第3章电测深曲线数字解释原理-2

解释方程：一般用高斯主元消去法。 拟合 法自动反演程序框图 P53
图3—4 拟合核函数法自动反演解释程序框图
§3—5 直接拟合视电阻率法反演原理
一 数学模型 对数型目标函数： ①
首先对线性化，即在初值的邻域内泰勒级数展开： ②
根据多元函数求极值的条件：
可建立法方程：
③
同样：
阻尼最小二乘法：
④
二 雅可比矩阵的形成：
则有： 所以，法方程为： ②
式中：J—雅可比（Jacobi）矩阵，是关于理论核函数 的偏 导数的矩阵。
二 雅可比矩阵的计算： 核函数递推公式：
①
利用复合函数求导的连锁法求
。
①当j>k时， 中不含 ， ， 如 中不含 ， 。 如:
②当j=k时，如： ， ，…， ， ②③
式中：
③当j<k时,如:，
总结:
靠拢,保证收敛。 3 时，线性化一般，不变。
Hale Waihona Puke 向最速下降方向四 拟合核函数法自动反演实用程序 自动反演步骤如下： 1 给出实测值，计算视电阻率转换函数值； 2 设定初值，常数其他指标； 3 给出模型参数初值，计算理论 ； 4 计算雅可比矩阵，形成法方程 ； 5 解法方程求，； 6 由计算目标函数，计算； 7 比较与大小： ⅰ 时,发散,转⑤； ⅱ 时, 收敛,转⑧； ⅲ 时， 不变，令，转④。 8 令 ；， 转④ 步继续迭代，直到取得满意的结果为止。
因此，Zohdy法称为DZI法，构造的DZ曲线称为DZI曲线。 P.GRIVENU 法称为DZⅡ法, 构造的DZ曲线称为DZⅡ曲线。
四．DZⅡ自动反演解释方法
DZⅡ曲线的参数方程： 其中： DZ点坐标：
式中： ------第1层到第k层的总厚度
------第1层到第k层的总纵向电导 由DZ点坐标计算层参数公式：
条件：①DZ曲线中：DZ点坐标与层参数 可方便地进行互算 ②DZ曲线 。
2．方法 ① 根据实测 曲线给出初值 ② 由 计算理论 曲线，计算DZ曲线（只计算DZ点坐标）
3 比较 与 ，修正DZ曲线 4 由DZ曲线 ② 计算新的模型参数 ⑤ 把 当作 ，重复 ② ③④ 步骤，直到 与 之间拟合差满足 精度要求。
§3—4 拟合核函数自动反演方法及程序设计 一 数学模型：
对数型误差形式的目标函数： ①
式中： →视电阻率转换函数，第 个采样点的值； →理论模型核函数； 层函数，电性层数N； m→ 采样点数。
由第一节所述的阻尼最小二乘法：给定初值 ，则层参数修正量， 法方程：
式中：
具体： 实际计算中，为节省计算量，利用 中元素的性质：（对称性） 定义： 则有： 而若令：
10% 改进：构造阻尼因子矩针，主对角线上的元素为：
即： 则法方程： ⒉根据线性化指标R来增大， 或减少，见P52。
式中：：以为参数的目标函数值：
：作线性化处理后的目标函数值：
具体上：设常数为：0<<< 1 1 时，目标函数线性化程度较好,迭代收敛,↓ ； 2 时，目标函数线性化程度较差,迭代不收敛, ↑
动反演解释的基本理论和方法. 设n层层状介质模型,切出高，底面为的柱体，
则 总纵向电导 总横向电阻
则有， 各向异性系数 根据：一个厚度为H，各向异性系数为的电性层与一个各向同性的厚 度为，电阻率为的电性层在电性上是等效的。 因此，上面给出的地电模型的等效各向同性电性层层参数为：
①
式中：——拟真电阻率，又称DZ电阻率。 ——拟真深度，又称DZ深度。
二 拟合核函数法数字解释原理和方法 基本思想：①将实测曲线→视电阻铝转换函数曲线；
②根据层参数初值计算出理论核函数曲线与对比，修改层参 数，直到拟合差小于给定精度。
反演解释基本步骤： 1 确定初始模型：（层参数初值）； 2 由实测曲线视电阻率转换函数曲线； 3 由初值计算理论曲线； 4 按照一定法则进行曲线对比，判断与拟合程度是否达到要求。根 据拟合差确定是否进行层参数调查； 5 调整，以改善与的拟合程度； 6 重复③～⑤步骤，直到与曲线达到拟合要求为止。
