《微积分基本原理》(第2课时)课件
一元函数微积分的基本原理与方法
一元函数微积分的基本原理与方法微积分是数学中非常重要的一门学科，是数学中的一种基础理论，又是现代科学的一种重要工具。
一元函数微积分是微积分中最基本的部分之一，掌握一元函数微积分的基本原理与方法是学习微积分的第一步。
一、导数与微分导数是微积分的核心概念之一，是函数在一个点上的变化率或斜率。
在一元函数微积分中，导数有多种不同的定义方式，但它们都是等价的。
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 充分接近$x_0$ 时，$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$如果这个极限存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并把它的导数记为 $f'(x_0)$。
导数的几何意义是曲线在 $x_0$ 点处的斜率。
对于一元函数 $y=f(x)$，如果在某一点 $x_0$ 处导数$f'(x_0)$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
函数在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 也可以表示为$$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}$$它表示在点 $x_0$ 处函数 $y=f(x)$ 的每单位 $x$ 的变化量，也就是函数的瞬时变化率。
微分是导数的一种应用。
设 $y=f(x)$，$x$ 发生一个无限小的增量 $\Delta x$，相应地 $y$ 也发生了一个无限小的增量 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$，则称 $dy=f'(x)dx$ 为 $y=f(x)$ 的微分。
它表示在 $x$ 处函数值的微小增量与 $x$ 的微小增量之比。
在微积分中，微分是一种将无限小的变化转换为实际的数值计算的技术方法。
二、函数的基本性质函数是微积分的基础，掌握函数的基本性质对学习微积分非常重要。
1. 连续性一个函数如果在某一点连续，则表明函数在该点的值可以通过函数在该点的极限来确定。
《微积分第一讲》课件
积分的运算法则
积分的基本性质
积分具有一些基本的性质，如线性性质、区间 可加性等。
积分运算法则
包括乘积法则、商的积分法则、幂的积分法则 等，这些法则可以用来计算复杂的积分。
积分在实际问题中的应用
积分可以用来解决一些实际问题，如面积与体积的计算、变力做功问题等。
微积分基本定理
微积分基本定理的内容
微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它建立了不定积分与定积分之间的关系，可以将一个复杂 的定积分问题转化为求原函数的问题。
在经济学中，微积分被用 于研究边际效用、成本分 析等。
学习微积分的意义
01
学习微积分有助于培养学生的逻辑思维和数学素养 。
02
微积分在日常生活和工作中也有广泛的应用，掌握 微积分能够更好地解决实际问题。
03
学习微积分还有助于学生更好地理解其他数学分支 ，如线性代数、概率论等PORTING
极限的概念
总结词
极限是微积分的基本概念之一，它描 述了函数在某个点附近的变化趋势。
详细描述
极限描述了当自变量趋近于某个值时 ，函数值的趋近状态。极限的概念是 微积分中研究函数变化规律的基础。
导数的概念
总结词
导数表示函数在某一点处的切线斜率 ，反映了函数在该点附近的变化速率 。
详细描述
学生需要了解微积分的起源、发展历程以及在各个领域的应用，深入理解微积分的概念 和基本原理，如极限、连续性、可导性、积分等。
如何掌握微积分运算规则
总结词
掌握微积分运算规则是学习微积分的核 心，需要掌握各种运算方法和技巧。
VS
详细描述
学生需要掌握微积分的各种运算方法和技 巧，如极限的运算法则、导数的运算法则 、积分的运算法则等，同时还需要理解并 能够应用这些规则解决实际问题。
人教A版高中数学选修2-2课件《微积分基本原理》(第1课时).pptx
解 (sin x)' cos x
2 0
cos
xdx
sin
x
|02
sin
2
sin 0 1 0 1
思考: (a)
2 cosxdx的几何意义是什么?
0
(b) cosxdx = __0_____ 0
(c) 2 cosxdx = __0_____ 0
三、小结
a
a
b
b
b
性质2.
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a
a
a
b a
f
( x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例２．计算下列定积分
3(3x2 - 1 )dx
1
x2
解:∵ (x3 ) = 3x2 ,
( 1 ) 1
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
s(b)
s(a)
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
微积分讲解ppt课件
3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ，则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速 度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如 何求物体的运动方程s(t)呢？
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为
x 1
1
x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数）
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)． 性质１可推广到有限个函数的情形．
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数
微积分基本原理
微积分基本原理
微积分是数学的一个分支，它主要研究函数的变化率和面积、体积等几何量的计算方法。
微积分的基本原理包括导数和积分。
导数描述了函数的变化率。
对于函数y=f(x)，在某一点x处的
导数表示函数在该点的变化速度，一般用f'(x)或者dy/dx表示。
导数有许多重要的性质，比如导数的意义是函数在某点的切线的斜率，导数为正表示函数在该点上升，导数为负表示函数在该点下降，导数为零表示函数在该点取得极值。
积分描述了函数下面的面积或者曲线的长度等几何量。
给定一个函数y=f(x)，在区间[a, b]上的曲线下面的面积可以用定积分∫[a,b]f(x)dx来表示。
积分具有许多重要的性质，比如积分可以
看作导数的逆运算，积分可以用来计算函数的平均值等。
微积分的基本原理可以应用于各种实际问题的求解中。
比如，可以用导数来研究函数的最大值和最小值，用积分来计算曲线围成的面积或者旋转体的体积。
微积分在物理学、经济学等领域有着广泛的应用，它是现代科学中不可或缺的一部分。
总之，微积分的基本原理包括导数和积分，它们是描述函数变化率和计算几何量的重要工具。
微积分在各个领域中都有广泛应用，对于理解和解决实际问题有着重要意义。
微积分基本定理 课件
－π
－π
－π
0
＝sin x
பைடு நூலகம்
0
－ex
＝e1π－1.
－
－
(3)sin2x2＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x，
∴
2 sin2x2dx＝
2
12－12cos
xdx
0
0
＝12x－12sin
x
2
＝π4－12＝π－4 2.
0
[类题通法] 由微积分基本定理求定积分的步骤
当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形 式，便于求得函数 F(x)，再计算定积分，具体步骤如下．
1 0
＝a3＋c＝ax02＋c，解得 x0＝ 33或 x0＝－ 33(舍去)．
即
x0
的值为
3 3.
[类题通法] 利用定积分求参数应注意的问题
利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地， 首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数 时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下 限小于积分上限．
所以
2
(4x－2π)dx＋
cos xdx
0
2
＝(2x2－2πx)
2
＋sin
x
＝－12π2－1，
0
2
即πf(x)dx＝－12π2－1. 0
[类题通法] 分段函数的定积分的求法
(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积 函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区 间上定积分的和计算．
所以1
1－x2dx＝π4.
0
答案：π4
(3) 利用转化法求定积分．
例： 2 cos2x2dx＝________.