数学九年级下册《切线长定理》教案
【北师大版】九年级数学下册：3.7切线长定理1教案
*3.7 切线长定理1．理解切线长的定义；(要点 )2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题． (难点 )一、情境导入如图①， PA 为⊙ O 的一条切线，点A 为切点．如图②所示，沿着直线PO 将纸对折，因为直线 PO 经过圆心 O，因此 PO 是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点 A 重合的点为点 B，这里， OB 是⊙ O 的一条半径， PB 是⊙ O 的一条切线．图中PA 与 PB、∠ APO 与∠ BPO 有什么关系？二、合作研究研究点：切线长定理【种类一】利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA、PB ，切点分别是点A 和点B，假如∠ APB ＝ 60°，线段 PA＝ 10，那么弦AB的长是()＝PB.∵∠ APB ＝ 60°，∴△PAB 是等边三角形，∴AB＝ PA＝ 10.应选 A.方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依照，常常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第 4 题【种类二】利用切线长定理求角的度数如图， PA、PB 是⊙ O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在⊙ O 上，假如∠ ACB＝70°，那么∠ OPA 的度数是 ________度．分析：以下图，连结OA、 OB.∵ PA、PB 是⊙ O 的切线，切点分别为A、B，∴OA ⊥PA，OB⊥PB ，∴∠OAP＝∠ OBP＝ 90°.又∵∠ AOB ＝ 2∠ ACB＝ 140°，∴∠APB＝ 360 °－∠ PAO－∠AOB－∠OBP＝ 360°－90 °－140 °－ 90°＝ 40°.易证△ POA≌△ POB，∴∠1OPA＝2∠APB＝ 20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，A． 10能够运用切线长定理获得等腰三角形．此外B． 12依据全等的判断，可获得PO 均分∠APB. C． 53D． 103变式训练：见《学练优》本课时练习“课分析：∵ PA、PB 都是⊙O 的切线，∴PA堂达标训练”第 3 题【种类三】利用切线长定理求三角形的周长如图， PA、 PB、DE 是⊙ O 的切线，切点分别为 A、B、F，已知 PO＝13cm，⊙ O的半径为 5cm，求△ PDE 的周长．解： AD＋ BC＝CD＋ AB，原因以下：∵四边形 ABCD 的边与圆 O 分别相切于点 E、F、G、H，∴ DH ＝ DG，CG＝CF ，BE＝ BF，AE＝AH，∴ AH＋ DH ＋ CF ＋ BF＝ DG ＋ GC＋AE＋ BE，即 AD＋BC＝ CD ＋ AB.方法总结：由切线长定理能够获得一些相等的线段，必定要明确这些相等线段．记分析：连结 OA，依据切线的性质定理，得 OA⊥ PA.依据勾股定理，得 PA＝ 12，再根据切线长定理即可求得△ PDE 的周长．解：连结OA，则OA⊥PA.在Rt△APO 中， PO＝ 13cm，OA＝ 5cm，依据勾股定理，得 AP＝ 12cm.∵ PA、PB、DE 是⊙ O 的切线，∴ PA＝ PB， DA ＝ DF ， EF＝ EB，∴△ PDE 的周长 PD＋DE＋PE＝PD＋DF ＋FE＋PE＝PD＋ DA＋ EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm.方法总结：从圆外一点引圆的两条切住“ 圆外切四边形的对边之和相等”，对我们此后解决问题有很大帮助．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第 4 题【种类五】切线长定理与三角形内切圆的综合如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，⊙O是△ ABC 的内切圆，它与 AB、 BC、 CA 分别相切于点 D 、 E、 F .(1)求证： BE＝ CE；(2)若∠ A＝ 90°， AB ＝ AC＝ 2，求⊙ O 的半径．线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，均分两条切线的夹角．分析： (1) 利用切线长定理得出AD ＝变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提高”第 4 题AF ，BD ＝ BE，CE＝ CF，从而得出 BD＝ CF，【种类四】利用切线长定理解决圆外切四边形的问题即可得出答案；(2) 第一连结OD 、OE、 OF ，从而利用切线的性质得出∠ODA ＝∠OFA ＝∠A＝如图，四边形ABCD 的边与圆O 分别相切于点E、F 、G、H，判断AB 、BC、CD 、DA 之间有如何的数目关系，并说明理由．分析：直接利用切线长定理解答即可．90°，从而得出四边形ODAF 是正方形，再利用勾股定理求出⊙ O的半径．(1)证明：∵⊙ O 是△ ABC 的内切圆，∴AD ＝ AF，BD ＝ BE ，CE＝ CF .∵ AB＝ AC，∴ AB－ AD ＝ AC－ AF，即BD＝ CF ，∴ BE ＝CE；(2)解：连结 OD 、 OE、 OF ，∵⊙ O 是△ ABC 的内切圆，切点为D、 E、F，∴∠ODA ＝∠ OFA＝∠ A＝ 90° .又∵ OD ＝ OF ，∴四边形 ODAF 是正方形．设 OD ＝AD ＝ AF ＝r ，则BE ＝BD ＝CF ＝CE ＝2 －r. 在△ABC 中，∠ A＝ 90°，∴ BC＝ AB2＋ AC2＝2 2.又∵ BC＝ BE＋ CE，∴ (2－ r)＋ (2－ r)＝ 2 2，得 r＝ 2－2，∴⊙ O 的半径是2－2 .方法总结：此题综合考察了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问题的要点是得出四边形ODAF 是正方形．