线性代数第一章第7节PPT教学课件
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线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
《线性代数》教学课件—第1章 行列式 第七节 克拉默法则
定理 2′如果齐次线性方程组(2)有非零
解,则它的系数行列式必为零.
三、 举例
例 16 讨论 为何值时, 线性方程组
x1
x1
x2
x2
x3 x3
1
, ,
x1 x2 x3 2
有唯一解, 并求出其解.
解 方程组的系数行列式
例 17 问 取何值时, 齐次线性方程组
(5 )x 2 y 2z 0,
单击这里求解
本本若若请请本本若若请请本若请节节想想本单单若请节节想想本单单若请节想本单若内内请结结节击 击想本单若内内请结结节击 击想本单若内请结节击想本容 容单若束 束内请返 返结节击想本容容单若束束内请返 返结节击想本容单若束内请返结节已 已击想本 本本容单若回 回束内请返结节已已击想本本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结 结请返结堂 堂节已击想按 按本本容单若回束内结结请返结堂堂节已击想按 按本本 本 本容单若 若 若回束内结请 请 请返结本堂若节已击想按本请本 本容束 束单若 若回束课 课内结请 请返结钮 钮堂节已击想按本容束束单回束课课内结返结钮 钮堂节 节 节已击想想 想按本容束单 单单回束节课想内结返结钮堂单节 节已击想想按本,,容束单单回束课..内结!!返结钮堂已击按本,,容束回束课..内 内 内结!!返结结 结钮堂已击 击击按本内,结容束回束课.击内 内结!返结结钮堂已击击按本,容束回束课.结!返钮堂已按本,容 容 容束回束 束束课.结!返返 返钮堂容束已按本,返容 容束回束束课.结!返返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已 已 已按本 本本,束回回回课.已本结!钮堂回已 已按本本,束回回课.结!钮堂按,束课.结 结 结!钮堂堂堂按按按,结堂束课.按结结!钮堂堂按按,束课.!钮,束束束课课.课!钮钮钮束课,钮束束课课.!钮钮,.!,,,...,!!!.,,!..!!
解,则它的系数行列式必为零.
三、 举例
例 16 讨论 为何值时, 线性方程组
x1
x1
x2
x2
x3 x3
1
, ,
x1 x2 x3 2
有唯一解, 并求出其解.
解 方程组的系数行列式
例 17 问 取何值时, 齐次线性方程组
(5 )x 2 y 2z 0,
单击这里求解
本本若若请请本本若若请请本若请节节想想本单单若请节节想想本单单若请节想本单若内内请结结节击 击想本单若内内请结结节击 击想本单若内请结节击想本容 容单若束 束内请返 返结节击想本容容单若束束内请返 返结节击想本容单若束内请返结节已 已击想本 本本容单若回 回束内请返结节已已击想本本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结 结请返结堂 堂节已击想按 按本本容单若回束内结结请返结堂堂节已击想按 按本本 本 本容单若 若 若回束内结请 请 请返结本堂若节已击想按本请本 本容束 束单若 若回束课 课内结请 请返结钮 钮堂节已击想按本容束束单回束课课内结返结钮 钮堂节 节 节已击想想 想按本容束单 单单回束节课想内结返结钮堂单节 节已击想想按本,,容束单单回束课..内结!!返结钮堂已击按本,,容束回束课..内 内 内结!!返结结 结钮堂已击 击击按本内,结容束回束课.击内 内结!返结结钮堂已击击按本,容束回束课.结!返钮堂已按本,容 容 容束回束 束束课.结!返返 返钮堂容束已按本,返容 容束回束束课.结!返返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已 已 已按本 本本,束回回回课.已本结!钮堂回已 已按本本,束回回课.结!钮堂按,束课.结 结 结!钮堂堂堂按按按,结堂束课.按结结!钮堂堂按按,束课.!钮,束束束课课.课!钮钮钮束课,钮束束课课.!钮钮,.!,,,...,!!!.,,!..!!
