线性代数第一章 线性方程组与矩阵 习题课(课堂PPT)
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线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线性代数及应用PPT课件
上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满 足运算要求。
证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC 证：设
记
证明DC=AG。 因为 元为：
A的 i 行乘以B的 l 列
，
， 则DC的第i,j
得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元。
证明 (AB)T =BTAT
证：
即
。
剩下的要证明它们的第i, j元都对应相等。设
通大学出版社
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念 1.1.1 矩阵概念 定义1 m × n元，排成m行n列的矩形阵列：
称作为：维是m × n的矩阵。 一般用黑体大写字母 A，B，C等表示。
简记为：
确定一个矩阵的两要素：
1．元：a ij 的值； 2．维：m，n的值。
矩阵的例： 问题：A的元和维是什么？
广矩阵进行一系列行初等变换，使得
R1R2 ••• R s [A |b]= [R1R2 ••• R s A | R1R2 ••• R s b ]=[ I n | Rb ]
(R= R1R2 ••• R s)。事实上R=A-1
可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成 单位阵，对应b的那一块变成Rb= A-1 b，即
1.1.2 一些特殊矩阵 对于矩阵
本课程仅限于实矩阵。
n阶方阵：m=n时的矩阵，
a11 a12 a1n
A
a21 a22 a2n
或 An n
an1 an2 ann
列矩阵（列向量）：n=1，
行矩阵（行向量）：m=1，
数或标量：m=n=1。 向量的元称为分量，分量的个数称为向量的维。
例：
分别是3维列向量和4维行向量。
学习参考书目
线性代数第一章1-3PPT课件
1234
例3
0421
D
?
0056
0008
12340421Fra bibliotekD 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
12 n;
t132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1 p1a2 p2 a3 p3 .
a31 a32 a33
二、n阶行列式的定义
定义 设有n2 个数，排成 n 行n列的数表
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
作出表中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，
对应于
1 1 2x 1
1 t a11a22a33a44 1 t1234a11a22a34a43
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
n
2
1
nn1
1 2 12 n .
n
证明 第一式是显然的,下面证第二式.
若记 i ai,ni1, 则依行列式定义
2
1
a1n
a2,n1
n
an1
1 tnn121a1na2,n1 an1
线性代数矩阵及其运算 ppt课件
1 2 2 .5 8 3 1 3 0 .5 89
1 2 4 .5 9 3 6 3 .5
83
22
三、 矩阵的乘法
定义1.5 (P5)
设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等, 则由元素
C
2
8
4
求AB、BA和BC
解 AB 816 1362
BA
0 0
0 0
BC
0 0
0 0
AB≠BA , BA=BC
(1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
16
判断下列各组矩阵是否相等
(1)
8
(3)2
5 2 0
s9in61
2 2 2.5 0.5
9 0 8
(2)
0 0
0 0
0 0
00
0 0
1 0 0
(3)
0
0
1 0
0 1
(1 )
am1x1am2x 2 amn xn bm
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12
a
21
a 22
a m 1 a m 2
a1n
a2n
a m n
a11 a12
a21
a22
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
高等数学线性代数课件-第一章
2020/9/18
11
§2 全排列与逆序数
定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。
把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn个排列。 P3 = 3×2×1 = 6
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12
例如：1, 2, 3 的全排列 123，231，312，132，213，321 共有3×2×1 = 6种，即 P3 = 3×2×1 = 6
26
§5 行列式的性质
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
设
D
a21
a22
a2n
则
DT
a12
a22
an2
an1 an2 ann
所确定。
2020/9/18
18
定义1： n! 项(1)t a1 p1 a2 p2 anpn的和
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
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19
例1：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
a 1n
D
a2,n1
n( n1)
(1)
2
a a a 1n 2,n1
n1
an1
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25
行列式的等价定义
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
(1)t a1 j1 a2 j2 anj n
an1 an2 ann
(1)t a a i11 i2 2 ainn
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D2 2
21 1
线性代数-线性方程组与矩阵PPT课件
k 1
k 1
k 1
s
aik bk1
c1
j
s
aikbk 2
c2
j
s
aikbkp
c
pj
p
s
aikbktctj .