【种类六】利用切线长定理解决存在性问题如图①，已知正方形ABCD 的边长为 2 3，点 M 是 AD 的中点， P 是线段 MD 上的一动点(P 不与M，D 重合)，以AB 为直径作⊙ O，过点 P 作⊙ O 的切线交 BC 于点 F，切点为 E.(1)除正方形ABCD 的四边和⊙ O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段 (不可以增添字母和协助线 )?(2)求四边形CDPF 的周长；(3)延伸 CD，FP 订交于点 G，如图②所示．能否存在点 P，使 BF·FG ＝CF ·OF ？假如存在，试求此时 AP 的长；假如不存在，请说明原因．足结论，则∠BFO ＝∠GFC ，依据切线长定理得∠ BFO ＝∠EFO ，从而获得这三个角应是 60°，而后联合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用 30°的直角三角形的知识进行计算．解： (1)FB＝ FE，PE ＝PA；(2)四边形 CDPF 的周长为 FC ＋CD ＋DP ＋PE＋ EF＝FC ＋ CD＋ DP＋ PA＋BF ＝BF ＋FC＋CD＋DP ＋PA＝BC＋CD＋ DA＝23×3＝6 3；(3)假定存在点 P，使 BF·FG＝BF CF BF， cos CF ·OF.∴OF＝FG . ∵ cos∠ OFB ＝OF∠GFC ＝CF，∴∠ OFB ＝∠ GFC .∵∠OFB FG＝∠ OFE ，∴∠ OFE ＝∠ OFB ＝∠ GFC ＝OB 60°，∴在Rt△OFB 中， BF ＝tan∠OFB＝OBtan60°＝ 1.在 Rt△ GFC 中，∵ CG＝CF ·tan ∠ GFC ＝ CF·tan60°＝ (2 3－ 1)× 3 ＝ 6－3，∴ DG ＝CG－CD＝ 6－ 3 3，∴ DP ＝DG ·tan∠ PGD ＝ DG ·tan30°＝ 2 3 － 3，∴ AP＝ AD－ DP ＝ 2 3－(2 3－ 3)＝3.方法总结：因为存在性问题的结论有两种可能，因此拥有开放的特点，在假定存在性此后进行的推理或计算．一般思路是：假设存在——推理论证——得出结论．若能导出合理的结果，就做出“ 存在”的判断，若分析：(1) 依据切线长定理获得FB ＝ FE，导出矛盾，就做出“ 不存在” 的判断．三、板书设计PE ＝ PA； (2) 依据切线长定理，发现该四边切线长定理1．切线长的观点形的周长等于正方形的三边之和；(3)若要满2．切线长定理3．切线长定理的应用在教课过程中，经过安排实践操作活动，使学生提高了研究的兴趣．第一教师突出操作要求，学生操作并思虑回答下列问题，教师在学生回答下列问题的基础长进一步指引学生从中发现问题，让学生领会从详细情形和实践操作中发现问题，解决问题．经过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，经过自己绘图试试从中获得感性认识，从而不停地比较，让学生的思想能够经历一个从模糊到清晰，从详细到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗拙向严格、精准，使学生领会数学发展的过程.。
新北师大版数学九下教案：切线长定理1
*3.7 切线长定理 1．理解切线长的定义；(重点) 2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)
一、情境导入 如图①，PA为⊙O的一条切线，点A为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条半径，PB是⊙O的一条切线．图中PA与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？ 二、合作探究 探究点：切线长定理 【类型一】 利用切线长定理求线段的长 如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是点A和点B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是( ) A．10 B．12 C．53 D．103 解析：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝10.故选A. 方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】 利用切线长定理求角的度数 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．
解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.
方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型三】 利用切线长定理求三角形的周长 如图，PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长． 解析：连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥PA.根据勾股定理，得PA＝12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长． 解：连接OA，则OA⊥PA.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm. 方法总结：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 【类型四】 利用切线长定理解决圆外切四边形的问题 如图，四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，判断AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系，并说明理由． 解析：直接利用切线长定理解答即可． 解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.
