展示几何魅力,彰显数学之美

展示几何魅力，彰显数学之美
【案例背景】
几何是一门富涵艺术和哲学的科学，古希腊哲学家柏拉图曾经在他创立的哲学院门口树立一块牌子：“不懂几何的人不许入内”。

几何学蕴含着深刻而又广泛的历史文化内涵和丰富的思想方法，对于人的思维培养有着独特的作用。

然而，由于学生小学六年的数学学习中主要接触的是数的运算，虽然也认识一些图形，但也限于计算周长和面积，很少对图形的性质和判定做研究，更没有推理论证。

上初中后学生面临着学习对象和学习方式的变化，对于写出严密的逻辑推理感到困惑，对于几何的学习普遍感到枯燥乏味，部分学生渐渐失去了兴趣和信心。

对此，教师应当在课堂上运用一些有效的方法，利用几何资源展开教学，展现几何的真正魅力，彰显数学之美，让更多的学生喜爱几何、学好几何，使学生的思维得到锻炼和提高。

【案例描述】
<一>片段1：苏科版七年级下册第七章《平面图形的认识（二）》§7.5多边形的内角和与外角和”的教学。

如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是⊿ABC的外角，它们的和是多少？
老师：请同学们先尝试解决。

学生甲：
∵∠BAE＝180°-∠1，∠CBF＝180°-∠2，∠ACD＝180°-∠3 ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝180°×3-(∠1+∠2+∠3)
又∵在⊿ABC中，∠1+∠2+∠3＝180°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°－180°＝360°
学生乙：
∵∠BAE＝∠2+∠3, ∠CBF＝∠1+∠3, ∠ACD＝∠1+∠2
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝(∠2+∠3)+ (∠1+∠3) + (∠1+∠2)＝2(∠1+∠2+∠3)＝360°
老师：你们还能想出什么方法吗？
（学生又开始做进一步的思考。

）
D
F
E
C
B
A
3
2
1
D F
E
C
B
A
G
D
F
E
C
B
A
学生丙：过点A作AG//BC，
∴∠EAG＝∠ACD，∠GAB＝∠CBF
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝∠BAE+∠GAB +∠EAG＝360°
老师：你怎么想到作这条辅助线呢：
学生丙：受到论证“三角形内角和等于180°”的过程的启发。

（太棒了，这种方法老师事先都没有想到，而且还能联系到三角形内角和的证明方法，老师能不心动吗？）
老师：我还有第四种方法。

从三角形的顶点A出发，沿着三角
形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向，那么
在行走的过程中所转的各个角的和，就是三角形的外角和。

由于走
了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以三角形的外角和等
于360°。

（同学们不禁拍案叫绝）
老师继续引导学生开拓思维：既然转圈圈的方法可以解决这个问题，那么任意的多边形呢？
……
学生：都是360°呀！竟然与边数无关！
老师：既然都是360°，那么大家能不能由此得到多边形的内角和是多少呢？这个问题留给同学们课后回去思考。

（利用外角和公式推导出内角和公式，这与课本上的做法恰好相反，这个问题，打开了学生更加广阔的思维窗口。

）
……
<二>片段2：苏科版八年级上册第二章《轴对称图形》§2.5等腰三角形的轴对称性”的教学。

探究“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直
角边等于斜边的一半”的正确性。

（如图）
D
C B
A
学生：在AB 上截取BD ＝BC ，连结CD
∵∠B ＝60°，BD ＝BC
∴⊿BCD 是等边三角形
∴∠BCD ＝∠B ＝60°，BC ＝CD
又∵∠ACD ＝90°
∴∠ACD ＝∠ACD －∠BCD ＝30°
∴∠ACD ＝∠A
∴AD=CD
∴BC=BD=AD=2
1AB 老师：还有其他做法吗？
……（学生们一时想不到什么方法）
学生甲：这个直角三角形与是我们上节课学习等边三角形的一半。

老师：好，那我们把它还原回去，同学们再观察，看看。

（如图）
学生（恍然大悟）：BC=21BE=21AB ，太妙了！ 老师（趁热打铁）：佛说，当一切都混沌不清时，不妨回到原点。

这种方法不正体现了这个哲理吗？这也是化归的数学思想方法的体现。

（学生们不禁陶醉其中了）
学生乙：老师，我发现第一种解法却是等边三角形是直角三角形的一部分呀？ 老师：对呀，观察得很仔细。

这也不就是“蛋生鸡还是鸡生蛋”吗？其实以上添加辅助线的方法正是体现了转化的数学思想。

……
【案例反思】
1.养成以学生探究为主的教学习惯
几何问题（包括定理论证）的解决，如果直接把答案给学生的话，学生就容易产生“老师为什么要这么解呢？怎么能想得到这种方法呢？为什么这个解题思路我想不到？”的困惑，产生“上课听得懂但自己却不会做”的教学结果，很难找到几何学习的突破口。

