线性代数第一章课件,数学

n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
b1
a 21 b2
= a11b2 − b1a21
于是，当D≠0时，二元一次线性方程组 （1.1.6）的解可用二阶行列式表示成
D1 D2 x1 = x2 = D D 同理，考虑三元一次线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b 32 2 33 3 3. 31 1
(a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2, 用类似方法，从（1.1.6）中消去x1 (a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21, 当a11a22-a12a21≠0时，方程组（1.1.6）有 唯一解
b1 a 22 − a12 b2 x1 = a a − a a , 11 22 12 21 a11b 2 −b1 a 21 x2 = . a11 a 22 − a12 a 21
1 2 n 1 2
பைடு நூலகம்
LLLLLLL
(1.1.11)
L a njn
(− 1)τ ( j j L j ) a1 j a 2 j ∑
其中
j1 j2 L jn
∑ 表示对 1,2,…,n这n个数组成的所
有排列 j1,j2,…,jn取和. 当n=1时, 即为一阶行列式,我们规定 |a|=a;n=2,3时,即为前面定义的二阶、三阶 行列式. 为了书写方便,n阶行列式也可记为 Dn=|aij|n. 例1.1.2 计算n阶下三角形 下三角形行列式 下三角形
设这个排列中排在j1后面比j1小的数的个 数为τ (j1) ，排在j2后面比 j2小的数的个数 为τ (j2) , …，排在jn-1后面比 jn-1小的数的 个数为τ (jn-1) ，则排列 j1,j2,…,jn的逆序数 为 τ ( j1,j2,…,jn ) =τ (j1) +τ (j2) + …+τ (jn-1) 例1.1.1 求排列32514与n(n-1) …321的 逆序数. 解 τ ( 32514 ) = 2+1+2+0+0=5；
1 2 n
j1,j2,…,jn是数字1,2,…,n的某一个排列，故 共有n!项。每项前的符号按下列规定：当 j1,j2,…,jn为偶排列时取正号，当 j1,j2,…,jn为 奇排列时取负号，即
a11 D= a 21 a n1 =
j1 j2 L jn
a12 L a1n a 22 L a 2 n a n 2 L a nn
a11 a 22 L a nn
由于该项的列指标的排列是标准排列, 其逆序数为零,所以取正号,故
a11 a 21 M a n1 0 L 0 a 22 L 0 M M a n 2 L a nn
= a11a22 L ann
即下三角形行列式的值等于主对角线 上元素的乘积. 同理，对于上三角形行列式，有
a11 0 M 0
D1 x1 = D D2 x2 = D D3 x3 = D
其中Dj(j=1,2,3)分别是在D中把第 j列的元 素换成方程组(1.1.9)右端的常数项b1,b2,b3 得到. 三阶行列式是六项的代数和,其中每一 项都是 D中不同行不同列的三个元素的乘 积冠以正负号.为了便于记忆,可写成
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
1.相邻两个数对换的情况. 设排列为
Lij L
经过i与j的对换变成
（1.1.1）
（1.1.2） 这里“…”表示对换前后排列中不变的数. 由于这两个排列只交换i,j两个数的位置， 其余的数的位置没有改变，所以各数的逆 序数中只有τ (i) 和τ (j)可能有变化，其余 各
L ji L
数的逆序数不变.当i<j时，排列（1.1.2）的 逆序数比排列（1.1.1）增加1；如果 i>j ， 排列（1.1.2）的逆序数比排列（1.1.1）减 少1.因此排列（1.1.1）与（1.1.2）的奇偶 . 性相反. 2．一般情况. 设某个排列
解 用类似于例1.1.2的方法,该行列 式的展开式中,只有下列一项不为零,
a1n a 2, n −1 L a n −1, 2 a n1
这一项列指标排列的逆序数为
n(n − 1) τ (n(n − 1) L 321) = 2
故
Dn = (−1)
n ( n −1) 2
a1n a 2,n −1 L a n −1, 2 a n1
a11 a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a 23 = a33
∑ ( −1 )
j1 j2 j3
τ ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
这里
∑ 表示对1,2这两个数的所有
j1 j2
排列取和, 排列取和.
∑ 表示对1,2,3这三个数的所有
j1 j2 j3
推而广之，我们可以定义n阶行列式.
在行列式的定义中,我们规定n个元素 相乘时,元素的行指标按标准排列,由列指 标排列的逆序数决定各项前的正负号.那么 能否在定义中 n个元素的相乘项里把元素
把x1的系数记为
a11 D = a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a 21 a32
− a11a23a32 − a12 a 21 a33 − a13 a 22 a31 . (1.1.10)
由于D中共有三行三列,我们把它称为 三阶行列式.因为它由方程组(1.1.9)中变元 的系数组成,又称其为方程组(1.1.9)的系数 行列式.如果 D≠0,容易算出方程组(1.1.9)有 唯一解:
（1.1.7）
为了便于记忆，引入记号
a11 D= a 21 a12 = a11a 22 − a12 a 21 a 22
(1.1.8)
我们把(1.1.8)式称为二阶行列式.D中横写 的称为行，竖写的称为列.D中共有两行两 列,其中数aij称为行列式的元素,它的第一个 下标i表示这个元素所在的行，称为行指标， 第二个下标 j表示这个元素所在的列，称 为列指标.例如 a21就是位D中第二行，第一 列上的元素.
图中实线上三个元素的乘积的项取正 号,虚线上三个元素的乘积的项取负号.这种 方法称为三阶行列式的对角线法则. 由上面的讨论,自然会想到如何把二阶、 三阶行列式推广到一般的 n阶行列式,并用 它来表达由 n个未知量 n个方程所组成的 线性方程组的解.通过观察二阶、三阶行列 式,发现它们有以下特点： (1) 二阶、三阶行列式的每一项都是取 自不同行不同列的元素的乘积,其代数和即
(1.1.9)
应用消元法先后消去x2和x3，得到
(a11 a 22 a33+ a12 a23a31 + a13a21a32 − a11 a 23 a32 − a12 a 21 a33 − a13 a 22 a 31 ) x1
= b1a22 a33 + a12 a23b3 + a13b2 a32 − a13 a 22 b3 − a12 b2 a33 − b1 a 23 b2 a32
a12 M 0
L a1n M L a nn = a11 a 22 L a nn .
a 22 L a 2 n
特别地,对于对角形行列式,有
d1 0 M 0 0 L d2 O 0 M
O O 0 L 0 dn
=
d1 d 2 L d n
例1.1.3 计算n阶行列式
0 L 0 a1n 0 L a2 ,n −1 a2 n Dn = . M M M an1 L an ,n −1 ann
L i k1 k2 Lks jL
（1.1.3）
经过i与j的对换变成
L j k1 k 2 L k s i L （1.1.4） 由排列（1.1.3）变为排列（1.1.4）可以通 过一系列两两相邻的对换来实现.先将i依次 与 k1,k2,…,ks，j经过 s+1次相邻对换后将 （1.1.3）变为