九年级数学下册 2.5.3 切线长定理教案 (新版)湘教版
2.5.3 切线长定理1．理解和掌握切线长定理；(重点) 2．初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点)一、情境导入有一天，同学们去王老师家做客，王老师正在洗锅，就问：谁能测出这个锅盖的半径，就可以得到一根雪糕，同学们都跃跃欲试，但老师家里只有一个曲尺，到底谁能得到这根雪糕呢？教师引导学生发现A 、B 分别为⊙O 与PA 、PB 的切点，连接OB ，OA ，则四边形OAPB 是正方形，所以，圆的半径为A 点或B 点的刻度，PA ＝PB .如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA ＝PB?二、合作探究探究点：切线长定理及应用【类型一】 利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，如果∠APB ＝60°，线段PA ＝10，那么弦AB的长是( )A ．10B ．12C ．5 3D ．10 3 解析：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线，∴PA ＝PB .∵∠APB ＝60°，∴△PAB 是等边三角形，∴AB ＝PA ＝10.故选A. 方法总结：切线长定理是判断线段相等的主要依据，在圆中经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】 利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB .因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长＝PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋C F ＋PF ＝(PE ＋EA )＋(BF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.故答案为4.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】 利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12∠APB ＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB .变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型四】切线长定理的实际应用如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB ＝3cm ，则此光盘的直径是________cm.解析：先画图，根据题意求出∠OAB ＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB ，从而得出光盘的直径．连接OA 、OB .∵∠CAD ＝60°，∴∠CAB ＝120°.∵AB 和AC 都与⊙O 相切，∴∠OAB ＝∠OAC ，∴∠OAB ＝12∠CAB ＝60°.∵AB ＝3cm ，∴OA ＝6cm ，∴由勾股定理得OB ＝33cm ，∴光盘的直径为63cm.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题三、板书设计本节课切线长定理的探索以学生动手操作作图的活动为平台，结合学生的自主探索和教师的启发式提问，对所学有关切线性质的基础知识作简单的迁移，师生以一种平等民主的方式进行教与学的活动，在具体情境中发展学生的发散思维及创新能力，激发学习兴趣，使学生真正体验学习的快乐.。
初中数学北师大版九年级下册第三单元第7课《切线长定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
初中数学北师大版九年级下册第三单元第7课《切线长定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
初中数学北师大版九年级下册第三单元第7课《切线长定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1. 使学生理解切线长定义.
2. 使学生掌握切线长定理,并能初步运用.
3. 通过本节教学,进一步培养学生的动手操作能力和创新意识.
4. 学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
5. 通过分析问题、解决问题的过程,激发学生学数学的兴趣,使学生积极参与、体验成功. 2学情分析
本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上,继续对切线的性质的研究,是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识.体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合.在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题,从而滲透转化思想和方程思想,提高应用意识.
3重点难点
切线长定理的探究
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】创设情景，引入新课
问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?。
2022年北师大版数学九下《切线长定理1》教案
*3.7 切线长定理1．理解切线长的定义；(重点)2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)一、情境导入如图①，P A为⊙O的一条切线，点A 为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条半径，PB是⊙O的一条切线．图中P A与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？二、合作探究探究点：切线长定理【类型一】利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线P A、PB，切点分别是点A和点B，如果∠APB＝60°，线段P A＝10，那么弦AB的长是()A．10B．12C．5 3D．10 3解析：∵P A、PB都是⊙O的切线，∴P A＝PB.∵∠APB＝60°，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A A.方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】利用切线长定理求角的度数如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OP A的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA ⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠P AO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA≌△POB，∴∠OP A＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】利用切线长定理求三角形的周长如图，P A、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．解析：连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥P A.根据勾股定理，得P A＝12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长．解：连接OA，则OA⊥P A.在Rt△APO 中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm.∵P A、PB、DE是⊙O的切线，∴P A＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE ＝PD＋DA＋EB＋PE＝P A＋PB＝2P A＝24cm.方法总结：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型四】利用切线长定理解决圆外切四边形的问题如图，四边形ABCD的边与圆O 分别相切于点E、F、G、H，判断AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系，并说明理由．解析：直接利用切线长定理解答即可．解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC ＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.方法总结：由切线长定理可以得到一些相等的线段，一定要明确这些相等线段．记住“圆外切四边形的对边之和相等”，对我们以后解决问题有很大帮助．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型五】切线长定理与三角形内切圆的综合如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F.