的值：⑴1143612248------； ⑵2131611323121121--． 解：⑴ 1143612248------11412412432------⨯=111121121)4(32----⨯⨯=624⨯-= 144-=．⑵3213211216131212131611323121121--⨯⨯=--3113111112613121--⨯⨯⨯=8181⨯=94=． 推论１ 若行列式有一行（列）各元素都是零，则此行列式等于零．例如，0000333231232221=a a a a a a ． 推论２ 若行列式有二行（列）对应元素成比例，则此行列式等于零．132例如，0333231131211131211=a a a ka ka ka a a a ． 性质５ 若行列式某一行（列）的各元素均是两项之和，则行列式可表示为两个行列式之和，其中这两个行列式的该行（列）元素分别为两项中的一项，而其它元素不变．例如，333231232221321333231232221131211333231232221313212111a a a a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a +=+++． 性质６ 将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k 后加到另一行对应位置的元素上，行列式的值不变．例如，333231132312221121131211333231232221131211a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a +++=． 性质６在行列式的计算中起着重要的作用．运用性质时选择适当的数k ，可以使行列式的某些元素变为零．反复交替地使用行列式性质，将行列式化为三角形行列式，也是计算行列式的值的常用方法．例6-8 计算下列行列式的值：⑴573162251； ⑵3214214314324321．解：⑴573162251205)4(1500340251180340251-=⨯-⨯=--=----=．⑵3214214314324321131070108207214321---------=364440072104321----=40440072104321----=160=．在n 阶行列式的定义中，是将行列式按第一行展开的．事实上， n 阶行列式也可以按任何一行（列）展开．性质７（行列式展开性质） 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．133例6-9 利用性质７计算行列式32103121-的值． 解：143213)1(23210312121-=⨯-⨯=-+． 性质８ 行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零．例如，在三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a 中， 0231322122111=++A a A a A a ； 0313321231113=++A a A a A a ．习题6-1１．利用对角线法则求下列各行列式的值：⑴3413-； ⑵b a a a b a -+； ⑶241331572--； ⑷7213089005-． ２．写出下列行列式中元素12a ，23a ，33a 的代数余子式：⑴ 321123312； ⑵2113101202121121----３．利用行列式的性质求下列各行列式的值：⑴11111014213-； ⑵214312521---； ⑶ααααcos 1sin 11sin 1cos 11111+-++； ⑷b a c a c b c b a+++111； ４．求下列各行列式的值：134⑴1020*********221； ⑵3214214314324321；⑶cb a +++1111111111111111； ⑷211230021121620211216121211216121----． ５．用行列式解下列线性方程组：⑴⎩⎨⎧=--=-+0820523y x y x ； ⑵⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-3513222161y x y x ； ⑶⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++014230132010z y x z y x z y x ； ⑷⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+b cz ax a cz by cby ax )0(≠abc ．６．试证明下列范得蒙（V andermonde ）行列式：⑴))()((111222b c a c a b c b a c b a---=； ⑵))()()()()((111133332222c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a ------=．６．２ 克莱姆（Cramer ）法则在上一节的讨论中我们知道，二元、三元线性方程组在系数行列式0≠D 时方程组有唯一解，并且解可以用式(6-2)或(6-4)求出．类似地，对于n 元线性方程组，其一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222212********* (6-10) 有如下结论：135定理6.1（克莱姆法则） 若n 元线性方程组(6-10)的系数行列式0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a D ΛM M M M ΛΛ，则方程组(6-10)有且仅有一个解：D D x 11=，D Dx 22=，…，DD x n n =． 其中j D ),,2,1(n j Λ=是把D 的第j 列元素换成方程组的常数项1b ，2b ，…，n b 而得到的n 阶行列式．例6-10 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x ． 解：方程组的系数行列式0276741212060311512≠=-----=D ，所以，方程组有唯一解．又因为8167402125603915181=------=D ，10867012150609115822-=-----=D ，276412520693118123-=---=D ，1362707415120903185124=-----=D ，由克莱姆法则，得方程组的解为327811==x ，4271082-=-=x ，127273-=-=x ，127274==x ． 例6-11 某企业一次投料生产能获得产品及副产品共四种，每种产品的成本未单独核解：设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品的单位成本分别为1x ，2x ，3x ，4x ，依题意列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++11001232368027248820410204050100580102020404321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ． 利用克莱姆法则解这个方程组，得方程组有唯一解：101=x ，52=x ，33=x ，24=x ．所以，四种产品的单位成本分别为10元、５元、３元、２元．如果n 元线性方程组(6-10)的常数项均为零，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ (6-11) 则当系数行列式0≠D 时，方程组(6-11)有唯一零解：01=x ，02=x ，…，0=n x ．我们应该知道，解线性方程组，只有在方程组的未知数个数与方程个数相等以及方程组的系数行列式0≠D 时，才能应用克莱姆法则．当0=D ，或者未知数个数与方程个数不相等时，我们可以用矩阵的知识来解决．