第7节 用行列式解线性方程组的克莱姆法则
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大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念 • 二、Cramer法则 • 三、应用 • 复习小结
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性 方程组的概念 • 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
解
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x 2 x 3 2 x 4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0. r1 2r2 r4 r2
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
67 , 3
3 3 2 0 4 0 D2 1 11 6 1 1 5 6 系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 A13 , A23 , A33 依次乘方程组的 3个方程
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念 • 二、Cramer法则 • 三、应用 • 复习小结
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性 方程组的概念 • 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
解
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x 2 x 3 2 x 4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0. r1 2r2 r4 r2
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
67 , 3
3 3 2 0 4 0 D2 1 11 6 1 1 5 6 系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 A13 , A23 , A33 依次乘方程组的 3个方程
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
克莱姆法则系数行列式为0 -回复
克莱姆法则系数行列式为0 -回复克莱姆法则是线性方程组求解中的一种常用方法，通过行列式来判断方程组是否有解以及解的个数。
克莱姆法则系数行列式为0这个条件则是一个重要的定理。
为了更好地理解该定理的含义，我们首先需要了解一些基本的线性代数知识。
在线性代数中，有一个重要的概念叫做矩阵。
矩阵可以看作是一个数表，其中的元素按照一定的规则排列成多行多列的形式。
一个线性方程组可以用矩阵的形式表示。
例如，对于一个包含两个未知数x和y的线性方程组：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂可以用矩阵表示为：⎡a₁b₁⎤⎡x ⎡= ⎡c₁⎤⎡a₂b₂⎦⎡y ⎡⎡c₂⎦在克莱姆法则中，我们通过计算系数行列式来求解线性方程组。
系数行列式表示的是由方程组中的系数所组成的矩阵的行列式。
对于上述的二元一次线性方程组，系数行列式为：D = ⎡a₁b₁⎤⎡a₂b₂⎦克莱姆法则定理是指，当系数行列式D等于0时，线性方程组无解或者有无数解。
为了证明这个定理，我们先来看当系数行列式D不等于0时，方程组有唯一解的情况。
假设系数行列式D不等于0，那么根据矩阵的性质，D的逆矩阵D⁻¹存在。
根据克莱姆法则，线性方程组的解可以表示为：⎡x ⎡⎡D₁⎡⎡y ⎡= ⎡D₂⎡其中，D₁和D₂分别是由方程组中的常数项所组成的矩阵的行列式。
通过简单的推导，我们可以得到：x = D₁/Dy = D₂/D其中，D表示系数行列式D。
由于D不等于0，所以D的逆矩阵D⁻¹存在。
我们可以将x和y表示为：D₁/D = (1/D)⋅D₁= (D⁻¹⋅D₁)D₂/D = (1/D)⋅D₂= (D⁻¹⋅D₂)这说明，当系数行列式D不等于0时，线性方程组有唯一解，解的表达式为x = D⁻¹⋅D₁，y = D⁻¹⋅D₂。
下面我们来证明当系数行列式D等于0时，线性方程组无解或者有无数解。
对于无解的情况，假设在方程组中存在两个不同的解x₁和x₂。
1.4 克莱姆( Cramer )法则
24
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
行列式1-7
方程组(7)的系数行列式等于 方程组(7)的系数行列式等于 b11 L bk −1, k −1 ≠ 0. 再由克莱 (7) 姆法则知此方程组有唯一一组解. 姆法则知此方程组有唯一一组解 此解与
xk = 1, xk +1 = L = xn = 0
合起来就是方程组(5)的一组非零解. 合起来就是方程组(5)的一组非零解. (5)的一组非零解
【例2】 讨论齐次线性方程组
λ x1 + x2 + x3 = 0 x1 + λ x2 + x3 = 0 x1 + x2 + λ x3 = 0 有非零解的条件. 有非零解的条件
【解】 由定理 5 知, 此方程组有非零解的充要条件为 λ 1 1 D = 1 λ 1 = (λ + 2)( λ − 1)2 = 0, 1 1 λ 即 λ = − 2 或 1为 此 方 程 组 有 非 零 解 的 充 要 条 件 . 【思 考题1】 找到上 述齐次 方程组的 一切非 零解.