(1)求证：BE＝CE；(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O 的半径．解析：(1)利用切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，进而得出BD＝CF，即可得出答案；(2)首先连接OD、OE、OF，进而利用切线的性质得出∠ODA＝∠OF A＝∠A＝90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．(1)证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE ＝CE；(2)解：连接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA＝∠OF A＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．设OD＝AD＝AF＝r，则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝2 2.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝22，得r＝2－2，∴⊙O的半径是2－2 .方法总结：本题综合考查了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问题的关键是得出四边形ODAF是正方形．【类型六】利用切线长定理解决存在性问题如图①，已知正方形ABCD的边长为23，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点(P不与M，D重合)，以AB 为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC 于点F，切点为E.(1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线)?(2)求四边形CDPF的周长；(3)延长CD，FP相交于点G，如图②所示．是否存在点P，使BF·FG＝CF·OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．解析：(1)根据切线长定理得到FB＝FE，PE＝P A；(2)根据切线长定理，发现该四边形的周长等于正方形的三边之和；(3)若要满足结论，则∠BFO＝∠GFC，根据切线长定理得∠BFO＝∠EFO，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．解：(1)FB＝FE，PE＝P A；(2)四边形DP＋PE＋EF＝FCBF＋FC＋CD＋DP23×3＝63；(3)假设存在CF·OF.∴BFOF＝CFFG.＝BFOF，∠GFC＝CFFG，∴∠＝∠OFE，∴∠60°，∴在Rt△＝OBtan∠OFB＝OBtan60°Rt△GFC＝CF·tan60°＝(23－×3＝－3，∴DG＝CG－CD＝6－33，∴PGD＝DG·tan30°＝23－DP＝23－(23－3)方法总结：由于存在性问题的结论有两设存在——推理论证导出矛盾，就做出“三、板书设计12．切线长定理3．切线长定理的应用在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.预设难点：(1)2-2x+4=0二、导读。
九年级数学初三下册：2.2 切线长定理教案
(2)在 Rt△PAO 与 Rt△PBO 中，∵OA＝OB，PO＝PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO，∴
＝1∠APB＝30°，PO⊥AB.∴∠DAO＝∠APO＝30°，∴OA＝sin∠APO×OP＝1×
2
2
Rt△AOD 中，∠DAO＝30°，OA＝10 cm，∴AD＝cos∠DAO×OA＝ 3×10＝5 2
2 光盘的直径为 2×3 3＝6 3(cm)．
AC相切，切点分别为D，E，则 ⊙O的半径和∠MND的度数分别
A
为( ) A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
分别切⊙O于点A，B，C，点D 在PA上，点E在PB上．
(1)若PA＝10，求△PDE的周长； (2)若∠P＝50°，求∠O的度 数．
第2章 直线与圆的位置关系
2．2 切线长定理
浙教版·九年级下册
D．PA2＝PC·PO
4．(4分)如图，四边形ABCD的
边AB，BC，CD，DA和⊙O分别
相切于点L，M，N，P.若四边形
ABCD的周C 长为20，则AB＋CD
等于( )
A．5
B．8
C．10
D．12
60
6．(4分)(教材P47作业题T4改编) 如图，PA，PB是⊙O的切线，A， B为切点，∠APB＝60°，连结 PO并延长与⊙O交于点C，连结32 3 AC，BC.若⊙O半径为1，则四边
∴AC＝3.设 AC＝3a，BC＝5a，则直径 AB＝4a，∴OA＝OB＝2a.∵∠BAC＝∠OEB＝90°，∠ABC BC 5
＝∠EBO，∴△OEB∽△CAB，∴OE＝BE＝OB，即OE＝BE＝2，∴OE＝6a，BE＝8a，∴CE＝BC
AC AB BC 3a 4a 5
湘教版数学九年级下册2 切线长定理教案与反思
*2.5.3 切线长定理工欲善其事，必先利其器。
《论语·卫灵公》原创不容易，【关注】，不迷路！1．理解和掌握切线长定理；(重点)2．初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点)一、情境导入有一天，同学们去王老师家做客，王老师正在洗锅，就问：谁能测出这个锅盖的半径，就可以得到一根雪糕，同学们都跃跃欲试，但老师家里只有一个曲尺，到底谁能得到这根雪糕呢？教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连接OB，OA，则四边形OAPB是正方形，所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA＝PB.如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA＝PB?二、合作探究探究点：切线长定理及应用【类型一】利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是( )A ．10B ．12C ．53D ．10 3解析：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线，∴PA ＝PB .∵∠APB ＝60°，∴△PAB 是等边三角形，∴AB ＝PA ＝10.故选A.方法总结：切线长定理是判断线段相等的主要依据，在圆中经常用到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB .因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长＝PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CFPF ＝(PE ＋EA )＋(BF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.故答案为4.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，O ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12∠APB ＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB .变式训练：见学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型四】切线长定理的实际应用如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是________cm.解析：先画图，根据题求出∠OAB＝60°再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．连接OA、OB.∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°.∵AB和AC都与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝12∠CAB＝60°.∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3r(3)cm，∴光盘的直径为63cm.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计本节课切线长定理的探索以学生动手操作作图的活动为平台，结合学生的自主探索和教师的启发式提问，对所学有关切线性质的基础知识作简单的迁移，师生以一种平等民主的方式进行教与学的活动，在具体情境中发展学生的发散思维及创新能力，激发学习兴趣，使学生真正体验学习的快乐.【素材积累】每个人对未来都有所希望和计划，立志是成功的起点，有了壮志和不懈的努力，就能向成功迈进。
【最新浙教版精选】浙教初中数学九下《2.2 切线长定理》word教案 (1).doc
点L、M、N、P.