习题6-2１．用克莱姆法则解下列线性方程组：137⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+--=++=-+-4224421232243214313214321x x x x x x x x x x x x x x ；⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++-=--+-=---=+++4326324231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ．２．一节食者准备他一餐的食物Ａ、Ｂ、Ｃ．已知每一盎司Ａ含有２单位的蛋白质，３单位的脂肪，４单位的糖；每一盎司Ｂ含有３单位的蛋白质，２单位的脂肪，１单位的糖；每一盎司Ｃ含有３单位的蛋白质，３单位的脂肪，２单位的糖．如果这一餐必须精确地含有25单位的蛋白质，24单位的脂肪，21单位的糖，请问节食者每种食物须准备多少盎司？（每盎司为28.35g ）３．试根据下列资料求每类商品的利润率：６．３ 矩阵的概念、运算在本节，我们要学习一个新的数学概念——矩阵(matrix)．矩阵不仅是解线性方程组的重要工具，而且在经济管理中也有着极为广泛的应用．6.3.1 矩阵的概念例6-12 某公司销售四种商品Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它们在第一季度的销售量分别如表6-1所示：表6-1在数学中习惯仅将数据从表里提出来研究．这样一个纯数表： 如果我们把这些数按原来的行列次序排出一张矩形数表：138⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛40012026028032090300250300100220200 这种矩形数表在数学上就叫做矩阵．定义6.3 由n m ⨯个数ij a ),,2,1;,,2,1(n j m i ΛΛ==按一定顺序排列成的一个m 行n 列的矩形数表：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a aa a a A ΛMM M M ΛΛ212222111211 （6-12） 称为m 行n 列矩阵． ij a 称为矩阵Ａ的第i 行第j 列元素．矩阵通常用大写英文字母Ａ，Ｂ，…或)(ij a ，)(ij b ，…表示，也可记为n m A ⨯或n m ij a ⨯)(． 对于矩阵（6-12），⑴当n m =时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛM M M M ΛΛ212222111211称为n 阶方阵，简称方阵． ⑵当1=m 时，()n a a a A 11211Λ=称为行矩阵．⑶当1=n 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m a a a A M 称为列矩阵．⑷当0=ij a ),,2,1;,,2,1(n j m i ΛΛ==时，称为零矩阵，记作n m O ⨯或O ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯000000000)(ΛM M M M ΛΛO O n m 或． ⑸方阵从左上角到右下角的对角线称为主对角线．除了主对角线上的元素外，其余元素均为零的方阵称为对角矩阵，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn a a a A ΛM M M M ΛΛ0000002211．⑹主对角线上的元素均为１的对角矩阵称为单位矩阵，记为n I 或I ．139例如，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001)(2I I 或，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001)(3I I 或． ⑺主对角线下方的各元素均为零的方阵称为上三角形矩阵，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a A ΛM M M M ΛΛ00022211211； 主对角线上方的各元素均为零的方阵称为下三角形矩阵，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a a a A ΛM M M M ΛΛ21222111000． 上三角形矩阵和下三角形矩阵统称为三角形矩阵．⑻把矩阵Ａ的行换成列所得的矩阵称为矩阵Ａ的转置矩阵，记作T A 或A '．例如，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=730152A ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=705312T A ．⑼若两矩阵n m ij a A ⨯=)(与n m ij b B ⨯=)(对应位置上的元素都相等，即ij ij b a =),,2,1;,,2,1(n j m i ΛΛ==，则称矩阵Ａ与矩阵Ｂ相等，记作B A =．⑽由方阵Ａ的元素按原来的次序所构成的行列式称为矩阵Ａ的行列式，记作A 或A det ．例如，矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232101321A 的行列式为232101321--=A ．6.3.2 矩阵的运算１．矩阵的加法与减法例6-13 某运输公司分两次将某商品（单位：吨）从３个产地运往４个销地，两次调运方案分别用矩阵Ａ与矩阵Ｂ表示：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323310210542A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131221325763B ．求该公司两次从各产地运往各销地的商品运输量．140显然所求商品运输量用矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++++45453153512105133213232110322150756432． 这个例子说明，在实际问题中有时需要把两个矩阵的所有对应元素相加．这就是矩阵的加法．定义6.4 设矩阵n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(，则矩阵n m ij ij b a ⨯±)(称为Ａ与Ｂ的和与差，记作B A ±，即n m ij ij b a B A ⨯+=±)(．显然，两个矩阵只有当它们的行数和列数都相同时，才能进行加减运算．例6-14 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=423110321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=231032411B ，求⑴B A +；⑵T B A -． 解：⑴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--++--+++++=+24)3(2)1(301)3(120431211B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=652122732． ⑵T B A -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=204331121423110321 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------------=240243)3(1)3(110)1(32211 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221241400． 