实数大小比较的常用方法

实数的大小比较的常用方法

一、法则法

比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。

例1 比较与的大小。

析解：由于，且，所以。

说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。

二、平方法

用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a 、b 有：。

例2 比较与的大小。

析解：由于，而，所以。

说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法

用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

例3 若有理数a 、b 、c 对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a 、－a 、b 、－b 、c 、－c 的大小。

析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a 、－a 、b 、－b 、c 、－c 表示的点画出来，容易得到结论：

四、作差法：

差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据

π-5-5|5|,||=-π=π-5>π5-<π-b a b a 2

2>⇔>7337147)37(,63)73(2

2==14763<3773

<.c b a a b c <-<<-<<

-

当a －b ﹥0时，得到a ﹥b 。 当a －b ﹤0时，得到a ﹤b 。 当a －b ＝0，得到a=b 。

例1：（1）比较与的大小。 （2）比较1－与1－的大小。

解 ∵－＝＜0 ， ∴＜。 解 ∵（1－）－（1－

）=

＞0 ， ∴1－

＞1－

。

例2、比较的大小。

解析：因为

，所以

。

五、作商法

比较实数的大小的依据是：对任意正数a 、b 有：来比

较a 与b 的大小。

例1：比较与的大小。

解：∵÷=＜1 ∴＜

例2 比较与的大小。 析解：设

， ，则

;b a 1b a ;b a 1b a =⇔=>⇔>.

b a 1b a

<⇔<1200812008222111++120081

2008333

222++1200812008n ,1200812008m 333222222

111++=++=1112008a =,2008a ,2008a 333

32222==,

n m ,11a 2a 1a a a n m ,1a 2a 1a a a ,

a 2a a ,0)1a (a a 2a a ,1a 2a 1a a a 1a 1a 1a 1a n m ,

1

a 1

a n ,1a 1a m 2434434232232

434232322>∴>+++++=∴++>+++∴>+∴>-=-++++++=++⋅++=∴++=++=∴2

即

例3：比较

20102009与2009

2008

的大小 解：20102009÷20092008=20102009×20082009=40360804036081﹤1

所以20102009﹤20092008

六、倒数法

倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当＞

时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。 例1：比较

－

与

－

的大小。

解∵=+ ， =+

又∵+

＜+ ∴

－＞

－

例2、已知a ﹥1,b ﹥2,试比较

12+a a 与2

3+a b

的大小 解：a a 12+=a a 2+a 1=2+a 1 因为a ﹥1，所以2+a 1﹤3

b a 23+=b b 3+b

2=3+b 2因为b ﹥2，所以3+b 2

﹥3 因为a a 12+﹤b a 23+ 所以12+a a ﹥2

3+a b

例3、设，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）。

A 、a>b>c

B 、a>c>b

C 、c>b>a

D 、b>c>a

解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。

首先，，

.120081

20081200812008333

222222111++>++

，因为，所以，则b>c。又因为，所以，则a>b。由此可得：a>b>c。故选A。

七、平方法

平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞

得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例5：比较与的大小

解：，=8+2。

又∵8+2＜8+2∴＜。

八、估算法

估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例4：比较与的大小

解：∵3＜＜4 ∴－3＜1 ∴＜

九．比较被开方数法。

基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

例6：比较2与3的大小

解：∵2==，3==。

又∵28＞27，∴2＞3。

十、特殊值法

比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

例1：当时，，，的大小顺序是______________。