想一想：AB+CD与
AD+BC之间有什么关系？
说明你结论的正确性。
3、选做：
教师在板书定义之后，通过对话交往，引导学生把对概念的感性认识上升到理性认识，然后在图形中进行识别，从而认识概念的本质特征，理解概念的外延。在对话中，教师以民主的精神、平等的作 风、宽容的态度、真挚的爱心和悦纳的情怀对待学生，在相互倾听、接受和共享中获得知识，使教学相长。
口答
笔答
课外作业针分层次，针对各类学生进行。
在课堂探索结束之时，鼓励学生继续进行课外探索，做到“课虽尽，思不止”。
教
学
反
思
使学生了解切线长的定义，并能在具体的图形中把它们识别出来。运用所学知识解决实际问题，发展应用意识，在数学活 动中体验策略的多样性，发展实践能力与创新精神。在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。真正做到“以参与求体验，以创新求发展
由（5）得：
线段相等：PA=PB；
OA=OB；
角相等：∠APO=∠BPO；
∠AOP=∠BOP；
垂直关系：OA⊥PA；图3
OB⊥PB；
三角形全等：△OAP≌△OBP.
2、由（6）得出定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
3、剖析定理：
（1）、指出定理的题设和结论；
（2）用符号语言表示定理：
∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于点A、B）
∴PA=PB，
∠APO=∠BPO.
三、创设情境巩固应用
1、填空：如图3，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，（1）若PB=12，PO=13，则AO=＿＿＿.
北师大版数学九年级下册 3.7 切线长定理1 教案
*3.7 切线长定理1．理解切线长的定义；(重点) 2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)一、情境导入如图①，P A 为⊙O 的一条切线，点A 为切点．如图②所示，沿着直线PO 将纸对折，由于直线PO 经过圆心O ，所以PO 是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A 重合的点为点B ，这里，OB 是⊙O 的一条半径，PB 是⊙O 的一条切线．图中P A 与PB 、∠APO 与∠BPO 有什么关系？二、合作探究探究点：切线长定理【类型一】 利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线P A 、PB ，切点分别是点A 和点B ，如果∠APB ＝60°，线段P A ＝10，那么弦AB 的长是()A ．10B ．12C ．5 3D ．10 3解析：∵P A 、PB 都是⊙O 的切线，∴P A ＝PB .∵∠APB ＝60°，∴△P AB 是等边三角形，∴AB ＝P A ＝10.故选A.方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】 利用切线长定理求角的度数如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OP A 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA 、OB .∵P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠P AO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA ≌△POB ，∴∠OP A ＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB .变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】 利用切线长定理求三角形的周长如图，P A 、PB 、DE 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、F ，已知PO ＝13cm ，⊙O 的半径为5cm ，求△PDE 的周长．解析：连接OA ，根据切线的性质定理，得OA ⊥P A .根据勾股定理，得P A ＝12，再根据切线长定理即可求得△PDE 的周长．解：连接OA ，则OA ⊥P A .在Rt △APO 中，PO ＝13cm ，OA ＝5cm ，根据勾股定理，得AP ＝12cm.∵P A 、PB 、DE 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，DA ＝DF ，EF ＝EB ，∴△PDE 的周长PD ＋DE ＋PE ＝PD ＋DF ＋FE ＋PE ＝PD ＋DA ＋EB ＋PE ＝P A ＋PB ＝2P A ＝24cm.方法总结：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型四】 利用切线长定理解决圆外切四边形的问题如图，四边形ABCD 的边与圆O 分别相切于点E 、F 、G 、H ，判断AB 、BC 、CD 、DA 之间有怎样的数量关系，并说明理由．解析：直接利用切线长定理解答即可． 解：AD ＋BC ＝CD ＋AB ，理由如下：∵四边形ABCD 的边与圆O 分别相切于点E 、F 、G 、H ，∴DH ＝DG ，CG ＝CF ，BE ＝BF ，AE ＝AH ，∴AH ＋DH ＋CF ＋BF ＝DG ＋GC ＋AE ＋BE ，即AD ＋BC ＝CD ＋AB .方法总结：由切线长定理可以得到一些相等的线段，一定要明确这些相等线段．记住“圆外切四边形的对边之和相等”，对我们以后解决问题有很大帮助．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型五】 切线长定理与三角形内切圆的综合如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O是△ABC 的内切圆，它与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F .(1)求证：BE ＝CE ； (2)若∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，求⊙O 的半径．