k1
k1
k1
t1 k 1
ps
同理可以验证矩阵 Ams (BspC pn ) 中 (i, j) 元素也是 aikbktctj ，所以矩阵乘法的结合律成立. t1 k 1
aij bij
.
mn
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 12
定义4 用一个数 k 乘矩阵 A (aij )mn 的所有元素得到的矩阵 kaij mn 称为矩阵的数乘，记为 kA 或者 Ak ，
即
kA Ak kaij mn .
矩阵的数乘运算满足如下的运算规律： 设 k,l 是任意两个数， A, B 是任意两个 m n 矩阵，
21 21 0 2
21 21 01
2 0 21 0 1
4 4
3 0
2
2
.
三、矩阵的乘法
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3
的乘积
AB
及
BA
.
解
AB
1 2
1 2
2
6
1 3
8 16
4 8
；
BA
2 6
1 1
3
2
1 2
0 0
0 0
.
第1章 线性方程组与矩阵 16
3
A Omn Omn A A .
1. 矩阵的加法
第1章 线性方程组与矩阵 11
线性代数第一章第7节PPT教学课件
解
11 1 1
12 3 4 D
1 4 9 16
1 8 27 64
(41)(42)(43)(31)(32)(21)12
1 11 1
11 11
5 23 4
D1 25
4
9
12 16
125 8 27 64
,
11 1 1
15 34
D2 1 25
48 9 16
1 125 27 64
11 1 1
12 5 4
, D3 1 4
25
72 16
1 8 125 64
12 3 5
D4 1 4 9
48 25
1 8 27 125
,
x 1 D D 1 1 , x 2 D D 2 4 , x 3 D D 3 6 , x 4 D D 4 4
三、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
“没有非零解”即“只有零解”
定理3 如果齐次线性方程组2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D0 a11x1a12x2a1nxn0 a 2 1x1 a2 2x2 a2 nx n 0 an1x1an2x2annxn0
有非零解.
例2 问 取何值时，齐次方程组
3x1x2x3 2x2x3
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
线性代数第一章、矩阵PPT课件
矩阵的秩的计算方法
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
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例如
1 1 2 1 4
0
1
1 1
0
0 0 0 1 3
0
0
0
0
0
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返回 9
5. 行最简形矩阵
经过初等行变换, 行阶梯形矩阵还可以进一步 化为行最简形矩阵, 其特点是: 非零行的第一个非 零元为1, 且这些非零元所在列的其它元素都为0．
例如 1 0 1 0 4
0
1
1
0
3
0 0 0 1 3
(2) 以数 k (非零)乘某行(列), 得初等矩阵E(i(k)).
以E (i (k ))左乘矩阵A, 相当于以数k乘A的第i 行(ri k);
以E (i (k ))右乘矩阵A, 相当于以数k乘A的第i 列(ci k).
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返回 7
(3) 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去, 得 初等矩阵E(ij(k))).
称为初等矩阵． 三种初等变换对应着三种初等矩阵．
(1) 对调两行(列),得初等矩阵 E( i, j ).
用m阶初等矩阵E(i, j)左乘A (aij )mn , 相当 于对矩阵A施行第一种初等行变换 : 把A的第i行 与第j行对调(ri rj ).
上页 下页
返回 6
类似地,用n阶初等矩阵E(i, j)右乘矩阵A, 相 当于对矩阵A施行第一种初等列变换 : 把A的第 i 列与第j列对调(ci c j ).
