二项式定理(通项公式)

二项式定理

二项式知识回顾

1. 二项式定理

(a b)n C ：a n C ：a n1b 1 L

C ：a n k b k L

C ：b n ,

以上展开式共n+1项，其中c ：叫做二项式系数，T k i C ：a n k b k 叫做二项展开式的通项 (请同学完成下列二项展开式)

② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和

2. 二项式系数的性质

n

当n 是偶数时，中间一项 c n 2取得最大值

n 是奇数时，中间两项C n 2和C n 2相等，且同

时取得最大值.

3.

二项展开式的系数 a o , a 1,比，a 3,…,a n .................. 的性

质:f( x)= a o +a 1X+a 2X 2+a 3X 3 +a n X n

(1) a o +a 1+a 2+a 3 .......... +a n =f(1)

⑵ a o - a 1+a 2- a 3 .......... +(-1) a n =f(-1) ⑶ a o +a 2+a 4+a 6 ........... =

f( 1)

2

(1) 对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 m

n m

C n C n

(2) k

二项式系数C n 增减性与最大值: 山时，二项式系数是递增的；当

2

丄」时，二项式系数是递减的

2

1 2 1

1 J J i

1 4 4 L E ? 10 IU * 1 1 6 2V 15

7 21 1* 35 21

(a b)n

C ；a n C n a n 1b 1 L k k n k k

(1) C n a b n n n k k n k k

(1) C n b ，T

k 1

( 1) C n a b

(1 x)n C C ：X L C n k x k C n n x n

(2x 1)n

Cn(2x)n

C ：(2x)n 1

Cn(2x)n k C ：1(2x)

n

a n x

a n

1

X n 1 L

n

a n k X

a 1x a o

①式中分别令x=1和x=-1，则可以得到

Cn

2n ，即二项式系数和等于 2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即

C ；

L 2n1

⑷ a1+a3+a5+a7 ........... = ——f( 1)

经典例题

1、“ （a b ）n 展开式：

1

例1 •求（3仮—）4的展开式;

Jx

1_ 1 【练习1】求（3jx —）4的展开式

J x

2. 求展开式中的项 6项为常数项

（1） 求n ； （ 2）求含x 2的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项

例2.已知在（3、

X

的展开式中，第

.求: (1 )展开式中含X 的一次幕的项；(2)展开式中所有X 的有理项.

3. 二项展开式中的系数

例3.已知(3x x 2)2n 的展开式的二项式系数和比 (3x 1)n 的展开式的二项式系数和大

1

992,求(2x

)2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项 X

［练习3］已知$)n (n N *)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是

10:

x

1.

3

(1)求展开式中含x 2的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项

【练习2】若(.、x

展开式中前三项系数成等差数列

4、求两个二项式乘积的展开式指定幕的系数

2 7

3 例4. （X 1）（x 2）的展开式中，x项的系数是

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幕的系数

1

例5（04安徽改编）（x - 2）3的展开式中,

x

6、求中间项

4

例6求（x3）10的展开式的中间项;

v x

例7 （以的展开式中有理项共有

项;

8、求系数最大或最小项

(1)

特殊的系数最大或最小问题

例8 (00上海)在二项式(x 1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 ___________________________________________________________________________ ；

(2)

—般的系数最大或最小问题

(3) 系数绝对值最大的项

例10在(x y)7的展开式中，系数绝对值最大项是 ________________

9、利用“赋值法”及二项式性质 3求部分项系数，二项式系数和

例 11 .若(2x

3)4

a 。 a ’x

a ?x 2

a s X 3 a q X 4 ,则(a °

a ?

a 。)2 (d

a 3)2 的值

展开式中系数最大的项;

【练习1】若（1

2x ）2004 a0a

’x

2 CC2 2004

a2x ... 2004 x ,

则（a。aj （a。a2)...(a o a2004 )

【练习2】设（2x 1)6 6 5

a§x a§x a’x a0,贝U a°| |a“ 艮...

【练习3】（x2

9

2x）展开式中X

9

9的系数是