解析：(1)利用切线长定理得出AD ＝AF ，BD ＝BE ，CE ＝CF ，进而得出BD ＝CF ，即可得出答案；(2)首先连接OD 、OE 、OF ，进而利用切线的性质得出∠ODA ＝∠OF A ＝∠A ＝90°，进而得出四边形ODAF 是正方形，再利用勾股定理求出⊙O 的半径．(1)证明：∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴AD ＝AF ，BD ＝BE ，CE ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AB －AD ＝AC －AF ，即BD ＝CF ，∴BE ＝CE ；(2)解：连接OD 、OE 、OF ，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，∴∠ODA ＝∠OF A ＝∠A ＝90°.又∵OD ＝OF ，∴四边形ODAF 是正方形．设OD ＝AD ＝AF ＝r ，则BE ＝BD ＝CF ＝CE ＝2－r .在△ABC 中，∠A ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝2 2.又∵BC ＝BE ＋CE ，∴(2－r )＋(2－r )＝22，得r＝2－2，∴⊙O 的半径是2－ 2 .方法总结：本题综合考查了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问题的关键是得出四边形ODAF 是正方形．【类型六】 利用切线长定理解决存在性问题如图①，已知正方形ABCD 的边长为23，点M 是AD 的中点，P 是线段MD 上的一动点(P 不与M ，D 重合)，以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交BC 于点F ，切点为E .(1)除正方形ABCD 的四边和⊙O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线)?(2)求四边形CDPF 的周长；(3)延长CD ，FP 相交于点G ，如图②所示．是否存在点P ，使BF ·FG ＝CF ·OF ？如果存在，试求此时AP 的长；如果不存在，请说明理由．解析：(1)根据切线长定理得到FB ＝FE ，PE ＝P A ；(2)根据切线长定理，发现该四边形的周长等于正方形的三边之和；(3)若要满足结论，则∠BFO ＝∠GFC ，根据切线长定理得∠BFO ＝∠EFO ，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．解：(1)FB ＝FE ，PE ＝P A ；(2)四边形CDPF 的周长为FC ＋CD ＋DP ＋PE ＋EF ＝FC ＋CD ＋DP ＋P A ＋BF ＝BF ＋FC ＋CD ＋DP ＋P A ＝BC ＋CD ＋DA ＝23×3＝63；(3)假设存在点P ，使BF ·FG ＝CF ·OF .∴BFOF ＝CF FG .∵cos ∠OFB ＝BF OF ，cos ∠GFC ＝CFFG，∴∠OFB ＝∠GFC .∵∠OFB ＝∠OFE ，∴∠OFE ＝∠OFB ＝∠GFC ＝60°，∴在Rt △OFB 中，BF ＝OB tan ∠OFB ＝OBtan60°＝1.在Rt △GFC 中，∵CG ＝CF ·tan ∠GFC ＝CF ·tan60°＝(23－1)×3＝6－3，∴DG ＝CG －CD ＝6－33，∴DP ＝DG ·tan ∠PGD ＝DG ·tan30°＝23－3，∴AP ＝AD －DP ＝23－(23－3)＝3.方法总结：由于存在性问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算．一般思路是：假设存在——推理论证——得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出“不存在”的判断．三、板书设计切线长定理1．切线长的概念 2．切线长定理3．切线长定理的应用在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.。
九年级数学初三下册：3.7 切线长定理 教案
A P
O B
A O.
B
直径所 P 直角.
讲授新课
切线长的定义
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和
A
切点之间的线段的长叫作切线长．
O
2.切线长与切线的区别在哪里？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 可以度量．
切线长定理
合作探究
问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线 ，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与 什么关系吗？
A
E O
C
D
A
由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14，
解得 x=4.
E O
C
D
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理， 将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝ Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.
如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 30
AFBiblioteka EOBDC
第3题
拓展提升： 6.直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： (1)它的外接圆半径是 5 cm;内切圆半径是 1 cm？ (2)若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都 求☉O的半径r的取值范围.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= 1 ∠AOC.