【证明】 (⇒ ) 设方程组(5)有非零解 . (待证 | aij |n = 0) (5)有
若 | aij |n ≠ 0, 则由克莱默法则知此方程组有唯一一组解.
而 此 方 程 组 有 一 组 零 解, 从 而 此 方 程 组 没 有 非 零 解 .
这 同假 设矛盾 .
(⇐ ) 假设 | aij |n = 0. 我们来证实此齐次方程组至少有
D1 D2 x1 = , x2 = , L , xn = Dn , D D D 这里 Di 是将 D 中的第 i 列 a1 i , L , ani 换成 b1 , L , bn 得到的
行列式. 行列式.
【例 1 】 解线 性方 程组 : 2 x1 + x − 1 x1 + x 2 − 5 x 3 + x4 = 8 3 x2 − 6 x4 = 9 . 2 x 2 − x 3 + 2 x4 = − 5 4 x 2 − 7 x 3 + 6 x4 = 0
线性代数-克莱姆(Gramer)法则
a31 x1 a32 x2 a33 x3 A32 b3 A32
将3个方程的两边相加，得
(a11 A12 a21 A22 a31 A32 ) x1 (a12 A12 a22 A22 a32 A32 ) x2 (a13 A12 a23 A22 a33 A32 ) x3 b1 A12 b2 A22 b3 A32
0 67
0,
x4
D4 D
67 67
1.
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
推论： 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
二、重要定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
定理2 齐次线性方程组
a21
x1
a22
解线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 其中系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
由
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
21 8 1
由上 页
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
14 0 6
27,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
4,
x3
D3 D
27 27
1,
x4
D4 D
27 27
1.
线性代数—克莱姆法则
8
取何值时， 例2 问 λ 取何值时，齐次线性方程组 λ x 1 + x 2 + x 3 = 0 有非零解？ 有非零解？ x1 + λx 2 + x 3 = 0 x + x + λx = 0 2 3 1 解
1 1 1 λ+2 1 1 D = 1 λ 1 = λ + 2 λ 1 = ( λ + 2) ⋅ 1 λ 1 1 1 λ λ+2 1 λ 1 1 λ 1 1 1 1 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , = ( λ + 2) ⋅ 0 λ − 1 0 0 λ −1
解
2 1 −5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 1 4 −7 6
r1 − 2r2 r4 − r2
− 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 0 7 −7 12
4
− 5 13 7 − 5 13 1 −3 0 −6 = −2 −1 2 = 0 2 −1 2 7 − 7 12 0 7 − 7 12 0 7
第四节
音 乐
如果线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
λ
所以当 λ = −2 或 λ = 1 时,方程组有非零解. 方程组有非零解.
9
练习： 练习：
P28 习题一
10
END
取何值时， 例2 问 λ 取何值时，齐次线性方程组 λ x 1 + x 2 + x 3 = 0 有非零解？ 有非零解？ x1 + λx 2 + x 3 = 0 x + x + λx = 0 2 3 1 解
1 1 1 λ+2 1 1 D = 1 λ 1 = λ + 2 λ 1 = ( λ + 2) ⋅ 1 λ 1 1 1 λ λ+2 1 λ 1 1 λ 1 1 1 1 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , = ( λ + 2) ⋅ 0 λ − 1 0 0 λ −1
解
2 1 −5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 1 4 −7 6
r1 − 2r2 r4 − r2
− 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 0 7 −7 12
4
− 5 13 7 − 5 13 1 −3 0 −6 = −2 −1 2 = 0 2 −1 2 7 − 7 12 0 7 − 7 12 0 7
第四节
音 乐
如果线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
λ
所以当 λ = −2 或 λ = 1 时,方程组有非零解. 方程组有非零解.
9
练习： 练习：
P28 习题一
10
END
线性代数：Crame法则
81,
10
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
11
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
9
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
n
n , j1
nn
5
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
4
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
10
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
11
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
9
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
n
n , j1
nn
5
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
4
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
线性代数 克莱姆(cramer)法则
而其余xi i j 的系数均为 0; 又等式右端为D j .