矩阵的加法满足：⑴交换律：A B B A +=+；⑵结合律：)()(C B A C B A ++=++，其中Ａ、Ｂ、Ｃ均是m 行n 列矩阵． ２．数与矩阵相乘在例6-13中，若运输公司第三次将这种商品从３个产地运往４个销地，且运输量是第二次的２倍，则第三次从各产地运往各销地的商品运输量用矩阵表示为141⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯262442641014126212321222221232225272623． 这实际上是数２与矩阵Ｂ相乘．定义6.5 设矩阵n m ij a A ⨯=)(，R k ∈，则矩阵n m ij ka ⨯)(称为数k 与矩阵Ａ相乘，简称数乘矩阵，记作kA ，即n m ij ka kA ⨯=)(．例6-15 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=201312A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=446422B ，求B A 21+． 解：B A 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022521223211201312． 数乘矩阵满足：⑴交换律：Ak kA =；⑵分配律：kB kA B A k +=+)(，A k A k A k k 2121)(+=+； ⑶结合律：A k k A k k )()(2121=； ⑷A A =•1，A A -=•-)1(； ⑸O A k O kA ==⇔=或0，其中1k 、2k 为任意常数，Ａ、Ｂ均是m 行n 列矩阵．３．矩阵与矩阵相乘例6-16 某公司生产甲、乙两种产品，计划元月份的产量分别为100、120件，用矩阵表示()120100=A ．已知每种产品都需经过三台机器加工，每台机器上所费时间（小时）用矩阵Ａ表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5.134125.1B ，求元月份每台机器的使用时间．显然，元月份每台机器的使用时间用矩阵表示()5.112011003120210041205.1100⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯()280560630=．这实际上就是矩阵Ａ与矩阵Ｂ相乘．定义6.6 设矩阵s m ij a A ⨯=)(，n s ij b B ⨯=)(，则矩阵n m ij c C ⨯=)(，其中sj is j i j i ij b a b a b a c +++=Λ2211∑==sk kj ik b a 1),,2,1;,,2,1(n j m i ΛΛ==称为矩阵Ａ与矩阵Ｂ的乘积，记作AB ，即AB C =．142由定义可以看出，只有当矩阵Ａ的列数等于矩阵Ｂ的行数时，Ａ才能与Ｂ相乘，并且所得结果AB 的行数等于矩阵Ａ的行数，而列数等于矩阵Ｂ的列数． 例6-17 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121302B ，求AB ． 解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=)1(43324031423)1(23122011221AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5810144．例6-18 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4221A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3162B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=62124C ，求AB ，BA ，AC ． 解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000AB ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1052010BA ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000AC ．由例6-18可以知道：⑴BA AB ≠，即矩阵乘法不满足交换律．因此，矩阵Ａ与矩阵Ｂ的乘积AB 常读作＂Ａ左乘Ｂ＂或＂Ｂ右乘Ａ＂，这时我们称矩阵Ａ为左矩阵，矩阵Ｂ为右矩阵．⑵由O AB =不能推出O A =或O B =．⑶AC AB =不能推出C B =，即矩阵乘法不满足消去律．例6-19 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231032A ，求AI ，IA ．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2310321001231032AI ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231032231032100010001IA ．矩阵乘法满足：⑴分配律：BC AC C B A +=+)(，AC AB C B A +=+)(；⑵结合律：)()(BC A C AB =，)()()(kB A B kA AB k ==； ⑶A IA AI ==，其中Ａ、Ｂ、Ｃ是矩阵，k 是任意常数．143例6-20、某商店主要销售甲、乙、丙三种商品，其销售量如表1所示，每件商品销售价格及销售利润如表2所示，试求该商店第二季度三个月的销售额及销售利润各为多少？ 表1表2 单位：元解：4月份的销售额为40030200207001526500⨯+⨯+⨯=元4月份的利润为4005200470024200⨯+⨯+⨯=元同理可得：5月份的销售额为28500元，5月份的利润为4700元； 6月份的销售额为35000元，6月份的利润为5800元 我们将上运算用矩阵表示：400200700302650050030050020285006004006001535000400200700542005003005004470060040060025800⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g g习题6-3１．行列式与矩阵有什么区别？２．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=364101523A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=406215321B ，求B A 2-，B A +-，T B A +．３．计算：⑴()432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； ⑵()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4123； ⑶⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21431321； ⑷()1211123-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-；144⑸⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-04311012130221； ⑹⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x x x x x sin cos cos sin sin cos cos sin ． ４．若Ａ、B 是两个不同的n 阶方阵)2(≥n ，恒等式2222)(B AB A B A ++=+ 是否成立？为什么？其中A A A •=2．５．现有三批货物分别运往三个地点，货物去向，重量及运费分别如下表所列：试用矩阵运算计算出每日的销售量。