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3.7切线长定理【教学内容】切线长定理 【教学目标】知识与技能 理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题；过程与方法 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理的对比，培养学生分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学中相关定义的区别与联系。
从而发现事物之间的相互联系。
【教学重难点】重点：切线长定理及其应用。
难点：切线长定理及其应用 【导学过程】【知识回顾】1.什么是切线？切线的判定和性质是什么？2.什么是三角形的内切圆？什么是内心？它是什么的交点？ 【情景导入】过圆上一点作圆的切线如何做？如果我们过圆外一点画圆的切线，能画几条？试试看？ 【新知探究】 探究一、经过圆外一点可作圆的 ，这点和切点之间的 ，叫做这点到圆的 . 如图1，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点A ，B 为切点，把线段 PA ，PB 的长叫做点P 到⊙O 的（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）找出图形中相等的线段，并说明理由。
注意：切线和切线长的区别：切线是 线，不可度量，而切线长是线段， 度量.探究二：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分_______________． 几何语言：PA PB 、是⊙O 的两条切线_____________,________________ .（2）如何证明切线长定理呢？已知：如图2，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB． 证明：（3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形.（图2）AB OA BO探究二、四边形的四边都与⊙O 相切，则它相对的两边有何关系？与同伴进行交流。
探究三、Rt ⊿ABC 的两条直角边AC=10，BC=24， ⊙O 是⊿ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，求⊙O 的半径。
【知识梳理】本节课我们学习哪些知识？ 【随堂练习】 1.如图5，从圆外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如果∠APB=60°，PA=10，则弦AB 的长（ ）A ． 5 B. 35 C.10 D. 3102.如图6，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，，若PA=8cm ，C 是AB 上的一个动点（点C 与A 、B 两点不重合），过点C 作⊙O 的切线，分别交PA ，PB 于点D 、E ，则PED ∆的周长是 cm.3. 如图7，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且70MBN ∠=︒，则______A ∠=.4. 已知：如图8，PA ，PB 分别是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC =35°，求∠P 的度数．5.已知：如图9，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C =90°． (1)若AC =12cm ，BC =9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC =b ，BC =a ，AB =c ，求⊙O 的半径r ．P B O A （图5） E A P C DB O （图6） （图7）NM ABO（图8） （图9）6．已知：如图10，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ． (1)求证：AT 平分∠BAC ；(2)若,3,2==TC AD 求⊙O 的半径．7、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝900，以AB 为直径的半圆切CD 于点M 。
（1）若这个梯形的面积是10cm 2，周长是14cm ，求⊙O 的半径。
（2）连接AM 、BM ，连接DO 交AM 于F ，连接CO 交BM 于G 。
试说明：① CO ⊥DO ； ② 四边形MFOG 是矩形； ③FG 2＝AD ·BC 。
（图10）Ｏ ＤＭ活动四：课堂总结反思【板书设计】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在复习回顾切线的相关性质的基础上，在教师的引导下探究如何画圆的切线，体会圆的切线的判定和性质，给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流．引入新课的同时对问题有自己的思考.②[讲授效果反思]通过对比分析得到切线长定理，感受知识的生成过程，强调知识的严谨性和规范性，让学生在积极主动地参与学习的过程中理解、掌握知识．在此基础上通过练习有针对性地进行落实、巩固，有效突破重难点.③[师生互动反思]________________________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号错题题号反思，更进一步提升.课题：3.7切线长定理教学目标：1. 通过作图、观图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.2.经历探索切线长定理的过程,发展学生合情推理和演绎推理的能力.3．应用切线长定理进行相关的计算和证明.教学重、难点：重点：切线长定理的推导过程及运用.难点：综合运用切线长定理进行有关的证明和计算.课前准备：课件、实物投影仪、圆规、三角板、导学案.教学过程：一、创设情境，引入新课活动内容：上节课我们认识了圆的切线，知道过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条.那么过圆外一点可以画几条切线？它们之间又有什么关系呢？想知道答案就一起进入今天的课堂学习.1.根据条件画出图形已知⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线,可以画圆的条切线？你有几种方法?P处理方式：学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中.待多数小组完成后，选个别小组展示交流作法.师再播放课件小结作图方法.最后，引导学生发现过圆外一点只能画2条切线.设计意图：由学生作图，体验如何过圆外一点画圆的切线的方法和条数，为下面的学习做好经验和事实铺垫.二、合作探究，感悟新知 活动2：认识切线长如图1，是我们所画的图形，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，我们把线段PA ，PB 叫做点P 到⊙O的切线长． 图1问题1：切线长是如何定义的？