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克莱姆法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn (1)
在把 n 个方程依次相加，得
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
k 1 n
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
轴平行,故可设其方程为
y c bx ax 2 ,
此方程的系数行列式是范德蒙得行列式,而
1 D 1 1 1 2 3 1 9 1 1 1 2 4 1 3 3 2 3 12 1 2 0. 9
41
所以方程组有唯一解, 又
D1 14, D2 16, D3 4,
故 c 14 2 7,b 16 2 8,a 4 2 2.
2 y 7 8 x 2 x . 即所求的抛物线方程为
克莱姆法则
《线性代数》
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结束
定理7 （齐次线性方程组） 含有n个未知量n个方程的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
பைடு நூலகம்
an1x1 an2 x2 ann xn 0
当其系数行列式．
a11 D a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n 0 时
ann
方程组只有零解, 而没有非零解.
推论 若齐次线性方程有非零解，则必有系数行列式 D 0 .
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例3. λ取何值时，下列方程组只有零解?
(5 )x 2 y
2z 0
2x (6 ) y
0
2x
(4 )z 0
5
解：因为 D 2 2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 当其系数行列式 D a21
a12 a22
a1n a2n 0 时
an1 an2 ann
有且仅有一个解
xj
Dj D
，j=1,2,…,n
其中，Dj是把系数行列式D的第j列换为方程组的常数列b1,b2,…,bn
所得到的n阶行列式（j=1,2,…,n）.
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适用条件
⑴ 未知数的个数 = 方程的个数； ⑵ 系数行列式D≠0.
例1. 解线性方程组
x1 x2
2x4 5
3x1 4x1
2x2 3x2
x3 x3
2x4 x4
6 0
2x1
x3
0
解: 方程组的系数行列式
行列式：克拉默法则
非齐次与齐次线性方程组的概念
? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1
设线性方程组
?? a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2n xn ? b2
? ?
????????????
??an1 x1 ? an2 x2 ? ? ? ann xn ? bn
若常数项b1,b2 ,? ,bn不全为零, 则称此方程组为 非 齐次线性方程组 ; 若常数项 b1, b2 ,? ,bn 全为零,
4 ? 67 , 12
0 D4 ? 1
a11 a12 ? a1n
的系数行列式不等于零，即
D?
a21 ?
a22 ? a2n ??????
?
0
an1 an 2 ? ann
那么线性方程组 ?1?有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
?
D1 D
, x2
?
D2 D
, x3
?
D2 D
,? , xn
?
Dn D
.
其中D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
?
n
?? bk Akj , k ?1
由代数余子式的性质可知 , 上式中x j的系数等于D,
而其余xi ?i ? j?的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dx j ? Dj ?j ? 1,2,? , n?.
?2?
当 D ? 0 时,方程组 ?2?有唯一的一个解
x1
?
D1 D
, x2
?
D2 D
, x3
解，则它的系数行列式必为零 .
齐次线性方程组的相关定理
? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1
设线性方程组
?? a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2n xn ? b2
? ?
????????????
??an1 x1 ? an2 x2 ? ? ? ann xn ? bn
若常数项b1,b2 ,? ,bn不全为零, 则称此方程组为 非 齐次线性方程组 ; 若常数项 b1, b2 ,? ,bn 全为零,
4 ? 67 , 12
0 D4 ? 1
a11 a12 ? a1n
的系数行列式不等于零，即
D?
a21 ?
a22 ? a2n ??????
?
0
an1 an 2 ? ann
那么线性方程组 ?1?有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
?
D1 D
, x2
?
D2 D
, x3
?
D2 D
,? , xn
?
Dn D
.
其中D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
?
n
?? bk Akj , k ?1
由代数余子式的性质可知 , 上式中x j的系数等于D,
而其余xi ?i ? j?的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dx j ? Dj ?j ? 1,2,? , n?.
?2?
当 D ? 0 时,方程组 ?2?有唯一的一个解
x1
?
D1 D
, x2
?
D2 D
, x3
解，则它的系数行列式必为零 .
齐次线性方程组的相关定理