慨率论与数理统计课件4_3
合集下载
海南大学《概率论与数理统计》课件 第四章 随机变量及其分布
例如：X 0 取出的n个产品中没有次品；
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
概率论与数理统计(完整版)
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定义 : 若B1,B2,,Bn一组事件 : 满足
(iB i) B j φ ,i ji,j, 12,.,.n .,,
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中 的 基 本 事k件 数 P(A)S中的基本事n件总数 15
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P(Bi |A)P(Bi |A.)
i1
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定义 : 若B1,B2,,Bn一组事件 : 满足
(iB i) B j φ ,i ji,j, 12,.,.n .,,
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中 的 基 本 事k件 数 P(A)S中的基本事n件总数 15
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P(Bi |A)P(Bi |A.)
i1
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
概率与数理统计第四章PPT课件
并称 xi pi 为随机变量 X 的数学期望，简称期望或 i 1
均值，记作 E(X ) ．即
E( X ) xi pi i 1 .
例4.1.1 甲、乙两个人进行射击,所得的分数分别为
X1, X2, 它们的分布律分别为
X1 0 1 2
p k 0.2 0.2 0.6
X2 0 1 2
p k 0.1 0.5 0.4
.
解 由题意, X的分布函数为
x
F(x) 1e 10
(x 0)
Y的可能的取值为1500,2000,2500,3000，且 P { Y 1} 5 P 0 { X 0 1 } F ( 1 ) 1 e 0 .1 0 .095
P { Y 2} 0 P { 1 0 X 0 2 } F ( 2 ) F ( 1 ) 0 .08
解
E(X) x
1 e dx (x22)2
则
2
令u x
E(X)
1
u2
(u )e 2 du
2
u2
ue 2 du
u2
e 2 du
2
2
.
例4.1.9 柯西分布的数学期望不存在
设随机变量 X 服从柯西分布，则其概率密度为
11
f(x)1x2,x
由于
1 1
|x|
dx
1x2
故 E(X) 不存在. .
4.1.3 随机变量函数的数学期望
在很多实际问题中，经常遇到求 随机变量函数的数学期望问题．下 面两个定理给出了求随机变量函数 的数学期望的简便方法．利用这二 个定理可以省略求随机变量函数的 分布．
.
定理 4.1.1 设Y g X 是随机变量 X 的一个已知函数
（1）如果 X 是离散型随机变量，且其分布律是
均值，记作 E(X ) ．即
E( X ) xi pi i 1 .
例4.1.1 甲、乙两个人进行射击,所得的分数分别为
X1, X2, 它们的分布律分别为
X1 0 1 2
p k 0.2 0.2 0.6
X2 0 1 2
p k 0.1 0.5 0.4
.
解 由题意, X的分布函数为
x
F(x) 1e 10
(x 0)
Y的可能的取值为1500,2000,2500,3000，且 P { Y 1} 5 P 0 { X 0 1 } F ( 1 ) 1 e 0 .1 0 .095
P { Y 2} 0 P { 1 0 X 0 2 } F ( 2 ) F ( 1 ) 0 .08
解
E(X) x
1 e dx (x22)2
则
2
令u x
E(X)
1
u2
(u )e 2 du
2
u2
ue 2 du
u2
e 2 du
2
2
.
例4.1.9 柯西分布的数学期望不存在
设随机变量 X 服从柯西分布，则其概率密度为
11
f(x)1x2,x
由于
1 1
|x|
dx
1x2
故 E(X) 不存在. .
4.1.3 随机变量函数的数学期望
在很多实际问题中，经常遇到求 随机变量函数的数学期望问题．下 面两个定理给出了求随机变量函数 的数学期望的简便方法．利用这二 个定理可以省略求随机变量函数的 分布．
.