反之，如果老师不急于把解题过程展现给学生，而是让学生先思考，激发学生的探索欲，然后师生共同解决问题。

在探索的过程中，发现问题的结论，寻找解
E C B A
决问题的途径，并且教学中经常帮助和引导学生归纳思路，解决“如何去思考”这个问题。

这样，学生在探索过程中找到学习几何的方法，并能提高学生的思维能力，树立学好几何的信心，进而帮助学生在其他学科的学习，感受到几何学习的魅力。

2.运用一题多解的教学方法
几何的令人陶醉的原因之一在于几何题目解法的多样性、创造性，思维方式和角度的发散性。

在教学过程当中，教师要充分鼓励和启发学生用多种方法，从多种角度去思考问题，去探索解决问题的途径。

诚然，并不是每种解题方法对于某道题来说都简便，但这种思想方法放到其它问题中可能就很简单。

所以教师要灵活处理课堂上生成的问题，激活学生的灵感和奇思妙想。

这样的教学方法不仅有利于培养学生灵活运用知识的能力，而且有助于培养学生发散思维和创造性思维。

例如，教学片段1的这一节课，无论从深度还是从广度上都开发了学生的思维，在课堂上引起了师生思维的有效碰撞，学生还能提出老师所没有想到的方法。

一些题目的奇思妙想会给学生留下深刻印象，开拓其思维。

学生在感叹声中体验到了几何的奥妙，也会不禁向往着几何学习。

3. 有效整合几何资源或者改编题目
整合课本的教学资源，不受限于几何知识的范畴，而是将思想方法更加广泛地传 递出去。

有些题目是改变原题中某些条件或结论，引出与例习题相类似的题目；有些题目是改变图形，让学生对题目和图形进行观察、类比、剖析、联想、探究。

学生经过钻研对比应用，对解题思想方法体会就会深刻。

例如，我在某节课中设计了这一组题目：
“原题：已知，如图1，在⊿ABC 中，AB=AC=13，BC=12，求BC 边上的高AD 。

变题1：已知，如图2，在⊿ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC 边上的高。

变题2：已知，如图3，在⊿ABC 中，AB=13，BC=4，AC=15，求BC 边上的高。

变题3：已知，在⊿ABC 中，AB=13，BC=14，BC 边上的高AD=12，求AC 的长。

”
C B A
D C B A 图1 图2 图3
C D B A
题目从等腰三角形变换到不等边三角形，从高在三角形外部变换到高在三角形内部，从已知边求高变换到已知高求边，从有图形变换到变题3的无图形，而变题3还需要分类讨论。

这几道题目的变换，就不仅仅是解一两题，而是数学思想方法的延伸。

如果学生经常得到这种训练，就能较好领悟数学思想方法，进而举一反三。

4、引入多媒体教学手段，让学生感受到几何“动起来，真精彩”。

信息技术是一种教学的重要辅助手段，正确运用它可以帮助教师实现传统教学手段所不能实现的教学效果。

例如，在图形变换的教学当中，我利用《几何画板》软件制作了下面这一个系列的课件：
在这个课件中，教师可以改变对称轴，改变平移方向和距离，改变旋转中心和旋转角，然后按相应的按钮，图形就能按照相应的要求动起来。

学生观察图形的平移、旋转、轴对称等过程，能较快且很好地理解相应图形变换当中的概念和性质定理。

又如，在一些动态几何问题中，教师可以运用《几何画板》作图，演示动点运
动过程所带来的变化，突破了这类题目的难点，帮助学生掌握这类问题的解题思路。

所以，正确运用信息技术，简单但效果却很明显，可以说“动起来，真精彩”。

总而言之，教学过程中，教师应当充分发挥学生的主体作用，把学生的自主探究和老师的意识引导有效地结合在一起，引导学生去挖掘题目的潜在内涵和外延，由浅入深，层层渗透，尝试多种方法、多种角度去解决某个问题，加深学生对所学知识和数学思想方法的理解，锻炼学生思维的广阔性、灵活性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，让学生终身受益，几何的魅力自然而然体现出来。