0
0
0
0
0
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返回 10
6. 矩阵的标准形
对行阶梯形矩阵再进行初等列变换, 可得到矩 阵的标准形, 其特点是: 左上角是一个单位矩阵, 其 余元素都为0．
例如
1 0 1 0 4 0 1 1 0 3
c3 c4 c4 (c1 c2 )
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
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返回 15
2. 线性方程组的解法
齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵, 写出通解．
非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解．
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返回 16
有唯一(零)解
永远有解 R( A) n
上页 下页
返回 4
2. 矩阵的等价 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B, 就
称矩阵A与B等价,记作A ~ B. 反身性 A ~ A; 对称性 若A ~ B,则B ~ A; 传递性 若A ~ B, B ~ C,则A ~ C.
上页 下页
返回 5
3. 初等矩阵 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵
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返回 13
8. 矩阵秩的性质及定理
如果A中有一个非零的r阶子式,则R( A) r;
如果A中所有r 1阶子式都为零,则R( A) r;
R( AT) R( A);
若A ~ B,则R( A) R(B).
行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．
若A为n阶可逆矩阵, 则 (1) A的最高阶非零子式为 | A |;
0 0
1 0
3 0
c5
4c1
3c2
3c3
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
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任何一个m n矩阵,总可以经过初等变换(行 变换和列变换), 化为标准形
F
ER O
O
O
mn
此标准形由 m, n, r 三个数完全确定, 其中r就是行
阶梯形矩阵中非零行的行数.
所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合, 称为一 个等价类, 标准形 F 是这个等价类中形状最简单的 矩阵．
第1章 矩阵的初等变换与线性方程组
习题课
主要内容 典型例题
1
初等变换 等价矩阵 初等矩阵
矩
秩的定义
阵
的 秩 相关定理及性质
相关定理
矩阵的初等变换
线 性 有解判别定理
方
程 组
方程组的解法
行阶梯形矩阵
行最简矩阵
矩阵的标准形
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2
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一、初等变换
1.初等变换的定义
(1) 对调矩阵的两行(列), 记作ri rj (ci c j ); (2) 以数k 0乘某一行(列)中的所有元素,记作 ri k (ci k ); (3) 把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列) 对应的元素上去, 记作ri krj (ci kc j ).
(2) R( A) n;
(3) A的标准形为单位矩阵E;
(4) A ~ E.
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二、线性方程组
1. 线性方程组有解判别定理 定理 n元齐次线性方程组Amn x 0有非零解 的充分必要条件是系数矩阵的秩R( A) n.
定理 n元非齐次线性方程组Amn x b有解的 充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B ( A, b)的秩,即R( A) R( A, b).
齐次线性方
有无穷多(非零)解
解 程组Ax 0
R( A) n
的
若A是方阵,则Ax 0有非零解
判
| A | 0
定
方程组有解 R( A) R( A, b)
非齐次线性
唯一解 R( A) n
方程组Ax b 有解时
无穷多解 R( A) n
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7. 矩阵的秩
在m n矩阵A中, 任取k行和k列, 位于这些行列 交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置 次序而得到的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式.
设在矩阵A中有一个不等于 0 的r阶子式D,且 所有r 1阶子式(如果存在的话)全等于0, 那么D称 为矩阵A的最高阶非零子式, 数r 称为矩阵A的秩, 记 作R( A).并规定零矩阵的秩等于0.
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3
三种初等变换都是可逆的, 且其逆变换是同一 类型的初等变换．
初等变换
ri rj (ci c j )
ri k (ci k ) ri krj (ci kc j )
逆变换
ri rj (ci c j )
1
1
ri k (ci k )
ri (k )rj (ci (k )c j )
以E(ij(k))左乘矩阵A, 相当于把A的第j行乘以 k加到第i行上(ri krj );
以E(ij(k))右乘矩阵A, 相当于把A的第i列乘以 k加到第j列上(c j kci ).
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8
4. 行阶梯形矩阵 经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩阵,
其特点是：可画出一条阶梯线,线的下方全为0；每 个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线 的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素 为非零元,也就是非零行的第一个非零元．