定理 4.1.1 设Y g X 是随机变量 X 的一个已知函数
（1）如果 X 是离散型随机变量，且其分布律是
概率论与数理统计课件PPT课件
i1
Ai
3.积事件:事件A与事件B同时发生，记作 AB＝AB A和B的公共部分
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
互斥的事件（也称互不相容事件）： 即事件A 与事件B不可能同时发生。AB＝
4.差事件 ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发 生而事件B不发生
概率论与数理统计
教师: 崔冉冉
河南工业大学理学院
教材：《概率论与数理统计》第三版 王松桂 等编 科学出版社
参考书：1.《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社
2. 《概率论与数理统计》 魏振军 编
中国统计出版社
序言
概率论是研究什么的？
人们所观察到的现象大体上分成两类： 1.确定性现象或必然现象 事前可以预知结果的：即在某些确
1.1.1 随机试验与事件
随机试验（试验）的特点： 1.可在相同条件下重复进行； 2.每次试验之前无法确定具体是哪种结果出 现，但能确定所有的可能结果。
试验常用“E”表示
（随机）试验的例子
E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几; E2 ：工商管理部门抽查产品是否合格； E3: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数; E4 ：已知物体长度在a和b之间，测量其长度； E5: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命; E6: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小
。
1.1.2、事件的关系与运算
是试验E的样本空间，A，B，C 是事 件
1.包含关系：“ 事件 A发生必有事件B发 生”
记为 AB，称 A包含于B。 A＝B AB且BA.
2.和事件： “事件A与事件B至少有一个发生”，记作 AB
n
推广：n个事件A1,
概率论与数理统计 PPT课件
解：从A村到B村有3种不同的走法，按这3 种走法中的每一种走法到达B村后，再 从B村到C村又有2种不同的走法。因此 从A村经B村去C村共有 3*2=6 种不同的走法。
乘法原理内容
做一件事，完成它需要分成n个步
骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二
步有 m 2种不同的方法，、、、，做第n步
有
m
种不同的方法，那么完成这件事共有
1.1.1 随机试验(简称“试验”)
这里试验的含义十分广泛，它包括各 种各样的科学实验，也包括对事物的某一 特征的观察。 其典型的例子有：
随机试验的例子
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反 面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;
随机现象：不确定性与统计规律性 研究对象：随机现象 研究内容：随机现象的统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象的统计规 律性的一门数学分支
概率论是如何产生的？
1、概率论的起源 2、概率论的发展历程
引言
概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其 起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保 险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这 就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学， 但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自 赌博者的问题。数学家费尔玛和帕斯卡他们从不同的理 由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三 年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯﹝16291695﹞亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论 赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著，他们 三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概念， 并由此奠定了古典概率论的基础.
乘法原理内容
做一件事，完成它需要分成n个步
骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二
步有 m 2种不同的方法，、、、，做第n步
有
m
种不同的方法，那么完成这件事共有
1.1.1 随机试验(简称“试验”)
这里试验的含义十分广泛，它包括各 种各样的科学实验，也包括对事物的某一 特征的观察。 其典型的例子有：
随机试验的例子
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反 面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;
随机现象：不确定性与统计规律性 研究对象：随机现象 研究内容：随机现象的统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象的统计规 律性的一门数学分支
概率论是如何产生的？
1、概率论的起源 2、概率论的发展历程
引言
概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其 起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保 险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这 就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学， 但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自 赌博者的问题。数学家费尔玛和帕斯卡他们从不同的理 由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三 年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯﹝16291695﹞亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论 赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著，他们 三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概念， 并由此奠定了古典概率论的基础.
(最新整理)概率论与数理统计ppt课件
2021/7/26
4
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的 结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
2021/7/26
5
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事k件数 2021/7/26 P(A)S中的基本事n件总数 16
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集. (2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
P(B| A) P(AB ) P(A)
为202在1/7/2事6 件A发生的条件下事件B发生的条件概率3.0
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B个 有 , 1事 P件 (|BA )0.