问题2：观察图形，切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别和联系？ 处理方式：问题1可以先让学生回答，如：圆外的点和切点的线段叫做切线长；过圆外一点做圆的切线，这个点和切点的线段叫做切线长等.此时，师生补充纠正共同得出的定义. (课件展示)问题2先由学生争论，师生再总结：切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. (课件展示)设计意图：放手让学生给切线长下定义，可使学生更好地理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系. 活动3：探索切线长定理问题1：如图1，（课件展示）是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？问题2：在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由？由此你得到什么猜想？问题3：如何证明你的猜想？处理方式：问题1学生直接判断.问题2当学生回答PA=PB时，师关注学生是怎么找到的？如：有的学生会利用图形的对称性解释；有的可能通过测量得到. 对学生的回答师给予鼓励.学生猜想: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.(若学生提不出师及时引导.)问题3学生分组探究，写出证明过程.(个别组展示交流.)已知：如图2，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B 是切点.求证：PA=PB.证明：连接OA,OB.∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△AOP和Rt△BOP中，∵OA=OB,OP=OP.图2∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB至此，我们证明了猜想是正确的，得到切线长定理.（课件展示）师追加反思：切线长定理为说明线段相等提供了新的方法.师追问：由Rt△AOP≌Rt△BOP我们还能得到哪些结论？处理方式：学生观察图形可直接回答，∠OPA=∠OPB，∠POA=∠P OB.因此，切线长定理可拓展为过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.设计意图：让学生经历观察—猜想---验证的数学探索过程，有助于学生理解切线长定理，更深层次的挖掘其内涵,为解题提供方便.三、例题解析，运用新知.活动4：应用切线长定理应用切线长定理可以解决那些问题呢？例1.如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，切点分别为E,F,G,H, 由切线长定理你能发现哪些线段相等?HGEF处理方式：学生观察图形，直接回答.若学生有困难，师可以进行如下引导：分析：由点A的切线可知 = .由点B的切线可知 = .由点C的切线可知 = .由点D的切线可知 = .师追问：将上面四个等式左右两边分别相加，你能得到什么结论？处理方式：由学生发现：AB+CD=A D+BC，进而得出结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.例2.已知如图，在Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O的半径.处理方式：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程的知识，是一道综合性较强的计算题．因此，教师可组织学生小组讨论，寻求解题思路，并写出解题过程；师巡视指导，深入到学生的讨论中，适时提示学生添加辅助线解答.完成后，学生代表展示交流解题方法，师同步播放课件.解法1：连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF，设OD=r.在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，AB=AC2+BC2=102+242=26∵⊙O分别于AB，BC，AC相切于点D,E,F，∴OD⊥AB, OE⊥BC , OF⊥AC , BD= BE , AD=AF ,CE=CF.又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形.∴CE=CF=r. ∴BE=24-r, AF=10-r.∴AB=BD+ AD= BE+ AF=24-r+10-r =34-2r而AB=26，∴34-2r=26∴r=4，⊙O的半径为4.解法2：连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，AB=AC2+BC2=102+242=26∵⊙O分别于AB，BC，AC相切于点D,E,F，∴OD⊥AB, OE⊥BC , OF⊥AC ,设⊙O的半径为r∵S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC1 2BC•AC=12AB•OD+12BC•OE+12AC•OF1 2BC•AC=12(AB+BC+AC)•r∴ 24X10= (26+24+10)• r∴r=4，⊙O的半径为4.师追问：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们添加辅助线构建基本图形.从上面的解题过程中你体会到那些添加辅助线的方法？引导学生发现：（1）分别连接圆心和切点.（2）连接圆心和圆外一点.设计意图：借助例题解析，引导学生领悟运用切线长定理解决问题的方法，以及常用的解题思路.四、达标测试，检验新知.1.已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm,过点P两条画⊙O的两条切线，这两条切线的切线长为 cm.2. 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．3.如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点,∠ A =50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°（1题）（2题）（3题）4.已知：如图PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，C为⊙O上一点，过C点作⊙O的切线，交PA,PB于D,E点，已知PA=PB=5cm，求△PDE的周长.(4题)处理方式：学生独立完成1—3题，个别学生回答，简要说明思路.第4题，要求学生写出解题过程.师巡回辅导.设计意图：学生通过检测练习，加深对知识巩固，提高学生的解题能力.五、回顾反思，共同进步这节课你在知识方面有哪些收获？在学习方法上，你学会了什么？你还有什么疑惑？你想进一步探究的问题是什么？处理方式：给学生一定的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.设计意图：以“回顾反思”的方式让学生总结本节课的收获，使学生养成梳理学习内容、思想、方法、思路形成知识体系的习惯.六、布置作业，课外巩固课本习题P96习题3.9 1， 2, 3，板书设计3.7切线长定理图1图2。