有图
说明： ①DZ法反演不是DZ曲线之间拟合，亦不是DZ曲线与 曲线拟合。（与
拟合核函数法不同） ②DZ法实质上是 与 之间的拟合，DZ曲线只不过是计算 的中间环
节。 ③以上DZ 法反演基本思想是由A.R.Zohdy提出,并对DZ曲线做部分修
正后,应用于实际。 ④以上DZ曲线与 曲线差异较大(特别是 时) 为此,法国P.GRIVENU提出了构造DZ曲线的另一种形式。
修正DZ点坐标的公式：有图 1 横坐标：
与半幅值点横坐标的差 五．DZ反演解释法特点（与拟合核函数法相比）
①计算速度快（每次迭代时间短）； ②开始步长大，结束时慢； ③不用延长 首尾支。
当在层增加h厚度时，
这时， ②
即与存在某种函数关系： ③
由上式确定的函数曲线就是Dar—Zarrouk曲线（DZ曲线），它以特殊 的方式反映了地下介质电阻率随深度变化的规律。
二 DZ 曲线的计算及特征分析
⒈ DZ 曲线正演计算公式 由公式： 1 当时，
证明：Heq在之间，是一条渐近线。
2 当时， 当 时，
求的偏导数，有二种方法：
⒈ 数字滤波法：
①
求导：
②
将上式离散化：
③
计算步骤：
①计算采样点的的值；
②对进行滤波。
此方法：
优点：精度高
缺点：①计算量大 ②多计算的采样点数。
⒉差商近似代替法：用差商代替微商。
①
式中：
—大于零的常数。
有图
注：的曲线首尾延长问题：
有图
以
设
拟合核函数法与直接拟合视电阻率法比较：
其中: ⑥
④⑤
程序见P190。 注：具体计算时，利用递推公式，反向，，， 时，一次计算出 ， 的
值。 即：⑴ ，
⑵，，
⑶，， （N-1）， 三 阻尼因子的选择 阻尼最小二乘法方程：
式中：I → 单位阵； →增大： ，一般为210 。 减少：
这种设置的缺点及改进： ⒈各电性层层参数相差很大，曲线形态变化幅度主要取决于。 如：，，
目前有多种最优化算法。最常用的就是最小二乘法。
§3—3 视电阻率转化函数滤波计算 一 数学模型：
上节提到： ①
利用采样定理，离散化， ②
代入 ① 式得：
令采样间隔 ，，
则对于的第j个采样点，则有：
③
④
或写成：
⑤
其中 → 反演滤波系数。
实际程序设计中：是有限的。 ⑥
二 常用反演滤波函数系数： 反演滤波函数系数的计算与正演类似。 P43 表3—1， 常用反演滤波函数系数。
③与 曲线对比：
ⅰ 二者首支重合，都以 为渐近线
ⅱ 为非零有限值时，二者都以 为尾支水平渐近线
ⅲ
时，二者都以 角直线上升
时，DZ曲线以 下降， 曲线以 下降
ⅳ 二者曲线变化趋势基本一致
ⅴ
圆滑，DZ曲线不圆滑。
有图
三 DZ反演解释原理与方法
1．原理 根据：地电断面的层参数 变化时，引起的DZ曲线变化与电测深曲线 变化规律是一致的。 有图
⒈ 拟合核函数法 1 速度快，迭代较稳定； 2 拟合精度低； 3 须对实测曲线首层延长。
⒉ 直接拟合视电阻率法 1 计算量大，迭代初值要求高（差商法）； 2 拟合精度高； 3 不需对曲线延长处理。
§3—6 DZ法自动反演解释原理
一 Dar—Zarrouk曲线 Dar—Zarrouk曲线由Maillet在1947年首次命名、描述。 1974年，A.R.Zohdy在此基础上对其作修正及研究,建立了DZ法自
同样，当 时，
有：
这些点称为DZ点，
（不存在DZ点）。
说明：N层断面有N—1个DZ点。DZ点之间的曲线为分只枝曲线。
（3） 第j分枝曲线：有图
（4）由DZ点坐标计算层参数的反演计算公式：
2．DZ曲线特征：（N层地电断面） ① 由N个光滑的分枝曲线组成 ②各分枝曲线的交点为折点（不光滑），此交点称为DZ点（对应了电性 层的分界面）