反比例函数经典例题

反比例函数难题

4 1、如图，已知△ P 1OA 1，△ P 2A 1A 2，△ P 3A 2A 3⋯△ P n A n-1A n 都是等腰直角三角形，点 P 1、P 2、 P 3⋯ P n 都在函数 y= x

（x >0）的图象上，斜边 OA 1、A 1A 2、A 2A 3⋯A n-1A n 都在 x 轴上．则点 A 10的坐标为

2、如图 1，矩形 ABCD 的边 BC 在 x 轴的正半轴上，点 E （m ，1）是对角线 BD 的中点，点 A 、 E 在反比例

函 k

数 y= k 的图象上．

x

（2）当矩形 ABCD 是正方形时，将反比例函数 y= k 的图象沿 y 轴翻折，得到反比例函数 y= k 1 的图象（如 x x 图 2），求 k 1 的值；

（3）在条件（ 2）下，直线 y=-x 上有一长为 2 动线段 MN ，作 MH 、 NP 都平行 y 轴交第一象限内的双曲线 k

y= 于点 H 、P ，问四边形 MHPN 能否为平行四边形（如图 3）？若能，请求出点 M 的坐标；若不能，请说明 x

理由．

1）求 AB 的长；

求出来；若不存在，请说明理

由． 4）在（ 2）的条件下， x 轴上是否存在点 P ，使△ AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的 P 点坐标都

k 1. 已知反比例函数 y= 和一次函数 y=2x-1 ，其中一次函数的图象经过（ a ， b ）， 2x a+k ，b+k+2）两点． 1）求反比例函数的解析式； 2）求反比例函数与一次函数两个交点 A 、B 的坐标： 3）根据函数图象，求不等式

k > 2x-1 的解集； 2x

1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝m ( m≠0)的图象交x

于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6，n)，线段OA＝5，E为x轴负半轴上

4 一点，且s i n∠ AOE＝．

5

(1) 求该反比例函数和一次函数；

(2) 求△ AOC的面积．

4

（1） 过A 点作 AD ⊥x 轴于点 D ，∵ sin ∠AOE ＝ 5，OA

＝5，

∴在 Rt △ADO 中，∵ sin ∠AOE ＝ A A D O ＝A 5D ＝ 54，

∴AD ＝ 4，DO ＝ OA2-DA2=3，又点 A 在第二象限∴点 A

的坐标为 （ －3，4），

将 A 的坐标为 （ － 3，4）代入 y ＝ m ，得 4= m ∴m ＝－

12，∴该反比例函数的解析式为

x -3

∵点 B 在反比例函数 y ＝－ 1x 2的图象上，∴ n ＝－ 162＝－ 2，点B 的坐标为（6 ，－2）， x6

2 ∵一次函数 y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象过 A 、B 两点，∴

－3k ＋b=4，，∴ k ＝－3， 6k ＋ b ＝－ 2 b ＝2

该一次函数解析式为 y ＝－ 32x ＋2．

3

22 （2） 在 y ＝－ 3x ＋ 2中，令 y ＝0，即－ 3x ＋2=0，∴x=3，

∴点 C 的坐标是（ 3， 0），∴ OC ＝ 3， 又 DA=4， ∴S △AOC ＝ 1 12×OC ×AD ＝ 2×3×4＝ 6，所以△ AOC 的面积为 6．

练习 1. 已知 Rt △ ABC 的斜边 AB 在平面直角坐标系的 x 轴上，点 C （ 1，3） k 在反比例函数 y = x 的图象上，

且 sin ∠ BAC =

3．

5

1）求 k 的值和边 AC 的长；

2）求点 B 的坐标． 1）把 C （1，3）代入 y = k 得 k =3 x

设斜边 AB 上的高为 CD ，则 CD 3 sin ∠ BAC =AC =5

∵C （1，3） ∴ CD=3，∴ AC=5

2）分两种情况，当点 B 在点 A 右侧时，如图 1 有：AD= 52－32=4，AO=4－1=3 ∵△ ACD ∽ABC ∴AC 2=AD · AB

当点 B 在点 A 左侧时，如图 2

此时 AO=4＋1=5

OB= AB － AO=245－ 5=54

5 此时 B 点坐标为（－ 4， 0）

13 5

所以点 B 的坐标为（ 4 ，0）或（－ 4，0）．

1. 如图，矩形 ABOD 的顶点 A 是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于 B ，

轴于 D ，且矩形 ABOD 的面积为 3．

（1）求两函数的解析式．

（2）求两函数的交点 A 、 C 的坐标．

（3）若点 P 是 y 轴上一动点，且

，

求点 P 的坐标．

解：（ 1）由图象知 k<0，由结论及已知条件得

-k=3 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为

AC 2 25

AB=AD = 4

25

∴OB=AB －

AO=25 13 3=4

图1 此时 13 B 点坐标为（ 4

，0） 图 2

∴点 A 、 C 的坐标分别为（ ， 3），（3， ）

3）设点 P 的坐标为（ 0，m ）

直线 与 y 轴的交点坐标为 M （ 0，2）

∴∣ PM ∣＝ ，即∣ m － 2∣＝

∴点 P 的坐标为（ 0，）或（ 0， ）

1. 如图，已知 ， 是一次函数 的图像和反比例函数 的图像的两个交点．

1）求反比例函数和一次函数的解析式；

2）求直线 与 轴的交点 的坐标及三角形 的面积．

解：（ 1） 在 上

反比例函数的解析式为：

点 在 上

经过 ，

2） 是直线 与 轴的交点 当 时，

，解得 ，

2）由 解之得 一次函数的解析式为：