20 P(|SA)Байду номын сангаас.
33
(二) 乘法公式:
由 条 件,概 立率 即P定 可 ( A 义 0得 则 ), 有 P (A P B()A|)A P)(.B
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
(2 )P ( ) 1 ,P ( ) 0 ; (3) 对 于 两 两 互 斥个的事可 A1件 ,A列 2,多 , P(A1A2)P(A1)P(A2)
概率论与数理统计课件
1 9 1 9 81 3 10 10 9 10 9 8 10
或拨号不超过3次而接通电话的对立事件为
__
A1
__
A2
A3
__ __
__
__
__
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
9 87 7 10 9 8 10
上页 下页 返回
四、全概率公式与贝叶斯公式
上页 下页 返回
例1:甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，甲、 乙、丙 击中目标的概率分别为0.6、0.55、0.45。
令Ai=“第i人击中目标”，i=1，2，3。 （1）求三人都击中目标的概率。 （2）求目标被击中的概率。 (1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
0.6 0.55 0.45 =0.1485
P(A)>0时， P(B A) 1 P(B A)
P(B C A) P(B A) P(C A) P(BC A)
上页 下页 返回
例1 6个球中有4个白球2个黑球, 无放回取2个 球, 已知第一次取到白球, 问第二次取到白球 的概率? 解 A=“第一次取到白球” , B=“第二次取到白球”
P(B A) 3 5
P(B A) 0.8, P(B A) 0.1
__
(1)P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
0.48 0.04 0.52
(2)P(A B) P(A)P(B A) 0.48 12 P(B) 0.52 13
例3：已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色 盲，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰 好是色盲，求此人是男人的概率。
（１）求收报台收到信号“＋”的概率。
高等数学概率论与数理统计课件PPT大全
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为={e}；
2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集 称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC )
30% 3 10% 0 0 0 80%
例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A—取到的数能被2整除; P(A) 1 P(B) 3
的概率有多大？
3.分组问题
例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均 分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为={e}；
2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集 称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC )
30% 3 10% 0 0 0 80%
例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A—取到的数能被2整除; P(A) 1 P(B) 3
的概率有多大？
3.分组问题
例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均 分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
概率论与数理统计 第四章
可见,方差是二阶中心矩,协方差是二阶混合中心
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
河南理工大学精品课程
概率论与数理统计
【例3】[P.115:eg6]
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
显然, 方差D(X)就是随机变量X的函数 g ( X ) [ X E( X )]2 的数学期望.因此,当X的分布律 p 或概率密度 k 已知时,有
2 [ x E ( X )] pk , 离散型 k k 1 D ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx, 连续型
1500 (分) □
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
二、随机变量函数的数学期望 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
X2 Pk 3X2+5 Pk 0 0.3 5 0.3 4 0.7 17 0.7
于是,
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
例6-续
E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
河南理工大学精品课程
概率论与数理统计
【例3】[P.115:eg6]
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
显然, 方差D(X)就是随机变量X的函数 g ( X ) [ X E( X )]2 的数学期望.因此,当X的分布律 p 或概率密度 k 已知时,有
2 [ x E ( X )] pk , 离散型 k k 1 D ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx, 连续型
1500 (分) □
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
二、随机变量函数的数学期望 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
X2 Pk 3X2+5 Pk 0 0.3 5 0.3 4 0.7 17 0.7
于是,
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
例6-续
E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □
[学习]概率论与数理统计课件第4章
D( X ) pk (xk )2 xk2 pk 2
连续型 k
k
设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)
D( X ) (x )2 f (x)dx x2 f (x)dx 2
其中 E( X )
方 差 的 计算
例 设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：
X1 4 5 6
x f (x, y)dxdy,
E(Y )
y fY ( y)dy
y f (x, y)dxdy.
例 设(X,Y)的联合密度为
kxy x [0,1], y [1, 3]
f (x, y)
0
其它
(1) 求k
(2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解 (1)由
f ( x, y)dxdy 1
E(X ,Y) (E(X ), E(Y))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E(X ) xiP{X xi} xi pi.
xi pij
i
i
ij
E(Y ) yjP{Y yj} yj p. j
y j pij
j
j
ji
(X,Y)为二维连续型随机变量
E(X )
x f X (x)dx
若广义积分 xf ( x)dx 绝对收敛, 则称此积分为
X的数学期望
即 E(X ) x f (x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1
f (x) 1 x2
0
x 1 x 1
求数学期望。
解
E(X )
xf (x)dx
1
1
x 0 dx x
1
dx x 0 dx
0,