线性代数7PPT课件
向量空间的性质
零向量和负向量的存在
在向量空间中，存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任何向量进行加法运算结果仍为 该向量本身。同时，对于每个非零向量，都存在一个与其相反的向量，称为该向量的负向 量。
向量的线性组合
对于任意标量和向量，以及任意数量的标量，都可以进行线性组合，得到一个新的向量。
向量的线性无关
二次型的性质
01
实定性
如果一个二次型在某个基下的矩 阵是对称的，那么这个二次型是 实定的。
正定性
02
03
半正定性
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是正定的，那么这个二 次型是正定的。
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是半正定的，那么这个 二次型是半正定的。
二次型与矩阵的相似性的关系
二次型与矩阵的相似性
07
二次型与矩阵的相似性
二次型的定义
二次型
一个n元二次型是一个n维向量空间上的多 线性函数，其一般形式为$f(x) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中$a_{ij}$是常数。
二次型的矩阵表示
对于一个二次型$f(x) = x^T A x$，其中 $A$是一个对称矩阵。
特征值和特征向量的性质还包括：如 果λ是A的特征值，那么kλ（k≠0）也 是A的特征值；如果x是A的对应于λ的 特征向量，那么kx也是A的对应于λ的 特征向量。
特征值与特征向量的应用
在物理和工程领域中，特征值和特征向量的应用非常广泛。例如，在振动分析中，系统的固有频率和 振型可以通过求解系统的质量矩阵和刚度矩阵的特征值和特征向量得到。
02
19世纪中叶，德国数学家克罗内克等人开始系统地 研究线性代数，并为其建立了基础。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
大学线性代数课程 第七节 矩阵的分块法 课件
2
1
0
0
0 0 1 2
0
0
1
1
1 2 0
A
2
5
0
1
A1
O
0 0
O A2
,
A1
A11 O
O
A2
1
,
A11
1 2
2
5
,
A21
1 3
1 1
2
1
,
0 0 1 3 2 3
0
0
1 3
1
3
6、设 B 1 2 L s , 则 AB A1 2 L s A1 A2 L As .
A11 L
A
M
As1 L
A1r
A11 L
M
,
R,
则
A
M
Asr
As1 L
k 0 k 3k
kI
kA
kO
kC
kI
0
0
0
k 0 0
2k k 0
4k
0kLeabharlann A1r M.
Asr
3、乘法 设 Aml , ，Bl分n 块成
A11 L
A
M
As1 L
A1t
B11 L
b01
注： 分块时首先满足 I，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 O以及其它的特殊矩阵.
按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式.
二、分块矩阵的运算规则
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.
1、矩阵的加法 设 A与 B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 L
A
M
As1 L
A1r
B11 L
线性代数第一章、矩阵PPT课件
矩阵的秩的计算方法
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
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解
11 1 1
12 3 4 D
1 4 9 16
1 8 27 64
(41)(42)(43)(31)(32)(21)12
1 11 1
11 11
5 23 4
D1 25
4
9
12 16
125 8 27 64
,
11 1 1
15 34
D2 1 25
48 9 16
1 125 27 64
11 1 1
12 5 4
, D3 1 4
25
72 16
1 8 125 64
12 3 5
D4 1 4 9
48 25
1 8 27 125
,
x 1 D D 1 1 , x 2 D D 2 4 , x 3 D D 3 6 , x 4 D D 4 4
三、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
“没有非零解”即“只有零解”
定理3 如果齐次线性方程组2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D0 a11x1a12x2a1nxn0 a 2 1x1 a2 2x2 a2 nx n 0 an1x1an2x2annxn0
有非零解.
例2 问 取何值时，齐次方程组
3x1x2x3 2x2x3
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
PPT教学课件
谢谢观看
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的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x 1 D D 1 ,x 2 D D 2 ,x 3 D D 3 , ,x n D D n .
其中D j 是把系数行列式 D中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即
齐次线性方程组; 若常 b 1,b 2 数 , ,b n全 项为 , 零
此时称方程组为齐次线性方程组.
二、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1a12 x2 a1nxnb1
a2 1 x 1 a 2 2 x2 a2 nx n b2ห้องสมุดไป่ตู้
(1)
an1x1an2x2 ann xnbn
a11 a12 a1n
a a b a a 11 1,j1 1 1,j1
1n
Dj
a a b a a n1
n,j1 n n,j1
nn
例1 用克拉默法则解方程组
x1 x2 x3 x4 1
x1 2x2 3x3 4x4 5 x1 4x2 9x3 16x4 25
x1 8x2 27x3 64x4 125
0, 0,
4x12x21x3 0,
有非零解？
例3.当k为何值，非齐次线性方程组
kxx1 122xx2 2kxx33
1 2
有唯一解。
2x1 kx2 x3 3
四、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11x1a12x2a1nxn 0
a2 1x1 a2 2x2 a2 nx n 0 2
an1x1an2x2annxn 0
定理3 如果齐次线性方程组 2的系数行列式 D0则齐次线性方程组 2 没有非零解.
第七节 克拉默法则
一、非齐次与齐次线性方程组的概念 二、克拉默法则 三、重要定理 四、小结
一、非齐次与齐次线性方程组的 概念
a1x 11a1x 22 a1nxnb1
设线性方程组 a 2x 11 a 2 x 22 a2n xn b2
an1x1an2x2 anx nnbn
若常 b1,数 b2, ,b 项 n不全 , 则为 称此零 方程组为非